（应用数学专业论文）三类生态模型解的全局吸收性及一类logistic模型的振动性.pdf

三类生态模型解的全局吸引性及一类 l o g is t i c 模型的振动性 朱道军 摘要数学生态模型解的全局吸引性是非常重要的研究课题在实际环境 中。影响种群密度变化规律的因素是多方面的，其间的关系也极其复杂多样生 态模型中的某些参数的变化会引起种群稳定性的变化，这就需要对该生态模型 加以控制，以保持该区域的生态平衡本文首先研究了三类生态模型解的渐进 性，其中包括正平衡态的存在性和稳定性，正解的吸引性等，其次讨论了一类 单种群模型解的振动性问题 种群的密度变化率往往很复杂，不但与其在当前时刻以及以前的某一时刻 的密度有关，而且与其种群内部的年龄分布，性别的比率，外界的环境对其产 生的影响等条件有关本文第二章研究了一类多时滞反馈控制l o g i s t i c 模型， 通过构造l y a p u n o v 泛函和利用微分不等式，得到了其全局吸引性的充分条件 在现实生活中，生态系统及其参数受季节变化，食物的增减及动物的配偶 习惯等等诸多因素的影响且并非都是连续性的变化为了更真实的反映此种交 化规律，本文第三章引入了分段常数变量，并且在反馈控制项中考虑了多时滞 函数，研究了一类具有分段常数变量的多时滞反馈控制系统通过构造辅助系统 和l y a p u n o v 泛函，得到了该系统的全局吸引性的充分条件 生物种群从出生到衰老的过程中其生存能力一直在发生变化，甚至在不同 的生长阶段生物种群对外界的环境要求也有所不同，其对外界环境的适应能力 也不一致同时外界环境( 例如环境的污染，地震等灾害) 对生物种群的生存有 很大的影响，种群内部的竞争等对生物种群有反馈控制作用本文第四章在反 馈控制项中引入分段常数变量，研究了单种群线性多时滞反馈控制l o g i s t i c 模 型，得到了其全局吸引性的充分条件 在适宜的环境中，生物种群都有过度繁殖现象，但是在一定的条件下，由 于资源有限，生物种群数量及其密度就会被限制至某一平衡点附近，并且在这 一平衡点附近振动本文第五章研究了一类具有分段常数变量的多时滞l o g i s t i c 模型的振动性通过构造辅助系统，运用特征方程理论，得到了该模型振动性 的几个充分条件 关键词：全局吸引性l o g i s t i c 模型反馈控制振动性 t h eg l o b a la t t a c t i v l t yf o rt h r e et y p e so f e c o l o g i cm o d l e sa n dt h eo s c i l l a t i o n f o r0 n ek i n d0 fl o g i s n cm o d e l z h ud a o - j u n a b s t r a c tg l o b a la t t r a c t i v ef o re c o l o g i c a lm a t h e m a t i c sm o d e l si sa l li m p o t t a n t r e s e a r c hs u b j e c t i nr e a le n v i r o n m e n t s ，t h ef a c t o r st h a ta f f e c tt h ev a r i a t i o no f p o p u l a t i o nd e n s i t ya r em a n y s i d e da n dt h er e l a t i o n sa r ed i v e r s i f i e da n dc o m p l i c a t e d s o m ep a r a m e t e r s v a r i a t i o no fe c o l o g i c a lm o d e l sw i l lc a u s et h ev a r i a t i o no f p o p u l a t i o n ss t a b i l i t y ，w h i c h n e e db ec o n t r o l l e dt o k e e pt h eb a l a n c eo fl o c a l e n v i r o n m e n t i nt h i sp a p e r , t h eg l o b a l a t t r a c t i v i t y i si n v e s t i g a t e df i r s t l y , w h i c h i n c l u d e st h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v et r i v i a ls o l u t i o n ，t h ea t t r a c t i v i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n ，e t c s e c o n d ，t h eo s c i l l a t i o no fat y p eo fs i n g l ee c o l o g i c a lm o d e li s s t u d i e d g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h ev a r i a t i o no f p o p u l a t i o nd e n s i t yi sv e r yc o m p l i c a t e d i ti s r e l a t e dn o to n l yt h ed e n s i t ya tt h ep r e s e n tm o m e n tb u ta l s ot h ed e n s i t ya ts o m e p r e v i o u sm o m e n t m o r e o v e r , t h er e l a t i o n sa m o n gt h e ma r ct h ea g ed i s t r i b u t i o n ，t h e s e xr a t ea n dt h ei n f l u e n c eo fe n v i r o n m e n t ，e t c i nc h a p t e r2 ，am u l t i - d e l a yf e e d b a c k c o n t r o ll o g i s t i cm o d e li ss t u d i e d b yc o n s t r u c t i n g l y a p u n o v - t y p ef u n c t i o n a la n d u s i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h em o d e la r eg o t e c o l o g i c a ls y s t e m sa n dt h e i rp a r a m e t e r si nr e a lw o r l da r ea f f e c t e db ys e a s o n v a r i a t i o n ，f o o d si n c r e a s ea n dd e c r e a s ea n dt h eh a b i to fa n i m a l s p r e g n a n c y , e t c m o r e o v e r , t h e yd o n t a l l v a r yp e r i o d i c a l l y f o rt h es a k eo fa p p r o a c h i n gr e a l p h e n o m e n o n ，i nc h a p t e r3 ，p i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t ss e q u e n c ef u n c t i o ni nt h e f e e d b a c kc o n t r o li si n d u c tt os t u d yam u l t i d e l a yf e e d b a c kc o n t r o ls y s t e mw i t h p i e c c w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t s b yc o n s t r u c t i n ga s s i s t a n ts y s t e ma n dl y a p u n o v f u n c t i o n , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fg l o b a la t t r a c t i v i t yi sg o t t h ec o m p e t i t i v ea b i l i t yo fe c o l o g i c a lp o p u l a t i o nd u r i n gt h e i ri m m a t u r e ，m a t u r e a n ds e n e s c e n ts t a g e si sa l w a y sc h a n g i n g 。e v e ni nd i f f e r e n tl i f es t a g e ，t h ed e m a n d i n g a n dv i a b i l i t yo fs p e c i e si sd i f f e r e n t f u r t h e r m o r e ，e n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o ne a r t h q u a k e a n ds oo nh a v ea f f e c t e dt h ev i a b i l i t yo f p o p u l a t i o n m o r e o v e r , t h ec o m p e t i t i o na m o n g i t h e p o p u l a t i o n h a sf e e d b a o kc o n t r o li nc h a p t e r4 a d a p t i n gp i e c e w i s ec o n t r o l a r g u m e n t si nt c e d b a c kc o n t r o l ，s i n g l ep o p u l a t i o nl i n e a rm u l t i d e l a yf e e d b a c kc o n t r o l l o g i s t i cm o d e li ss t u d i e df r o mo t h e rs i d e b a r b a l a tl e m m ai sa d a p t e dt op r o v et h a t t h ep o s i t i v es o l u t i o ni ss e q u e n c e a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fg l o b a la t t r a a t i v i t y h a sg o t o v e r - p r e g n a n c yi st h ec h a r a c t e ro f p o p u l a t i o n sb u t ，a tnc o n d i t i o n ，t h er e s o u r c e s a r el i m i t e ds ot h a tt h ea m o u n to fp o p u l a t i o na n di t sd e n s i t yf i l ec o n t r o l l e da ts o m e b a l a n c e - p o i n t a n dt h ep o p u l a t i o ni ss w a y e da tt h i sp o i n t t h e r e f o r et h eo s c i l l a t i o n n e e db ec o n s i d e r e d t h eo s c i l l a t i o no fam u l t i - d e l a yl o g i s t i cm o d e lw i t hp i e e e w i s e o o n s t a u ta r g u m e n t si ss t u d i e di nc h a p t e r5 u s i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ， c o n s t r u c t i n ga s s i s ts y s t e ma n dd i s p o s i n gl i n e a r i z a t i o n ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f o s c i l l a t i o nh a v eb e e ng a i n e d k e y w o r d s ：g l o b a la t t r a c t i v i t yl o g i s t i cm o d e lf e e d b a c kc o n t r o l o s c i l l a t i o n 学位论文独创性声明 7 2 8 8 1 3 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 赭擞。糨隰趔蚪斗日 学位论文使用授权声明 本人完全了解陕西师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允诈论文进入学校图书馆被查阅有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 靴敝储繇莽龚髯 第一章前言 自然界中，生物种群密度的变化规律极其复杂1 9 3 8 年v e r h u l a t p e a r l 认为种群密度的实际增长率不是内禀增长率，而是生态生物学家称之为增长率 的密度制约现象由此他提出了v e r h u l a t p e a r l 方程，此方程对于细菌，酵母 菌或者浮游藻类等低级动物的增长率比较吻合但是对于世代多有重叠和并且 寿命长的种群，这个方程就会产生很大的偏差，此偏差的产生是由于对密度制 约效应的线性化假设所致，因两须考虑引入更为一般的密度制约函数。考虑到 其他生物以及外来因素对生物种群密度增长的影响，可引入反馈控制函数，并 且在反馈控制函数中考虑到时滞的影响模型1 研究了一类自治多时滞 l o g i s t i c 线性反馈控制系统 和。 l _ 竺攀一。， 到d t 一”o ) + 善a ，h ) 利用构造l y a p u n o v 泛函，及微分不等式得到了该模型全局吸引性的充分条件 现实世界中，系统及其参数受季节变化，食物增减，播种与收获季节，食物 链的改变及动物配偶的习惯等诸多因素的影响为更真实的反映这些变化规律， 在建立生态模型时，需要考虑到分段常数变量的作用模型2 研究了一类多时 滞且具有分段常数变量的l o g i s t i c 模型 f o ) = r l v l , ) _ “( f ) = 一a u ( t 6 o r ) + 窆。，u ( t 一。) + b ，m 一，d + c k n ( t 一反) 通过构造辅助系统，利用比较原理，得到了该模型全局吸引性的充分条件 吩段时滞变量的l o g i s t ic 模型 掣= 州( ，( f _ f ) _ 静( f - 曹肌卅叫 掣一“( f ) + 荟m 厶砌一矗d 利用l y a p u n o v 泛函，比较原理及微分不等式，通过构造辅助系统，得到了该模 型全局吸引性的充分条件 在可控制的条件下，生物种群增长在其平衡点处不但存在吸引性，而且在 一定的条件下，也存在振动性本文第五章研究了一类密度制约函数中具有时 滞与分段常数变量的l o g i s t i c 模型 r mt1 ( ，) = n ( i ) t a - 口j ( f o ) 一屯o 一，p l i = 1 j ij 通过对非线性密度制约函数进行线性化处理，构造辅助系统得到了该模型在平 衡点处振动的几个充分条件 第二章一类多时滞线性反馈控制l o g is t i c 模型的全局吸引性 2 1 模型与假设 l o g i s t i c 方程是生态数学中描述种群增长的一种基本模型近年来对 l o g i s t i c 方程的研究已经取得了一些进展，例如，y a m a d a 在文献 1 7 中讨论了 l o g is t i c 积分方程 j d n m ( t ) = n ( t ? 一jr ( s n ( t s ) d s ln ( o ) = n 。( o ，m x 口( o ，。) 的全局吸引性l e n h a r t 和t r a v i s 在文献 1 8 中讨论了时滞微分方程 胖= n ( i c 埘，曹。啡_ ) ln 【o ) = n o 0 的全局吸引性 然而，文 1 7 ， 1 8 中所讨论的生念模型有很大的局限性，因为种群的增 长不仅会受到季节变化，种间竞争，生存环境等外界客观因素的控制，种群内 自身的增长也会反过来对种群密度的变化产生干扰，考虑到反馈控制和时滞的 多重性对生物种群增长的影响，本章研究如下的自治时滞l o g i s t i c 线性反馈控 制系统 叫t 西 掣：一( ，) + 毋 其初始条件为 b u ( t f ) + a ( f _ ) 足 b j ( 一叩，) 一c 甜0 ) 髑戈缨丢牡躲蛾吣) ) i = 1 ，j = i ，一，m ( o ) 0 。i f ，e o ，o 3 ) 其中足，甜f ，j ，_ 1 7 ，( 0 ，。l f ，b ，b ，q 【o ，m ) ，( ，= l ，七，j = l ，m ) 均为常数 u ( t ) 表示非直接反馈挖制函数 卣= b ，彘 = 1 本章假设下述条件成立 为了叙述方便起见，令 m 2 a 一6 ，霹，= b 一口 ，= l，i 由初始条件( 2 1 2 ) 知，对于任意f 0 ，有 ( ，) 0 ，“( ，) 0 满足条件( 2 1 2 ) 的系统( 2 1 1 ) 有唯一j 下平衡态( + ，“l ，且 + ：堡，矿：尘堕 a ( 2 b x 3 1 + x c t o 为了证明系统( 2 1 1 ) 关于正平衡态| v ，“) 是全局吸引的，本章第二部分给 出了几个基本引理，第三部分得出了主要结论 2 2 基本引理 引理2 2 1 ( b a r b a i a t 引理) ( 文献 2 ) 设函数，是定义在区间【o ，m ) 上 非负函数如果，在i o ，) 上可积且一致连续那么l i m f ( t ) = 0 引理2 ，2 2 系统( 2 1 1 ) 满足条件( 2 1 。2 ) 的正解( ( ，l 0 ) ) 对于任意的 f 0 有界 证明假设结论不成立，令 l i ms u p ( f ) = q o 则存在序列 f 。 且有 骢，。= a 0 即对任意m - o ，存在n ， o ，当n n 时， 有t 。 m 由假设可知，对于任意m 0 ，存在n 。 0 ，当t n 。时，n ( t ) m 由于m 的任意性，故可得n ( t 。) m 即有 l i m ( ，。) = + 由上式知，n ( t 。) 不可能递减，只能是广义增函数由此分析可得 瓤o 一磊一警 孑 如竺等 h 届罄 p 卜碥 巧扣一 滞峭膨椭强 其崭 山( 2 1 1 ) 及( 2 1 2j 知，秤征t 0 ，便得” t 时，仃 。s 乳 眺卜皇掣】 o 产生矛盾则 l i m s u p n ( t 1 ，一 系统( 2 1 1 ) 中的第二式可写为 鲁m “) 副嘻b j n ( t1 ) 则有 “( f 沙= “( o ) + i 芝j = lb i n g 一叩，l “幽 “( o ) + 鱼费0 “一1 ) 臼 其中肚s 。u p n ( s ) 故 由( 2 2 1 ) 知 即 命题得证 作如下变量变换 经计算得 “( f ) “( 0 l “+ 鱼( 1 一e “) a “( f ) 材( o ) + 氩衬( 。 口 ( 2 2 1 ) ( 2 。2 2 ) l i m s u p u ( t 1 r 时 百d o o 此与( 2 2 7 ) 矛盾由以上分析得 6 l i r e s u p o - ( t ) ( 2 2 9 ) 命题得证 注1 若盯 0 ，使得 由( 2 2 6 ) 知 即庐p ( t ) ) 有界 m 】m n ( e 一一1 ) - o 则有 。印a 笳。 。抛：瓣 ；包磊氢) 了b r 盯：，那么方程( i ) 满足如下初始条件 ( r ) = ( f ) o ，( o ) o ，c ( 【- r ，o l 【o ，m ) ) ( i ) 的解满足 胁( f ) _ = 去 ( 1 2 ) 方程( i ，) 的生态学意义是种群规模有一个稳定的平衡态n 但是在具体的生 态问题中，人们为了实际需要，而改变种群规模的平衡态n ，采用的办法是在 方程( i ) 中加入反馈控制变量以改变其平衡点n 的大小g o l p a l s a m y 和w e n 提出了下述自治时滞l o g i s t i c 线性反馈控制系统 掣训n 掣竿蚓一c 蜘 ， 旦掣：一( | ) + 6 n ( f ) 这里k 口，6 ，r ，c ( o ，。d ) ，a i , 口： o ，。) 是常数则( b ) 存在唯一正平衡点【n ，“) 儿而靠“= 而丽b k ( i i i ) 文b 2 】研究了上述正平衡点( n + ，“+ ) 的稳定性并且证明：如果口， 吒，那么方程 ( i i ) 满足下述初始条件 劂i 搂善矬褴嚣 c u ：， l 妒( o ) o ，妒c ( 【_ r ，o l 【o ，c o ) ) 2 的解满足 l i m ( n o x “( ，) ) = b + ，“) ( i i ，) 上述结果说明：当日 目，时，即是在( i ) 中加入了线性反馈控制变量，其解的 渐近性结沦不会改娈 但是当“，时，即是在厅柙( 1 ) 巾：f 7 【l 入了线性反馈控制变量，其解的渐 近性与时滞f 的大小有关，凶觚变得雯为复杂6 0 p a l s a m y ，k 和w e n gp e i x u a n 在条件a ，= o ，口，= 1 下证明了( 见丈献 6 ， 7 ) ：如果 k 隆昙n ) o ，妒c ( 卜m a x f ，栉，磊i o l o ，。抛= j 研；七= l ，一) 其中 k ，r ，口，c ，f f ，屈( 0 ，) f ，b ，q ，b j ，q 【o ，) 是常数，肌，是证整数， 】表示最大取整函数，( ，) 表示非直接反馈控制函数 在 _ ”，一疗+ 1 ，一l ，0 u ( o ，m ) 上，函数( f ) 满足如f 条件 o ) 导数空掣在任意，e 【0 ，m ) 上存在，可能除去点fe o ，l 2 ， ，然而一侧导 数存在 ( i ) 系统( 3 1 1 ) 在每个区间k ，+ l = 0 , 1 州2 ) 上成立 由( 3 1 2 ) 知，对于任意t 0 ，有 o ) o ，u ( t ) 0 ( 3 1 3 ) 系统( 3 1 1 ) 有正平衡念( ，“) 且 ：；竺： a ( a + 喜q + 嘉。，j + 缸喜q ( 3 1 4 ) 3 2 引理及有界性分析 引理3 2 1 对任意的， 0 ，系统( 1 1 ) 满足条件( 3 1 2 ) 的j 下解( “( ，) ) 有界。 证明假设 则存在序列 f 。) 且l i r a t 。= 。0 ，使得 l i r a s u p n ( t ) = 0 0 ， 熄o 。，等卜om d ，1 由( 3 1 1 ) 及( 3 1 2 ) 知，存在， 0 ，使得当h t 时，有 。s 乳 帆 - 一掣 0 ，存在n n ，当v n 时，f 。 t 由假设知当f ，) r 时有 塑蛐o 出 ( 3 。2 8 ) m ；= 1 ，- ，”) 由此式及( 3 2 5 ) 中第二式得 塑蚪 口 r 当故 根捌引理3 2 i 知，当， t 时，( ，) 有界( 当，t t l , j 一i ，的第一式知x ( ，) 有界；i 故x ( t ，) 有界山假设知 故 j m 盯( ，) = 佃 i i m 盯( ，一f ) = 栅 l i m ( t ，) = 佃 由( 3 2 9 ) 知，存在r o 当， 7 1 时，尘萼尘 o 此与( 3 2 8 ) 矛盾由以上 分析可得 l i m s u p o ( t 1 o 取h = 0 ，即有 ，庐2 0 炳= r 2 ( b 胁 ( 3 2 1 1 ) 若庐2 0 ) 0 则山引理3 2 ，3 知，在，一o 。时，o ) 0 敌此 6 胁= 庐2 b ) o ( 3 2 1 2 ) 又由引理3 2 3 知，矽( ，) 有界，故庐2 ( ，) 有界由( 3 2 1 2 ) 知，存在 ， 0 ，使 得 ，2 b ，) = 庐2 0 ) 即( 3 2 1 1 ) 成立 当，b ，”+ i ) 时，在k ，f ) 上 彤嚣蒜： z m ， m 2 0 = 庐2 0 。一行) “7 采用同样方法取h 。，使得 h 。驴g 协= 妒0 d 凼 ( 3 2 1 4 ) 当，从0 取遍，一1 时可得一系列等式，把各个等式以及( 3 2 1 4 ) 两边对应相加得 薹广 。+ k 庐2 0 = 萎厂2 0 船+ i 2 眦 取 = m a x 伽l ，一，以 ，则 6 乏2 g 协+ f 2 g ) 出f 妒2 0 胁( r b ，一十l ” 以下证明h 的有界性假设h 无界，不妨设h 。无界则由( 3 2 ，1 1 ) 得 钆，声2 蜘= ，声2 胁 出引理3 2 3 知，2 0 ) m + m m m ，产生矛盾，故所设不真命题得证 注2 ，若在f o 。1 ，2 ， 上每一点，都有尘掣左侧导数存在，同理可证得引理 3 2 5 成立 注3 - i 苦d n d t ( t ) 只在，f 0 ，i ，2 ， 一侧导数存在，并不一定在左侧或右侧存在， 3 ：3 全局吸引性 为了方便起见令 弘* 一善a 且西，疋，岛满足条件 一喜窆( 1 十 弘，k = 杰以 ，z i， 扣i po , 8 2 ，o , 6 3 0 ；2 4 ( 8 , 8 ：+ 瓶可j 历万) 印2 r 2 定理3 3 1 若系统( 3 1 1 ) 满足条件( f f f ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 2 7 ) ，则 系统( 3 1 1 ) 的所有解满足 觋( o l ”( f ) ) = ( ，”+ ) 证明根据( 3 2 4 ) ，仅需证明 脚g y ( ，) ) = ( 0 ，o ) ( 3 3 i ) ( 3 3 2 ) 令妒( ，) = w p o ”，由引理3 2 4 知 妒2 0 ) 一妒2 0 d o 故考虑如下l y a p u n o v 泛函 y g ，盯x f ) = 血2 ( f ) + 曰r 。w g + 喜c a ，2 b + 骞- ，r 丑，妒2 0 船 + 喜r e ，协2 g ) 一妒2 d 皿+ 喜c r 妒2 b ( 3 3 3 其中 a ，b ，a ，占，e j ，疋o = l ，”；，= l ，一，一；j i = l ，z ) 是待定的正常数由引理3 2 4 知 ( 0 声2 0 协一庐2 0 咖0 因此矿g ，盯) 0 对矿0 ，盯x f ) 沿着( 3 2 5 ) 求导得 皇! 专? ! x 尘= 一z 血( f ) ( 耐( f ) 一喜c 。庐( ，一卢。) ) + 善一，2 ( f r ) 一妒2 ( f 一。” + 占，庐( f r 一甜( ，) 一去( a 妒( ，一r ) + 善。，矿( ，一t ) + 喜a ，声( 【f 一，d ) + 喜b ，妇2 一r d 一2 0 ，d ) 嚆e ，o 声2 ( f r ) 一声2 一r d ) 6 f ，h 一“2 1 | 取 r ) 一2 ( f 展) ) t“ = 一2 a a x 2 ( ，) + 2 4 x ( f ) q o ( t 一屏) + z a ，妒2 ( ，一r ) 一爿，2 ( ，一r ，) = l，；l，z l c 肼卯r h ( ，) 一i 16 肼庐2 ( f r ) 一专肼( f r ) 竞i = lq ( f 一。) 一吉肼( ，一r ) 杰6 矿r j d + 芝露，庐：c t r d 一窆口，庐：( ，一，d _ 0 ，贝u 7 o、二妒 ， + 鱼，堕 爿j 令爵= b 8 l a 8 1 ，选取j 5 ，使得b c r = 2 8 4 以，则 旦! 专i ! x 尘一爿5 ，一万；b2 ( ，) + p ，x ( ，) + j 。庐( ，一r ) ) 2 ) 取 4 8 ：( a 8 ，一j ；) 0 则 f b l 2 c 2 r 2 - 4 8 8 1 8 3 + a 疋以 。 令瓯= 属哥j 丽 只要 ( 3 3 6 ) 玩疋一以 五b c 2 r2 卤以+ 瓯( 3 3 7 ) 就有( 3 3 6 ) 中的尘堡趔茎o 若( 3 3 5 ) ，( 3 3 7 ) 同时成立，则 鲁 鲁 o ，口c ( 卜，t ，1 0 l 【0 ，o o m = ，一，m ) ”一“ 系统( 4 i 1 ) 有正平衡念( ，“) ，且 = 7 _ 弋了 o lb + q + z b ，i 十c f 。 。= i ，= 1 r = l 引理4 1 1 若( n ( t ) ，u ( t ) ) 是系统( 4 1 意的t 0 ，都有( n ( t ) ，u ( t ) ) 有界并且n ( t ) o ，“：i n * mf r ( 4 1 3 ) ur = l 1 ) 满足条件( 4 1 2 ) 的解则对任 u ( t ) 0 证明先证u “) f ) 由( 4 】2 ) 的第二式及( 4j 2 ) 得堕掣一积( ，) 敞得 a t 垡壁! q ! ) o d t 两边从0 到t 积分得“( ，) e - a7 “( o ) ，由( 4 1 2 ) 知臼( o ) 0 ，故此“( ，) 0 再证n ( t ) o 由( 4 1 1 ) 的第一式及( 4 1 2 ) 得 d o n ( f ) ) 一 ，i , - 6 n i , 一，) 一兰q ( f 一。) 一窆6 ，m 一卅- - c u o ) r r ) 一q ( f 一0 ) 一6 ，( d 一do ) 剐= 1j 对上式两边从0 到t 积分并整理得 ( f ) = ( 0 ) e x - ( i r ( 一a g r ) 一窆= 1a ， 一门) 一c “o ) 出 由( 4 1 2 ) 知目( o ) 0 ，故此n ( t ) o 下证( n ( t ) ，u ( t ) ) 有界假设 l i r as u p o ) = 栅 则存在序列 ，。 且! 受，。= 栅，使得 ! 受v 佃，瓤- - - 0 f 。 由( 4 1 1 ) 及( 4 1 2 ) 知，存在r 0 ，使得当f 。 r 时，有 0-罂h州(f。mbn(t。一r)】odt 产生矛盾则 r ns u p n ( t 1 咖， o ；a l a ； c 2 , d 3 ；2 胁0 心+