（基础数学专业论文）4维de+sitter和minkowski空间中的平稳曲面.pdf

m 3i st h el m a g eo ft h e p o l a rm a p ? t h e nw ea r el e dt ot h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n ： t h e o r e m2 3 4l e t ，：m 3 - s 4b eam a x i m a lh y p e r s u r f a c ew i 恤z e r og a u s s - k r o n e c k e rc u r v a ，t u r e i ft h es q u a r el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r ms o ，a n d t h ep r i n c i p a ld i r e c t i o no f 且f 3c o r r e s p o n d i n gt ot h ez e r op r i n c i p a lc u r v a t u r ei se o m p l e t e ， t h e n ，( 吖3 ) i st h ei m a g eo ft h ep o l a rm a pa s s o c i a t e dw i t ham i n i m a l l yi m m e r s e ds u r f a c e f ：v - 日4 i nc h a p t e ri i i ，b yc o m p a r i n gm i n i m a ls u r f a c e si ne u c l i d e a ns p a c er “w i t hs t a t i o n a r y s u r f a c e si nm i n k o w s k is p a c e 研，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： t h e o r e m3 2 1l e tz ：m 2 _ 研b ea no r i e n t e ds t a t i o n a r y8 u r f a c e ，a n dm 2t h e i m a g eu n d e rt h eg a u s sm a po fz t h e n 1 ) t h ef o l l o w i n ga s s e r t i o n sa r em u t u “l ye q u i v a l e n t ： i ) zd o e sn o t l i e f u l l y i n 唧； i i ) zi sa1 ，一1o r 一2d e c o m p o s a b l es u r f a c e ； i i i ) t h eg a u s sm a po f 。i sd e g e n e r a t e ，w i t hm 2l y i n gi nar e a lh y p e r p i a n e 2 ) i fz l i e sf l l l l yi nr ? ，t h e nt h ef o l l o w i n ga s s e r t i o n sa r em u t u a u ye q u i v a l e n t ： i ) zi sa2d e c o m p o s a b l es l l r f a c e ； i i ) t h eg a u s 8m a po fzi sd e g e n e r a t e ，w i t hm 2l y i n gi nat a n g e n th y p e r p l a n e a si sw e l lk n o w n t h eg a u s sc u r v a t u r ej fo fan 0 1 1 一n a tm i n i m a ls u r f a c ei ne u c l i d e a n 8 p a c er ”h a 8i s o l a t e dz e r op o i n t sa n d ks 0 h o w e v e r ，t h i sc o i l c l u s i o nd o e s n th o l di n m i n k o w s k is p a c er ? ( s e ee x a m p l e3 2 4 ) h e r e ，w eg e tas u 佑c i e n tc o n d i t i o n ： t h e o r e m3 2 3 l e t 三4 ( c ) ( c o ) d e n o t et h e4 一d i m e n s i o n a ll o r e n t zs p a c ef o r m ，a n d 。： z 2 l 4 ( c ) b eas t a t i o n a r ys u r f a c e ，i ft h eg a u s sm a po fz i sr e a ld e g e n e r a t e ，t h e nt h e f b l l o w i n gh o l d ： 1 ) zh a sag l o b a l l yd e 6 n e dp a r a l l e ln o r m a lf t a m e 矗e l d ，t h u st h en o r m a lb u n d l ei sn a t ； 2 ) i f t h eg a u s sc u r v a t u r ek c ，t h e nt h ep o i n t sw h e r ek = c a r ei s o l a t e d ， t h e o r e m3 2 6l e tz ：a f 2 咒 b eac o m p l e t eo r i e n t e ds t a t i o n a r ys u r f a c e i ft h e g a l l s sm a po f ? i sl 远n l i k ed e g e n e r a t e ，t h e nzi 8r n e a ni s o t i o p i c a l l ys t a b l e i n5 3 3 ，w es t u d yab e r n s t e i n - l i k ep r o b l e mi nm i n k o w s k is p a c er ? ( 佗4 ) w h i c h a p p e a r e di n 1 8 1 v 第一章s 中平稳曲面的平均迷向稳定性 本章中，我们主要研究4 维d es i t t e r 空间研中的类空零平均曲率曲面的平均迷向 稳定性 1 1 1 问题的提出与研究背景 1 1引言 众所周知，r i e m a n n 流形中的极小曲面是面积泛函的临界点，l o r e n t z 流形中的类空 零平均曲率曲面也是面积泛函的临界点，即这两类曲面的第一变分问题是相似的一个很 自然的问题是：它们的第二变分会不会也有相似的结果? 其稳定性又是怎样呢? 事实上， 它们的第二变分问题是完全不一样的当外围空间是3 维m i n k o w s k i 空间硝时，这些 曲面通常被称为极大曲面，因为曲面上的每一个小邻域具有在相同边界的曲面片中面积极 大的性质然而，当余维数大于1 时，无论用极大或极小来描述这些曲面都是不恰当的， 因为它们既不是局部极大也不是局部极小，即使我们把变分的紧致支撑集取得充分小这 就增加了用变分的方法来刻画这些曲面的难度例如3 维欧氏空间r 3 中的极小曲面和3 维m i n k o w s k i 空间磺中的极大曲面包含在4 维m i n k o w s k i 空间磁中时都具有零平均 曲率基于以上原因，在这篇论文中我们称扎维l o r e n t z 流形m rm 4 ) 中的类空零平 均曲率曲面为平稳曲面 对于l o r e n t z 流形聊中的平稳曲面m 2 来说，因为面积的第二变分的符号依赖于变 分向量场的任意特征，所以没有一般稳定性的概念但是如果我们对外围空间加上相当弱 的条件，那么平稳曲面在具有相同边界和类空零平均曲率的曲面族中局部上可使面积泛函 达到极小( 见文献【1 ) ，这就激发了我们在这一课题上的兴趣 m r 中的浸入类空曲面m 2 被称为具有迷向平均曲率，如果它的平均曲率向量日是迷 零的，即( 日，日) 三o 具有迷向平均曲率的类空曲面在许多学科中都起着重要的作用例 如在相对论中它们被称为m a r g i n a l l y t r 叩p e d 曲面，被用来研究时空的奇点( 见文献 2 ) 另外，在研究3 维共形平坦r i e m a n n 和l o r e n t z 空间中曲面的共形几何时，由于曲面的 共形高斯映射像是具有迷向平均曲率的曲面，因此这些曲面是很重要的( 参阅 3 1 4 ) 第一章 s 中平稳曲面的平均迷向稳定性 2 在1 1 中，l j a l i a s 和b p a l m e r 对外围空间加上相当弱的条件得到了下面的定理： 定理a 设三4 是满足零收敛条件的4 维l o r e n t z 流形，m 2 是一个光滑曲面， z ：m 2 _ 工4 是光滑的平稳浸入那么m 2 上任意一点p 均有一个邻域ucm 2 ，使得当 面积泛函限制到满足下面条件的浸入，：u 寸三4 上时，z i u 是弱相对极小的 1 ) ，具有迷向平均曲率， 2 ) 在a u 附近，；z 上述定理中的弱相对极小是指面积泛函限制到满足条件1 ) 和2 ) 的变分上是稳定极 小的若用平均迷向稳定的概念来描述此定理即：满足零收敛条件的4 维l o r e n t z 流形中 的任何平稳曲面都是局部平均迷向稳定的后来，l j a l i a s 和b p a l m e r 在文献| 5 1 中 提出了平稳曲面平均迷向稳定的概念他们研究了一类特殊的4 维平坦l o r e n t z 流形中的 平稳曲面的整体平均迷向稳定性，并且得到如下的结果： 定理b 设a 是萨中的一个余紧致格( c o c o m p a c t l a t t i c e ) ，：_ r 3 a 是兄3 a 中 的一个闭的可定向曲面的极小浸入设妒：斗r ( 冗3 a ) 是由妒( p ) = ( c o n s t a l l t ，z ( p ) ) 确定的平稳浸入，则矽是平均迷向稳定的当且仅当i n d e x ( z ) 1 另外，b p a l m e r 在文献 3 中指出4 维d es i t t e r 空间研中存在不是平均迷向稳定 的紧致环面并且他给出一类非等温无脐点的w i l l m o r e 曲面的共形高斯映射像，作为骈 的平稳曲面不是平均迷向稳定的一个充分条件： 定理c 设口：m 2 一驴是无脐点非等温的w i l l m o r e 曲面如果四次微分式q = ( 茹。，z 。) d z 4 满足 l q1 1 2 或等价于1 ( 1 一k ) 2 + ( k 1 ) 2 不等号在某处成立，那么m 2 的共形高斯映射像是不稳定的 其中z ，k 和上分别表示m 2 的复坐标，高斯曲率和法曲率 在这一章中，我们考虑4 维d es i t t e r 空间研中的一类平稳曲面的平均迷向稳定性 设磁是5 维m i n k a w s k i 空间，妒：m 2 _ 研磁是可定向高斯曲率为k 的平稳 曲面s p e c ( ) 表示关于妒诱导度量的l a p l a c e 算子的谱，d 是磁中向量的普通微分， k 的下确界记为i n fk 在1 3 中我们得到了如下的主要结果 第一章研中平稳曲面的平均迷向稳定性 因此 = h 矗+ 2 如、 b 幢) = ( b ( ) ，已) + ( b ( ) ，- ) 。 = 一2 l 一2 ，2 已 j 传) = 上+ b ( ) 一r i c 上 = + 2 + 2 a 2 ，2 1 + ，2 + 2 ，2 已 如果毒是m 2 的一个平均迷向变分向量场的法分量，那么 i 【j ，1 ) 2u 或( 【七j ，2 ) = u 必有其一在m 2 上整体成立( 1 1 4 ) 等价于 ，2 + 2 杰= o 或 + 2 ，1 + 2 a 2 庀= 0 如果，2 + 2 ，2 三o ，那么 a r e a ) = 一( j 传) ，f ) d a j m 2 = 一7丘( + 2 矗+ 2 a 2 厶) d a j m 2 = 一2 ( a ，2 ) 2 d a ； jm 2 如果 + 2 + 2 a 2 ，2 三0 ，那么 a r e a ( 妒) = ( t ，) ，专d 4 j m 2 = 一 ( ，2 + 2 止) d a jm 2 = z 厶。( 2 d a 0 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) f 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 9 e h e 硒 钟。 第二章s 中具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面 本章中，我们主要研究4 维d es 毗e r 空间研中的具有零g a u * k r o n e c k c r 曲率极大 超曲面我们先构造了d es i t t e r 空间研中的一类具有零g a u s s k r o n e c k c r 曲率的极大超 曲面，然后又考虑了反问题 2 1 1研究背景与主要结果 2 1引言 在9 中，d a j c z e r 和g r o m o l l 利用4 维球面s 4 中的一类极小曲面构造了一中的具 有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率的极小超曲面m 3 d ea l r r 】e i d a 和b r ( 见文献 1 i 】 ) 在假设 m 3 的第二基本形式恒不为零的前提下对中的具有零g a l l * k r o n c c k e r 曲率的紧致极 小超曲面m 3 进行了分类。准确地说，他们证明了：这样的超曲面是个第二基本形式恒不 为零的极小浸入曲面9 ：矿- + 的以”2 为半径的l l b e ”的边界后来r a m a n a 恤 l n ( 见 1 1 ) 去掉【1 0 】中加在第二基本形式上的条件特别地，他指出这样的超曲面( 如果它们不 是全测地的1 都可以通过中适当的极小曲面的“p o l a rm 印”像来构造 在本章中，我们构造了d es i t t e r 空间研中的一类具有零g a u s s k r o n e c l ( e r 曲率的极 大超曲面，它们是4 维双曲空问h 4 中一类极小浸入曲面f ：v _ 日4 的“p 0 1 a rm a p ” 像然后我们考虑其反问题：给定d es i t t e r 空间s 4 中的一个具有零g a u s 8 - k r o n e c k e r 曲 率的极大超曲面 3 ，是否存在一个极小浸入曲面f ：v _ 日4 使得m 3 就是f 的“p o l a r m a p ”像? 我们得到的结论是： 定理2 2 1 设9 ：v - + 丑4 是双曲空问日4 中的等距极小浸入曲面，则 1 ) 9 的“p o l a rm 8 p ”像皿是正则的当且仅当9 的法曲率恒不为o 2 ) 如果9 的法曲率恒不为o ，那么9 的“p 0 1 m a p ”像是研中具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面 定理2 3 4 设，：3 - 研是极大超曲面且具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率，其第二 基本形式的长度平方s 0 如果m 3 的对应于零主曲率的主方向是完备的，那么，( m 3 ) 是一个极小浸入曲面f ：v _ 片4 的“p o l a r m a p 像 是一个极小浸入曲面：v _ h 4 的“p o i a rm a p ”像 第二章s 中具有零g a u s s k m n e c k e r 曲率的极盔塑些面_ 1 2 2 1 2 预备知识 设研+ 1 是扎+ 1 维m i n k o w s k i 空间，即实向量空间彤+ 1 赋予l o r e n t z 内积( ，) ( 虬训) 掣旷坼1 州n + 1 ( 2 1 ) 其中 = ( l ， 2 ，+ 1 ) ，t u = ( 叫】，训。+ 1 ) r r ”1 曲率为1 的l o r e n t z 空间形 式d es i t t e r 空间s n 作为研“中的超二次曲面由下式给出： s ? = ( z 咒? + 1 l z ，z ) = 1 ) 曲率为一1 的空间形式双曲空间日“( 一1 ) 由下式定义 日“( 一1 ) = z r ? + 1 l ( z ，z ) = 一1 ) ( 2 ，2 1 f 2 3 1 设v 是2 维可定向的黎曼流形，口：v _ h 4 是等距极小浸入设 1 ， 2 ； 3 ，蛳) 是沿 9 定义的可定向的d a r b o u x 标架场设也，4 4 是相应于u 3 ，蛳的形状算子，1 ，上的联络关 于标架场 ，u 2 ； 3 ， 4 ) 的联络形式记为u i ，叫：是g 的法联络关于标架场 吼， 2 ；地，m ) 的联络形式，噱是浸入9 的第二基本形式在标架场 ”t ，u 2 下的分量这里及以下约定 1si ，j ，s2 ，3 n ，岛，7 ，曼4 关于9 诱导的度量，v 的高斯曲率k 和法曲率 1 分别由下式确定： k = 1 + d e t a 3 + d e t a 4 ， j = 一( 4 3 ，a 4 j 1 ，削2 ) = ( a 3 1 ，a 4 勘2 ) 一( a 4 u l ，4 3 勘2 ) ( 2 4 ) 考虑v 上的单位法丛 v ：= ( 。，“j ) v 磁：蚶， ) = 1 ，钏上r g + d 9 ( 瓦v ) ) ( 2 5 ) 设：一v 是投影映射，使得n ( z ，州) = 茁称映射 为关于g 的“p o l a rm a p ：。v s ；，( z ，j ) h 蛐 f 2 ，6 ) 第二章 研中具有零g a u s s - k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面 1 4 由上的定义及( 2 7 ) 知 k 上 ( 渊i 一 洲；) = ；= l 因此，中是正则的当且仅当g 的法曲率恒不为0 2 ) 令 e t = d 吣1 ) 1e z = d 帅z ) ；e 。= 州晏) 其对偶标架场记为 u 1 ，“，2 ，u 3 = 出) 则关于9 诱导的度量矩阵 ( ) 的逆矩阵 ( 仇j ) = g ( e ，勺) = ( 2 1 1 ) a 秽a 挚针 埘 r ；1 r ；2a + ( r ；2 ) 2r ；2i ； ( 2 1 2 ) r ；1r 2 1 _ r 。 、i r 2i ( 2 1 3 ) a + ( r ；，) 。+ ( r ；。) 。j c ，“，= j f 一( 。：c 苫i n ( t ) )n c 。意：n c 。 因此的主曲率分别为 a 一乜= 击，a 。= 。 ( 2 1 4 ) o ，眨4 3 1 o r一 ，。一 1 一a = 、， 0 曲“ h 两曝+ 十”卜“ 咖如o c 嚏3哪 c 0 o c ，i b 聪聪 第二章 研中具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面 1 5 所以，9 的“p 0 1 a rm a p j 像是研中具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面 口 注记2 2 2 对于d es i t t e r 空间研中的类空零平均曲率曲面，也可以采用类似的方 法构造出双曲空间日4 中具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率的极小超曲面 2 3 1预备知识 2 3 p o l a rm a p 像 在这一节我们考虑反问题：给定d es i t t e r 空间骈中的一个具有零g a u 8 s - k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面m 3 ，是否存在一个极小浸入曲面：v _ h 4 使得m 3 就是的“p o l a r m a p 像? 设，：m 3 _ 研是一极大超曲面，f 是沿，定义的单位类时法向量场，a 表示 ，的形状算子，且a 的三个特征值k 1 j f 2 蚝那么m 3 的g a u s s k r o e c k e r 曲率 k = 甄玛，第二基本形式的长度平方s = 尬2 + 2 + 玛2 现在假设k 三0 ，s 0 ，则主曲率甄= a 尬= 0 凰= 一a ，其中a 是m 3 上 正的光滑函数不妨设m 3 是单连通的，此时我们可以在m 3 上选取大范围定义的分别 对应于a ，o ，一a 的单位特征向量场e 。，e 。，e 3 因而 e 。，e 2 ，e 。 是m 3 上大范围定义的单位 正交标架场，其对偶标架场记为 ，u z ，u 3 ) ，联络形式记为u 。= 蛳u 7 这里及以下约定 1 i ，工七，- s3 m 3 的结构方程是 考虑函数 出u l = u 。j 屿，u u + t = 0 ， c 幻l j = u 娩 叫j + ( 九a ，一1 ) 咄 札：= u 1 2 ( e 3 ) ， ：= e 2 ( 1 0 9a ) ( 2 1 5 ) 第二章研中具有零g a u 8 s k ! ! 竺! ! ! 竺些奎塑堡盔塑堕亘 1 8 那么方程( 2 2 3 ) 的解与u 是处处光滑的矛盾 因此趾恒不等于0 口 引理2 3 3 设厂：m 3 - 研是极大超曲面并且具有零g a u s s k r o n e c k e r 曲率， f ：m 3 _ h 4 是厂的高斯映射如果，的第二基本形式的长度平方s o ，并且m 3 的对 应于零主曲率的主方向是完备的，那么存在一个2 维光滑流形v ，一个淹没”：m 3 _ v 和一个极小浸入：v - 日4 ，使得o7 r = f 证明设集合v = e 2 方向的积分曲线) ，”：m 3 _ v 是自然投影对于任意的 ”。v ，设。是过点。沿e 。方向的测地线，( 砜，矿) 是m 3 在点。o 附近由标架 0 ，( 跏) ，e t ( z o ) ，e s ( 。o ) 确定的局部法坐标系，则扩( 岱o ) = o 记 雪：= ( e x p 。( z l e l ( z o ) + z 3 e 3 ( z o ) ) ；z 1 ，t 3 充分小 ，u ：= v ； ns 0 ) 则 。u 由定义知：u 是口。在v 中的开集对于任意 u ，记 ns = s j ，且 e x p 。( 。1 e l 扛o ) + 。3 e 3 ( 。o ) ) = s 令：口h ( z 1 ，z 3 ) ，则( u ；z 1 ，z 3 ) 是v 在点珈附近的局 部坐标系这样v 上既有拓扑结构，又有微分结构v 上具有一个2 维光滑结构，使 得7 r ：m 3 _ v 是淹没因为f 沿e 2 的积分曲线不变，所以在v 上诱导一个光滑映射 f ：v 一日4 ，使得。7 r = 下面证明：f ：v - 日4 是极小浸入 现在考虑过z m 3 并且与e 2 ( z ) 正交的一个光滑横截面s ，使得b s = s p a n e 1 i 。， e 。l 。) 由于7 r 是淹没，所以( 打( e l 。) ，d ”( e 3 i 。) ) 构成瓦( 。) v 的基底，且 d ( d 7 r ( e 1i 。) ) = d f ( e ， 。) = 一a ( z ) d ，( e ，l 。) ， 蟛( d 7 r ( e 3 i 。) ) = d 荨( e 。i 。) = a ( z ) 彤( e 。| 。) 因而是一个浸入，且x ：= d 丌( ( 1 a ) e ti 。) ，而：= d 丌( ( 1 a ) e 3l 。) 是”( z ) 处关于f 诱导 度量的单位正交基设1 ，2 是的单位正交法标架且满足1 。”b = ，l s ，2o ”l j = d ，( e z ) b 又 d j ( x t ) = d ( 1o ”) ( e ，l 。) = 形( e - l 。) ， d l ( 局) = d ( 1 。”) ( e 。l 。) = d ，( e s d 2 ( x ) = ；d 圳。( 彤( e 。i ) ) = ；彤( e 。) + ；d ，( e 。l 。) ， d 2 ( 恐) = d 吲。( 彤( e 。l ) = 一；d ，( e 。l 。) 一；彤( e 3 l 。) 第二章 研中具有零g a u s s - k r o n e c k e r 曲率的极大超曲面 1 9 设五，五为手在丌( z ) 处相应于l ，2 方向的形状算子，则五，五在”( 贯) 处关于单位 正交基( 凰，恐) 有 石一志( ：二) ，五一志( 芝葛) 所以：f ：v _ 日4 是极小浸入且法曲率( k 1 ) 。= 等 o 口 定理2 3 4 设，：m 3 _ 研是极大超曲面并且具有零g a u s 8 一k r o n e c k e r 曲率，其第二 基本形式的长度平方s o 如果m 3 的对应于零主曲率的主方向是完备的，那么，( m 3 ) 是极小浸入：v _ 日4 的“p o l a rm a p ”像 证明我们不妨假设m 3 是单连通的，否则在其通用覆盖上讨论因此我们可以选取 一个大范围定义的对应于主曲率的单位正交标架场 e ，e 。，e a m 3 的三个主曲率分别是 a 0 一a ，乱， 是m 3 上整体定义的函数由引理2 3 2 知札恒不等于0 设v = e 2 的积分曲线 ，由引理2 3 3 知f ：y _ 日4 是一个法曲率恒不为。的极小 浸入用表示v 上的单位法丛，那么关于f 的“p o l a rm a p ”， 皿： r s ；，( 。，叫) = 是一个浸入定义r ：m 3 _ ，使得7 - ( z ) = ( ”( z ) ，( z ) ) 因为mo r = ，所以：7 - 是一 个局部等距，且皿( ) ；，( m 3 ) 因此，( m 3 ) 是关于极小浸入手：v _ 日4 的c c p o l a rm a p ，像 口 第三章m i n k o w s k i 空间r 中的平稳曲面 本章中，我们主要是从曲面的高斯映射和法向量的角度来研究研中的平稳曲面 3 1 1研究背景与预备知识 3 1引言 极小曲面是一类非常重要的曲面，关于极小曲面的一个背景是肥皂泡问题：将一条铁 丝弯成空间的简单曲线，放入到肥皂溶液中，再将铁丝取出时，铁丝上会张成一张肥皂膜 并以铁丝为边界由于表面张力的作用，肥皂膜的面积最小这个问题的数学提法是所谓 的经典p l a t e a u 问题：给定空间的一条可求长j o r d a n 曲线c ，是否存在一个以c 为边界 的曲面，它在所有以c 为边界的曲面中面积最小 l a g r a n g e 最早研究了这个问题，他将 极小曲面与曲面面积的变分问题联系起来，开始引起几何学家与分析学家的注意关于极 小曲面的研究从那时起一直持续到当代，它涉及到数学的许多方面关于这方面的理论很 多( 如参考文献 1 2 1 4 ) ，在这里我们仅以高斯映射为工具来研究m i n k o w s k i 空间中的 平稳曲面 尽管欧氏空间中的极小曲面和m i n k o w s k i 空间中的平稳曲面都是相应面积泛函的临 界点，而且还有其它性质相似但是它们之间还有许多不同之处，如高斯曲率k 的零点 的孤立性在第一章中我们考虑了d es i t t e r 空间中的平稳曲面的稳定性在这里我们将 它们进行类比引入了一些相应的概念，如实退化、类光退化、可分解曲面等然后我们用 这些条件来刻画研究平稳曲面的一些性质 设研是n 维m i n k o w s k i 空间，( 。1 ，z 2 ，z 。) 是其典型的坐标系，l o r e n t z 度量 g = ( ，) = d z i + - + d z i 1 一d z ：( 3 ，1 ) 设。：m 2 _ 研是类空可定向的浸入曲面，我们称( z ，m 2 ) 是r 中的一个可定向的平稳 曲面，如果z 具有零平均曲率设( “- ，“2 ) 是m 2 上的局部等温坐标，则有a o 使得 ( 鲁，嘉) = ( 老，老) = 强( 砉，毫) _ o c 。翻 a l a 札l 一a u 2 a “2 一“a “l a 五一“ l “ 第三章 m i n k o w s k i 空间兄? 中的平稳曲面 则仉是全纯的且满足 ( 咖，咖) = ；+ + 西：，一：= o ， ( 3 1 1 ) ( 咖，西) = i i 2 = l l1 2 + + l 咖。一。1 2 一i 。1 2 = 2 a 2 o ( 3 1 2 ) 设 o = 西女d z ，= 1 ，扎 是由机确定的全纯1 一形式，那么浸入z = ( 趴，z 2 ，z 。) 可由下式定义 z ( z ) ：= r e 乜 + “， 后= 1 ，2 ，一，n ， ( 3 ，1 3 ) 其中；c c 是常数设k 是m 2 的高斯曲率，那么由k = ( 1 芹) 1 0 9 a 和d s 2 = a 2i 出f 2 及= 蒜+ 器得 k = ( 击) 髀螂。卜。点。班硝甜) - 定义3 1 1 称z 不含于矸的一个低维子空间内，如果。( m 2 ) 不包含于研的任何 一个真仿射子空间 定义3 1 2 称z 的高斯映射退化，如果z 的高斯映射像g ( m 2 ) 包含于c p _ 1 的一 个超平面内，即存在一个非零的常向量a c n 使得( 4 ，巩) 三0 高斯映射退化的特征取决于包含其高斯映射像的超平面的特征，或等价地说是向量a 的特征如果可以将a 取成实向量，那么z 的高斯映射像包含于一个实超平面内；以下 我们简称z 的高斯映射是实退化的 如果 刎? ，即( 4 ，a ) = o ，称。的高斯映射包含在切超平面内，相应的超平面与 叩q 相切特别地，如果a 是实的类光向量，称z 的高斯映射是类光退化的 定义3 1 3 如果关于研的某个l o r e n t z 基，全纯函数幽使得 西i + 一+ 曲2 ；o ；咖：+ 1 + - + 西：1 一曲：! o ( 3 1 5 ) 对于某个七成立，称曲面z 是可分解的如果n 一，经过适当的坐标变换取最小的 值为 称z 为 可分解的如果n 一自七，经过适当的坐标变换取最小的礼一女值为 称 第三章 m i n k o w s k i 空间r ? 中的乎稳曲面 3 1 - 2 主要结果 定理3 2 1 设z ：m 2 _ 研是可定向的平稳曲面，m 2 是其高斯映射像那么以下 结论成立： 1 ) 下述论断互相等价： i ) z 含于研的一个低维子空间内； i i ) z 是1 ，一1 或一2 可分解的曲面； i i i ) z 的高斯映射退化，且m 。包含在一个实超平面内 2 ) 当z 不含于研的一个低维子空间内时，下述论断互相等价： i ) 。是2 可分解的曲面； i i ) o 的高斯映射退化，且m 2 包含在一个切超平面内 定理3 2 3 设三4 ( c ) ( c o ) 是4 维l o r e n t z 空间形式，z ：m 2 _ 三4 ( c ) 是一平稳曲 面如果z 的高斯映射是实退化的，那么下面的结论成立： 1 ) z 存在整体定义的平行法标架场，因而法丛平坦； 2 ) 若。的高斯曲率k c ，则k = c 的点是孤立的 定理3 2 6 设z ：m 2 _ 硝是完备可定向的平稳曲面若z 的高斯映射是类光退化 的，则z 是平均迷向稳定的 3 2 主要结果的证明 定理3 2 1 设茁：m 2 啊研是可定向的平稳曲面，m 2 是其高斯映射像那么以下 结论成立： 1 ) 下述论断互相等价： i ) z 含于研的一个低维子空间内； i i ) z 是1 ，一1 或一2 可分解的曲面； i i i ) g 的高斯映射退化，且m 2 包含在一个实超平面内 2 ) 当z 不含于曰的一个低维子空间内时，下述论断互相等价： i ) z 是2 可分解的曲面； 第三章 m i n k o w s k i 空间r ? 中的平稳曲面 2 4 i i ) o 的高斯映射退化，且m 。包含在一个切超平面内 证明1 ) 通过分析可知，上述所有性质如果局部上成立，那么该性质一定整体成立 i ) 兮i i i ) 若。包含于研的一个真仿射子空间内，则存在非零的常向量a 研使得 ( a ，。) = 常数因而( a ，) = o ，故i i i ) 成立 反之，结论显然成立 i ) = i i ) 对常向量a 讨论： a ) 若a 是类空向量不妨将a 单位化并将其扩充为研的l o r e n t z 基那么由似，z ) = 常数，可得绪= 0 ； b ) 若a 是类时向量，同理可得织= o ； c ) 若a 是类光向量，那么经过适当的l o r e n t z 变换，可使4 变为a = ( 0 ，0 ，1 ，1 ) 因而由( a ，。) = 常数= ( a ，动，可得镌一，一醒= o 故z 是一2 可分解的 i i ) 寺i ) 若z 是1 ，一1 或一2 可分解的曲面，则它们分别等价于z 1 = 常数，z 。= 常 数或。一1 土z 。= 常数i ) 显然成立 2 ) i ) i i ) i ) 成立意味着孵+ 媚jo ，而此式等价于磐士j 鲁io i i ) 号i ) 假设m 2 包含在c p _ 1 的一个超平面内，即存在非零的常向量a c n 使得 ( a ，) = o 记a ：= d + 一1 卢，其中d 和卢都是实向量由 o = ( 4 ，a ) = ( ，n ) 一( 卢，卢) + 2 、二t ( d ，卢) ，( 3 1 6 ) 可得 ( a ，n ) = ( 卢，卢) ；( a ，卢) = o f 3 1 7 1 断言：o ，卢线性无关且( o ，n ) = ( ，卢) o 事实上，若，卢线性相关因为( a ，妒) = o ，所以( “，西) = o 由1 ) 中i i i ) 知z 含于 研的一个低维子空间内这显然与题设矛盾 若( ，) o ，设平面7 r = s p a n n ，卢) ，则”内任一向量都不是类空向量 氏空间r 一1 相交，那么对于交集中的非零向量一方面在”中长度不大于0 在舻。中的长度大于o 这是一个矛盾 令 臼 q 。_ 雨；2 丽 又7 r 定和欧 而另一方面 ( 3 1 8 ) 兰三童坐! 翌垦婴! 里窒囹! 笙! 塑! 整堕亘 则e ，e 2 是单位正交向量经扩基后我们得到新的坐标系茁和相应的磊= 2 鲁且 磊却，e 1 ) = 斜，而却，e 2 ) = 饼 因为 ( 州) 小j ( 臀+ 厅饼) = 。 所以。是2 可分解的曲面 口 注记r ? 中的 可分解的乎稳曲面，当n 5 时，定理3 2 1 已完全包括特别地当 n = 3 时， 只能取一1 因此有下面的推论： 推论3 2 2 设o ：m 2 - 研是完备可定向的类空曲面，则有下列的等价的论断： 1 ) z 是极大曲面； 2 ) z 含于研的一个低维子空间内； 3 ) o 的高斯映射是实退化的，且m z 包含在一个实超平面内； 4 ) o 是一1 可分解的； 5 ) z 具有常高斯映射 证明1 ) 寺2 ) 由( 1 5 知，z 是平面故2 ) 显然成立 其余论断的等价性显然 口 注记磁中极大曲面的高斯映射的退化性和曲面的可分解性是等价的，但研中却存 在退化但不可分解的平稳曲面事实上，研中九可分解的曲面 = 士1 或 = 士2 ，由定 理3 2 1 知其高斯映射像一定包含于c 尸3 的一个实或切超平面内因而研中的那些其高 斯映射像包含于非实及非切超平面内的平稳曲面一定是退化但不可分解平稳曲面但反过 来研，磁中可分解的平稳曲面，其高斯映射一定是退化的 定理3 2 3 设上4 ( c ) ( c 芝o ) 是4 维l o r e n t z 空间形式，z ：m 2 _ 三4 ( c ) 是一平稳曲 面如果z 的高斯映射是实退化的，那么下面的结论成立： 1 ) 。存在整体定义的平行法标架场，因而法丛平坦； 2 ) 若z 的高斯曲率k c ，则k = c 的点是孤立的 划嘞热 第三章 m i n k o w s k i 空间兄r 中的平稳曲面 证明1 ) 由。的高斯映射是实退化知，存在常向量6 使得( 。，z ) = 常数以下对。 分三种情况讨论： a ) 若( 矗，6 ) o ，则。包含于某个三维l o r e n t z 流形m 中记为m 2 在a 卵中 的类时法向量场，那么 f ，已) 就是关于z 的法联络平行且整体定义在吖2 上的标架场 b ) 若( l ，1 ) 0 ( 3 2 8 ) 由( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 可知： z 是平均迷向稳定的 口 3 3一个b e r n s t e i n 型问题 1 9 1 5 年，s b e r n 8 t e i n 在 2 0 中证明了如下结论：欧氏空间r 3 中的完备极小图一定 是平面后来，许多数学工作者对与该结论相关的问题进行了深入的研究并且得到许多重 要的结果：比如著名的数学家r 0 s s e r m a r l ( 见文献【2 1 2 2 ) 及s s c h e r n ( 见文献 2 3 ) 等特别是，对于r 3 中的极小曲面，最好结果是1 9 8 7 年日本数学家f i m o t o 在 2 4 】得 到的： 定理d 设是r 3 中的非平面完备极小曲面，则的高斯映射至多不取球面s 2 上 4 个点 不取少于5 个点的例子( 见 2 5 ) ： s c h w a r z 曲面g a u s s 映射取遍所有点； e n n e p e r 曲面g a u s s 映射不取1 个点； 悬链面 g a u s s 映射不取2 个点； s c h e r k 曲面g a u s s 映射不取4 个点 另外，g a u s s 映射不取3 个点的例子见f 3 2 1 2 8 第三章m i n k o w s k i 空间研中的平稳曲面 其中厶是札阶单位矩阵 因为 1 ( 4 z ) 。e ( a 。) = z a 。4 z = g z2 2 a z l “( c