（计算机软件与理论专业论文）利用几种新算法研究mj集分形结构.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本论文简要介绍了分形的定义及其发展，以及m a n d e l b r o t 集( 简称m 集) 和j u l i a 集 ( 简称j 集) 的概念及两者的区别。利用理论推导和数值模拟相结合的方法研究了混沌控 制中的相关问题，取得了如下成果： 首先，对m 集的内部精细结构的着色机制进行了研究。并将经典的m 集推广到了 实数阶，研究了实数阶m 集的复动力分形特性，并且绘制了不同阶数的m 集的图形。 其次，分析了模极值算法、分解算法和f i s h e y e 算法，并利用这三种算法构造了一 系列m - j 集，研究了广义m - j 集的结构特征。结果发现：( 1 ) 模极值算法和分解算法均 可构造出广义m - j 集非边界区域的结构；( 2 ) 广义m - j 集的非边界区域具有分形特征； ( 3 ) 广义m j 集具有对称性，且演化过程依赖相角主值范围的选取；“) 利用f i s h e y e 算法，既可观察广义m 集的整体结构，也可给出广义m 集某处的局部细节。 再次，给出了四元数的运算及三角表示法。由l y a p u n o v 指数或逃逸时间与周期点 查找结合法，构造了一系列复平面上实数阶的广义m 集和整数阶的四元数广义m 集的 二维切片；由模极值逃逸时间算法，构造了一系列整数阶四元数广义m j 集及整数阶广 义m 集的内部结构，研究了广义m - j 集的结构特征。研究结果表明：( 1 ) 复平面上整 数阶的广义m 集的边界吸附着无数按一定规则排列的周期花瓣序列，这种结构在不同 水平上嵌套出现，体现了自相似性；( 2 ) 四元数广义m 集及其内部结构是以各周期点 的中心为球心的层层嵌套的球体；( 3 ) 四元数广义m 集及其内部结构关于坐标轴对称； ( 4 ) 在立体空间中，各点的最小模极值的分布是有规律的，它们是以各周期的中心点为 球心的同心球体，且按照红色，紫色，深绿，淡绿的顺序循环出现，呈现了一定的周期 性。 最后，分别利用单反馈，双反馈和交叉反馈方法研究了一类混沌系统的控制问题， 并基于l y a p u n o v 直接法和r o u t h - h u r w i t z 判据讨论了一类混沌系统的混沌轨道达到不稳 定平衡点或极限环时的条件，同时给出了理论上的证明。数值模拟进一步验证了这两种 方法的有效性。 关键词：模极值；选逸时问算法；四元数；反馈法；混沌控制 大连理工大学硕士学位论文 r e s e a r c ho nf r a c t a ls t r u c t u r e so fm - js e t su s i n gs o m en e w a l g o r i t h m s a b s t r a c t t 1 1 i sp a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o na n dr e c e n t l yd e v e l o p m e n to ff r a c t a l a n dt h e d e f i n i t i o no fm a n d e l b r o ts e ta n dj u l i as e t ( m js e t si ns h o r t ) a sw e l la sd i f f e r e n c e sb e t w e e n t h e s et w os e t s t h er e l a t i v ep r o b l e m so fc h a o sc o n 仃o la n de h a n ss y n c h r o n i z a t i o na r es t u d i e d i n t h i st h e s i su s i n gt h em e t h o d so ft h e o r e t i c a ld e r i v a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h em a i n a c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h er e s e a r c ha r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , s t u d yo nt h ep a i n tm e t h o d so fi n t e r n a lf i n es t r u c t u r eo fms e t s m o r e o v e rw e i n t r o d u c es o m ep a i n tm e t h o d so fms e t sb a s e do nt i m e - e s c a p i n ga l g o r i t h ma n de x t e n dt h e c l a s s i c a lms e t st or e a lo r d e rn u m b e r , a n ds t u d yf r a c t a lc h a r a c t e ro fc o m p l e xd y n a m i c a l s y s t e mb a s e do nr e a lo r d e rn u m b e rms e t s w ea l s op a i n ts o m ei m a g e so fms e t s 、i i ，i t h d i f f e r e n to r d e rn u m b e r s e c o n d l y , e x t r e m em o d u l u se s c a p i n gt i m ea l g o r i t h m , d e c o m p o s i t i o na l g o r i t h ma n d f i s h e y ea l g o r i t h ma r ea n a l y z e di nt h i st h e s i s ，a n dw ec o n s t r u c t e das e r i e so fg e n e r a l i z e dm - j s e t su s i n gt h e s et h r e ea l g o r i t h m s b ys t u d y i n gt h es t r u c t u r ec h a l a c t e ro f g e n e r a l i z e dm - js e t s w ef o u n d ：( 1 ) e x t r e m em o d u l u se s c a p i n gt i m ea l g o r i t h ma n dd e c o m p o s i t i o na l g o r i t h ma l e s i m p l em o d i f i c a t i o no fc l a s s i ce s c a p i n gt i m ea l g o r i t h m ；t h e yc a l lb e t hc o n s t r u c tt h es t r u c t u r e o f n o n - b o u n d a r ya r e ao f g e n e r a l i z e dm - js e t s ( 2 ) n o n - b o u n d a r ya r e ao f g e n e r a l i z e dm js e t s h a sf i a c t a l c h a r a c t e r s ( 3 ) g e n e r a l i z e dm js e t sh a v es y m m e t r y , a n dt h ep r o c e s so f e v o l v e m e n td e p e n d so nr a n g eo f p h a s ea n g l e ( 4 ) w ec a no b s e r v en o to n l yt h ew h o l es t r u c t u r e o f g e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e t sb u t a l s ot h ed e t a i l so f s o m e p a r t sb yu s i n gf i s h e y ea l g o r i t h m t h i r d l y , d y n a m i cf e a t u r eo fc o m p l e xi n v e r s em a pa n dt h es t r u c t u r eo ft h e i rp e r i o d i c s t a b l ea r e aa r es t u d i e di nt h i st h e s i s ，a n dp r e s e n t so p e r a t i o na n dt r i g o n o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n o fq u a t e m i o n w ea l s oc o n s t r u c t e das e r i e so fg e n e r a l i z e dms e t sw i t hr e a ln u m b e ro r d e ro n c o m p l e xp l a r ea n das e r i e so ft w o - d i m e n s i o ns e c t i o no fg e n e r a l i z e dm s e t sw i t hi n t e g e ro r d e r b a s e do nq u a t e r n i o n as e r i e so fq u a t e m i o ng e n e r a l i z e dm - js e t su s i n ge x t r e m em o d u l u s e s c a p i n gt i m ea l g o r i t h ma n di n n e rp a r to fg e n e r a l i z e dms e t s w i t l li n t e g e ro r d e ra l e c o n s t r u c t e di nt h i st h e s i s ，s t u d i e dt h es t r u c t u r ef e a t u r e so fq u a t e r n i o ng e n e r a l i z e dm - js e t s 研t i lr e a ln u m b e ro r d e r t h e nw ef i n d ：( 1 ) t h e r ea r ec o u n t l e s so fr u l e l e s sp e r i o d i c i t y “p e t a l ” s e r i e so nt h eb o r d e ro f g e n e r a l i z e dms e t sw i t hi n t e g e ro r d e ro nc o m p l e xp l a n e ，a n dt h i sk i n d o fs t r u c t u r ea p p e a r sn e s t l yo nd i f f e r e n tl e v e l ，p r e s e n t st h ef e a t u r eo fs e l f - s i m i l a r ( 2 ) ms e t s a n dt h d ri n n e rp a r ta r en e s t e ds p h e r o i dw i t ht h ec e n t r ep o i n tb e i n gc e n t r e so f p e r i o d i cp o i n t s ( 3 ) ms e t sa n dt h e i ri n n e rp a r t a r es y m m e t r ya b o u ta x i s ( 4 ) i nt h es t e r e o s p a c e , t h e 1 1 i 一 利用几种新算法研究m - j 集分形结构 d i s t r i b u t i o no ft h ev a l u eo fe x t r e m em o d u l u sf o re a c hp o i n ti s r e g u l a r , t h e ya r en e s t e d s p h e r o i dw i t ho n eh e a r tb e i n gt h ec e n t r ep o i mo fe a c hp e r i o d , a n da p p e a r sc i r c u l a r l yi nt h e o r d e ro f r e d ，p u r p l e ，d a r kg r e e n , l i g h tg r e e n , p r e s e n t sp e r i o d i c i t y f o u r t h l y t h i sp a p e rs t u d i 鹤t h ep r o b l e mo fc o n t r o ic h a o t i cb e h a v i o ro f ak i n do fc h a o t i c s y s t e m t w od i f f e r e n tm e t h o d s ，o n ef e e d b a c k , t w of e e db a c k sa n dc r o s s - f e e d b a c km e t h o d sa r e u s e dt oe o r l t r o lc h a o si nak i n do fc h a o ss y s t e m b a s e do l lt h el y a p u n o vd i r e c tm e t h o da n d r o u t h - h u r w i t zc r i t e r i a , t h ec o n d i t i o n ss u p p r e s s i n gc h a o st ou n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n t so r u n s t a b l ep e r i o d i co r b i t s ( 1 i m i tc y c l e s ) a r cd i s c u s s e d a n dt h e ya r ca l s op r o v e dt h e o r e t i c a l l y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so f t h et w od i f f e r e n tm e t h o d s k e yw o r d s ：e x t r e m em o d u l u s ；e s c a p i n gt i m ea l g o r i t h m ；q u a t e m i o n ；f e e d b a c km e t h o d ； c h a o sc o n t r o l 1 1 f 一 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：芒墨i 啦日期：力她 人连理工人学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：壶函i 血 翮繇娃九 立丑年且月卫日 大连理工大学硕士学位论文 引言 著名数学家m a n d e l b r o t 根据j u l i a 和f a t o n 所开创的“复动力系统理论”的思想， 利用计算机构造并研究了复映射z 4 - - ，+ c 缸= 2 ) 的m j 集【2 引。2 0 多年来，人们对口r 的广义m - j 集已进行了深入研究，发现了其中深藏着规律性的结构l “”】。然而在上述研 究中广义m j 集的内部和外部( 即非边界区域) 结构却被乎视。而模极值算法【、角度分 解法【1 9 】和f i s h e y e 算法【2 0 】通过改进经典逃逸时间算法，可以显示出m - j 集非边界区域的 结构特征。利用上述三种方法，作者研究了广义m 集的分形结构及演化过程。 其次，由于上述研究都是在2 - d 复平面上进行的，为揭示高维复空间中m - j 集的分 形结构，n o r t o n t 2 1 , 2 2 l 、h e i d r i c h t 2 引、k h e r 【2 4 j 和h o l b r o o k t 2 5 1 等先后提出了构造m j 集的 三元数和四元数算法；r o c h o n 2 6 】利用了一种可交换的广义复数一双复数 2 7 - 2 9 ，重新定义 了禾dm 集和3 dt e t r a b r o t 集；k a n t o r 和c h a t e l i n 等建立了超复数空间3 1 】。在上述研 究基础上，本文利用l y a p u n o v 指数法、周期点查找法和模极值逃逸时间算法研究了复 平面上广义m 集以及四元数广义m j 集的分形特征。 1 9 9 0 年，o t t 、g r e b o g i 和y o r k e 基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在奇怪吸引子 中这一事实，提出了一种利用混沌内在特性的控制策略( 即o g y 法) 3 2 o 此后，一些学 者对o g y 策略作了推广并用多种实验证实了其有效性，从而在物理学界掀起了混沌控 制的研究热潮【3 ”5 1 。现如今，人们已尝试并提出了基于不同角度的各种混沌控制的方法 【3 6 ”。这些混沌控制方法可分为反馈和非反馈两类。反馈方法主要是通过控制混沌系统 中的不稳定周期轨道实现混沌控制；非反馈方法是在控制参数或状态变量上施加一个弱 的外部周期扰动，使得混沌系统转化为周期轨道，从而达到控制混沌的目的。反馈控制 方法有o g y 法、自适应控制、线性反馈控制、变结构控制、模糊控制等【3 8 - 5 2 】；非反馈 控制法有弱周期参数扰动法、弱周期脉冲附加法、弱噪声信号附加法掣酆- 5 7 】。需要指出 的是：上述方法并不是对所有混沌系统的控制都有效，不同的方法有各自的优缺点，具 体情况要具体分析。其它更有效、更方便的控制方法还有待发展。为此，本文分别利用 单反馈，双反馈和交叉反馈法实现了一类混沌系统的控制，并给出了理论上的证明，数 值模拟验证了这两种控制方法的有效性。 利用几种新算法研究m 4 集分形结构 1 分形理论概述 分形集是一类不能用经典几何方法描述的“不规则”集合，它们基本满足分形的经 典性质，但是在自相似的程度上可以有很大差别。分形几何就是研究所谓“简单”空间 上这样一类“复杂”子集的- f l 新兴数学分支【l 】。 1 1 分形的产生与发展 分形理论的发展大致可分为三个阶段。 ( 1 ) 萌芽阶段( 1 8 7 2 1 9 2 5 ) ：在这阶段，人们已认识到积累典型的分形集，并力图 对这类集合与经典的几何的差异进行描述，分类和刻画。在此之前，尽管人们已能区别 连续与可微的曲线，但普遍认为连续而不可微的情形是极为例外的，并且在理论研究中 应排除这种“另类”，曾经认为一条连续曲线上不可微的点应当是有限的，至少是可数 的。1 8 7 2 年，维尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s ) 举证了一种复杂的连续函数( 现称为维尔斯特拉 斯函数) 在任意一点均不具有有限或无限的导数，这一结果在当今引起了极大的震动。 1 9 0 4 年，冯科赫w o nk o c h ) 用初等方法构造如今被称为冯科赫曲线的处处不可微连续 曲线，并且讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，从而改变了人们认为连 续不可微曲线的构造一定复杂的看法。特别重要的是，该曲线是第一个人为构造的具有 局部于整体相似的结构的例子，它被称为自相似结构。1 9 1 3 年，柏瑞( p e r r i n ) 对布朗运 动进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。柏瑞指出，自然界 的几何是混乱的，不能用通常形式的欧式几何或微积分中的那种完美的序表示出来。他 的这些论述在1 9 2 0 年使年轻的维纳( w i e n e r ) 受到震动，并促使他随后建立了很多布朗 运动的概率模型。为表明自然界混乱极端情形，维纳采用了“混沌”( c h a o s ) 一词。此 外像皮亚诺( p e a n o ) 、康托尔( c a n t o r ) 、闵可夫斯基( m i n k o w s k i ) 、豪斯道夫( h a u s d o r t t ) 等大数学家在这期间也对分形这一现象进行了大量的探讨，极大地推动了分形理论的研 究。 ( 2 ) 发展阶段( 1 9 2 6 1 9 7 5 ) ：在这半个世纪里，人们实际上对分形集的性质作了深 入系统的研究，特别是维数理论的研究获得了丰富成果。在这个阶段特别要提到下面两 个人的工作：贝西柯维奇( b e s i e n v i t c h ) 和列维( l e v y ) 。贝西柯维奇研究了曲线的维数， 分形集的局部性质，分形集的结构，s 集的分析和几何性质，以及在数论、调用分析、 几何测度中的应用，他的研究极大地丰富了分形几何理论。列维则在下面两个方面做出 了重要工作：他第一个系统地研究了自相似集。他建立了分数布朗运动，它是随 大连理工大学硕士学位论文 机分形理论系统研究的重要先驱。尽管在此阶段在理论研究上取得了重要结果，但是绝 大部分还都局限于纯数学理论的研究，而未与其它科学发生联系。 ( 3 ) 成熟和应用阶段( 1 9 7 5 至今) ：1 9 7 5 年，曼德尔布罗特( m a n d e i b r o t ) 将前人的结 果进行了全面总结，集其大成，于1 9 7 5 年以“分形：形状、机遇和维数”为名发表了 他的划时代专著。在此专著中，他第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和 方法。此专著的发表标志着分形几何作为一个独立学科的正式诞生，从而把分形理论推 进到一个更为迅猛发展的新阶段。在应用方面，它在物理的相变理论，材料的结构控制， 力学中的断裂和破坏，高分子链的聚合，模式识别，自然图像模拟，酶的生长等领域都 取得了令人瞩目的成功。 在医学图像处理领域，最近十年来，分形理论也有大量的应用报道。特别是用分形 维数来刻画图像纹理已成为很流行的做法。在a s v e s t a spa 等人发表的综述a p p l i c a t i o n o f f l a c t a lt h e o r y o i l m e d i c a ld a t a p r o c e s s i n g 一文中，详细介绍了分形理论在医学数据处 理领域的各个方面的应用。此外，用分形理论的迭代函数系来重建图像的研究也在国际 上很热门。 曾经有人指出：1 9 世纪后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期，而2 0 世 纪后半期，随着非线性动力学和分形理论的日趋完善，使得上述趋势得以逆转：两者均 被应用到对一系列深层次的交叉学科的研究中。 1 2m 集的概念 1 2 1 m 集的定义 当1 9 8 0 年m a n d e l b r o t b b 画出m 集图像之后，m 集就被认为是数学上最为复杂 的集合之一，并吸引了大批数学家。然而至今在数学上还有很多没有解决的问题。如此 复杂的现象出现在如此简明的、经典的迭代之中，因而它又被称之为“数学恐龙”，一 个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性。今天m 集已成为分形、混沌最为重要 的标志之一。m 集是对二次多项式f ( z ) = ：2 + c 在参数平面( 参数c 所在平面为参数平面) l = 之+ c ；z ，c c 其实部和虚部分别为 + 1 2 一y 二+ 口， 和 只什l = 2 x y + 6 。 利用几种新算法研究m 4 集分形结构 m 集是在参数平面上固定一初始点z o = 0 ，然后对所有的参数值c 来研究起始点的 轨迹。从这个初始点出发经多次迭代后，会有2 种趋势：( 1 ) 迭代的结果趋向无穷远处， 则初始点c 不属于m 集；( 2 ) 迭代的结果总保持有限，则初始点在m 集中。m 集图形 有非常复杂的结构，同时也具有一些明显的特征，它是由一个主要的心脏形结构与一系 列圆盘形的“芽苞”突起连接在一起，每一个芽苞又被更细小的芽苞所环绕，依此类推， 然而，这还远不是全部，如将m 集的边界放大，便会显示出该集无穷数量的微型缩影， 而这些微型m 集中没有一个是与母集完全一样的，它们自己也各不相同。 1 2 2m 集的计算机生成 ( 1 ) 初始化 假定屏幕或显示窗口的分辨率为ax b ，按照 ，+ 1 种颜色进行显示，颜色分别为0 。 l ，置。，和g 的取值范围分别为0 2 5 p ( o 7 5 ；0 5 q 肘，则选择颜色k ，转第( 5 ) 步。 如果k = k ，则选择颜色0 ，转第( 5 ) 步 如果， 肘，并且k = k ，转第( 2 ) 步。 ( 5 ) 象素点循环。对点( 印，h a ) 着颜色k ，并且选择下一个象素点，转第( 2 ) 步。 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 1 2 3 _ 集的内部结构 m 集是分形领域最著名的分形图形，在用计算机生成m 集图形时，传统的算法是 将m 集的外部区域用多层次的色彩加以反映，而对于m 集的内部区域，一般是用单一 颜色来表现，有时甚至大部分被忽略，不予考虑，这样就不能很好地表示m 集的内部 结构。在对m 集的实际应用中，作者通过对传统算法的改进，可以获得与传统算法生 成的图形具有明显不同内部结构的m 集图形，对于更加准确、艺术地描述出m 集的内 部特征有着十分重要的意义。 图1 1 是用逃逸时间算法构造的经典m 集，图1 1 ( 1 ) 的逃逸半径为1 0 0 ，图1 1 ( 2 ) 的逃逸半径为1 0 ( 1 ) 逃逸半径取i r z ) l m ，则选择颜色七，转至( 5 ) ；若七= ，则选择颜色0 或其它某一种特殊颜色，转至( 5 ) ；若，m 且k 1 ) 为黎曼球龟上的复映射，乃表示c 中那些轨道不 收敛到无穷大点的点z 的集合，即 弓= 仁c ：4 ，( z ) 1 ) ：。是有界的) ， 称此集为相应于厂的充满的广义j 集，乃的边界称为复映射的广义j 集，记为即 j f = 8 f f 定义2 2 设f ：z + - z 4 + 如 1 ) 为黎曼球e 上的复映射，膨，表示c 中c 点 的轨道有界的复数c 的集合，即 m ，= c c ：u ( c ) ) 乙有界) = c c ：c ，+ c ( ，+ c ) 4 + c ，毋，k 寸) ， 则称吖，为相应于，的广义m 集。 定义2 1 和2 2 是计算机绘制 0 和一图象的逃逸时间算法的理论基础下面以构 造广义m 集为例介绍上述三种算法，广义j 集的与此相似，故不再赘述。 2 1 1 模极值算法 对于给定的c 膨，记z ( 力的第七次迭代为( 力，定义如下两个函数： ( c ) = i 咧i ：七= l 2 ) ； 如果 ( c ) = i 露( o ) l 则 五( c ) = k 这里 ( c ) 为最小模，五( c ) 为最小模指标。 ( 1 ) 对于复映射五( z ) ，这里c = 毛+ 髟，z = x + y i ；设定视窗形、逃逸尺度足和逃 逸时间限制 8 一 大连理工大学硕士学位论文 ( 2 ) 设定步长为o 0 1 、( x o ，y o ) = 0 和k = 0 。 ( 3 ) 计算( 以。y k + 。) ，k = k + l ；求啤z ) i 或i h n ( z ) l 并记录到数组中。 ( 4 ) 若七 r 或i i l n ( z ) | r ，则按照外部着色机制对点( 而，) 进行着 色；若| | = n 上t l r e ( z ) l r ，或七= 且l h n ( z ) i r ，则遍历数组，找出最小模值，并根 据最小模值对点( 而，) 进行着色。 ( 5 ) 重复步骤( 3 ) 和( 4 ) ，穷尽视窗矿中的所有点，即可获得广义m 集。 2 1 2 分解算法 任意一个复数z 都可以用r e 坩来表示，这里 r = r e 2 ( z ) + h 2 ( 力，o f t a n l ( i m ( z ) r e ( z ) ) ， ，是模值，p 是相角。若乙刚好穿过以原点为圆心半径为r 的圆，则此时l 乙l = * r 。 故可把注意力集中在讨论相角吃的值上。将复平面上的点z 按照其相角等分成2 5 6 份， 即 2 顽z 一1 ) 2 5 6 茎幺 2 丌1 2 5 6 ( 1 = l ，2 ，2 5 6 ) ； 然后给每一个，值分配一种颜色。所以复平面上的每一点乙，按照它的见的值就对应了 一个朋g 值，也就分配了一种颜色。如此，复平面上点z 0 经过迭代计算后，同样可以依 据它对应的相角吃的值分配到一个，的值。于是，复平面区域上的每个点气根据其，值 的不同就被分配了不同的颜色。 2 1 3 f is h e y e 算法 描述广义m 集的结构特征，既要观察它的整体结构，又要讨论其中的细微之处。 我t t - i 利用不同的放大倍数，来观察其整体的效果或某处我们所关心的细节。利用 f i s h e y e 技术，对于一块很大的区域，只要确定了其中心的放大倍数，就可将其压缩成 一个很小的图像数据。f i s h e y e 算法的具体步骤为： ( 1 ) 确定图像中心，视窗w ，中心与边缘的图像比率，图像中心放大率，图像中心 步长。 ( 2 ) 对于形中的每一点，利用逃逸时间算法求出z = 工+ 中的j 和y 。 ( 3 ) 利用逃逸时间算法，根据逃逸时间函数值对矿中的每个点进行着色。 “) 重复步骤( 2 ) 和( 3 ) ，穷尽视窗中的所有点，即可获得广义m 集。 一9 一 利用几种新算法研究m 4 集分形结构 2 2 实验与结果 2 2 1 梗极恒算法所构造的广义i 卜j 集 图21 图2 4 为由模极值算法所构造的广义m j 集( 广义j 集对应的复常数c = o 0 1 + 0 7 i ) 。其中，图2 1 和图2 3 中某点的实部大于1 0 0 则视为逃逸，反之为稳定；图 2 2 和图2 4 中某点的虚部大于1 0 则视为逃逸，反之为稳定。将裱示为口= ( 吁+ 力，其 中桩正整数，为小数即0 y 1 ) 的广义j 集， 有 ，2 叫 厂( 力= f ( z e 4 ) ( o _ ， 1 ) 广义j 集，若 复数c 的相角为矿，则主瓣中心的极坐标以护) 为 r = l o p 【口= 眵+ ( 2 m + 1 沙伽( ，沩整数，且o m p f _ i ) 口= 土( 矿力时广义j 集的结构特征可解释为：由d e m o i v r e 理论 ，= 尸( c m 口o + i s i n 口o ) ， 利用几种新算法研究m - j 集分形结构 ( 1 ) 口= 2( 2 ) 口= 5( 3 ) 口= 一2( 4 ) 口= - 7 ( 5 ) a = 2 5 ，口e o ，2 )( 6 ) a = 2 5 ，臼【一3 ；t 2 ，t 【2 ) ( 7 ) a = 2 5 ，口e - t r ，砷( 8 ) 口= 2 ，5 ，口【一；t 2 ，3 刑2 ) ( 9 ) 口4 5 ，0 e 0 ，2 帕( 1 0 ) 口= _ 4 5 ，p 【一3 以，r r 2 ) ( 1 1 ) 口= _ 4 5 ，口【一丌，砷( 1 2 ) 口= _ 4 5 ，0 - t r 2 ，3 r d 2 ) 图2 3 模极值算法所构造的广义j 集 f i g 2 , 3 g e n e r a l i z e djs e t sc , o n s l r u c t e du s i a gc x u e m em o d u l u sa l g o r i t h m 对厂：z4 - - ，+ c 的每一次迭代，z 都从直角坐标转换到极坐标，以便计算z 4 ，然后再转 换回直角坐标与复常数c 进行相加。但从复平面的直角坐标( x 力转换到极坐标( ， 句，相 角韵范围一般可选取以下四种情况：口【0 , 2 而，0 【- 3 r d 2 ，7 【2 ) ，0 【一n 力或0e - r a 2 ，3 兀2 ) 。当口= ，7 时，将不会影响式( 2 1 ) 的使用，因 i o o s a o = c o s ( a o + 2 u r )，91 、 1 s i n a 0 = s i n ( a 0 + 2 兀口) 妒“ 但口= ( 矿力时，则式( 2 1 ) 不成立，故虢围的不同选取将导致广义j 集的不同演化。另 外在使用式( 2 1 ) 时，甜可能超出上述四种情况：0 【0 , 2 力，o - 3 氕2 ，r j 2 ) ，0 卜兀，砷 大连理工大学硕士学位论文 或0 i - - x 2 ，3 x 2 ) 的范围，为此要进行a o + 2 m 兀( m = 1 2 ) 的调整，这就导致了广义j 集雏瓣的出现。对于非整数的雄，一个完整的主瓣的中心相角为何+ 妒