（机械设计及理论专业论文）齿轮传动动载荷沿啮合线分布规律的研究.pdf

太原理1 大学硕二 一研究生学位论文 齿轮传动动载荷沿啮合线分布规律的研究 摘要 在现行齿轮传动设计中，一般采用动载系数反映齿轮传动过程的动 载效应，而在确定动载系数时，往往基于轮齿啮合刚度的平均值而忽略 了时交鞴l 度对轮齿载荷的影响，这与齿轮传动的实际状况出入较大。闲 为齿轮在传动过程中，由于单、双齿啮合的交替变化，轮齿啮合刚度会 发生突变，此外，就现在的齿轮加工工艺而言，不可避免地存在着轮荫 制造误差。所有这些均会引起齿瑟载荷的瞬态变化。因此，在考虑轮胬 时变刚度和制造误差的基础一k ，探讨齿轮传动动载荷沿啮合线的变化是 完全必要的。 本文从啮合刚度入手，采用w e b e r 变形计算公式计算轮齿的变形， 进丽求得轮拨在任意啮合辩刻豹综合啮合月i 度。在此基础上，将齿轮基 节误差和齿形误差计入，应用i s o 标准中所推荐的动载荷计算公式进行 理论计算，从而求得了齿轮传动动载衙在个啮合周期内的变化曲线。 所得结果表踞：由予轮齿啮合刚度的周期性交化，齿轮传动动载旖也随 之呈周期性的变化。在节点附近，随着轮齿啮合刚度的变小，齿轮传动 动载荷增大；相反，在啮合线上的其它位器，由于轮齿啮合刚度的变大， 齿轮传动动载荷相应减小。接着，本文利用a n s y s 分析软件建立了齿轮 传动的有限元模型，通过动态模拟，得船了齿轮传动动载荷随时间的变 太原理： 大学硕七研究生学位论文 化曲线。与理论计算所得的动载荷曲线相比，其变化趋势基本- 致。只 是模拟所得的结果偏小，在双齿啮合区和单齿啮合区，其动载荷峰值比 理论计算所得的相应峰值分别下降了3 3 和7 9 。最后，将理论计算结 果、模拟所得结果与i s o 中所接荐的直齿轮传动的理想载苟分布图进行 了比较，指出理想载蕊分布图中的静载荷峰值明显低于相对应的动载蒋 峰值。因此，基于此理想载蘸分布图进行鸯轮强度设计有时是不安全的。 本文的不足之处在予将轮齿制造误差的随机波动值，简化为平均值， 因而不能充分反映制造误差对动载衙的影响情况。此外，在有限元分析 中，采用二维啮合传动模型，这种简化势必产生计算误差。 关键谲：时变刚度，基节误差，齿形误差，有限元模型，载荷分布 i l 太骧理工大学硕士研究生学位论文 s t u d yo fd i s 髑r i b u 髓o nl 气w0 fd y n a m i c l o a da i 。0 n gt h eu n eo fa c t i o n i ng e a r 弧a n s m i s s i o n a b s t r a c r g e n e r a l l ys p e a k i n g ，i ng e a rt r a n s m i s s i o nd e s i g n ，d y n a m i cl o a d c o e f f i c i e n ti s a p p l i e d t or e f l e c tt h ee f f e c t o fd y n a m i cl o a d ，h o w e v e r , c a l c u l a t i n go fd y n a m i cl o a dc o e f f i c i e n tu s e sa v e r a g ev a l u eo fm e s h i n g s t i f f n e s s ，n e g l e c t st h ee f f e c to ft r a n s i e n ts t i f f n e s s ，w h m hi sd i f f e r e n t i a lf r o m p r a c t i c a lc o n d i t i o n b e c a u s et h es t i f f n e s sc h a n g e sa tt h et r a n s i t i o n sb e t w e e n t w op a i r so fg e a rt e e t ha n do n ep a i ri nt h ed u r i n go fg e a rt r a n s m i s s i o n b e s i d e s ，m a n u f a c t u r i n ge l r o r s ，a l lt h e s ec a nc a u s et r a n s i e n tc h a n g eo fl o a d s o ， i ti s n e c e s s a r yt os t u d y i n gd y n a m i cl o a da l o n et h el i n eo fa c t i o ni ng e a r t r a n s m i s s i o n ，b a s e do nm a n 溅a c t u f i n ge r r o r sa n dt r a n s i e n ts t i f f n e s s f i r s t l y , t h ep a p e ru s e sw e b e r sf o r m u l af o rc a l c u l a t i n gt h ed e f o r m a t i o n o ft e e t h ，o b t a i n so v e r a l lm e s h i n gs t i f f n e s so fg e a rt e e t ha t d i f f e r e n tt i m e b a s e do ni t ，t h i sp a p e rc o n s i d e r sb a s ep i t c he r r o r sa n dp r o f i l ee r r o r s a p p l i e s i s o sf o r m u l a ，g m n st h ev a r i a t i o nc u r v eo fd y n a m i cl o a di no n em e s h i n g p e r i o d f r o mt h er e s u l t ，i ti sf o u n dt h a tt h ed y n a m i cl o a di sc y c l i c a l l yv a r i a n c e ， b e c a u s eo ft h em e s h i n gs t i f f n e s so fg e a rt e e t hi s p e r i o d i cv a r i a t i o n i nt h e i i i 太原珲i 大学硕：瓤嚣究生学 j ：论文 v i c i n i t y o ft h e p i t c hp o i n t , t h es m a l l e rm e s h i n gs t i f f n e s si s ，t h eh i g h e r d y n a m i cl o a di s ，a to t h e rp o i n t s ，t h eh i g h e rs t i f f n e s si s ，t h es m a l l e rd y n a m i c l o a di s 。s e c o n d l y , u s i n ga n s y s ，i td e v e l o p st h ef i n i t e e l e m e n tm o d e lo f g e a r t r a n s m i s s i o n ，t h r o u g hs i m u l a t i n g ，a c h i e v e st h ev a r i a t i o nc l l r v eo fd y n a m i c l o a da l o n gt h et i m e t h er e s u l to fs i m u l a t i o ni ss m a l l e rt h a nt h e o r e t i c a lr e s u l t ， t h em a x i m u mv a l u ea tt w op m r sh a sad r o po f3 3p e r c e n t ，t h em a x i m u ma t o n ep a i rh a sad r o po f7 , 9p e r c e n t l a s t ，t h ep a p e rc o m p a r e st h e s er e s u l t so f t h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o na n ds i m u l a t i o nw i t hi d e a id i s t r i b u t i o nc h a r to fl o a do f l s o ，i t sf o u n d e dt h a t 搬em a x i m u mv a l u eo fs t a t i c o a do fl d e a ld i s t r i b u t i o n i so b v i o u ss m a l l e rt h a nt h ev a l u eo fd y n a m i cl o a d + t h ed e f e c t so ft h ec u r r e n ts t u d yl i ei nm a n u f a c t u r i n ge h 、d r st h a ti s r a n d o mv a r i a b l ea r es i m p l i f i e da v e r a g ev a l u e s ，w h i c hc a nn o te n o u g hr e f l e c t t h ee f f e c to f m a n u f a c t u r i n ge r r o r so i ld y n a m i ct o a d 。b e s i d e s ，u s i n g2 - dm o d e l i nf i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s ，t h i sm o d e l m a y l e a dt oc a l c u l a t i n ge r r o r s + k e yw o r d s ：t r a n s i e n ts t i f f n e s s ，b a s ep i t c he r r o r , p r o f i l ee r r o r , t h ef i n i t e e l e m e n tm o d e l ( f e m ) ，d i s t r i b u t i o no f l o a d 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 前人工作综述 第一章绪论 齿轮传动是机械传动中最重要的传动形式之一。它具有传动效率高、结构紧凑、 传动平稳、传动比变化范围大等优点，因此被广泛应用并经久不衰。随着齿轮传动向 重载、高速、低噪音、高可靠性方向的发展，齿轮传动过程中的动态效应日益突出。 齿轮在啮合传动过程中所受的载荷是引起轮齿损伤的基本因素。根据载荷之来源一般 可将其分为两部分：一部分来源于齿轮啮合的外部，如工作载荷和外部附加载荷：另 一部分来自齿轮啮合的内部，如因齿轮制造误差或轮齿变形等在啮合运转中产生的附 加动载荷。动载荷对齿轮传动寿命有重要影响【l j ，因此有不少学者先后对此做了研究。 为了总结已有研究成果，阐述本项研究的必要性和可行性，以下将从四个方面对国内 外同类研究进行综述和分析。 1 1 1 齿轮传动动载冲击理论的研究 动载冲击理论是早期齿轮传动动载计算的理论基础。上世纪4 0 年代末，美国学 者b a c k i n g h a m l 2 l 提出了动载峰值理论，阐明齿廓误差是产生齿轮动载的根本原因：强 调由于齿廓误差的存在影响了轮齿间的共轭关系，齿轮速度将发生变化，相应地齿轮 将会有加速力存在，但将齿轮看作弹性构件，其加速力不可能大于使弹性齿轮上全部 有效误差消失所需施加的极限变形力。在加速力的作用下，齿面脱离接触，而在工作 载荷的作用下，齿面又相互靠拢，从而发生冲击，产生动载。其齿轮冲击的力学模型 如图卜1 所示，其动载荷可用下式计算： 砰0 = w + 丘( 2 f 一厶)【1 1 j 其中：缈一工作载荷；丘一弹性加速力；，一极限变形力。 随后，原苏联学者提出了动载计算方法。认为基节误差是齿轮产生动载的根本 原因，如果主动轮的基节偏大。) p 。：) ( 图1 2 ) ，则前一对轮齿不能按时脱离接触， 太原理工大学硕士研究生学位论文 后一对轮齿也不能准时进入啮合，齿轮在不共轭的条件下工作。经过一段时间之后， 后对轮齿开始啮合，这样轮齿齿面上受到一个由于变速所引起的冲击力作用( 通常 称为中问冲击) ，进而构成齿轮的动载。其近似计算式如一f ： w 。= 0 8 v 、萼巫 ( 1 2 ) 其中：u 一节圆速度；日一中心距；f 一传动比：a o 一基节误差：瓯一冲击变形。 冲击时刻 图卜1 齿轮冲击的力学模型 f i g l 一1m e c h a n i c a lm o d e lo f g e a ri m p a c t 2 力时刻 太原理：j 二大学硕士研究生学位论文 图卜2 齿轮啮合的基节误差 f i gi 一2b a s ep i t c he r r o r o f s p u r g e a r 11 2 齿轮传动动载振动理论的研究 冲击理论的模型中由于没有弹簧元件，因此它不能解释齿轮传动中的共振现象。 上世纪5 0 年代末，h a r r i s l 3 1 在b a c k i n g h a m l 4 i 的动载理论基础上提出了齿轮动载受速 度、轮齿的刚度及轮齿分离的影响，从而使齿轮动载的研究进入了振动领域。7 0 年 代末，c o r n e l l 和w e s t e r r e l t l 5j 提出动载受齿形、转动惯量、阻尼、系统极限速度的 影响。接着，k a s u b a 和e v a u s 6 1 又提出轮齿啮合刚度是引起齿轮动载的一个非常重 要的因素。随后，t e r a u c h i e t a l l 7 1 和m a r k f 8 愫讨了齿形及传动误差对动载的影响。齿轮 动载振动理论的出现，促使人们运用振动理论分析在啮合刚度、传递误差和啮合冲击 作用下系统的动力学行为。 进行振动分析，首先应当分析激振源( 即激振力或激振位移等) ；其次应当建立 动力学模型，即列出振动系统的运动微分方程，然后通过对其求解，获得系统对激振 的响应，得到幅频特性曲线，从而求得系统的动载。英国的t u p l i n l 9 , 1 0 】利用楔块弹簧 系统模拟齿轮传动，估算了由基节误差所产生的齿轮动载，并在扭振系统模型中引入 了等效转动惯量和等效刚度，从而获得系统的一般频率方程： 3 太原理：i = 大学硕士研究生学位论文 a o x 月+ g i x 月一1 + + r - i x + 口只= 0( 1 3 ) 其中：r 为自由度数。 通过理论分析，t u p l i n 求得了直齿轮传动的幅频特性曲线( 图1 3 ) 。从图中可以看出 齿形误差 对齿轮动载的影响远大于基节误差_ 的影响，这为i s o 的动载计算 奠定了基础。顺便指出，1 s o 计算方法中认为齿轮的振动有三个激振源，即轮齿的基 节误差厶，轮齿的齿形误差办和随时间变化的轮齿啮合刚度k 。其动载幅频特性曲 线是通过试验测得的，它与t u p l i n 所得的幅频特性曲线基本吻合，所不同的是i s o 考虑了重合度s ， j 2 1 对动载的影响。 a 一、j |；f t f p“ a s 、 f 彳 a h y y ， 罗 参 己 图1 - 3 直齿轮的幅频特性曲线 f i g1 - 3s w i n gf r e q u e n c yc u r v eo f s t a n d a r dg e a r 4 1 0e 0 r f 太原理：l ：大学硕士研究生学位论文 1 13 轮齿变形的研究及发展概况 轮齿啮合刚度是影响齿轮动载荷的一个非常重要的因素。而轮齿变形的计算又是 研究轮齿刚度的基础。1 9 2 9 年，r a n d l l 3 利用等截面悬臂梁模拟轮齿来计算其弹性变 形。之后，w a l k e r 等人1 1 4 - 1 6 1 基于实验研究，得出了轮齿的变形。1 9 4 9 年，w e b e r 和 b a n a s c h e k 1 在上述研究的基础上，首次将轮齿的变形分解为弯曲变形、剪切变形和 接触变形，用能量法建立了轮齿变形量的计算方法。近2 0 年来，采用有限元法、边 界元法等现代方法，计算轮齿变形的研究报道频频出现。与此同时，轮齿变形的测量 方法也相应得到发展，由机械杠杆式加载测量到激光全息法测量和激光散斑法测量， 但这些研究还仅处于对轮齿变形的静态测量阶段。到目前为止，对轮齿变形的动态测 量研究尚在起步阶段。 1 14 齿轮传动动载荷的研究现状 齿轮传动可视为两弹性体的啮合传动系统。对于渐开线直齿圆柱齿轮传动，由于 在齿轮传动过程中参与啮合的轮齿齿对数的周期性变化，使得轮齿的综合啮合刚度也 随时间呈周期变化。此外，由于齿轮本身存在制造误差，这些激励源将使齿轮动载也 产生周期性变化。早在1 9 5 8 年，h a 仃i s 【3 就认为轮齿的误差激励是引起齿轮动载振动 的三种主要内部激励之一。但直到现在，大部分学者仍然将其处理成单一谐波的周期 激励。1 9 8 9 年s a h i r 和a r i k a n l l 8 1 引入了啮合刚度的概念，研究了直齿轮的动载效应， 之后，k u a n g 和y a n g 1 9 1 基于由标准齿条刀具生成的过渡曲线，通过计算得出了不修缘、 无误差的理想直齿轮传动沿啮合线的单位法向载荷图( 图卜4 ) 。2 0 0 0 年，张怀锁1 2 叫 对齿轮系统时变啮合刚度进行了傅立叶展开，获得三次谐波并应用谐波平衡方法对齿 轮系统的动力特性进行了分析，但在分析中没有考虑误差激励的影响。同年，卢立新 【2 l 】针对转子直齿轮传动系统建立了动力学模型，通过动力学模拟计算，得到一个 振动周期内的动载荷变化曲线。2 0 0 2 年赵菊初| 2 2 】直接从分析渐开线直齿圆柱齿轮啮 合运动及受力状况入手，推导出其边缘冲击动载荷的计算公式；并用试验数据对所得 公式进行了修正；然后与1 s 0 标准中的动载荷计算公式进行了比较，提出了对该公式 进行修正的建议。2 0 0 3 年王玉新和柳杨1 2 3 j 以振动理论为基础，建立了动载荷的理论 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 冲击模型，在模型中考虑了齿轮正、反冲击时实际的啮合刚度，在考虑静态传递误差、 啮合刚度、侧隙、摩擦力以及外部扭矩变化等多种激励的基础上，分析了作用在轮齿 上的动态载荷以及整个齿轮上的综合动态载荷的变化情况。 图1 - 4沿啮合线的单位法向载荷 f i g1 - 4u n i tl o a da l o n et h el i n eo f a c t i o n 1 2 有限元分析法在齿轮传动研究中的应用动态 有限元分析技术最早出现在上个世纪5 0 年代。随着计算机技术和数值分析技术 不断发展，有限元分析技术迅速扩展到多种工程应用领域，并发展成为一门新兴学科。 利用有限元法进行齿轮传动问题的研究，在国外起步较早。1 9 7 3 年，w a l l a c e l 2 4 1 建立 t - - 维单齿模型，模拟齿面上三个离散点的赫兹冲击和移动载荷下的应力和变形；接 着，c h a b e r t l 2 5 1 采用类似的模型，分析了不同齿数和齿根圆半径的轮齿应力和变形。 在我国，1 9 8 0 年，魏任之【2 6 j 在对各种参数的轮齿进行有限元分析的基础上，根据所 得结果回归拟合，得到了直齿轮单齿模型受载点的法向挠曲变形图，这是对载荷沿啮 合线变化规律的一种间接、初步的反映。但他们在研究中所建立的有限元模型都略显 粗糙。1 9 9 5 年龙慧、张光辉1 2 ”等基于有限元法，建立了能随啮合过程变化自动调整 6 太原理：c 大学硕士研究生学位论文 接触区和整体模型的啮合轮齿有限元分析模型，并结合i - d e a s 软件后处理模块实现 了齿轮啮合过程中载荷及应力的计算机模拟，由于他们的研究同k u a n g 和y a n 9 1 1 9 一 样，都是基于理想的直齿轮模型，尽管后者将有限元分析应用其中，但他们的分析结 果却基本吻合。2 0 0 4 年周长江、唐进元【28 】等根据齿轮啮合原理，创建了精确的二维 和三维动态有限元模型，得出受载点的变形历程图，并与魏任之所得结果进行比较， 其变化趋势基本一致。以上的齿轮传动有限元分析模型及现有的许多有限元分析 2 9 - 3 4 】 中，由于都是采用单齿或三齿的齿轮传动模型为研究对象，其相对轮齿实际形状及齿 轮传动实际工况而言，几何形状简化太多，约束状况改变太大，且由于齿轮连续传动 特性要求其轮齿间啮合的重合度大于1 ，从而导致该有限元分析模型不能真实、完整 地反映轮齿在一个啮合周期内的动态特性变化规律。2 0 0 5 年，包家汉，张玉华 3 5 , 3 6 等建立了完整的直齿圆柱齿轮啮合传动模型，并利用有限元法，研究了齿轮啮合过程 中，随着啮合位置的变化，齿面接触应力和齿间载荷分配的情况。同时，在主动轮和 从动轮间设置接触单元，通过主动轮的连续转动，带动从动轮运转，动态地仿真齿轮 传动过程中齿根应力的变化规律。浚模型虽然属于二维有限元分析模型，但这种尝试 开创了齿轮传动研究中，进行有限元整体建模及动态模拟的先河。 1 3 本文研究的主要内容、目的及意义 1 3 1 本文主要研究内容 ( 1 ) 采用w e b e r - - b a n a s c h e k 变形计算公式来计算轮齿的变形，进而求得啮合轮 齿在任意时刻的啮合刚度： ( 2 ) 基于i s o 标准所推荐的齿轮动载计算理论，分析在一个啮合周期内的动载荷 变化规律； ( 3 ) 利用a n s y s 的“自底向上的建模法”建立齿轮传动的整体模型； ( 4 ) 用有限元法对轮齿啮合模型进行分析，得出沿啮合线的动载荷变化曲线图， 并将分析结果与理论计算结果进行比较。 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 3 2 本文研究的目的及意义 齿轮传动设计中，动载荷是应予考虑的重要因素之一。然而，传统的动载荷计算 中，均基于轮齿啮合刚度的平均值，忽略了时变刚度对动载荷的影响。本文在考虑时 变啮合刚度的基础上，分析齿轮传动动载荷沿啮合线的变化规律，使所得结果更接近 于实际工况。另外，为了检验理论计算结果的正确性，本文应用a n s y s 分析软件对齿 轮动载荷进行动态模拟。这种借助计算机软件模拟分析的方法，有利于克服理论计算 过程中因模型简化所带来的计算误差，同时，也是将理论计算与有限元动态仿真相结 合的一种有益尝试。 8 太原理：i ：大学硕士研究生学位论文 2 1 轮齿的变形 第二章齿轮传动啮合刚度的计算 运转着的齿轮机构，在考虑了其所受的实际外载荷后，其内部的实际载荷还会 有不同程度的变化，在齿轮强度设计中，不能忽视由这种变化造成的齿轮载荷动态效 应。这就是说，即使在动力和负载均无变化的理想情况下，齿轮内部的相互作用力也 难以维持不变。这种高出名义值的内部附加载荷，称之为齿轮的动载荷。齿轮动载荷 来源于齿轮的制造误差、轮齿啮合刚度的变化、轮齿重合度的非整数性、啮合点处相 对速度的变化以及间隙影响等。一对具有一定转动惯量的齿轮副在并不绝对共轭的条 件下工作时，其重合度不为整数。由于齿轮在啮合过程中，单、双齿交替工作，轮齿 的啮合刚度会不断发生改变，从而使齿轮机构传递的载荷发生波动，进而产生振动和 冲击。由此可见，轮齿啮合刚度在相当大的程度上影响着齿轮传动的动载荷，因此有 必要对其做深入细致的分析，而研究齿轮的啮合刚度首先需要讨论轮齿变形。使一对 或几对同时啮合的轮齿在单位齿宽上产生单位挠度所施加的载荷称为轮齿的啮合刚 度。设齿轮宽度为b ( m m ) 、齿轮所受的载荷为f ( n ) 、轮齿的总变形量为占湎) ， 那么轮齿上的载荷集度，即轮齿单位齿宽上的载荷w 为： w = f b m m( 2 1 ) 轮齿柔度为： q = 酬w锄m m ) n( 2 2 ) 则轮齿啮合刚度为： k ：土：罢：- f n ( m 棚彬) q 6b 6 。( 2 3 ) 这里轮齿的总变形万是弯曲变形、剪切变形、接触变形的总和。因此总柔度q 应 为这些柔度的总和，即： 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 言：粤：鲁：铲a ( 2 - 4 ) 轮齿变形的计算可以采用多种公式，其中w e b e r - - b a n a s c h e k 公式较为常用。这 是因为该公式的计算模型为原始齿廓( 图21 ) ，且公式中的积分计算可以在计算机 上进行。鉴此，本文采用w e b e r - - b a n a s c h e k 公式计算轮齿的变形。应用该公式计算 变形时，一般假定，其变形由以下三种局部变形组成：弯曲、剪切变形6 z ( 图2 - 2 ) ； 基础部分的变形晶( 图2 - 3 ) ；接触变形如1 2 ( 图2 - 4 ) 。这三种变形可分别按下式确 定【3 7 】： 屯= 瓮( c o 呱) 2 卜孤冲( h 。- y ) d y + 3 1 x6 + 0 2 9 4 x 鲥) 捌( 2 - s ) 式中x ，y 分别为计算点的坐标，口，为计算点的啮合角。 靠= 瓮x ( c o 鸭) 2 卜等+ 。( 1 + 0 2 9 4x ( 榭l 口s ) 式中各参量如图2 - 3 所示 矿o s s 鲁( ，n 孕地2 。h 2 - o 。z ，) ( 2 - 7 ) 式中h 。、h ，如图2 - 4 所示，a 为赫兹接触半径： g = 1 5 2 x 这里p 。、岛分别为两轮轮齿齿面在接触点处的曲率半径。由上面的计算可求得一对轮 齿的总变形量为： 毛= 卤+ 屯+ 如啦 ( 2 8 ) 式中占。= j ：，+ 占。以= 6 。：+ 6 。：。这样，在齿廓上依次取点对j 进行计算，便可得 出轮齿在啮合过程中的变形曲线。 l o 太原理：c 大学硕士研究生学位论文 图2 - 1w e b e r 公式的轮齿模型 f i g2 - 1 t o o t hm o d e lo f w e b e rf o r m u l a r 图2 - 2 轮齿弯曲剪切变形 f i g2 - 2t o o t hd e f o r m a t i o no f b e n da n dc u t 奎堕望王奎堂堡主婴窒竺堂堡堡塞 图2 - 3 基础部分的变形 f i g2 - 3d e f o r m a t i o no f b a s ep a r t 图2 - 4 轮齿接触变形 f i g2 - 4c o n t a c td e f o r m a t i o no f t e e t h 公法线 太原理工大学硕：e 研究生学位论文 利用计算机计算轮齿变形过程中，需要求解以下两项定积分 丁簪咖 川= 强0 咖 本文采用高斯法【3 8 1 求解上述数值积分，其积分公式为： ，：b f 厂( 工) ：投。量彳t 厂g t ) ( 2 - 2 - 9 )，= f ，b 皿z 以。厂k ) ) 口 k = l 积分时，将区间( d ，6 ) 分成n 个子区间。应用上述积分公式求出g ) 在各个子区间上 的积分。最后将这几个积分相加，即可得到厂( 工) 在( a ，6 ) 区间上的积分。 2 2 轮齿啮合刚度的计算 一对轮齿啮合过程中，其啮合刚度始终处于变化之中。为了求得单对轮齿的啮合 刚度和啮合总刚度，通过分析不同时刻的轮齿变形即瞬时柔度，即可求得轮齿在不同 啮合位置时的瞬时啮合刚度k ( f ) ： k ( f ) = ) ( 2 - l o ) 当一对轮齿在双齿啮合区啮合时，齿面接触载荷由两对轮齿来共同承担。此时， 轮齿总啮合刚度k 。( f ) 为： k c ( ，)圭k ，( f ) i = l ( 2 1 1 ) 如图2 - 5 所示，设一对轮齿在b l 点处进入啮合，在b 2 点处脱离接触，则在啮合 线上b l d l 段与d 2 8 2 段为双齿啮合区，d i d 2 段为单齿啮合区。在双齿啮合区的任意 一点k ，与其同时啮合点为k 点，两点在啮合线上相差一个基节长p 。齿轮的重合 度为f 。= b i b 2 p 6 ，b l d 2 段和d l b 2 段分别为齿轮啮合传动的一个啮合循环，啮合循 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 环周期为t ：6 0 ，其中：为齿数，。为相应齿轮的转数。在单齿啮合区，轮齿综合 啮合刚度为单齿对刚度，啮合时间为r ，= t ( 2 一占) ；在- 。- j 。 = 。区，轮齿综合啮合刚 度为同时啮合的两对轮齿的单齿对啮合刚度之和，啮合时间为，：= t b 一1 ) 。在双齿 啮合区中，设啮合齿副1 及啮合齿副2 沿啮合线度量的啮合刚度分别为k 。o ) 、k ：( f ) ， 啮合点沿啮合线的位移量为x ，两个啮合齿轮副共同承担法向载荷凡。则齿副i 承 担的载荷目。及齿副2 承担的载荷r ：可用下式求得： i f + f n 2 = f n 凡- = 蜀( r ) x( 2 1 2 ) l 目：= k ：o h 故可解得： f n 、= l f n ：r j2 铃 弘淌 式中，专称为啮合齿副的载荷分配系数。 图2 - 5 啮合区间示意图 f i g2 - 5s k e t c hm a po f s p u rg e a r s 1 4 ( 2 1 3 ) 太原理：i = 大学硕士研究生学位论文 因为齿轮啮合的一个周期为砭，并考虑到当双齿啮合时，齿副】和齿副2 的啮 合点正好相差一个基节，故有： k ，( f + t ) = k ：( ，)( 2 1 4 ) 在单齿啮合时，因为只有一对轮齿参加啮合，故有： f n 、2 f n 从啮合过程中载荷和啮合齿副数的变化可以看出，一对轮齿在啮合传动过程中， 由于啮合齿副数目的变化而引起轮齿上载荷的突变，是造成齿轮传动冲击振动的原因 之一。 对应于啮合线上的任意一个啮合位置，不难确定w e b e r 公式中的各个参数，从而 求得轮齿的综合啮合刚度。图2 - 6 为基于w e b e r 公式利用本文所编制的计算机程序所 求得的轮齿综合啮合刚度随啮合位置变化的曲线。从中可以清楚地看出，综合啮合刚 度随啮合点的不断变化而发生周期性的变化，轮齿在一个完整的啮合历程中，由于单、 双齿啮合的交替变化，轮齿啮合刚度在交替瞬时发生突变，且双齿啮合的综合啮合 刚度为同时啮合的两对轮齿的单齿对啮合刚度之和。 1 5 太原理：l 大学硕士研究生学位论文 苣 j 、呈 曼 堡 窿 如 挈 蜩 辞 x 1 0 。 图2 - 6 轮齿综合啮合刚度 f i g2 - 6t h ei n t e g r a t es t i f f n e s so f t e e t h 转m r a d ( = 1 2 0 0 r m i n ，m = 4 m m ，z 1 = z 2 = 4 0 ) 1 6 4 3 3 毛 2 i 太原理工大学硕二t 研究生学位论文 第三章考虑时变啮合刚度和制造误差后的 齿轮传动动载荷的分析计算 如前所述，齿轮在运转过程中，不可避免地承受动载荷的作用。齿轮传动动载荷， 是由于齿轮本身的原因而引起的，所以要研究动载荷就必须从其产生的原因入手。影 响齿轮传动动载荷的因素很多，其中主要有轮齿的制造误差、轮齿的刚度变化和重合 度不为整数等。 3 1 基于振动理论的分析模型 齿轮传动系统是一个多自由度振动系统，因而，其振动分析是较为复杂的。为了 减少数学分析的困难，齿轮系统的动载荷一般分解成外部附加动载荷与内部附加动载 荷两部分。内部附加动载荷是由于齿轮副本身原因造成的振动所引起的。严格说来， 一个多自由度系统的振动问题，其内、外部原因是不可分割的，应当综合考虑。但是， 若将齿轮副单独抽出来，它的固有频率与原系统的最高阶固有频率是相近的。这样， 为了便于考察内部附加动载荷，常把齿轮副简化成二质量振动问题来研究。 3 1 1 齿轮传动系统的动态啮合模型 连续系统简化到离散系统要遵循一定的原则，使得经简化得到的系统尽可能地与 原系统在主要的振动特性上十分接近，这样得到的系统一般为等效力学模型。 3 1 1 1 单级齿轮传动系统的等效力学模型 在如图3 1 所示的单级齿轮传动系统中，转动惯量较大的是原动机、联轴器、传 动轴、啮合齿轮及负载，在引入等效转动惯量j 和等效刚度k 之后，可以将它们之间 的连接轴简化为只有扭转刚度而无转动惯量的各轴段，而将轴的转动惯量叠加到与其 一起运动的原动机、联轴器及齿轮的转动惯量上，简化成为只有转动惯量而无弹性的 圆盘。所得扭转振动等效力学模型如图3 2 所示。 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 输入轴 图3 - 1 单级齿轮传动系统 f i g3 - 1s i m p l es p u rg e a r ss y s t e m 图3 - 2 扭转振动等效力学模型 f i g3 - 2t h ee q u i v a l e n td y n a m i c sm o d e lo f t o r s i o nv i b r a t i o n 3 1 1 2 横向振动等效力学模型 将轴承视为简支支承，两支点间如果是阶梯轴，则根据集中质量所在位置的静挠 度不变准则求出一具有当量直径的等截面轴，再依据等效质量法将该具有分布质量的 系统简化为具有多个等效质量的集中质量系统，该系统由八个无弹性的质量体和将它 们联系在一起的无质量、多支点的连续梁组成，如图3 3 所示。 18 太原理：【大学硕士研究生学位论文 图3 - 3 横向振动等效力学模型 f i g3 - 3t h ee q u i v a l e n td y n a m i c sm o d e lo f l a n d s c a p eo r i e n t a t i o nv i b r a t i o n 3 1 2 动力学方程 3 121 扭转振动动力掌方程 对于如图3 - 2 所示的八质量系统的扭转振动等效力学模型，应用牛顿第二定律， 不难写出形如下式的动力学方程： 】p + c 。】p + k 。】p ) = 局 ( 3 1 ) 式中：p 】为转动惯量矩阵； 矽 为角位移矩阵； k 。】为扭转刚度矩阵； c 。】为扭转阻尼矩阵： 舷 为扭矩矩阵。 l ，】- d i a g j 7j 5j 3j lj 2j 4j 6j s ( 3 2 ) 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 矽 = b 幺0 3b0 2 只纯嚷 7 【e - 一岛， 岛，+ 南，一如， 一毛，焉，+ 砖h 2 一面k r h 2 一碰k r b 2 k + 鼬k 2 o 岛。如。+ k 。一丘。 一毛。屯。+ 心。一吃。 一 吒。 c 5 7一c 5 7 一c 5 7c 5 7 + c 3 s 一岛5 6 5c 3 s + c 1 3- q 3 一c 1 ，c 1 ，+ c ( f ) 吃。2 一c ( 搋，r b 2 一l ：( f ) ，r b 2c 2 。+ c ( f ) 吃：2 一c 2 。 一c 2 4乞4 + c 4 6一c 4 6 一q 6+ 吒8 一c 6 8 ) _ 阮0 0 t ( f k 一t o k ：00 一t o 。r 式中：e ( f ) 为齿轮制造误差引起的冲击力； k ( ，) 为轮齿啮合刚度； c ( ，) 为轮齿的阻尼系数 0 一c 6 s c 6 8 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 3 1 22 横向振动动力学方程 由图3 - 3 所示的横向振动等效力学模型可得八质量系统的横向振动动力学方程 为： k ，肛 + b 妒 + k ，弦) = e ( 3 - ，) 2 0 k 屿k k 一 一愀 卜rliijillr_iilllil 太原理工大学硕士研究生学位论文 式中，j 为横向振动质量矩阵； k ，j 为横向振动刚度； e ，j 为横向振动阻尼矩阵； ) 为横向振动位移矩阵： 奴 为横向作用力矩阵。 ，j = d i a g m ，坍，m ，m ，。m ，：m ，。m ，。朋，。j 。 y 7y 5 y 3y ly 2y 4y 6y s 】r k ) ： o 00 f ( o 一，( f ) 0 0 o 】r k ， - c ， i s t $ 5 7 $ 3 7 $ 5 5 $ 3 5 $ 3 3 对 e 7 7e 5 7e 3 7 e 5 5e 3 5 e 3 3 对 s 1 7 s 1 5 $ 1 3 5 1 1 + k ( f ) 称 e 1 7 e 1 5 e 1 3 8 1 1 + c ( f ) 称 5 $ 2 5 $ 2 3 一k ( f ) + s 2 1 s 2 2 + k ( f ) e 2 7 e 2 5 e 2 3 一c ( f ) + e 2 1 e 2 2 + c ( f ) 式中：，( f ) 为横向振动激励力，0 ) = t ( f ) + e ，e 为轮齿所受的法向载荷。 2 1 ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 印彬彬蹦脚掰掰郴 酊 矸 以 n 娃 h s s s s s s s 盯 帖 钉 札 铊 “ s s s s s 5 8 8 8 8 8 8 8 p p p p p e e e 7 5 3 i 2 4 6 6 6 6 6 6 6 6 p e p 已 p p e 鲫纠鲫洲 太原理工大学硕士研究生学位论文 31 2 3 扭转振动与横向振动的耦合动力学方程 由于齿轮传动的特殊性，轮齿啮合刚度作为一个内部激励源，不仅引起扭转振动， 而且还引起横向振动。扭转振动转化到啮合平面上，是沿啮合平面的线振动，该线振 动恰好与横向振动在同一方向上，从而齿轮的扭转振动影响到横向振动，而横向振动 又反过来影响扭转振动，这正是齿轮振动问题中的耦合效应。 考虑耦合效应后的动力学方程如下： 阻。】忙。) + 【c 。】p 。 + k 。】 x ， = ( 3 - 1 3 ) 式中：阻。】为耦合振动质量矩阵； k 。】为耦合振动刚度矩阵； b 为耦合振动阻尼矩阵； 。 为耦合振动位移矩阵； 名j 为耦合振动作用力矩阵。 【】= 西幽以以以如以以五嘞坳吩坳r ( 3 1 4 ) = 瞪巧k c ( 3 1 s ) 这里k 。】表示耦合作用的项： k 。】 00 0 0 oo 00 0o oo 00 0 k ( f k j 0 0 0 一k ( t h l o 0 00 0 o o0 0 o oo o 0 o o o o 0 0 o o o o 0 o o o o o 0 o o o 0 0 ( 3 1 6 ) 娩： 飞 ：函警： 太原理工大学硕士研究生学位论文 叫乏芝 其中 c c 为表示耦合作用的项： c 。 = ooo o o 0o o 0 0o o 0 00 c ( f k ， 0 00 一c ( r k l o 00 0 0 0 0o o 0 00 o 0 o 0o o 0 0 o o o o o 0 0 o 0 o o o0 o 00 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 仁。) ：b 如岛吼一20 40 6 吼y 7y 5 y 3y 1y 2y 4y 6y 8 r ( 3 1 9 ) 慨) = 阢00 ，( f k 。一f ( f k ：00 一r o 。0 00 ，( f ) 一f ( f ) 00o j r ( 3 2 0 ) 1 3 2 轮齿的基节误差 基节误差是由于主动轮的基节偏大所引起的，它是影响动载荷的主要因素之一。 从理论上讲，轮齿的基节误差厶是由于周节偏差，和齿形角误差a a 引起的，但在实 际磨齿加工中，可以通过调整机床使齿形角误差达到很小；同时各齿齿形误差基本上 一致，所以根据i s o 齿轮动载荷计算理论，基节误差的计算仅考虑周节偏差的影响【1 l l 。 其关系式如下： 厶= ，。c o s ( 3 2 1 ) 式中：。为压力角 k k ：。m喈： 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 3 轮齿的齿形误差 从某种意义上说，轮齿的齿形误差厂，对齿轮传动平稳性的影响 为重要【3 ”。因为在一对齿轮啮合过程中，角速度的瞬时变化，实质上 相接触两点相对各自理论位置偏离误差之和决定的。严格地说，各自 点的齿形误差。实践证明，在加工中减小齿形误差，对于受力很小、 齿轮来说，可以增大传动中的平稳性，但对于承受较大载荷、作传递 动来说，就要靠齿形修缘来提高传动平稳性。 3 4 齿轮传动动载荷计算的理论基础 齿轮传动动载荷的影响因素很多，本文依据i s o 的计算方法，主 节误差厶，轮齿的齿形误差乃和时变刚度k 三个激振源对动载荷的影响。 3 4 1 频率比的计算 频率比| 也称临界转速比，定义为主动齿轮转速与临界转速之比， 的运动状况。计算公式为： ：旦： ! ! 一 ”自 3 0 1 0 3 7 k l1 t a r e d 式中，n 。为主动轮转速，z 。为主动轮齿数，t a r e d 为齿轮的诱导质量：m 。 它表征系统 ( 3 2 2 ) m i 2 m ，+ m 2 这里两、而2 分别为主动轮和从动轮的有效质量，k 为啮合刚度。 当n l 时，系统为超临界状态；而n = l 时，系 统发生共振。 2 4 太原