（电机与电器专业论文）用压电式主动关节抑振器的柔性机械臂振动控制的研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t f l e x i b l er o b o tm a n i p u l a t o r si sa l s oc a l l e de l a s t i cs i n g l ej o i n tb e a m i ti ss l i g h t n e s s a n dl i g h t ，i ti sa c t i v a t e dd i r e c t l yo rs e p a r a t e l yb ya l la c t u a t o ra to n es i d e ，a n dh a sa n e x e c u t e ra tt h eo t h e rs i d e i ti sac u r r e n tf o rs t r u c t u r e so nt h es p a c e f l i g h ts y s t e mt ob e d e s i g n e dl a r g e r a n d l i g h t e r , s ot h e y a r em o r ea n dm o r ee l a s t i c ，h o w e v e r , t h i sk i n do f s t r u c t u r e sh a sav e r yl o wi n h e r e n c yf r e q u e n c y , a n de a s yt ov i b r a t i n g s oi ti si m p o r t a n tt o p a ym o r ea t t e n t i o nt or e s e a r c ho nt h ef r m a n c i e n t l y , j o i n tm o t o rw a sf r e q u e n t l yu s e dt o c o n t r o lt h ev i b r a t i o no ff r m b u to n ej o i n tm o t o rc a l lo n l yc o n t r o lo n es t e po fv i b r a t i o n m o d e ，i ti si m p o s s i b l ef o rj o i n tm o t o rt oc o n t r o lt h ev i b r a t i o no ff r m w h i c hh a sm a n y s t e p so f v i b r a t i o nm o d e o nt h eo t h e rh a n d ，t h ev i b r a t i o nc o n t r o lo f j o i n tm o t o ri sc o n f l i c t w i t hg r e a tr a n g e j o i n tt u t t i s oi ti sn e c e s s a r y t oi m p o r to t h e ra c t u a t o r st ot a k eo nv i b r a t i o n c o n t r o lf u n c f i o n i nt h i sp a p e rt h er e t o r t i o np i e z o e l e c t r i ca c t u a t o r sw e r eu s e dt oc o n t r o lv i b r a t i o nw i t h t h eo p t i m a li n i t i a t i v ea n dp i dc o n t r o lm e t h o di nas i n g l e l i n kf r m s y s t e m t ot h i se n d ，t h e m o d e lw a se s t a b l i s h e da n dt h ec o n t r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b i l i t y , m o d e lf u n c t i o no ft h es y s t e mi s s i m u l a t e d b yc o m p u t e r t h e e f f e c t i v e n e s so ft h i sc o n t r o lm e t h o dw a sv a l i d a t e d b y e x p e r i m e n t f o rt h ed e c r e a s ei na t t e n u a t i o nt i m eo ft h es y s t e m k e yw o r d s ：f l e x i b l er o b o t m a n i p u l a t o r s ，p i e z o e l e c t r i ca c t u a t o r s ，v i b r a t i o nc o n t r o l i n i t i a t i v ec o n t r o l ，j o i n ta c t u a t o r s 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 内容提要 本章首先介绍了振动控制的概念和分类，分析了柔性机械臂数学模型及其振 动控制的进展，最后，在此基础上提出了基于压电式主动关节抑振器实现柔性机 械臂振动控制的思想。 第一节振动抑制的概念及分类 振动抑制是指，尽量减小有害的振动，因为振动加速运转机械的磨损，缩短 产品与结构的寿命，或者使仪器设备无法工作。振动控制按抑振手段区分，有五 种： 1 消振：即消除或减弱振源，这是治本的方法； 2 隔振：在振源与受控对象之间串加一个子系统，称之为隔振器，用它减小 受控对象对振源激励的响应； 3 吸振：又称动力吸振，在受控对象上加一个动力吸振器，用它产生吸振力 以减小受控对象对振源激励的响应； 4 阻振：又称阻尼减振，在受控对象上加一个阻尼器或阻尼元件，通过消耗 能量而使响应减小； 5 结构修改：通过修改受控对象的动力学特性参数使振动满足预定的要求。 按控制是否需要能源区分，抑振可分为无源控制和有源控制，前者又称为被 动控制，后者又称主动控制。被动控制是一种没有外部能源的振动控制方法，它 的主要技术有：吸振、隔振和阻振，这是振动抑制的常规方法，其适应面较广， 相应也较复杂，但有些场合效果不是很好。主动控制起源于6 0 年代中期，应用于 柔性机构的振动控制的研究则开始于8 0 年代中后期【l 】。主动控制的主要特点是通 过从外部输入能量来提高原有系统的抗振性能。目前柔性结构振动控制的一个发 展方向是主被动一体化的振动抑制思想，特别是系统的低阶频率振动采用主动控 制，高阶频率振动利用结构被动吸振。 第二节柔性机械臂建模理论发展概况 浙江大学硕士学位论文 从控制的角度来看，对任何系统进行期望的控制或动态仿真，均需要建立较 理想的数学模型，对机器人的控制也一样。在机器人动力学模型的研究中，常分 为两个问题：即正问题和逆问题。正问题是当各关节轴上的驱动力( 力矩) 已知 时，研究机器人各部分的动力学效应，及其末端操纵器执行的轨迹，是机构设计 分析的基础。逆问题是分析已知机器人所期望的运动轨迹，求解各关节上需加怎 样的力或力矩( 包括大小和方向) ，是f r m ( f l e x i b l e r o b o t m a n i p u l a t o r ) 计算力矩法 控制的基础。 从机器人的本身特点来看，它在机构学上是一个复杂的多驱动空间机构，又 是一个多变量的非线性系统，所以建立描述机器人的数学模型是一个相当困难的 事。为了建立机器人机构的数学模型，常用到的各种力学原理有：能量守恒定理、 l a g r a n g e 法、n e w t o n - e u l e r 法、h a m i l t o n 原理、n e w t o n - g a u s s 法、高斯最小“拘 束”原理、k a n e 方程等。由于机器人是一个非常复杂的系统，而且也包含了多种 多样的构形方案，因而机器人的数学模型也是多种多样的。一般而言，比较常用 的有n e w t o n - e u l e r 法，它得出的迭代形式的动力学方程，对以数值计算解决动力 学的正问题比较有效，但是要消去约束反力建立闭式动力学方程则很困难；而 l a g r a n g e 法，它建模时概念清晰，得出的数学模型形式优美且闭环，同时具有算 法上的高效性：k a n e 方程，人们对它的认识比较晚，它的基本思想是以广义速率 代替广义坐标作为系统的独立变量，并以达朗倍尔定理和虚位移原理为核心建立 动力学方程，k a n e 方程既可用于完整系统，同时它不需象n e w t o n - e u l e r 那样消去 约束反力也不需象l a g r a n g e 法建立l a g r a n g e 函数，而且它的计算效率非常高，这 一点由y a m a d a 在文献【2 成功地应用m e 方程于空间机器人得到证实。 柔性机械臂动力学是当今人们非常感兴趣的以连续介质力学、结构动力学， 现代控制理论、数值方法、计算机技术等构成的多学科交叉，边缘性学科、多柔 性体系统动力学及其控制的一个重要研究和组成部分，但是同属于高度复杂的系 统的柔性机械臂又有其自身明显的特点：它含有柔性部件，其变形不可忽略，且 其逆运动是不确定的；与结构动力学问题不同，部件在空间中有大范围的整体刚 体移动和转动，刚体运动和弹性变形相互影响，相互耦合；与大型空间柔性机构 不同，部件不存在标称运动，其拓扑结构以及系统自由度都是可变的；与一般受 控系统不同，它是一个多输入多输出的无穷维非线性系统，且受控位置往往局限 在关节处，它有着强烈的实时控制需求等等。 现已有大量的文献反映了柔性机械臂的建模原理和方法以及数值仿真，模型 实验等方面的成果，但人们对哪些是获得动力学控制方程的最好方法，哪些方法 和原理对具体应用和计算的效率最佳等等问题上还存在争论。 2 浙江大学硕士学位论文 关于弹性系统的建模和控制开始于7 0 年代初，当时研究具有弹性附件的飞行 动力学模型的动力学分析问题【3 ，从此后f r m 的建模就逐渐有了发展。1 9 7 2 年， m i r r o 就对一连杆柔性手臂进行了建模h ：1 9 8 8 年，b a y o 研究了单连杆( s i n g l e l i n k ) 弹性臂的逆动力学( i n v e r s ed y n a m i c so f f l e x i b l ea l m s ) 问题；1 9 8 9 年，他又把上 述方法延拓至多杆系统( m u l t i l i n k ) ，提出了多连杆系统的逆动力学和运动学的一 种频域迭代方法( i t e r a t i v ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c h ) 【5 j 【6 j ，这种方法依赖于线 性模型，算法比较复杂。m e c l d 和s e e r i n g 于1 9 8 8 年提出的修正力矩法i _ ”及动态滤 波算法【8 】，但他们只考虑了简单的弹簧一质量模型，没有进一步推广。在国内， 也有不少学者对柔性机器人的建模提出了自己的见解。郭吉丰等人在文献 9 1 1 0 d p 考虑到非线性的刚体运动和小位移变形的耦合是f r m 动力学建模的根本困难，提 出了f r m 动力学模型线性化的思想及其正动力学问题的解法，并在以后发展了这 一思想，建立了f r m 的逆动力学线性模型，并把此模型转化成显式模型和空间多 构件的f r m 的正逆动力学模型。张云清等人在文献f l ”中提出了柔性体大变形时的 建模方法。虽然f r m 建模有了很大的发展，到目前为止f r m 建模的研究大都针 对仅含单、双弹性连杆的简单模型水平。 f r m 是一个分布参数系统，其模型可用一组非线形偏微分方程组成，又由于 其变结构特性，无法描述其“精确”的模态特性，只能采取瞬时刚化的方法作近 似分析，即在系统建模时一般都作有限维的近似。针对弹性体的小变形( 满足h o o k 定律) ，有限维近似的方法一般有：( 1 ) 基函数法；( 2 ) 模态函数法；( 3 ) 有限元 法( f e m ) 。 基函数法把位移空间近似为有限个基函数所生成的子空间，即把整个柔性体 的位移场近似为一组基函数的线形组合。这种方法的成败全在于基函数的选择是 否恰当，而要选择一组恰当的基函数往往需要对柔性体的位移场有先验的知识， 这并不是很容易就能做到的。 模态函数法克服了基函数的弱点，它采用柔性体本身的振型函数作为基函数， 数学上已经证明了它的优越性，并且也得到了应用【1 2 。由于弹性连杆在空间中经 历大范围的移动和转动，转动角速度又是不断随时间变化的，连杆两端的边界条 件也是不定的，因此严格的讲，这样一个非线形问题不存在一般意义上的模态概 念。用部件静止情况下，即结构力学的模态综合技术中所提出的假设模态集，只 能看作是一种近似r i t z 基函数法。另外，求解柔性体的振型函数也不是一件容易 的事，除非柔性体的模态可用实验测得或本身可以用解析法获得，否则振型函数 也要用数值方法( 如f e m 法) 求得。 有限元法是应用范围非常广泛的种数值解法，它在建立柔性体的动力学方 浙江大学硕士学位论文 程时同样有效。建模时先把柔性体分成许多小部分，然后对每一小部分用基函数 的组合去近似位移场，因而减小了选取基函数的难度。用这种方法建模的精度取 决于把柔性体分成多少份，分得越细，则模型的精度越高，但是以牺牲计算时间 为代价；反之，则计算快，而精度较低。这种方法也在系统的建模中得到了应用 1 3 1 ，仿真结果证明这是一种建模的有效方法，但由于其计算复杂，计算时间一般 较长，故应用范围受到许多限制，一般只适用于动力学分析。 对大变形的柔性体的建模则更加困难。我们注意到小位移、大位移之间的重 大区别在于大位移下必须区分初始构形和瞬时构形，以及参考构形。通常动力学 定律是针对瞬时构形的，而我们知道初始构形，所以可以把场方程中出现的各种 函数看成是描述初始构形坐标的函数，考虑瞬时构形时只须在场方程的形式上作 相应的变化即可。但是得出的方程相当复杂，因此如何简化这复杂的方程非常重 要。途径之一是选择恰当的参考构形，使得参考构形尽可能的逼近瞬时构形，这 样瞬时构形相对参考构形的变形是小的，于是小位移可用的方法也就适合于大位 移了。选择恰当的参考构形也就是选择恰当的参考坐标系，常用的参考坐标系有 平均轴系，t i s s e r a n d 系等 14 】，此方法的研究大多属理论探索，实际应用的例子不 多。 第三节柔性机械臂振动控制发展概况 1 3 1 柔性机械臂振动控制问题的产生 在空间开发中，机器人操作臂的利用使航天飞行的消耗降低工作和活动能 力增强，为了使其在轨道中具有较小的质量，在机械操作臂以及大型空间飞行器 的结构中采用轻型材料。还有些进行空间作业的机器人，例如用于建造宇宙空 间站和抓取卫星等精细作业的机器人，一般具有手臂长、负载大等待点，因此， 考虑臂杆柔性的空间机器人动力学问题的研究是非常必要和重要的。 工作过程中发生碰撞等会使机械臂产生振动，而且由于无阻尼和摩擦力较 少，振动衰减较慢，影响机械臂的工作。因此必须对其振动进行抑制 1 3 2 智能振动控制 近年来，随着科学技术，特别是航空、航天技术的飞速发展，对材料的要求 越来越高。人们发现，传统材料一旦制成成品，就不可能在其使用过程中对其性 能实施动态监控；并且材料只能被动地受环境的影响，不能针对环境的变化作出 适当的反应。对于这些不足，在7 0 年代末8 0 年代初，美国军方为提高其飞行器 4 浙江大学硕士学位论文 的性能，首先提出了“智能”结构( s m a r t s t r u c t u r e s 或i n t e l l i g e n ts t r u c t u r e s ) 的概念。 智能结构的基本思想是：材料或结构能感知周围环境的变化，并能针对这种变化 作出适当的反应。这是一种具有自感觉和控制能力的结构，由联结的或埋入的主 动单元( 包括感知单元和控制单元) 和常规弹性结构组成。由感测单元可得到系统 的特定信息，经过处理，通过控制单元实现主动控制。这显然比常规“被动”单 元具有更大的优越性，可应用在振动控制、形状控制、自适应系统中等【l ”，尤其 适用在航天工程中，例如应用在航天器、空间柔性机械臂的振动抑制中【1 6 1 。”，m r r 则用于直升飞机和潜艇上，其潜艇的声辐射大为减少，使敌方声纳发现的可能性 减小。国内孙东昌、王大钧 1 9 - 2 0 在智能梁与智能扳振动控制方面有详细论述。 飞速发展的航空航天等工程领域对结构系统的高性能要求推动了智能结构的 研究、开发和应用，特别是在控制与结构变形相关的运动中得到了广泛应用。智 能梁就是拥有机敏材料的柔性机械臂。高级的智能梁是高度集成有分布传感器、 分布作动器、控制系统、信号收发系统、电源等多种系统的结构。它具有自适应、 自识别、自修复等很多仿生性能。但这样的智能柔性机械臂还没有出现。目前， 振动控制中所谓的智能梁，还只是智能结构的雏型，是指内嵌或外贴有分布传感 器和分布作动器的柔性机械臂。所用的分布传感器和分布致动器由机敏材料制成， 如压电材料、形状记忆合金和磁致伸缩性材料，通过这些材料产生的作动应变来 实施振动控制。它们可感知所受激励，并通过控制系统作出相应的动作，以补偿 或消除无益效应，加强有益效应。近年来，有关智能结构及其在振动控制中的应 用研究已成为一个热点。 1 3 3 主动振动控制 主动振动控制( a v c ) 是指在振动控制过程中，根据所检测到的结构振动，应用 一定的控制策略经过实时计算，从而驱动作动器对结构施加一定的影响( 比如力、 力矩) 达到抑制或消除结构振动的目的。与被动控制( f v c ) 相比，主动控制具有较 大的灵活性，对环境的适应能力强，但主动控制需要消耗能源。主动振动控制由 于其良好的控制效果，以及对不同结构的适应能力获得了广泛的应用。主动控制 最早用于声学，l e u g 早在1 9 3 4 年便提出了声音的主动控制论【2 ”。随后人们在这 方面作了大量的研究工作，使得柔性机械臂的主动控制得以飞速发展。主动控制 控制器的设计可以采用古典、现代及智能的控制方法进行设计，比如：反馈控制、 l q 控制( l i n e rq u a d r a t i cc o n t r 0 1 ) 、h 控制、预测控制( 例如最优滤波和变分法等 理论) 、神经网络控制( n e u r a ln e t w o r kc o n t r 0 1 ) 、模糊控制( f u z z yc o n t r 0 1 ) 等等，这些 方法各自适应不同的对象m 例。 浙江大学硕士学位论文 近年来，柔性机械臂振动控制有了很大的发展。a s p i n v a l 在消除弹性体残余 振动时采用脉冲控制方法【2 5 1 。c h r i s t i a n 系统的研究了在多种形式控制输入下臂结 构的相对弹性振动，指出弹性变形的大小不仅与输入有关，同时也取决于运动的 时间及柔性机械臂结构的固有特性2 6 。s i n g e r 和s e e r i n g 研制出一种脉冲生成方法 2 7 】，该方法用前馈方式消除残余振动，它的目标轨迹由一串脉冲序列构成，产生 的运动轨迹并不响应柔性系统的共振部分，通过一个单自由度的实验证明这种方 法对于固定参数系统具有很好的抑振效果。n o a k e s 和j a r i s e n 提出了类似方法，并 将它用于核废料处理操作中悬挂负荷的定位减振控制，消除了悬挂物的振动，使 负荷精密定位【2 8 1 。z u o 和w a n g 提出一种闭环输入产生方法，并将该方法用于控 制具有一个柔性机械臂的大型多关节机器人，还给出了控制器的设计稳态分析和 实验结果【2 9 】。h i l l s l e y 和y u r k o v i c k 把脉冲产生方法用于一个两关节机器人的大角 度运动【3 “，但是他们发现脉冲控制运动后仍存在残余振动，而产生残余振动的原 因是该脉冲生成算法不能防止固有频率的强烈振动，于是他们增加加速度反馈来 消除这个残余振动。m a g e e 和b o o k 提出了一种叫做修正命令滤波( m o d i f i e d c o m m a n d f i l t e r i n g ，简称m c f ) 方法瞄”，该方法通过调整柔性系统的时变参数来消 除残余振动。 在柔性机械臂的抑振中，对柔性机械臂系统附加动力吸振器是常用的振动控 制措施。在增加一定重量的代价下可有效降低系统的宽频带响应，对于受宽频带 激励的复杂系统，经典动力吸振器则有许多不足，如若激振频率缓慢变化而激发 系统不同阶次的共振、通常要用多个动力吸振器来分别吸振，这无疑大大增加了 系统的重量。因此有不少学者提出通过主动控制措施调节吸振器固有频率来跟踪 系统运行中的外激频率，显然，欲使吸振器固有频率连续变化一倍，则其刚度和 阻尼需连续变化4 倍，这在实现上有一定的困难，控制所需的能量也相当大。与 半主动控制装置相比，主动控制装置能在较宽的频域内更有效地运作，但其内部 稳定性差、易溢出、耗能大。 1 3 4 主被动一体化控制 传统的振动控制方法可以分为被动控制( p v c ) 和主动控制( a v c ) 两大类。为了 克服各类方法的缺点，研究工作的重点己转向主动控制与被动控制的一体化方面， 并提出了一体化振动控制的概念( i p a v c ) ，在一体化概念的前提下，人们又根据各 自的理解和处理问题的方法，将主动控制和被动控制的同时采用称为组合 ( c o m b i n e d ) 控制( e l l i s o n ，e t a l ，1 9 9 3 ) 、半主动( s e m i - - a c t i v e ) 控制( o n o d a & m i n e s u g i ， 1 9 9 4 ) 、混合 m i x e d 控制 s m i t h ，e t a l1 9 9 2 】以及杂交( h y b r i d ) 控制 3 ”。由于主动控制 的本质是产生一个与振动位移成9 0 0 的控制力，而被动控制则是通过改变结构设 6 浙江大学硕士学位论文 计或改变结构参数来完成，所以主动控制和被动控制可以在同一方程中进行研究。 因此，主被动一体化振动控制的产生有其理论发展方面的必然性。从振动控制器 件的发展看，为了能够收到最佳振动抑制效果，使柔性机械臂结构适应于不同的 环境，对阻尼器、吸振器等被动控制用器件的参数进行及时调整与控制是必要的， 这也导致了主被动一体化振动控制的发展。就主动振动控制而言，将结构设计和 控制系统设计分开有很多缺点，因此要求将柔性机械臂结构设计和控制器设计进 行统一，这也是主被动一体化振动控制出现的一个重要原因。 所谓半主动控制就是不需要外部能源输入直接提供控制力，控制过程依赖于 结构反应信息或外干扰力信息的控制方法。目前常用的半主动控制方法有变阻尼 和变刚度两种。 通过动力吸振器自适应刚度来实现结构振动的参数控制。很多学者对基于半 主动控制的自适应动力减振器和调谐质量阻尼器作了研究。与只在某一特定额率 起作用的经典被动吸振器相比，能适应系统变化的半主动振动控制的减振效果要 好得多。另一方面，半主动振动控制比全主动振动控制耗能少，对溢出不敏感且 更稳定，因为它的控制力由被动系统元件内部产生，而不必直接产生。 最近的研究表明，具有可变刚度的半主动动力吸振器能有效地抑制瞬间振动， 在柔性机械臂起动时，吸振器刚度的变化率能显著影响系统能量，在保持总能量 的前提下，在线调整吸振器刚度变化率以减少主振系的能量，设计一个模糊控制 器来平衡主振系和吸振器的能最。还有一种刚度分段线性变化的动力吸振器【3 4 】， 这种半主动控制方案通过调节弹性元件的间隙来实现吸振器工作频率连续跟踪外 激的频率的变化，达到用很小的吸振器质量和阻尼在宽频带内消除主系统的多个 共振峰。 随着振动控制研究工作的深入，无论是新型材料的开发应用，还是更加完善 的主动、半主动振动控制及杂合技术的使用。振动控制的最终目的是实现在宽频 带内消除主振系的多个共振峰。 第四节课题的提出 随着工业技术和空间技术的发展，对空间柔性机械臂性能提出了更高的要求， 特别是在高速度、高精度和轻型化方面。首先，要求空间柔性机械臂重量轻，以 降低系统的发射能耗，这一点对太空飞行来说尤为重要；再是运行速度快，以提 高劳动生产率；定位精度高，以适应更多的精密作业。而航天器上的结构为了轻 浙江大学硕士学位论文 量化、大型化都有构件柔性化的趋势，这种结构在运动时或定位时容易产生弹性 振动，影响运动乎稳性和定位精度，因此柔性机械臂的振动控制研究具有特别重 要的意义。以往对柔性机械臂常采用关节电机来抑振，由于一个关节电机只能抑 制一阶的振动模态，适当配置观察器的位置至多也只能控制二阶模态，对于多阶 模态复合的振动或者机械臂空间运动所致的扭转振动等无法控制。从另一方面看， 关节电机振动抑制和大范围关节运动是矛盾的，它牺牲了电机的快速响应特性， 所以有必要引入其他驱动器来担当振动抑制功能【3 7 , 3 8 。 从能量流动( 简称能流) 角度来看，关节处的能流密度较大，振动能量在关 节处反射，因此考虑在关节处建立抑振装置。为此，本文提出了用压电式主动关 节抑振器进行柔性机械臂振动控制的思路。振动主动控制虽然需要外加能量，但 它对环境变化适用范围宽、控制效果明显，较之被动控制，需要的附加质量少。 为此，采用压电元件作为控制回路中的传感器和驱动器有所需控制能量小、频响 高、结构简单及易于实现等特点。 第五节研究的内容和意义 本文结合高等学校博士学科点专项科研基金项目，研究用压电式主动关节抑 振器实现柔性机械臂的振动控制。具体研究内容如下： ( 1 ) 研制压电式主动关节抑振器，建立压电式主动关节抑振器对柔性机械臂 抑振的原理和设计方法； ( 2 ) 探索压电式主动关节抑振器系统的各种特性和驱动电源技术； ( 3 ) 研制用压电式主动关节抑振器的单连杆柔性机械臂实验模型，并进行振 动控制的实验研究。 其意义为： 1 压电式主动关节抑振器可用于具有各种关节的机构抑振，除柔性机械臂 外，还可用于桁架、航天空间结构、精密仪器等； 2 通过关节角微位移抑制振动的思想较新，其科学意义明确。 第六节小结 本章介绍了振动控制的概念及分类，叙述了国内外柔性机械臂建模方法和振动 浙江大学硕士学位论文 控制发展概况，随后提出了用压电式主动关节抑振器对柔性机械臂实施振动控制 的思路，并陈述了论文选题意义及本论文的内容。 浙江大学硕士学位论文 第二章用压电式主动关节抑振器实施柔性机械臂 振动控制的数学模型 内容提要 本章首先用约束模态法结合拉普拉斯变换推导了末端有集中质量的e u l e r b e r n o u l i 梁的特征方程、模态型函数及其正交条件，并分析了振动能量的传递关 系和压电驱动器振动抑制的原理，然后用动力学普遍方程结合模态法推导末端有 集中质量的单连杆柔性机械臂的动力学模型，并将此模型转换成了适于控制的状 态空间表达式。 第一节梁振动的基本关系 研究模型如图2 1 1 所示，为一单连杆机械臂，考虑到问题一定意义上的普遍性， 连杆项端有一集中质量块来模拟负荷。所取坐标图中所示，动系为切线坐标，在 建立其动力学模型时往往采用其悬臂梁的模态函数等，这里先介绍悬臂梁的一些 基本关系。 y _ 枷 e i 少? 图2 1 具有主动关节抑振器的柔性机械臂示意图 在柔性梁横向自由振动时，可参看图2 - 1 梁的挠曲线随时间变化，可表示为 y = y o ，t ) 采用材料力学中梁弯曲的简化理论，只考虑由弯曲引起的变形，而不计由剪切弓 起的变形和转动惯量的影响，按e u l e r b e m o u l i 梁建模 3 9 - 4 1 1 ，可得 1 0 浙江大学硕士学位论文 凳x = 一丛e l 粤b t c 2 ， a 4 2 式中，p 为连杆材料的密度，a 为连杆的横截面积，e 为连杆的弹性模量，彤 称为梁的弯曲刚度，另外，f 为连杆长度，m 为集中于末端的质量。 将y ( x ，f ) 分解为与x 有关的模态型函数嚷0 ) 和仅与时间f 有关的广义弹性坐标 q i ( t ) 的乘积并求和的形式，即 y ( x ，f ) = 锯( z ) 吼( f ) ( 2 2 ) 理论上，任一点的“ f ) 都是无穷多个的叠加，是无穷多维，即作为连续系统是无 穷多维，但为了便于实际处理一般取有穷项之和，即保留适当项模态，采取模态 截断法，高阶模态忽略，同样能得到较高精度。所以上式又可重写成： y ( x ，f ) 圭仍( z ) 吼( f ) = 矿q ( 2 3 ) 式中 巾= 协( 曲，啦( 工) ，纯( x ) y ，q = ( f ) ，q ：( f ) ，吼( f ) ， 悬臂梁做横向自由振动的时，其微分方程的边界条件是，在未端( x = z ) 弯 矩为零，剪力平衡，在根部( x = 0 ) 挠度和转角为零，即 y ( o , o = o( 2 4 ) = 0 划：。孤2l 。 口掣卜掣l ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 将( 2 3 ) 式代入( 2 i ) 和( 2 4 ) 一( 2 7 ) 式并加以整理，可得出自由振动微分方 程的分离形式 错一丛e i 鬻q t s ， 能o )；( ) ”“7 c 豆 l 迎融 浙江大学硕士学位论文 嚷( o ) = 0 ( 2 9 ) 识o ( o ) = o ( 2 1 0 ) 识2 ( 0 = 0 ( 2 1 1 ) 嚷( f ) = 一云识( z ) ( 2 1 2 ) ( 2 9 ) 式的左边是关于空间变量z 的函数，右边是关于时间变量t 的函数，因此， 只有两边都等于一个独立于时间和空间的常数时，等式才能成立，l i p ( 2 9 ) 式变 为 鬻一坐e 1 鬻吼( 工)吼( f ) 1 因可得到以下的两式 科4 ( 工) 一q 。2 仍( 工) = o ( 2 1 3 ) 扩( f ) + q ；2 五e 吼( f ) = o ( 2 1 4 ) 则( 2 1 4 ) 式求拉氏变换并整理得 邢) = 警辫掣 亿 再令k ? = q ；代入( 2 1 5 ) 式并整理得 们) = 击( 研1 一志卜2 ) ( 0 ) 饼) ( 0 ) ) ( 2 1 6 ) 对( 2 1 6 ) 作拉氏逆变换可得到模态函数 俐= 鼍啡i x - c o s 纠+ 铲( s 峨一t n 纠( 2 1 8 ) 上式中科2 ( 0 ) 、科”( o ) 可视为待定常数。 利用端点边界条件( 2 1 1 ) 和( 2 1 3 ) 可以得到一个关于谚2 ( o ) 、9 ；”( o ) 的线 性齐次方程绢，该方程坌日有非零解的充耍条件为 浙江大学硕士学位论文 c h k i l + c o sk 1 1 s h k i l - s i nk i 1 1 2 2 l 等( s h k , l - s i n k i l ) + 等l - c o s k i l ) 堂笋+ 象( s 峥咖彬 1 + c 屹f c o s + 簧( 姒i f c 。s 铲c 屹陋n 砖驴。 上特征方程的解就是固有频率，特殊当m = 0 时，即简单的悬臂梁，有 1 + c h k i c o s k f l = 0 这样，其横向振动的固有频率为 q - ( 等0 厝 q 2 l 百万j 、石 = o ( 2 1 9 ) r 2 1 9 ) f 2 2 0 ) 这时柔性梁模态函数的正交条件为： p a f 识( 工，( 工) d r + m 识( z ) 妒，( f ) = 三；：； ( 2 2 ，) ：酣协脚出= 仨曷 ( 2 2 z ) 式中，m r 为第i 阶振型的广义质量，k i 为第f 阶振型的广义刚度。 第二节柔性机械臂中能量流动关系和压电驱动器 振动控制原理 2 2 1 柔性机械臂能量流动 由振型函数的正交关系和式( 2 2 ) 、( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，有柔性机械臂系统的 动能和应变能 r = 三胁陪叫2 出= 吾新香2 z s ， 浙江大学硕士学位论文 u = 互1 。 。t e l l a a 。2 u 。c 、五r ) 2 出= 丢喜t q ? 一般情况下，柔性梁的振动能量集中在低阶模态，即使发生高阶振动，在自 由状态下，高阶振动很快就衰减了。另外梁的弯曲振动各低阶模态在柔性悬臂梁 的根部变形均较大，说明在根部布置应变式传感器、应变式驱动器较好。 另外，根据前述，由悬臂梁的振型函数、边界条件计算悬臂梁一阶模态振动 时的能量流动( 简称能流) 情况，采用d e l p 姐编写了一个表示悬臂梁一阶模态 振动时的能量流动情况的仿真图，如图2 2 所示。 ( a ) 回到平衡点时 ( b ) 从平衡点向振幅最大过渡瞬间 ( c ) 振幅最大时 图2 2 悬臂梁振动时的能流情况( 一阶模态) 1 4 f i e f 江大学硕士学位论文 由图2 2 可见，在梁的振动过程中，能量可分为动能和应变能( 不考虑势能) ， 振动实质是动能和应变能的不断转换，悬臂梁平衡位置时，应变能为零，其动能 从根部至端部逐渐变大；相反，在悬臂梁弯曲至变形最大处，其各处的动能为零， 根部的应变最大，相应动能最小，由于动能无法抑制，应变能可设法抑制，而应 变能在根部最大，即根部的能流密度( 单位时间能量大小的变化率) 最大，应变 能在根部通过振动波的方式反射，形成连续的振动。 2 2 2 压电控制原理 通常情况下，通过传感信号提取振动的模态坐标，在模态空间进行控制器的 设寸和优化【4 2 l ，这样做计算量较大，设计过程较烦琐，其中控制权矩阵的选取完 全靠经验，所以造成控制效果不理想。对于一个振动体来说，其振动的总能量是 一定的，在无阻尼的情况下，只要外界不对其输入能量，其振动既不会增强，也 不会减弱，将一直振动下去；在有阻尼的情况下，只要外界不对其输入能量，其 振动会由于克服阻尼做功而缓慢地减弱，直至停振。如果在振动的过程中，外界 对振动体做负功，不断消耗振动体的能量，这样就能使振动很快减弱，从而达到 减振的目的。本文就是采用这种能量消耗法来进行控制，不仅物理意义明确，而 且控制过程明了。对于以往通常使用的执行器来说，是利用逆压电效应，粘贴于 梁表面的压电片产生的应力以剪切力的方式传递给梁，如图2 3 所示，从而对梁 施加了一对轴向力f 和一对附加弯矩m 【4 ”，主要考虑沿梁长度方向的应力传递， 由简化了的逆压电方程 vr f 、 盯= e 。以l 号二 ( 2 2 5 ) p 其中，v a t ) 为所施加的电压；如。为压电片的厚度；易。为压电片的弹性模量。可 得外界向柔性梁输入的能量为 p ( f ) = e + “a c r d e w e l ( f ) + k ( f ) 鲁l d t ( 2 2 6 ) 。” l二j 工中，4 为传递系数；为压电片的宽度， 为弹性梁的宽度。 图2 3 将压电片贴于梁表面抑振的情况 浙江大学硕士学位论文 本文使用了置于关节处的压电环来作为驱动器，压电环扭振引起的转角0 和输 入的电压v ( t ) 之间有以下关系( 具体内容下章叙述) 日= k v ( t ) f 2 2 7 ) k 与压电环的压电特性参数有关。令p r 为压电环向柔性机械臂输入的能量， 只要做到外界向柔性梁输入的能量p ( f ) 始终为负，则可以肯定该控制器是稳定 的，在此基础上使p ( f ) 或的绝对值尽可能大，柔性梁的振动就会更快得到抑制。 以此为准则来进行控制器设计，便可以保证控制的稳定性和有效性。 第三节单连杆柔性机械臂的运动微分方程 为不失问题的一般性，采用的物理模型如图2 1 所示，机械臂是单连杆弹性 旋臂梁，一端通过固定在压电式主动关节抑振器上，关节抑振器有微小的角位移， 另一端有集中质量块在水平面内作旋转运动。图中，静系a ( o x y ) 为固定坐标系， o a ( o x y ) 为连体坐标系( 动系) ，o x 轴始终与连杆臂相切于o ( 0 ) 点，o x 轴上离 0 点x 处的横向弹性变形与前述相同为u ( x ，f ) ，并假定其值为小量( 服从h o o k e 定律) ，故模态坐标亦是小量。推导过程不考虑连杆的纵向伸长和惯性力的影响。 动系o a ( o x y ) 的x 轴是连杆中性轴的切线，p 点在静系a ( o x y ) 中的位置为 r 9 = g 互+ h u 9 f 2 2 9 ) 式中 h = 老) ，g = 篇) h 和g 之间有关系 h = 一g 8 g = h p 对运动位置r ，取0 和u 的变分有 6 r 9 = x h & o + h 巾r6 q g 扩q 韶( 2 3 0 ) p 点的运动速度和加速度分别为 血，= 姐百+ h 巾7 直一g 矿q 百( 2 3 1 ) 1 6 浙江大学硕士学位论文 对图2 1 所示的柔性机械臂运用动力学普遍方程，有 - 手p a ( s r 9 ) 7 盈9d x + 手( 6 r 9 ) 7 野d x + 6 钾= 手( 9 妙d x ( 2 3 3 ) 其中，彤是作用在柔性臂微元处的垂直集中力，取重力加速度为g ，故有 彤= ) 把前述变量代入动力学普遍方程，分离变量，并利用模态函数的正交性，最终的 j o + s 7 t i - s 7 百2 q = f a g c o s 0( 2 3 4 ) s o + m q + ( k m 舀2 ) q = - - e g c o s 0 ( 2 3 5 ) j = f f p a x 2 d x = + f _ p 觚2 d x + m 1 2 s = 李p 以舭= 墨，s ：，s o 7 ，墨= 手p a 茹竹( 上) d x 以= 辱p a x d x = ：p 触+ m z e = 手p 舢d x = h ne i = 手p 却， ) a x m = ：佩二 c 对角阵， k = j ，为关节转动惯量。 第四节控制模型 1 7 阵角对 ( 1lj o k t o 浙江大学硕士学位论文 式( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) 为系统动力学方程，若系统在平面运动可不考虑重力的 影响，对于关节电机而言，控制输入是关节力矩，系统变量是o n q ，共n + l 维， 方程数亦有n + 1 个，但方程是典型的非线性方程。考虑关节主动抑振器，其输入 控制量可以是转角日，从方程看实际起作用的是角加速度，这时可直接考虑式 ( 2 3 5 ) ，是一典型的受迫振动方程，为 m j + ( k m 日2 ) q = s p( 2 - 3 6 ) 一般情况有l i k k i m 百2 忆( 欧几里德范数) ，可忽略m 百2 这一项，故上式可简化 为线性形式，并设实际系统为粘弹性阻尼，有 m q + c q + k q = - s 0 ( 2 3 7 ) c 为阻尼阵，设系统的状态变量和控制输入分别为 x = ( r ，q 7 1 7 “= 百 输出为连杆顶端的位移 y = y ( f ) = 矿( o q( 2 3 8 ) 这样有系统的状态方程 f 文= a x + b “ 1 】，；c x ( 2 3 9 ) 式中 a 杵n 卅b = 嘲c = o 州 第五节小结 本章先介绍了悬臂梁的基本振动关系，并解释了压电驱动器振动抑制的原理， 最后利用模态法和动力学普遍方程相结合的方法建立了单连杆柔性梁的动力学模 型( 运动微分方程) ，并就主动关节抑振器的控制输入建立了系统状态方程。 浙江大学硕士学位论文 第三章压电式主动关节抑振器振动控制的仿真研究 内容提要 本章介绍了压电陶瓷的驱动特性和p i e ) 控制策略，针对用压电式主动关节抑 振器的柔性机械臂建立其数学模型，并仿真验证压电式主动关节抑振器的有效 性。 第一节压电陶瓷驱动器简介 压电陶瓷微位移器是近年来发展起来的新型微位移器件。它具有体积小、重 量轻、精度和分辨率高、频响高、出力大等优点，在光学、电子、航天航空、机 械制造、生物工程、机器人等技术领域得到了广泛应用，而且日益受到重视。压 电陶瓷的特性和性能指标直接影响机械结构和控制系统的设计，因而需对其性能 有明确的阐述5 k 5 5 1 。 3 1 1 压电陶瓷基本原理 压电陶瓷和电致伸缩陶瓷都是电介质。电介质在电场的作用下有两种效应， 即逆压电效应和电致伸缩效应。其中逆压电效应是指电介质在外电场的作用下产 生应变，应变大小与电场大小成j e l l ，应变的方向与电场方向有关。而电致伸缩 效应是指电介质在电场的作用下由于感应极化作用引起应变，且应变与电场方向 无关，应变的大小与电场的平方成正比。上述效应可用公式表达如下： 船d e + m 萨 ( 3 1 ) 式中：d e ：逆压电效应；m e 2 ：电致伸缩效应； d ： 压电系数( m v ) ； m ： 电致伸缩系数0 讧2 i v 2 ) ； e ：电场强度( v n 1 ) ； s ： 应变。 其中逆压电效应仅在无对称中心晶体中才有，而电致伸缩效应则在所有的电 介质晶体中都育，不过一般来说部很微弱。压电陶瓷的逆压电效应和电致伸缩效 应本质上就是电介质在电场的作用下产生极化，在电场力的作用下产生形变，在 宏观上表现为机电耦合效应。 3 1 2 压电陶瓷的基本特性 浙江大学硕士学位论文 电介质在电场作用下电极化的强弱可用电极化强度来表示，电极化强度p 是 y 。， 单位体积内电偶极矩的矢量和，即p = z - u _ _ l 。它直接反映了电介质在电场中电学 v 与力学的联系。 我们以经