（概率论与数理统计专业论文）自适应小波方法与stokes问题.pdf

摘要 摘要 有限元方法是微分方程数值解的一种经典方法，自适应有限元方法专门针对 具有奇点解的方程和经典有限元不同，它是一种非线性逼近，因而在数值计算上 取得了巨大的进步遗憾的是，自适应技巧的优点很少有量化的结果近年来，随着 小波分析的发展，自适应小波方法被广泛地用来讨论算子方程的数值解跏e 8 问题是n a v i e r s t o k e s 方程的特殊情形，它可描述粘性不可压缩流体的流动 本文主要研究s t o k e s 问题的自适应小渡解。是c o h e n ，d a h m e n 和d e v o t e 等 人工作的继续全文是按如下方式组织的t 第一章是引言及预备知识t 主要给出研究背景、研究现状并引入必要的符号 和概念在第二章，我们首先针对s t o k e s 问题的混合弱形式寻找尽可能简单的 尼c 胁r 出迭代方法；然后给出散度算子之对偶的精确应用并设计迭代算法；最 后是算法的误差估计和计算复杂度分析 尽管混合弱形式的自适应算法同时得到速度和压力的自适应逼近鳃，但相应 算子的非正定性导致许多额外计算另一方面，为了分析流体的流动。人们更关 心s t o k e s 问题的速度场鉴于速度场的散度自由特点，利用散度自由小波更加自 然第三章的第部分讨论区域上的散度自由小波在s t o k e s 间题中的应用第二 部分给出【0 ，1 】2 上h a r 出n 和m a r a s o v i c h ( h m ) 散度自由多小波的几个注记我 们证明了具有切向边值的敬度自由向量场的投影仍然是散度自由的；利用流函数 的概念给出h m 散度自由尺度函数；给出i - i m 散度自由小波系数的个快速算 法 最后说明由谱方法得到的散度自由向量场的初始逼近可以通过简单而精确的 计算得到 北京工业大学理学博士学位论文 注意到在前面两章中，自适应小波方法的本质是处理椭圆算子方程本文第 四章在，的框架内重新分析椭圆算子方程自适应小波g a l e r k i n 方法的遥近误 差，改进了c o h e n ，d a h m e n 和d e v o r e 的结果 由于描述特定电磁场现象的m a x w e l l 方程中涉及到旋度算子以及散度自由 向量场和旋度自由向量场构成了驴( 舻p 的一个h o d g e 分解，并且这一分解被 成功应用于计算2 维和3 维n a v i e r s t o k e s 方程的非线性项在本文最后一 章，我们利用h e r m i t e 样条构造了插值旋度自由向量小波，并用它刻画了一类向 量b e s o v 空间进一步，证明单尺度插值旋度自由向量小波的厶2 稳定性 关键词s t o k e s 问题；自适应解；散度自t hj j , 波；旋度自由小波；插值性 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n ti sac l a s s i c a lm e t h o df o rn u m e r i c a ls o l u t i o n so fd i f f e r e n - t i a le q u a t i o n s ，a d a p t i v ef i n i t ec l e m e n tm e t h o d sa r ep a r t i c u l a r l yu s e df o rt h o s e e q u a t i o n sw i t hs i n g u l a rs o l u t i o n s i nc o n t r a s tw i t hc l a s s i c a lf i n i t ec l e m e n t ，i t i sa n o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o na n dt h e r e f o r eh a sm a d eg r e a tp r o g r e s si nn u m e r i c a lc o m - p u t a t i o n s h o w e v e r ，t h ea d a p t i v et e c h n i q u eh a sl i t t l eq u a n t a t i v er e s u l t sf o rl o n g t i m e w i t ht h ed e v e l o p m e n to fw a v e l e ta n a l y s i s ，a d a p t i v ew a v e l e tm e t h o d sa r e e x t e n s i v e l yu s e dt od i s c u s sn u m e r i c a ls o l u t i o n so fo p e r a t o re q u a t i o n s a sas p e c i a l c a s eo fn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n ，t h es t o k e sp r o b l e md e s c r i b e st h ef l o wo fv i s c o u s i n c o m p r e s s i b l ef l u i d t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e st h ea d a p t i v ew a v e l e ts o h - t i o nt ot h es t o k e sp r o b l e m ，w h i c hi sa ne x t e n s i o no fc o h e n ，d a h m e na n dd e v o r e 8 w o r k t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sa l li n t r o d u c t i o n ，w h i c hi n c u l d e st h eb a c k g r o u n do ft h e t o p i ca n ds o m en e c e s s a r yn o t a t i o n s i nc h a p t e r2 ，as i m p l er i c h a r d s o ni t e r a t i o n i sf i r s t l yg i v e nf o rt h em i x e dw e a kf o r m u l a t i o no ft h es t o k e sp r o b l e m ；t h e nw e s h o wa ne x a c ta p p l i c a t i o nf o rt h ed u a lo ft h ed i v e r g e n c eo p e r a t o ra n dd e s i g na l l i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；f i n a l l y , t h ee r r o re s t i m a t i o na n dt h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y a l t h o u g ht h ea d a p t i v es o l u t i o n sf o rb o t ht h ev e l o e i t ya n dp r e s s u r ea l es i m u l - t a n e o u s l yr e c e i v e di nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ei n d e f i n i t e n e s so ft h ec o r r e s p o n g d i n g o p e r a t o rl e a d st om u c ha d d i t i o n a lc o m p u t a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，t h ev e l o c i t y i i i 北京工业大学理学博士学位论文 f i e l di sm o r ei m p o r t m a n tf o ra n a l y z i n gt h ef l o wo ff l u i d i na d d i t i o n ，i ti sm o r e n a t u r a lt ou s ed i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t sf o rt h es t o k e sp r o b l e m ，d u et oi t sf o r m u l a - t i o n t h ef i r s tp a r to ft h et h i r dc h a p t e rd i s c u s s e sa na p p l i c a t i o no fd i v e r g e n c e - f r e e w a v e l e t st ot h a tp r o b l e m ；i np a r t2 ，s o m er e m a r k sa r em a d ef o rh a r d i n m a r a s o v i c h ( h m ) d i v e r g e n c e - f r e em u l t i w a v e l e t so n 【0 ，1 1 2 ：t h ed i v e r g e n c e - f r e ep r o p e r t y ( w i t h t a n g e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) k e e p su n d e rp r o j e c t i o no p e r a t o r ；s c a l i n gf u n c t i o n s a n daf a s ta l g o r i t h ma r eg i v e n ；m o r e o v e r ，t h ei n i t i a la p p r o x i m a t i o nf r o ms p e c t r a l m e t h o di sc o m p u t e de x a c t l ya n de a r l y b e c a u s et h ea d a p t i v ew a v e l e tm e t h o d se s s e n t i a l l yd e a lw i t he l l i p t i co p e r a t o r e q u a t i o n si nt h ep r e v i o u sc h a p t e r s ，w er e - d i s c u s st h ea p p r o x i m a t ee r r o ro ft h e a d a p t i v ew a v e l e tg a l e r k i nm e t h o df o rt h o s ee q u a t i o n so nt h eb a s i so f ，o u r r e s u l ti m p r o v e st h a to fc o h e n ，d a h m e na n dd e v o r e s n o t et h a tt h ec u r lo p e r a t o ri si n v o l v e di nm a x w e l le q u a t i o n sw h i c hd e s c r i b e c e r t a i ne l e c t r o m a g n e t i cp h e n o m e n a ，a sw e l la sc u r l - f r e ea n dd i v e r g e n c e - f r e ev e c t o r 舶l d sg i v ear l o d g ed e c o m p o s i t i o no fl 2 ( 舻) ”，w h i c hh a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e d t oc o m p u t et h en o n l i n e a rt e r mo f2 da n d3 dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n t h e nw e f i r s t l yc o n s t r u c ti n t e r p o l a t i n gc u r l f r e ev e c t o rw a v e l e t sb yh e r m i t es p l i n e si nt h e f i n a lc h a p t e r ；t h e ng i v et w ow a v e l e t 蛐a t e sf o rad a s so fv e c t o rb e s o vs p a c e s ； f i n a l l ys h o wt h el 2s t a b i l i t yo ft h es i n g l e - s c a l ei n t e r p o l a t o r ya n dc u r l - f r e ev e c t o r k e y w o r d s s t o k e sp r o b l e m ；a d a p t i v es o l u t i o n ；d i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t s ； i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说嬲 并表示了谢意 签名：藕集击日期：知司1 2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，l l p 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 獬求婚铆铭。 伽啉卅他 第1 章引言及预备知识 第1 章引言 本章主要介绍自适应小波方法的研究背景与现状为此，我们先在1 1 1 4 节引入本文所需的预备知识 1 1多尺度分析与小波 因本文研究自适应小波方法，首先介绍小波分析的核心概念多尺度分析 ( m r a ) ，它由法国数学家sm a l l a t 和ym e y e r 在1 9 8 6 年合作提出它的主要 思想是将l 2 ( 功分解为一串具有不同分辨率的子空间序列，它还是构造小波基的 基本方法 定义1 1 1 设 k ) j z 是l 2 ( 月) 的闭子空间序列，如果满足以下条件，则称 码 j z 为l 2 ( 兄) 的m r a ( 1 ) 单调性，巧c v j + l ，z ； ( 2 ) 基的存在性；存在函数妒( z ) v o 使得 如t ( z ) ：k z ) 构成子空间 的r i e s z 基，其中咖( z ) = 2 j 2 多( 2 如一忌) ，j ，k z ； ( 3 ) 伸缩性， ) 巧当且仅当，( 2 z ) 巧+ 1 ，j z ； ( 4 ) 逼近性，n = o ) ，u 巧= l 2 ( r ) j e zj z 这里，函数( 称为尺度函数，称为尺度空间 由( 3 ) 可知，任意两个相邻子空间之间相差一个二进分辨率也就是说，只要 知道任子空间中的基，就可通过分辨率的二进伸缩，得到相邻子空间中的基 再由( 2 ) 便可构造出所有巧( j z ) 中的r i e s z 基因为 巧) j z 不是l 2 ( r ) 的 分解，而是单调的嵌套子空问序列，所以不能由v j ( j z ) 中的基来合成l 2 ( 1 t ) 北京工业大学理学博士学位论文 7 笔：7 豢7 高产陋) 图1 1 ：塔式分解图 特别地，当前述分解为正交分解时，我们得到l 2 ( r ) 上的正交小波由于正交小波 的紧支撑性和对称性不能够兼容，在应用上人们常选择双正交小波l 2 ( r ) 中的 对双正交m r a 是指其对应尺度函数满足双正交关系( 妒，如) = 南 由m r a 的伸缩性质，存在护( z ) 中的序列 k ( 称为低通滤波器) 满足细分方程 妒( z ) = ，l - 吣( z ) 第1 章引言及预备知识 两边同时取f o u r i e r 变换得叙2 f ) = ”1 0 ( f ) 讯) 类似地。存在 瓦) 满足放$ ) = h k l ，( z ) 及虱鸳) = 而。( ) 石( f ) ，这里， m 水) 2 击薹如埘，讯( 。= 去 - k e z 础。k 设妒( z ) 和妒( z ) 分别是上述两个m r a 对应的小波函数，则存在2 ( z ) 中的序列 玑) 和 氨) ( 称为高通滤波器) 满足妒( $ ) = 鲰t ，k ( z ) 及每( z ) = 瓿五，k ( $ ) 进一步，痧( 2 f ) = n o ( f ) 氟) ，锹鸳) = 弼( ) 放f ) 这里， 州o 2 老薹肌e 艇，锄( ) = 击篆磊e “k ， 而且下列双正交关系成立； 椭( f ) 希磊万+ m o 幢+ ”) 磊万干可= 1 n o ( f ) 葡孬+ 伽 + ”) 磊隔= 1 m o ( f ) 元夏万+ m o ( f + ”) 丽百面= 0 舶( ) 示丽+ 伽任+ 7 r ) 而丽= 0 结果表明：给定驴( r ) 上的双正交m r a ，构造双正交小波的最简单方式是取 9 k = ：( 一1 ) 一1 五l 一- 和氨= ：( 一1 ) 一1 h l 一 ( 1 1 ) 小波的生命力在于图( i i ) 所示的塔式算法具有下述快速的分解与重构算法， q i = 五f 白+ l ，“锄，由 = 藐c j + l ，“2 k t e z t e z 勺+ 1 七= ( 7 址一犍铆+ g k 一”吗f ) f z 北京工业大学理学博士学位论文 例1 1 1 1 1 1 设妒是阶b 样条函数，它的f o u r i e r 变换由下式给出 积泸。一警( 孚) 这里，如果n 是偶数，七= 0 ；如果n 是奇数，= 1 特别地， f 1 ( z ) = 1 o 。 1 ， 2 妒( z ) = 【o o m 十茁 - 1 z 0 一z o 暑，卢 礼，d ( a ，) = ：2 m 讯( i x 1 ) d i s t ( s u p p - 妒 ，8 u p p - 妒) 令v 珂= ： c i ，j ，e ，后) ：j 20 ，e 坟，i 如，k 如。) ，对任意的页= ( t ，工e ，) v 彤，傲度自 由小波为 碟：= 蛾。最一否1 2 - j 旦o x l “j “, 。埘, k 魂。 ( 1 西) 定义h o ( d i v ；q ) = ： 苫l 2 ( q ) n ：出u - 专- 4 = o ) ，h o ( d i v ；1 2 ) = ：d o s 日( 执r 1 1 ) c g o ( n ) ” 这里，雌- - + 1 1 2 日汹硝2 ) = ：0 7 怯( 1 1 ) 。+ l l d i 口。i i l , ( 1 1 ) 进一步。记 h o o ( d i v ；q ) = ：h o ( d i v ；q ) nh o ( d i v ；q ) 则下列结果成立 定理1 2 , 2 1 4 1 散度自由小波系皿岢= ： 了亨：天拶) 构成础( 出口；q ) 的r e s ： 基，且 i i c 茹翱州咿一2 2 i 。| 蚓2 进一步，令审= ：u 以对a = d ，e ，) v ，定义 j o 万全= ：西e 魂。 和h a ( n ) ：s ( 彳) ，则h o ( d i v ；f 2 ) = 础( d i 口；q ) oh a ( n ) 1 s 辟与最佳一项逼近 ( 1 6 ) 北京工业大学理学博士学位论文 自适应方法属于非线性逼近的范畴，而衡量其优劣的标准是最佳| 一项逼 近为此引入离散空间掣【1 3 1 设0 r nk n - i ，f 。屯喇i 冬击- 2 因此，若可掣( v ) ，则即( - ) gj - | 辟( 可) 一，其中g = 名 1 0 第1 章引言及预备知识 1 4h e r m i t e 样条及其性质 h e r m i t e 样条是研究小波分析的重要工具1 2 ，在本文第五章将利用它构造旋 度自由小波本小节先介绍其定义和基本性质令蒈和管表示两个3 次h e r m i t e 样条t ( z ) = ：( 1 3 x 2 2 x 3 ) x i 1 o ) ( z ) + ( 1 3 x 2 + 2 x 3 ) x | 0 1 ) ( z ) ， 弦( z ) = ：扣+ 2 x 2 + x 3 ) x l 1 o ) ( z ) - 1 - 一2 a ：2 + 矿) x o 1 ) ( 。) 容易验证铭( m = 1 ，2 ) 是连续可微的，而且 面d v 如( 女) = 以 o 如一1 ”ke 五 o1 ，m 1 ，2 ) 类似地，两个2 次h e r m i t e 样条为 i ( z ) = ：( 一6 z 一6 2 2 ) x 【一1 o l ， 钫 ) = ：( 1 + 4 z + 3 x 2 ) x 【一1 ，0 】+ ( 1 4 z + 3 2 2 ) x o oc x ) 显然，矗是连续的进一步， ， 氟( _ j ) = 以 o 靠2 瓿( z ) 出= 以o l k z ，m 1 ，2 j k - 1 最重要的性质是铸和之间的微分关系t 丢付。) = f f ( 功一f f 和一1 ) ，乏 手协) = ( 霉) 0 - 7 ) 定义垆= ：d o s l ，s p a n 东沆：m 1 ，2 ) ，k z ，则 呼为l 2 ( 兄) 中的两个 m r a ，且哆在嘻l 中的直交补为w i = ：d o s l t 8 p 帆 砖甜：m l ，2 ) ，k 北京工业大学理学博士学位论文 z ，其中蝣= ：铸( 2 - 1 ) ，m = 1 ，2 ；酊= ：钉( 2 - 1 ) 一( 2 一2 ) ；酊= 符( 2 一1 ) 1 1 4 i 容易验证微分关系 熹碗( z ) = 2 砺( z ) 以及插值性质 瞩( ；) = 氏，t 翔以字哌( z ) 如= ；如“氏。一以t 1 ) 岳砖( ；) 趔嘶址，” o t l ) ，自z 为得到双正交分廨，b i t t n c r 和u r b a n 利用广义函数引入它们的对偶1 7 1 爵= 南，露= 一醅，寻= 一。 o ) ， = 衬刊；一；6 0 一；一托衬= ：呜一i i 6 - + i 一i 西， ( 1 - 8 ) 访= ：i 如一曼4 卜敦一；酩一；6 i 前= ：x n i x l ，l 】一：南+ 五1 j ，访= ：d + i 1 南+ 五1 d l 一；) ( | 0 1 】 对应( 1 7 ) 和( 1 8 ) ，它们的对偶穗和藕满足下列微分关系 未旨= 百( + 1 ) 一骨，熹旨= 一露，差褫= 一2 诘，m = 1 ，2 ( 1 曲) 为引入高维小波，对j 7 i = ： 1 ，2 3 ，记 ，：卜川和：心据。 【钉 v 隹， 【磋r f = 1 则l 2 ( 萨) 中的张量积尺度函数和小渡分别为 3 3 旅p t m m ) = ，( 茹，) 和妒岛( 轧钇渤) = n 吃。，( z r ) - l 参 第1 章引言及预备知识 其中e 忍= ： o ，1 ) 3 万，仇= ( m 1 ，砌，t j 1 3 ) i ，2 ，3 定义日e r m 舒e 内插公式m ：a ，= ：暑。蠡p ( ，张鼬) 娠j 一则 ( 蟛，甄 ) 一，强舢) ，未蟛，= 畛埘( 蠡，) ，f ， 这里i f , ，。) = ：( ，( 乎) ，穗) ，类似地定义( ，链泓) 我们还要用到对偶小波的 一个消失矩性质吲：设n 2 表示次数不超过2 的多项式全体，则当p n 2 时， ( p 惫) = 0 1 5 研究背景与现状 偏微分方程数值解是计算数学的一个重要分支，其中有限元方法被证明是一 种行之有效的经典方法。它的主要思想是先固定计算网格的大小，且网格尺度的 大小在数值计算过程中保持不变，这是一种线性逼近的思想由于许多方程的解 具有奇点，随之产生了自适应有限元方法1 1 5 l 一自适应是指网格大小的选择根 据解的具体情况而定，比如在解的奇点附近选取较小的网格，而且网格的大小根 据前一步逼近解的具体情况来确定和经典有限元方法不同，自适应有限元方法 体现的是一种非线性逼近的思想，因而在数值计算上取得了巨大的进步这是因 为自适应产生的不一致网格可以达到某种精度，而利用经典有限元方法需要解非 常大的线性方程组才能达到此精度然而遗憾的是，自适应技巧的优点并没有黄 化的结果我们并不知道是否每一步的网格细分导致个固定的误差减少，更不 清楚逼近误差和涉及到的自由度之间的关系 自8 0 年代中期以来，小波分析迅速发展小波方法求解微分方程得到了许多 学者的关注t 如及d m 、r e g i n s k a 利用m e y e r 小波g a l e r k i n 方法求解单边热传 1 3 - 北京工业大学理学博士学位论文 导方程f 2 1 卜嘲；l o r e n t z ，d a h l k e ，j a w e r t h 等人分别利用1 3 - 榉条小波g a l e r k i n 方法、d a u b e c h i e s 小波g a l e r k i n 方法求解常微分方程一1 2 s l ；陈仲英、许跃生利 用小波g a l e r k i n 方法讨论积分方程的解陋一尤其是作为自适应有限元方法的 个补充，自适应小波方法被越来越多地应用到求解算子方程的数值解上【3 1 卜1 5 9 1 它包含线性问题，非线性问题以及发展类方程。即与时间变量有关的方程， 在自适应小波方法中，用来描述逼近解的小波基函数和自适应有限元方法中 的网格扮演着相同的角色小波能够被广泛地应用到方程的数值理论中，是因为 小波基可以刻划函数空间并且一大类算子的小波表示矩阵具有拟稀疏性质，从而 具有快速算法一l 踯j 目前，与方程有关的各种类型的区域上的小波研究已取得 了许多成果一1 7 5 】，而构造区域上性质好的小波基仍然是一个非常活跃的研究领 域在自适应小波方法中，逼近解是个小波基函数的线性组合因而，描述其 逼近效果的一个自然的标准就是最佳一项小波逼近，其中最佳一项逼近解 对应被逼近函数前个最大小波系数的线性组合然而对方程来说，其真实解是 未知的在这种情况下，自适应小波方法得到的自适应逼近解是近似最佳的，即 它和最佳逼近有同样的衰减估计近年来，关于非线性逼近以及方程解的正贝9 性 研究可参见文献【7 嘲一1 7 翻 第个自适应小波方法似乎属于d a h l k e 等人l 嚣】，它保证了不同层次的逼近 误差以固定常数倍减少从而保证了逼近的收敛性这已经较自适应有限元方法 前进了一步然而并没有给出逼近误差关于自由度的衰减速度2 0 0 1 年，c o h e n ， d a h m e n 和d e v o t e 在【3 5 】中首先分析了上述自适应方法的逼近误差关于自由 度的指数衰减速度；由于指数的变化范围很小，他们构造了另一种自适应小渡 g a l e r k i n 方法，其指数衰减的范围完全由所选择小波基的光滑性和消失矩决定同 1 4 - 第1 章引言及预备知识 f 一言+ v p ：7 i 豢船 p 1 0 ) 瞄拦仃，确 m 1 5 _ 北京工业大学理学博士学位论文 。c 宵叫v 刁，v 才，= 塞上薏等觑 l u = ：( 三：) ( j ) = ( 孑) = ：f c ，一，z ， , ：, l l u i i x 。 f i i l u i x x 村s ( 硅l l u l l x x _ | l f 通过选择速度空间和压力空间中两组适当的双正交小波基可对( 1 - 1 2 ) 进行离 散化。设田x ： 彳 。，a x 如) x 和面x ： - 1 i f l 2 - ，a x 以) 是驴( n ) ”中的 双正交小波基 皿村= 饥。，a f j m 和每村= 孤。，a m j f 是工2 ( q ) 中 的双正交小波基小波基能够刻划函数空间是指：对任意的可x 和p m 存 在可e ( j x ) 和乒俨( 山) 使得言= 矿咴1 田x ，p ；矿霍| l f ，且 c 1 恻1 1 2 ( h ) l i 言 l l x g l | i 西 l 卢( 如) ，c 2 l 硎产( 山) 1 i p l l 盯sq 捌l f 2 ( 抽) 1 每 第1 章引言及璜备知识 其中玖= ：( 2 l 妇 k ) h 以奴是对角矩阵令- a = d i l 霍x ，a k 面x ) d x l ，百= 蚀肘，口皿x ) d x l ，7 = d x l ( 皿x ，7 ) ，则( 1 1 2 ) 等价于离散线性方程组 乳讲：f 卜 而且方程组( 1 - 1 3 ) 也是适定的，即存在常数0 詈和 卢 n 分别依赖于所使用小波的光滑性和消失矩在同样的意义下，百和也是 拟稀疏的在许多情况下，另一个较弱的概念仍可满足数值求解的要求，矩阵才称 为s 阶可压缩的，若存在两个正可和序列( o r j ) j o 和( 岛) j o ，使得对每个j 0 ， 一1 7 - 北京工业大学理学博士学位论文 存在每行每列至多有2 j ( 1 j 个非零指标的矩阵瓦，满足i i 才一瓦怯) 一芦慨) 2 - i s 岛，记矿= ：l i l i n ：一；，g 一1 ) ，则文献 3 5 】证明；当5 ( o ，5 ) 时，拟稀疏 矩阵是可压缩的进一步，我们有 引理1 5 1 1 3 5 1 设专= s + ；且f ( r ，2 ) ，则拟稀疏矩阵万在胪( v ) 和等( v ) 上是有界线性算子 求解离散线性方程组的经典方法之一是r i c h a r d s o n 迭代刁4 + 1 = 司一+ o ( f 一 砑尹) 然而由于( 1 - 1 3 ) 中的矩阵- f 在护意义下不正定，所以上述迭代不收敛 基于此， c o h e n 等在 4 0 】中考虑( 1 - 1 3 ) 的等价形式r z 可= f - f 和对应的 r i c h a r d s o n 迭代 矿+ 1 = 矿+ a ( f f f 云矿) 这一算法的缺点是；z + z 的条件数变大使得计算变得非常复杂与此同时，文献 【4 2 】针对( 1 1 3 ) 讨论了u z a w a 迭代方法，当然计算也非常复杂通过引入算子百 的精确应用1 4 3 1 ，d a h m e n 等人优化了文献【4 2 】中的算法，但他们指出算子官无 法精确应用在本文第二章，我们首先针对( 1 1 3 ) 寻找尽可能简单的r i c h a r d s o n 迭代；然后引入z 尹的精确应用并设计适当的迭代算法；最后给出算法的误差估 计和计算复杂度分析 基于混合弱形式的自适应算法虽然同时得到速度和压力的自适应逼近解，但 其混合弱形式的非正定性导致许多额外计算另一方面，为了分析流体的流动， 人们更关心s t o k e s 问题的速度场鉴于速度场的散度自由特点，利用散度自由小 波更加自然事实上，u r b a n 于1 9 9 6 年在文献【9 】中就将散度自由小波用于求解 s t o k e s 问题的数值解其主要思想是利用散度自由小波基构造试验空间。然后利 1 8 第1 章引言及预备知识 用试验空间中的函数逼近方程的解这种方法是一种线性逼近，不属于自适应小 波方法的范畴在第三章中，我们首先利用散度自由小波基离散s t o k e s 问题从而 得到速度场的离散正定线性方程组；然后直接利用阳l 中的自适应小波方法给出 速度场的自适应逼近解，而压力的逼近解通过一个后处理过程得到 散度自由小波的研究始于9 0 年代初期，当时有两种不同的构造t 一种是由 b a t t l e 和f e d e r b a s h 给出的i 舯】，另一种是由l e r n a r i d 给出的1 8 】前者是正交小 波，但不具有紧支撑；后者构造的是具有紧支撑的双正交小波，而且双正交对中 只有一个满足散度自由条件同时l e m a r i d 证明t 二维散度自由小波的正交性和 紧支性不能兼容【8 1 】1 9 9 8 年，l a k e y 和p e r e y r a 将此结果推广到任意维数 由此看来，l e r n a r i 的工作很值得重视他的构造基于l 2 ( r ) 上两对满足某种 微分关系的多尺度分析，然后利用张量积得到l 2 ( 严p 上的双正交向量小波和散 度自由小波此外，u r b a n 讨论了非张量积散度自由小波的构造方法1 4 , 1 0 1 关 于散度自由多小波的研究可参见文献【8 3 ，8 4 】这类小波的重要性在于它可应用于 n a v i e r s t o k e s 方程的数值解和不可压缩湍流的分析i 黯】一1 9 ” 给定不可压缩湍流数据，小波分解的第一步要求给出速度场在某尺度空间中 的初始逼近，而且保持不可压缩条件对【o 1 1 2 上的周期边界条件，谱方法经常被 用来插值不可压缩湍流速度场i 删设做表示言在2 个格点上的离散f o u r i e r 系数。即 乱一1 - e l o 1 善n - l 。刁( 舻2 “督 ( 1 1 5 ) 0 则言( $ ) =氟e 2 r k 一此时，不可压缩条件d i v - 才= 0 可写为k 氟= k e o 1 一l 2 o ，v k 0 1 ，一1 ) 2 在文献【8 6 】中，d e r i a z 和p e r r e r 利用了l 2 ( 舻) 2 中 1 9 - 北京工业大学理学博士学位论文 的样条小波空间因为速度场才在两个方向上都是1 一周期的，所以用l 2 ( 【o ，1 1 2 ) 2 中的尺度空间1 j 更为合理，接下来的小波分解也应该在l 2 ( 0 ，1 1 2 ) 2 中的散度自 由小波基下进行因此，我们面临下面两个问题： 1 选择【0 ，1 2 上适当的散度自由小波基，使得初始逼近保持不可压缩条件； 2 初始逼近和进一步的小波分解应该具有快速算法 虽然已有很多【0 ，1 】上的双正交小波【2 一，然而边界附近的小波基元素并不 是实直线上小波的简单限制，而是一些函数的线性组合鉴于此，h a r d i n 和 m a r a s o v i c h 于1 9 9 9 年利用分形插值函数构造了实直线上的双正交多小波【3 】这 类小波的特点是：它们在【0 ，1 】上的限制就是三2 ( 1 0 1 】) 的双正交多小波，而不需 要专门构造边界小波 2 0 0 0 年，l a k e y 和p e r e y r a 利用s t r e l a 的双尺度变换 对h a r d i n 和m a r a s o v i c h 的双正交小波进行光滑化和粗糙化得到一对新的双正 交小波基，它们在【0 ，1 】上的限制也是l 2 ( 0 ，l 】) 的双正交多小波 利用上述小波并根据张量积方法便得到l 2 ( 【o ，1 2 ) 2 上的双正交向量多小波和 散度自由多小波，我们把这类小波称为h m ( h a r d i n m a r o z o v i c h ) 散度自由多 小波在第三章的第二部分，我们给出关于这类小波的几个注记首先说明具有 切向边值的散度自由向量场的双正交投影是散度自由的，并利用流函数的概念给 出h m 散度自由尺度函数及其系数的具体算法；其次给出h m 散度自由小波系 数的个快速算法；最后证明由谱方法得到的不可压缩速度场的初始逼近可以通 过简单而精确的计算得到 散度自由小波求解s t o k e s 问题的优点在于处理正定算子才对这样的算子 方程：巯= 7 ，还有另外一种自适应小波方法( 称之为椭圆算子方程的自适应小波 g a l e r k i n 方法) 它是由d a h l k e 等人于1 9 9 7 年在文献【3 3 】中首次提出的四 2 0 - 第1 章引言及预备知识 年后，c o h e n ，d a h m e n 和d e v o r e 分析了它的逼近误差关于自由度的指数衰减 嘲为介绍这种自适应方法。两个基本的数值步骤是必要的，记俨( a ) = ： - = ( 矾) v 俨( v ) ：矾= 0 ，a 譬q 定义截断算子p ：妒( v ) 护( a ) 为 i 面 a a ( p 面h = ： 10。， ， g a l e r k i n 给定一个有限子标集acv ，g a l e r k i n 表示通过解线性方程 组p 再- = p 7 决定面的逼近t a 胪( a ) g a l e r k i n 解- 有一个重要性质：对任意满足4 ( s u p p 西1 ) sb a 的豇1 ，悔一 - 0 | _ 一- i 玑这里l 1 j 2 = ：( _ ，) 是俨( v ) 中的能量范数 g r o w 给定子标集a 和它的g a l e r k i n 解- ，g r o w 确定包含a 的最小子标 集7 【使得 i p x r a i 卢( v ) 2 判“怯( v ) ，其中r = ：7 一一a t 记日= f 承石f 匹， 则怖一_ 五0 硼西一- 0 嘲 a l g o r i t h m ： 令a 0 = o 和7 o = 7 对j = 0 ，1 ，2 ，首先利用g a l e r k i n 再利用g r o w 从确定+ 1 c o h e n ，d a h m e n 和d e v o t e 证明了下面的结论l 定理1 5 1 例假定万是对称正定拟稀疏矩阵，；= s + i 1 且8 + = ：m i n 一 ，g 1 ) 那么存在享( o ，3 ) 使得当8 ( o ，畜) 且t 掣( v ) 时，由a l g o r i t h m 得到的g a l e r k i n 逼近面札满足 0 西一i _ a 。0 芦( v ) c ( r ) l i _ 0 辟( 可) 0 a 知) 一( 1 - 1 6 ) 2 1 北京工业大学理学博士学位论文 设：_ a 是矩阵万在a 上的限制证明上述定理的关键在于证明i i 瓦1 怯一等 关于a 的一致有界性( 3 5 1 ，定理4 9 ) ，其中用到了 0 掣一辟是一个矩阵范数的 事实在本文第四章，我们举例说明”怯一掣不是一个矩阵范数幸运的是， 椭圆算子方程的解t l b ；“( 上，( f 2 ) ) ，其中= 8 + i 1 ( 【7 6 】) ，这等价于西e 7 ( v ) ( 【1 3 】) 因此，我们在的框架内重新分析a l g o r i t h m 的逼近误差，得到定理 4 2 ，1 和( 1 1 6 ) 中的常数g ( r ) 相比，我们的e ( 7 - ) 可以被g g 取代这里口是 最佳一项逼近中的常数 在本小节的最后，我们指出目前散度自由小