（电磁场与微波技术专业论文）基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用.pdf

n a n ji n gu n i v e r s i t y o fa e r o n a u t i c sa n da s t r o n a u t i c s t h eg r a d u a t es c h o o l c o l l e g eo f i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y c h a r a c t e r i s t i cb a s i sf u n c t i o nm e t h o db a s e do n s i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o na n d i t s a p p l i c a t i o n si ne l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g p r o b l e m at h e s i si n e l e c t r i c a le n g i n e e r i n g b y g uj i n g j i n g a d v i s e db y p r o f ig uc h a n g q i n g s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n t o ft h er e q u i r e m e n t s f o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e r i n g j a n u a r y ，2 0 1 0 承诺书 本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学 位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及 的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许 论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：啦 e l 期：上监q 南京航空航天大学硕士学位论文 捅要 研究高效、高精度分析三维复杂结构电大尺寸的电导体、介质体以及导体与介质混合体等 目标r c s 的电磁数值方法，已经成为计算电磁学领域内国内外众多学者关注的热点之一。 在此背景下，本文对基于矩量法的特征基函数方法进行了深入研究，提出了一种基于奇异 值分解的特征基函数方法一s v d p o c b f m 方法。该方法基于传统特征基函数法的思想，其 初次特征基函数是由空间各个角度入射的一系列平面波谱通过物理光学法得到，通过对这些初 次特征基函数的奇异值分解，构造出与入射角度、极化方式和或频率无关的正交特征基函数组， 并用该组正交基函数的线性组合表征金属目标的表面电流分布，从而实现金属目标r c s 的单站 特性和宽频特性的快速计算。 本文方法的优势在于：所构造的特征基函数包含了入射角度、极化方式和或频率的信息， 在计算目标r c s 的单站特性或宽频特性时，不再需要逐点( 如角度、频点) 计算特征基函数， 相比于已有的特征基函数方法，计算效率明显提高；采用物理光学法( p o 法) 计算初次特征基 函数，不仅程序实现简单、计算快，而且不占用内存；由于包含角度、极化方式和或频率信 息的初次特征基函数个数足够地多，因此忽略高次基函数对解的精度几乎无影响；多层s v d 分解比单层s v d 分解减少了s v d 分解所需的内存消耗，并且计算效率得到了改善。 关键词：表面积分方程，奇异值分解，矩量法，物理光学，特征基函数方法，理想导体，电磁 散射 t h ea d v a n t a g e so ft h i sp a p e ra l e ：o t h ec b fb yt h i sm e t h o dc o n t a i n st h ei n f o r m a t i o no ft h e i n c i d e n ta n g l e ，p o l a r i z a t i o na n d o rf r e q u e n c y , s ow h e nt h em o n o t o n i cc h a r a c t e r i s t i ca n db r o a d b a n d c h a r a c t e r i s t i co fr c si sc a l c u l a t i n g ，c b f mi sn 0l o n g e rn e e d e dt oc a l c u l a t eo n eb yo n e ( a n g l ea n d f r e q u e n c y ) t h u sc o m p u t a t i o ne f f i c i e n c yw i l lb ei n c r e a s e do b v i o u s l y ( 窑) w h e np c b f i sc a l c u l a t i n g ， p om e t h o dw i l lb ea d o p t e d , f o rt h i sr e a s o n ，t h i sm e t h o di sn o to n l ys i m p l ea n dq u i c kc a l c u l a t i o ni n p r o g r a m , b u ta l s on o to c c u p ym e m o r y b e c a u s e t h en u m b e ro fc b f mw h i c hc o n t a i n e dt h e i n f o r m a t i o no fa n g l e ，p o l a r i z a t i o na n d o rf r e q u e n c y , i g n o r i n gt h eh i g hc b fi sa l m o s tn oi n f l u e n c ef o r t h ep r e c i s i o no fr c ss o l u t i o n m u l t i - l a y e rs v dh a sl e s sm e m o d ，t h a nd i r e c ts v d ，a n dc o m p u t a t i o n e f f i c i e n c yi sa l s oi m p r o v e d k e yw o r d s ：s u r f a c ei n t e g r a le q u a t i o n ，s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n , p h y s i c a lo p t i c s ， c h a r a c t e r i s t i cb a s i cf u n c t i o nm e t h o d , i d e a lc o n d u c t o r , e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g n 南京航空航天大学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景1 1 - 2 研究现状和意义2 1 3 本文的主要研究内容和结构安排4 第二章表面积分方程及其矩量法的求解过程5 2 1 表面积分方程的建立5 2 1 1 电，磁场积分方程5 2 1 2 混合积分方程7 2 2 矩量法的实现8 2 2 1 矩量法的基本原理8 2 2 2 基函数和试函数的选取9 2 2 3 积分方程的离散1 1 2 2 4 数值积分的实现1 2 2 3 数值算例1 4 2 4 本章小结1 7 第三章s v d - p o c b f m 方法分析理想导体的电磁散射特性1 8 3 1 传统特征基函数方法1 8 3 1 1i 型特征基函数方法1 8 3 1 2 型特征基函数方法2 0 3 1 3 自适应修正特征基函数方法( 蝴c b f m ) 2 1 3 2 奇异值分解( s v d ) 技术2 2 3 3 应用奇异值分解技术的特征基函数方法( s v d p o c b f m ) 2 2 3 3 1 基本原理2 2 3 3 2p c b f 的计算2 3 3 3 3 利用奇异值分解技术生成正交基函数2 4 3 3 4 求解p e c 目标的单站r c s 2 6 3 4 数值计算结果及分析2 8 3 4 1 数值结果验证2 8 3 4 2 平面波谱数的选择3 4 3 4 3 分块数目的讨论3 5 3 4 4 阀值的讨论3 6 3 4 5 计算效率的讨论3 9 l 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用 3 4 本章小结 第四章s v d p o c b f m 方法在宽频特性中的应用 4 1 基本原理 4 2 求解过程 4 3 数值结果及分析 4 3 1 数值结果验证 4 3 2 数值结果讨论 4 4 本章小结 第五章总结与展望4 9 5 1 全文总结4 9 5 2 全文展望4 9 参考文献5 1 致谢5 6 在学期间的研究成果及发表的学术论文5 7 i v ! ； 6 1 ( ) 。1 3 1 4 。1 5 。1 5 图2 8 导体球的剖分示意图1 6 图2 9 导体球的h h 极化双站r c s 1 6 图2 1 0 导体球的w 极化双站r c s 1 7 图3 1贴片的白区域扩展前后示意图1 8 图3 2 扩展后的阻抗矩阵分布1 9 图3 3 平面波入射情况2 3 图3 4 三角面元对2 4 图3 5 多层s v d 分解示意图( 一) 2 6 图3 6 多层s v d 分解示意图( 二) 2 6 图3 7 圆柱体的剖分示意图2 8 图3 8 圆柱体的h h 极化单站i s 2 8 图3 9 圆柱体的w 极化单站r c s 2 9 图3 1 0 圆柱体群的剖分示意图2 9 图3 1 l 圆柱体群h h 极化单站r c s 3 0 图3 1 2 金属圆柱体群w 极化单站r c s 3 0 图3 1 3 贴片群剖分示意图3 l 图3 1 4 贴片群h h 极化单站r c s 3l 图3 1 5 贴片群w 极化单站r c s 3 2 图3 1 6 飞机模型的剖分示意图3 2 图3 1 7 飞机模型的尺寸图3 3 图3 1 8 飞机模型的h h 极化单站r c s 3 3 图3 1 9 不同分块数的圆柱体h h 极化单站r c s 3 6 图3 2 0 圆台剖分示意图3 7 图3 2 1 圆台在不同阀值下的h h 极化单站r c s 3 7 图3 2 2 立方体群剖分示意图3 8 图3 2 3 不同s v d 分解层数、不同阀值下的立方体群的h h 极化单站r c s 3 8 图4 1圆柱体的w 极化宽带r c s 4 5 图4 2 平板的h h 极化宽带r c s 4 5 图4 3 圆柱体群的h h 极化宽带r c s 4 6 v v i 表2 1 一点 表2 2 三点 表2 3 七点 表3 1 不同 表3 2 分块 表3 3 两种 表3 4s v d 表3 5 不同 表4 1 不同 究方 雷达 常见 加了 用平 状态 射场 对工作人员健康损害和燃料系统、武器系统等敏感部位危害等方面的仿真分析与性能评估，并 加以严格控制，在总体设计阶段是一项必不可少的环节。 传统上，解决复杂的电磁场边值问题主要依赖于实验测试手段，即先对这些复杂目标建立 实体模型，然后进行模型测试，通常情况下，需要进行多次实体建模才能达到比较理想的效果， 这样会浪费大量的人力、物力以及时间。随着计算机软、硬件环境的飞速发展，计算机所能计 算的未知量越来越大，计算时间越来越短，应用软件功能越来越强大。在这种情况下，采用计 算机软件平台进行快速、精确的电磁仿真要比试验测试手段高效和经济得多。在不断加大对电 磁仿真计算需求的情况下，已经形成一门新的学科一计算电磁学，并且被广泛应用于微波与 毫米波通信、雷达、精确制导、导航和地质勘探等各种电磁领域，体现出了巨大的实用价值。 经过近数十年的发展，基于电磁波高频特性的近似计算方法已基本成熟，目前主要包括几 何光学法( g o ) i - 2 物理光学法( p o ) 阳1 ，几何绕射原理( g t d ) 呻1 ，一致性绕射原理( u t d ) n 1 ，物理绕射原理( p t d ) 哺1 等。但是该类方法忽略了目标体中局部区域的电磁耦合，所适用的 理论模型比较粗糙，一般不适合计算含有电小精细结构的复杂形体，而且通常只适用于计算远 场区的电磁分量。因此，更为精确的频域法和时域法逐渐发展起来。其中，矩量法作为一种精 确解法，已被广泛地应用于分析天线、微带电路和电磁散射等电磁领域。 在当今电磁工程仿真领域内，西方发达国家处于技术领先地位，一系列用于复杂目标的雷 达散射截面( r c s ) 计算的成熟商用软件应运而生。这些软件对于处理一般的电磁问题具有很 高的计算效率和适用性，主要包括南非的s u p e r n e c ，德国的f e k o ，美国的a m o f lh f s s ，德 国的c s t 等，它们分别是基于不同的电磁数值计算方法，如f e k o 是基于矩量法( m o m e n t 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用 m e t h o d ，m o m ) ，并结合高频法中的物理光学( p h y s i c a lo p t i c s ，p o ) 法以及快速多极子技术 ( f m m ) ，h f s s 是基于矢量有限元方法，c s t 则是基于时域积分方程方法。但是，随着目标 的电尺寸的不断增大，目标外形、材质越来越复杂以及各种实际电磁环境的特殊性、多样性， 在有限的计算资源下，即使使用高性能计算机分析电大尺寸复杂电磁问题，在很多情况下也是 颇为困难甚至无法实现的。 因此，研究高效、高精度分析三维复杂结构电大尺寸的电导体、介质体以及导体与介质混 合体等目标r c s 的电磁数值方法，已经成为计算电磁学领域内国内外众多学者关注的热点之 一 1 2 研究现状和意义 随着m a x w e l l 方程以及波动方程的提出，一些基于这些方程的研究方法应运而生，其中心 思想是通过强加适当的边界条件和初始条件来确定所求区域的电磁场分布，或者目标体表面的 等效电磁流分布，进而求出在所感兴趣区域内的各个物理参数以及不同的指标。早期的求解方 法以解析法为主，适合于求解形体比较简单的模型，比如球体，圆柱体，椭圆柱体，无限大平 面半平面等。但是这些简单形体模型的物理电磁特性并不能很好的满足实际中日益复杂的电磁 平台的应用，因此寻求一种能在实际工程中得到良好应用的分析方法成为了国内外许多学者不 断追求的热点。 自从上世纪六十年代h a r r i n g t o n 提出矩量法( m o m ) 瞪1 以来，此类方法亦得到了国内外众 多学者的一致认同与深入广泛地研究。在上世纪八十年代之前，受限于计算机的发展和缺乏描 述任意形状三维问题的具体方法，矩量法主要用于求解线天线的辐射问题和特殊形体( 如旋转 对称体) 的散射问题。1 9 8 2 年，s m r a o 等人提出了用三角形网格的r w g 基函数n 町作为矩 量法求解理想导体电场积分方程( e f ) 的基函数和检验函数后，由于三角形网格具有良好地 描述复杂外形的能力，以及r w g 基函数满足电流连续性的性质，矩量法在求解电磁场数值问 题中发挥了重要作用，并被广泛的应用于分析天线问题和各种复杂目标体的电磁散射问题等。 但是矩量法中系数矩阵为满秩矩阵，因此随着未知量的增多，对计算机性能的要求迅速增加， 形成了实际应用的瓶颈。 为了解决这一问题，从二十世纪八十年代末，很多学者开始致力于矩量法的快速算法研究。 一般说来，快速算法主要分为下列两大类： 减小阻抗矩阵填充时间和加速矩阵向量积的方法。在早期的研究中，通常的做法是对阻 抗矩阵进行稀疏化n 1 _ 耵，稀疏化方法主要包括l u 分解法、稀疏矩阵规则网格法( s m c g ) 、小 波基函数法、阻抗矩阵定位法( i m l ) 等。后来提出的基于快速付里叶变换的共轭梯度法( c g f f t ) i t s 和自适应积分方法( a i m ) t o - ，内存需求仅为o ( 忉，矩阵向量积的复杂度仅为o ( n l o g n ) ， 2 南京航空航天大学硕士学位论文 但它们要求未知元密集排列在某一平面或体积内，以便于应用数值卷积定理，所以主要用于求 解未知元分布连续紧密的体积分方程和面积分方程。而基于快速多极子( f m m ) 1 7 - 2 0 1 和多层快速 多极子( m l f m m ) 2 1 。2 4 】的方法，只需要存储近场互阻抗元素，通过多极子方法完成在迭代求解 中出现的矩阵向量积，因而可处理到1 0 6 甚至更多未知数，但是，在解决大型问题( 未知量 非常大) 时，计算复杂度c n i , , , n l o g n ( k 是迭代法中的迭代步数) 中的常数c 很大。因 此，降低所求问题的未知量数目是提高计算效率的一种途径。 使用高阶基函数让神 直接降低阻抗矩阵的尺度。此类方法使用了三角面片上的高阶基函 数或参数曲面上的高阶基函数，如基于边的模和基于贴片的模高阶基函数，“鲁棒性”高阶向量 基函数，高阶插值向量基函数等。在同一精度下，可选用较大尺寸的三角形单元进行剖分。但 是问题在于，减少未知量的同时也增加了计算阻抗矩阵元素的难度，由于没有从根本上解决问 题，因此其应用受到一定的限制。 2 0 0 3 年，美国学者r a jm i t t r a 教授等人提出了基于矩量法( m o m ) 的特征基函数方法 ( c h a r a c t e r i s t i cb a s i sf u n c t i o nm e t h o d ，c b 刚) 啪1 。特征基函数( c h a r a c t e r i s t i cb a s i sf u n c t i o n , c b f ) 是一类比较有效的基于物理特性的全域基函数，其思想是：将目标体划分成许多离散的 小块，每一小块作为一个单独求解的区域，并单独求解其初次基函数，同时充分考虑块间的耦 合，每一小块的初次基函数作为激励源，可以求出对其他块间耦合的二次基函数，高次基函数 也可以用类似的方法进一步求出。特征基函数( c b f ) 具有下列特点：c b f 是用r w g 基函数 构建的，故模拟复杂电磁问题中的物理模型能力强；阻抗矩阵的维数通过自由选择子块尺寸大 小进行随意控制，进而可以使用直接法求解良态低维数阻抗矩阵得到c b f 的加权系数，保证了 解稳定和快速计算：子块间的耦合作用直接体现在基函数上，通过一阶、二阶及其更高阶基函 数来充分地反映子块间的一次、二次以及高次耦合作用，因此计算结果精度高。目前，特征基 函数方法( c b f m ) 己在天线分析、微带电路以及电磁散射的计算中得到广泛应用糟侧。 近几年，国内外许多学者对特征基函数方法( c b f m ) 做了大量细致地研究，将p o 、快速 多极子( f m m ) 、q r 分解、s v d 分解等技术应用到c b f m 中【3 孓4 1 1 ，进一步丰富和发展了该方 法，有效地扩展了其应用能力。文献【3 9 】提出了一种在矩阵块内实现s v d 分解的技术一i e s 3 ，这 种技术对阻抗矩阵进行s v d 分解，祛除掉矩阵内线性相关的列，只保留线性无关的列向量，以 实现对阻抗矩阵的压缩存储，但是这种方法是事先假定了积分核在求解的局部区域内是平滑的， 而且文中指出了不需要全部的矩阵阻抗的元素，这一说法比较含糊。文献【4 0 】提出了将s v d 分 解技术和p o 方法应用到平板和平面体的散射特征求解中去，可以有效地提高计算效率，但没 有指出具体的方法，且应用的目标有局限性。文献【4 1 】在应用s v d 分解技术时提到了可以将 s v d 分解分为两层来计算，以节省计算时间，并通过设定阀值控制r c s 解的精度。 本文中，我们以传统矩量法和特征基函数方法为基础，对目标表面采用近似p o 电流作为 3 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射 初次特征基函数，并考虑入射波从不同角度( 不同频率) 入射的情 阵，并对该矩阵进行奇异值分解，去掉强线性相关的列向量，得到 和或频率无关的标准正交特征基向量，从而不同入射波照射下的目 准正交基函数线性组合而成。当计算目标r c s 的单站特性和或宽 特征基函数的基本原理，计算出每个入射波对应的特征基函数系数， 即可得到目标的表面电流，进而得到目标r c s 。本文方法相比与传 数方法，在分析复杂目标的宽带r c s 以及单站r c s 问题中，能有 求，并且计算速度显著提高。 1 3 本文的主要研究内容和结构安排 本文对基于矩量法的特征基函数方法进行了深入研究，将奇异 数方法中去，并在求解初次基函数的过程中结合了物理光学法， s v d p o c b f m 方法。该方法在计算金属目标r c s 的单站特性和宽 间上具有明显的优势。本文结构安排如下： 第一章，简单阐述了计算电磁学研究的背景、现状、意义以及 第二章，从电磁场的基本理论出发，对理想导体建立求解电磁散射特性的边界积分方程( 包 括电场积分方程、磁场积分方程以及混合积分方程) ，然后详细阐述了矩量法的实现过程( 包括 矩量法的基本原理、基函数和试函数的选取、积分方程的求解等) 。 第三章和第四章，阐述了特征基函数方法的基本原理，并在已有特征基函数方法的基础上， 引入奇异值分解技术，提出本文所阐述的新的特征基函数方法一s v d - p o c b f m 。该方法只使 用一阶基函数，避免了求解复杂的高阶基函数。数值算例表明了该方法相比于已有方法在计算 金属目标r c s 的单站特性和宽频特性时具有更快的计算速度和更低的内存占用。 4 电磁场的基本理论是建立在m a x w e l l 方程组的基础上的，因此本节简单地回顾一下本文中 需要经常提到的基本电磁理论和方程，主要包括理想导体表面的电、磁场积分方程以及混合积 分方程。 2 1 1 电、磁场积分方程 图2 1p e c 任意形体 用外来平面电磁波( e ”( ，) ，日“( ，”照射图2 1 所示的任意形状理想导体( p e c ) 标，则 p e c 表面s 上感应的表面电流j ( r ) 在空间中产生的散射电磁场为( 后埘( ，) ，日肼( ，”，根p e c 5 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用 表面总电场e = e 如+ e “的切向分量为零边界条件： 五e = 0o r 尹e = 0 可以得到p e c 表面的电场积分方程( e f i e ) ： 一_ ，砸至e ( ， ，7 ) ，( ，) d r = 一e 栅( ，) 热栅着表面s 的靴肭魅嘶，) 7 + 罟 g ( ，) 为电场并矢 ，一# i t - r 1 g ( ，) = 二4 ，二r l r 一- r j 为自由空间中的标量格林函数。 接下来，我们考虑磁场积分方程( m f ) 的形式，应用边界条件： 可以得到： 五日( ，) = ，( ，) ，r s ，( ，) 一克工v g ( r ，) ，( ，) d r = 五日( ，) ，s 式中，五为沿着表面s 的单位法向矢量，h = h 沁+ 日埘为总磁场。当，专，时，存在奇异 性问题，可以弱化为： 五v g ( ，v ( r ，) = 圭) 其中，足是以，为圆心，6 ( 6 专o ) 为半径的球面，故m f i e 可以写成如下形式2 1 ： ( 2 5 ) 圭肌) 一五v p 矿i g ( ，v ( ，) 舔= 五h ) ，s ( 2 6 ) 式中，p y 表示积分的主值。 6 图2 2 开放结构的电流与法向指示 振频率( 或本征频率) 。当工作频率在电场谐振频率附近时，电场积分方程( e f m ) 将产生奇 异矩阵，从而失效；类似地，当工作频率在磁场谐振频率附近时，磁场积分方程( m f m ) 将失 效。但是由于封闭导体的电场及磁场谐振频率总是相互分离的，e f i e 和m f i e 不会同时失效， 所以我们可以采用具有更好通用性的混合积分方程( c f ) ： ( c f i e ) = a ( e f i e ) + ( 1 一口) 叩f ( m f i e ) ( 2 8 ) 该方程为电场积分方程与磁场积分方程的混合，口称为混合参数，且介于o 与1 之间。当口= 1 时该方程退化为电场积分方程，当口= 0 时该方程退化为磁场积分方程。波阻抗7 7 = 6 的 引入是为了使电场积分方程部分与磁场积分方程部分具有相同的量纲。 我们将e f i e 的表达式( 2 2 ) 和m f 的表达式( 2 6 ) 代入方程( 2 8 ) ，便得到了混合积分方 程的一般形式： 百j c o , u 口诅 姒m ，t ) 似，) 嬲+ 詈( 1 一口) ( ，) 一卺( 1 一妙讯v 肌工g ( ，v ( ，) d s ( 2 9 ) = f 口e 加。( ，) 一( 1 一口) 7 7 五日妇( ，) ，s 7 2 2 矩 线性组合 方程( 2 儿) 是精确的。而实际计算中，必须是一个有限值，因此方程( 2 1 1 ) 的右边项是待求 函数厂的一个定义在f 的子空间内的近似解。 将方程( 2 1 1 ) 代入方程( 2 1 0 ) ，可以近似为： a , l 正= j g r ( 2 1 2 ) 方程( 2 1 2 ) 定义在空间g 内，为了确定待求系数口。，将方程在个矢量m ，w 2 ，岷( 称为权 函数或者检验函数) 上进行投影，转化成一矩阵方程。如果_ 且 无) 是一完备集，则此矩 阵方程与方程( 2 1 2 ) 完全等价；如果是有限值，则此矩阵方程是方程( 2 1 2 ) 在g 的子空间 吼= s p a n w i ，w 2 ，) 上的投影。 在矩量法中，我们将矢量厂在w 上的投影定义为厂与w 的内积，即： ( w ，f ) - 胁( ，) 厂( ，) ( 2 1 3 ) 则方程( 2 1 2 ) 可以近似为： ， z a n ( ，l z ) = ( ，j g r ) ，m = 1 ，2 ，n ( 2 1 4 ) 8 南京航空航天大学硕士学位论文 将方程( 2 1 4 ) 改写成矩阵形式，则有： z a = b( 2 1 5 ) 式中，矩阵z 的元素由z 。= ( ，三无) 给出，向量6 的元素由6 埘= ( ，g ) 给出。如果矩阵 z 非奇异，则未知向量a 可由方程( 2 1 2 ) 求得。 从以上分析可以看出，基函数和检验函数的选择是矩量法求解的关键之一。为了使方程 ( 2 1 5 ) 的解更加接近原方程( 2 1 0 ) 的解， ) 和 正) 应尽可能的完备。 2 2 2 基函数和试函数的选取 从2 2 1 节分析得到：基函数的选取在一定程度上决定了求解问题的难易程度。理想的基函 数的选择应考虑以下条件： ( 1 ) 基函数的物理意义要明确； ( 2 ) 可以获得高精度的解； ( 3 ) 可以获得容易计算的矩阵元素z 舢； ( 4 ) 可以获得较小的系数矩阵b ； ( 5 ) 可以获得阶数较小的矩阵z ，避免给矩阵求逆造成困难。 基函数z 分为全域基和分域基。 全域基就是基函数在所求定义域上都存在的基函数，包括正余弦函数和多项式等，它的选 取有一定的困难，但也具有独特的优势：收敛快，所需的阶数较小等。 分域基采用的各个基函数只在定义域的各个分域上存在，如基于三角网格剖分的三角屋顶 基函数( t r i a n g l er o o f t o pb a s i sf u n c t i o n ，也称r a o - w i l t o n - g l i s s o n 基函数，即r w g 基函数) 以 及定义在二次参数曲面上的线性屋顶基函数，因分域基表达式简单，易于计算，受到许多学者 和工程人员的广泛推崇。 试函数w 。的选取一般有三种方法：点匹配法、线匹配法和g a l e r k i n ( 伽略金) 方法。 点匹配法是选取点脉冲函数作为试函数，该方法计算系数矩阵较为容易，但通常需要较多 的基函数个数。 线匹配法是选取定义在连续的两个三角形中心的线函数作为试函数，该方法计算系数矩阵 的难度中等。 伽略金方法是选择与基函数相同的形式作为试函数，优点有：所需的阶数通常较小、方程 的收敛速度较快，且当三自伴，z 为对称矩阵时，能获得较高的精度；缺点有：系数矩阵的计 算难度大。 在本文中，我们采用r w g 基函数的伽略金匹配法。r w g 基函数由于其简单和贴近真实电 9 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用 流的特性而成为矩量法求解电磁散射和辐射问题的常用选择。一般情况下要求每波长不少于1 个基函数，当每波长有6 个基函数时，对远场特性尚有良好的模拟。 图2 3 共用三角形对 r w g 基函数采用共边的三角形对作为基本面元的形式，在图2 3 中，第玎条边对应的电流 基函数可表示为： 正= 尹矸 尹r , - e l s e ( 2 1 6 ) 其中，以是从三角形顶点出发的矢量，k 是指向三角形顶点的矢量，厶是公共边的长度。缉 和衙分别是三角形面元对巧以及巧的n g l , ，亏是矸中第_ ，z 条边所对顶点i 的坐标矢量，只是 巧中第n 条边所对顶点_ ，的坐标矢量。 在r w g 基函数中，e g 流g , 矸流向r - ，且当尹巧时，函数中的负号保持电流方向的一 致性。流经三角形面元对的公共边总电流为： 刍以+ s i n a + d l 鸭2 专矿拈1 - j ：，奇西s i n a - d l 降。 ( 2 1 7 ) 式中，s i n a 表示p ：与厶的夹角正弦，h t 表示公共边上的高。该式表明，r w g 基函数满足电 流连续性，并且，对于每个尹厶，有： 1 0 西 一以 电流的实际特性的。 总电荷数为： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 对电场积分方程( e f i e ) ，采用r w g 基函数展开，得到1 ： 砉厶k 瓯。厶+ 古c v ：z ，c 厶，v g ，卜锻 。2 2 。， = j c d l 。l e 妇厶舔，肌= 1 ，2 ， 其中，为待解问题的未知量数目。 对磁场积分方程( m f m ) ，采用k w g 基函数展开，得到： k ( 元栅) 厶嬲 = 姜lk 厶i f - 元x p v lv g 懈卜一啦，q 卫2 将式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 表示为矩阵向量积的形式： r z 舢l = 圪，m = 1 ，2 ， u = l 其中，e f i e 和m f i e 的z 删和圪可分别表示成： ( 2 2 3 ) 以上各式 成矩阵方 其中，z 矩阵元素 合的时候 有了 量元素分别可以表示成： 2 2 4 数值积分的实现 z 三= 口z 三+ ( 1 一口) 孑： 吒= 口吃+ ( 1 一口) k ： ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 在对积分方程进行离散化之后，我们需要考虑的是散化后的积分方程在定义域面元上的数 值积分的实现问题。 基于本文采用的r w g 基函数，平面三角形上的数值积分通常使用自然坐标的方法解决。 如图2 4 所示，设三角形a 1 2 3 的面积为彳，与顶点l 、2 、3 相对的是边分别是l 、2 、3 。p 为 三角形内一点，线段1 p 、2 p 和3 j p 将三角形分成了三个子三角形a l p 2 、a 2 p 3 和a 3 p 1 ，面 积分别为4 、4 和4 ( 其下标同三角形与原三角形的公共边的编号一致) 则子三角形与原三 角形的面积之比为： 爵= 鲁，江1 ，2 ，3 删轰+ 乞+ 己= 1 ( 2 2 9 ) 其中，尹为p 点的全局坐标，亏、乏、亏分别为三角形顶点1 、2 、3 的全局坐标。经过推导， 得到： , 【1 2 3 厂( 尹s = 2 彳fr ，( 专，缸，) d 缶+ 。d 磊 ( 2 3 1 ) 运用g a u s s 数值积分规则，式( 2 3 1 ) 的数值积分可通过如下求和公式得到： ff 厂( 委，缶。矽磊。必芝哆厂( ( 茧) ) - ，) ( 2 3 2 ) 上式中，n 为积分点数，( 磊) ，为第个积分点上的磊值，国，为该采样点上的积分权重。 表2 1 ，表2 2 和表2 3 分别列出了三角形上1 点、3 点和7 点高斯积分的自然坐标和权重 参数。求较远距离单元间的互耦，用1 点或3 点的高斯积分即可，对于较近距离单元间的互耦， 则用7 点积分较为合适。 表2 1一点高斯积分的局部坐标和权重 ) 国j( 每) ，( 缸，) - ， 10 5 0 0 0 0 0 0 0 0 00 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用 表2 2 三点高斯积分的局部坐标和权值 l j( 岳) ，( 缸1 ) ， 10 16 6 6 6 6 6 6 6 60 6 6 6 6 6 6 6 6 6 60 16 6 6 6 6 6 6 6 6 20 16 6 6 6 6 6 6 6 60 16 6 6 6 6 6 6 6 60 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 0 16 6 6 6 6 6 6 6 60 16 6 6 6 6 6 6 6 60 16 6 6 6 6 6 6 6 6 表2 3 七点高斯积分的局部坐标和权值 j 哆( 磊) j( 缸。) 1o 。l1 2 5 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 3 3 3 3 33 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 20 0 6 2 9 69 5 9 0 27 2 4 1 30 7 9 7 4 26 9 8 5 35 3 0 8 70 1 0 1 2 86 5 0 7 3 2 3 4 5 6 30 0 6 2 9 69 5 9 0 27 2 4130 1 0 1 2 86 5 0 7 32 3 4 5 60 7 9 7 4 26 9 8 5 35 3 0 8 7 40 0 6 2 9 69 5 9 0 27 2 4 1 30 1 0 1 2 86 5 0 7 32 3 4 5 60 1 0 1 2 86 5 0 7 32 3 4 5 6 50 0 6 6 1 97 0 7 6 39 4 2 5 30 4 7 0 1 42 0 6 4 l0 5 1 1 50 4 7 0 1 42 0 6 4 1 0 5 1 1 5 60 0 6 6 1 97 0 7 6 39 4 2 5 3 0 4 7 0 1 42 0 6 4 l0 5 1 1 50 0 5 9 7 15 8 7 1 78 9 7 7 0 70 0 6 6197 0 7 6 3 9 4 2 5 30 0 5 9 7 15 8 7 1 78 9 7 7 0 0 4 7 0 1 42 0 6 4 1 0 5 1 1 5 值得强调的是：本文所有算例，如无特别说明，仿真都是在c p u 3 2 g h z ，r a m 1 0 2 4 m 的 p c 机上进行的，并且均采用混合积分方程( c f m ) ，取混合系数口= 0 5 。 我们通过下面两个算例验证上述理论模型的正确性和所编程序的可靠性。 1 4 算例一：图2 5 和图2 7 分别给出了传统矩量法和f e k o 仿真软件计算得到的边长为l m 的 图2 6 立方体的h h 极化单站i 比s 平面波的入射频率为 面共剖分成1 3 6 8 个三 04 0 6 0 8 01 0 01 2 01 4 01 6 01 8 0 t h e t a ( d e g r e e ) 图2 7 立方体的w 极化单站r c s 算例二：图2 9 和图2 1 0 分别给出了传统矩量法和m i e 级数方法计算得到的如图2 8 所 1 5 竹 。 竹 (笛p)毋。芷。jcoloco! 基于奇异值分解的特征基函数法及其在电磁散射中的应用 示的半径为o 5 m 的p e c 球的h h 极化和w 极化双站r c s 曲线，其中，平面波的入射频率为 3 0 0 m h z ，入射角度为p = 0 0 ，9 = 0 0 。在传统矩量法中，模型表面共剖分成5 6 0 个三角面元， 8 4 0 条公共边。 1 6 图2 8 导体球的剖分示意图 5 01 1 1 1 1 e t a ( d e g r e e ) 图2 9 导体球的h h 极化双站r c s o 8 6 4 2 o 2 4 e s 1 鼋o 叱 2 4 本章小结 本章从推导理想导体( p e c ) 的表面积分方程( 包括电，磁场积分方程和混合积分方程) 出发，系统地阐述了矩量法的基本原理、基函数与试函数的选取以及矩量法求解积分方程的思 路( 主要包括积分方程的离散和数值积分的实现) ，并通过计算实例验证了本文传统矩量法模块 的正确性和可靠性。 在后续章节中，我们将从传统矩量法着手，介绍特征基函数方法的基本原理，并引入奇异 值分解技术，提出一种新的特征基函数方法一s 、，d p o c b f m ，为复杂目标r c s 的单站特性和 宽带特性的计算提供一种高效率的技术手段。 1 7 激励源求出对其它块间耦合的二次基函数，类似方法可求出更高次的基函数。 本节将介绍几种不同类型的特征基函数方法。 3 1 1i 型特征基函数方法 i 型特征基函数法的主要思想是：分别计算每一单元的初次基函数，然后把每一单元的初 次基函数分别作为某单元高次基函数的激励源，求出该单元高次基函数的加权系数，该方法需 考虑单元间电流的连续性，因此要求个单元间要有重叠部分。 图3 1 贴片的白区域扩展前后示意图 南京航空航天大学硕士学位论文 以p e c 贴片为例，如图3 1 所示，实线边缘表示划分