（应用数学专业论文）李对称方法及其在微分方程中的应用.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本课题主要研究李对称方法( l i es y m m e t r y ) 在微分方程中的应用。李对称提 供了一套系统的方法，使得微分方程达到降阶的目的。通常使用标准方法解微分 方程时，有时太过于复杂。利用李对称方法，在一定的条件之下使得解题更为简 洁，也达到解出方程的目的。对于偏微分方程来说，研究其群不变解和对称约化 有重要的意义，为偏微分方程的研究提供了有力的工具，并且对于有些方程能够 大大减少其求解方程的计算量，能够对方程进行有效的求解。 第二章对微分方程及其对称的一些基本知识做了介绍。主要介绍了向量场的 定义、代数方程的不变群、微分方程的不变群、延拓、不变群的生成元、微分方 程的对称等概念，这些知识为下面的研究打下了一定的基础。 第三章研究了广义k d v 方程的群不变解。利用李群对称的待定系数法，求出 了广义k d v 方程的对称，最后选用一些简单的对称将方程约化为常微分方程，并 求出了广义k d v 方程的一些群不变解。 第四章研究了广义变系数k d v 方程的对称约化及其群不变解。利用经典李对 称的方法对广义变系数k d v 方程进行研究，通过这种方法得到了该方程的一个新 的精确解。 第五章研究了一类任意阶偏微分方程的非古典对称和相容性。讨论了一类任 意阶微分方程的非古典对称的决定方程。非古典对称的决定方程传统的获得方法 是利用向量场和它的延拓来得到的。在这一章，我们拓展了文献 4 5 通过初始方 程和不变曲面条件相容性获得决定方程的方法，文献 4 5 讨论的是如何通过初 始方程和不变曲面条件相容性获得一类演化方程的决定方程，我们将这个方法进 行改进，使该方法适用于一类任意阶非线性偏微分方程，以b b m 方程为例证明了 这种方法是可行的。 关键词：偏微分方程，李对称方法，决定方程，古典对称，非古典对称，相容性 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ea p p l i c a t i o n so fl i es y m m e t r ym e t h o d st os o l v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s l i es y m m e t r yo f f e r sas y s t e m i cw a yt or e d u c et h eo r d e ro ft h e e q u a t i o n ，u s u a l l y ，w eu s e s t a n d a r dm e t h o dt os o l v et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， s o m e t i m e si ti st o od i f f i c u l t a n ds ow em a k eu s eo fl i es y m m e t r yt om a k ei te a s y i t i sv e r yi m p o r t a n tt os t u d yg r o u p i n v a r i a n ts o l u t i o n sa n ds y m m e t r i e sr e d u c t i o nf o r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i tg i v e su sag o o dt o o lt os t u d yp d e i tc a nr e d u c et h e a m o u n to f t h ec a l c u l a t i o n a n di th e l p su ss o l v et h ee q u a t i o ne f f e c t i v e l y i nt h et h i r dc h a p t e r , w ef i r s tg i v ei n t r o d u c t i o nt ot h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d t h es y m m e t r yo ft h ee q u a t i o n t h es y m m e t r i e so ft h eg e n e r a l i z e dk d v e q u a t i o na r e o b t a i n e db yp a r a m e t e rh y p o t h e s i s a tl a s t ，w ec h o o s es o m es i m p l es y m m e t r i e st o s i m p l i f y t h e e q u a t i o n , a n d w eo b t a i ns o m e g r o u p - i n v a r i a n ts o l u t i o n so f t h e g e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yt h es o l u t i o n sa b o u tt h eg e n e r a l i z e dv a r i a b l e c o e f f i c i e n tk d ve q u a t i o nb yu s i n gt h ec l a s s i c a ll i es y m m e t r ym e t h o d w eu s e s y m m e t r i e st or e d u c et h ee q u a t i o n sa n do b t a i nn e we x a c ts o l u t i o n s i nt h i sw a y , t h e p d ew h i c hi sd i f f i c u l tt os o l v ei sc o n v e r tt o0 d ew h i c hi se a s i e rt os o l v eb a s e do n s y m m e t r yr e d u c t i o n t h ef u l f i l l m e n tp r o v e st h a tt h i sm e t h o di sg e n e r a l l ys u i t a b l ef o r s o l v i n gam a j o rt y p en o n l i n e a re v o l v ee q u a t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h ed e t e r m i n i n ge q u a t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h a r b i t r a r y o r d e ra r ec o n s i d e r e d i ts h o w st h a tt h e d e t e r m i n i n ge q u a t i o n sf u rt h en o n c l a s s i c a lr e d u c t i o nc a nb eo b t a i n e db yr e q u i r i n gt h e e o m p a t i b i l i t yb e t w e e nt h eo r i g i n a le q u a t i o na n dt h ei n v a r i a n ts u r f a c ec o n d i t i o n a s i m p l ep d e a n db b m e q u a t i o ns e r v ea se x a m p l e st oi l l u s t r a t i n gt h ef e a s i b i l 时o ft h i s m e t h o d k e y w o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，l i es y m m e t r ym e t h o d , d e t e r m i n ee q u a t i o n , c l a s s i c a ls y m m e t r y ，n o n c l a s s i c a ls y m m e t r y ，c o m p a t i b i l i t y h 江苏大学硕士学位论文 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密呼 学位论文作者签名：名加多， 0 6 年：z 月，占日 指导教师魏荔司采指导教师签名：嘭鍪划7 卜 ， 0 6 年钼，l ，1 3 江苏大学硕士学位论文 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：7 芗加东 日期：0 6 年，z 月6 日 江苏大学硕士学位论丈 第一章绪论 随着近代物理学和数学的发展，人们对孤立子的研究不断深入和拓展，孤立 子方程是非线性的偏微分方程，它的重要性正是由于非线性效应的存在。我们知 道，对于线性偏微分方程，已经有一些比较成熟的求精确解的方法，如d a l e r b e r t 方法，分离变量法和f o u r i e r 方法等。然而要找出一种系统的方法来求解非线性 偏微分方程却非常困难。 1 1 研究背景 微分方程的对称理论首先追溯到挪威著名数学家s o p h u sl i e i “，他受到十八 世纪初期创立的g a l o i s 理论的影响和激励，引进连续群的概念，现在称其为李群， 目的是为了统一和扩展形形色色的特定的关于常微分方程的求解方法。l i e 证明 了如果一个常微分方程在单参数经典李变换群作用下是不变的，那么其阶数可以 构造性地减1 。于是，提出了对称和群不变解方法，将以往的关于常微分方程的 杂乱无章的方法，包括：积分因子法、分离变量法、降阶法、待定系数法、l a p l a c e 变换法等等统一起来。l i e 同时研究了二阶以下的偏微分方程的求解问题，计算 了大量的具有两个独立变量的二阶偏微分方程的对称群。l i e 的方法比较系统， 很快受到了重视。它的应用领域很广，包括代数拓扑学、微分几何、控制理论、 经典力学、量子力学、分岔理论、特殊函数、相对论、连续固体力学等等，很难 估计l i e 对现代科学和数学做出的重要贡献。李对称理论上可以用于求解任何偏 微分方程，但是由于运算量大，受到运算能力的限制，一直没有得到很好的运用。 直到近来计算机在数学上的大量应用，使这种方法应用来求解复杂的方程成为了 可能。2 0 世纪8 0 年代以来，随着非线性微分方程研究的需要，通过微分方程的不 变性来研究非线性偏微分方程的性质，特别是求方程的精确解已成为一个十分重 要的课题。 李群的基本思想是寻找给定方程的对称群，在微分方程的研究中，它是一个 十分有用的方法。由经典李对称理论可以得到许多十分有用的结果：如将偏微分 方程的维数降低，即减少一个自变量，特别是两个自变量的方程即可化为常微分 方程。常微分方程降阶，对于一阶常微分方程可求出其显式解，进而构造相似解， 生成新的解，而这种解用其他方式很难得到。由于对称群将方程的解变为解，因 江苏大学硕士学位论文 此可由一特解生成依赖于参数的新解。如果一个偏微分方程系统在一个经典李变 换群作用下是不变的，我们得到微分方程对称的决定方程组，通过求解对称的决 定方程组，我们得到了相应的对称。一般来说，由对称出发可以构造性的获得特 解，就是所谓的相似解或不变解，这有一些固定的操作步骤，这些解可以通过求 解约化后的含有较少变量的微分方程而获得。 另一方面，在六十年代孤波理论初露端倪。由于k d v 方程在若干研究领域反 复被发现，孤波现象( 1 8 4 4 年r u s e l l 首先发现) 引起人们的关注。1 9 6 7 年，c s g a r d n e r ，m k r u s k a l 等人提出了解k b i 方程的反散射方法，并得到了一些结果吲。 这种思想方法很快被推广用来解高阶k d v 方程和立方s c h r o d i n g e r 方程d i 。1 9 7 4 年，m j a b l o w i t z 等人进一步完善了反散射方法1 4 i 。孤波解的发现给非线性现象 的研究带来了曙光，七十年代出现了孤子理论研究的热潮，新的技巧、新的方法 层出不穷，如双线形法、谱方法、p a i n l e v e 检验等。更为重要的是发现了无穷k d v 及其与方程对称的关系，及h a m i l t o n 系统与这些问题的联系。广义对称重新被引 起重视1 5 1 。 综上所述，李对称的产生和发展与求偏微分方程的解息息相关的，它的产生 对数学和物理以及其他一些学科产生了深远的影响。 1 2 研究现状 l i e 的理论沉睡了将近半个世纪，直到1 9 5 0 年，b i r k h o f f1 6 i 将李群应用到流 体力学中的一些偏微分方程才又引起了人们的注意。紧接着，o v s i a n n i k o v l 7 i - f 9 i 和 他的研究小组成功地将这些方法应用到一大类物理问题上。之后，李群的应用范 围和理论深度不断得到扩展。1 9 6 9 年，b l u m a n 和c o l e ”i 提出了非经典对称( 或 称条件对称) 。这种对称要求在微分方程和其不变曲面条件的公共解集上群作用 不变，因而可以获得更多的对称。虽然只是增加了不变曲面条件，但是所获得的 无穷小生成元的决定方程组不再是线性的了，而变成了非线性、超定的偏微分方 程组这样分析起来就更为复杂、更为困难。1 9 8 8 年，b l u m m a n “1 1 ”1 等又提出了势 对称的概念。首先，寻找给定方程的守恒律，通过引人辅助的函数变量( 称为势 函数) ，得到相关的辅助系统所允许的经典李对称群是给定微分方程的对称群， 2 江苏大学硕士学位论文 因为它映给定方程的解到其它解。对于偏微分方程这些对称常常是非局部对称一 称为势对称，如果其显式地依赖于势函数的话。k r a s i1 ，s h c h i k l l 3 1 等人更深入地 研究了非局部对称，而a k h a t o v ! “1 等人给出了非局部对称的一些非平凡的例子。 经典李对称的另一种推广一广义对称，它首先由e n o e t h e r i m 引入，n o e t h e r 给 出了如何从变分对称群出发构造地推出相应的e u l e r l a g r a n g e 方程的守恒律。由 于守恒律对于描述的事物的重要性以及与对称的对应关系，可知寻找到更多的对 称的意义。递归算子是构造广义对称的强有力工具，基于l e n a r d 递归地构造高阶 k d v 方程组簇的思想，o l v e r i “提出了一般递归算子的概念递归算子的研究和应 用推进了对称方法的研究。近些年来，人们又提出了广义非经典对称咿h 2 ”( 或 广义条件对称) 和非经典势对称2 2 1 【2 ”，并取得了一些研究成果。可见，李对称群 的方法对微分方程的应用还需进一步的研究。 微分方程的对称群是一个映射它的解到另一个解的变换群。经典李群依赖于 连续参数，并且由作用在自变量和函数变量空间上的点变换组成。l i e 给出了结 论：对于给定的微分方程，它所允许的作用在自变量和函数变量空间上的连续点 变换群( 经典对称群) 能够用显式的可计算的算法来加以确定。同时l i e 证明了： 李变换群可以由其无穷小生成元完全刻画，这些无穷小生成元形成了一个李代 数。李群以及它的无穷小生成元能够自然地延拓到自变量、函数变量以及函数变 量的直到有限阶导数的空间上去，这样一来，原来难以处理的一个给定方程的群 不变的非线性条件约化为确定群的无穷小的线性、齐次偏微分方程组。因为这些 决定方程组是一个超定的系统，通常情况下我们可以获得无穷小生成元的闭合形 式的解。对于一个给定的偏微分方程，这些决定方程的获取完全是可以程序化的， 在李对称计算方面已有一些专用软件包，如s o d e 和s p d e i ”h 2 ”、s y b t m g r p m a x t 槲 2 ”、l i e t ”i 、l i e s y 哪! 驯等，这些复杂的软件包可以自动生成决定方程组， 并将它们约化为等价的适当形式，从而求出它们的闭合形式的解，最终确定张成 对称的李代数的无穷小生成元。在有关的程序设计方面，详细的介绍请参阅有关 文献1 3 l ”i 。 1 3 本文的主要工作及其研究意义 以物理学中的问题为背景的非线性微分方程的研究是当代非线性科学的一 3 江苏大学硕士学位论文 个重要方面。创造和发展非线性微分方程新的求解方法是非线性物理最前沿的研 究课题之一。目前，已经存在许多的获得非线性微分方程的精确解的方法。本文 研究了李对称方法在微分方程中的应用，分析并拓展了前人的理论和算法，主要 从以下几个方面来研究的。 第二章对微分方程及其对称的一些基本知识做了介绍，主要介绍了向量场的 定义、代数方程的不变群、微分方程的不变群、延拓、不变群的生成元、微分方 程的对称等概念，这些为下面的研究打下了基础。 第三章研究了广义k d v 方程的群不变解，利用待定系数法，求出了广义k d v 方程的对称，并选用一些简单的对称将方程约化为常微分方程，并求出了广义 k d v 方程的一些群不变解。 第四章研究了广义变系数k d v 方程的对称约化及其群不变解，利用经典李对 称的方法对广义变系数k d v 方程进行研究，利用这种方法得到了该方程的一个 新的精确解。 第五章研究了一类微分方程的非古典对称和相容性，讨论了一类任意阶微 分方程的非古典对称的决定方程，通常非古典对称的决定方程的获得方法是利用 向量场和它的延拓得到的。本章提出了另外一种方法，说明一类偏微分方程的非 古典对称的决定方程可以由初始方程和不变曲面条件的相容性得到，用一个简单 的微分方程和b b m 方程来例证该方法的可行性。 本课题研究的意义：本课题研究了李对称在求解微分方程中的应用，通常使 用标准方法解微分方程时，有时太过于复杂，于是便想到用李对称方法，在一定 的条件之下使得解题更为简洁，也达到解出方程的目的。本文第三章，第四章利 用李对称方法求出了2 个不同的非线性偏微分方程的解，在第四章的解是一个新 解，我们第一次得到它。用李对称方法可以由方程的一个解得到该方程的另一个 相似解，这些优势非一般方法所能够达到的。用李对称非古典方法求微分方程的 解，其中最重要的一步是如何获得非古典对称的决定方程。在第五章，我们拓展 了文献 4 5 1 通过初始方程和不变曲面条件相容性获得决定方程的方法，文献 4 5 】 讨论的是如何通过初始方程和不变曲面条件相容性获得一类演化方程的决定方 程，在这一章里面，将这个方法进行改进，使该方法适用于一类任意阶非线性偏微 分方程，以b b m 方程为例证明了这种方法是可行的。这对快速的获得非古典对称的 4 江苏大学硕士学位论文 决定方程有很大的帮助，也增加了李对称在微分方程实际应用中的可操作性。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章微分方程的李对称理论 1 9 世纪后期s o p h u sl i e 提出了微分方程的对称理论。李对称理论统一并延展 了已有的构造微分方程显式解的技巧，特别是对于非线性微分方程。李群的基本 思想是寻找给定方程的对称群，是分析微分方程的有效方法。简单讲，微分方程 ( 组) 的李对称群是一个变换群，它将微分方程( 组) 的一个解变为另一个解。在经 典李框架下，李对称群由作用在自变量和未知函数空间上的几何变换构成。目前， 李对称理论在偏微分方程( 组) 中的应用主要是在以下几个方面展开的。 1 偏微分降维，即减少一个自变量，特别是含有两个自变量的方程即可化为 常微分方程。 2 常微分方程降阶，对于一阶常微分方程可求出其显式解。 3 构造相似解，而这种解用其他方式很难得到。 4 生成新的解，由于对称群将方程的解变为解，因此可由一特解生成依赖于 参数的新解。 本章主要介绍了微分方程的李对称理论，包括了微分流形、切空间、切映射、 向量场、李群、李代数、李交换群、无穷小变换等基本概念和结论。 2 1 微分流形、切空间、切映射、向量场 在这一节，主要介绍李群理论的基本概念，如流形、切映射，这些概念是构 成李群、李代数概念和理论的基础。 微分流形是通常曲面概念的抽象，这个所谓“抽象”，就是要脱离外体空间， 考虑整体，并推广到高维，使成为一般的可以对函数进行微分的空间，将上述表 达用数学语言表达出来就得到微分流形的定义。 定义2 1 1 局部同胚于欧氏空间月”的拓扑空间称为一个n 维流形。 拓扑空间x 的一个n 维坐标集称为r ( ，2 0 ) 阶的或者c 的，如果其中所 有的坐j 示变换都是，次哥微的，其坐标系也称为c 相容的。如果一个坐标集不能 加迸新的坐标系而保持c 7 的性质，我们称x 为一个c 微分结构。 所谓坐标变换，如下： 6 江苏大学硕士学位论文 。，) ， a l 是流形x 的一个坐标集，若u 。n u p 非空，则，铷都是u 。n 上的坐标 系。所以，在u 。n u p 上对上述两个不同的坐标系就有两组不同的坐标。设 = 驴o ( u 。n u 口) ，= 铷( u 。n u ，) 所以坐标变换就是映射 = 。纯1 ：_ 定义2 1 2 给定一个c 7 微分结构的拓扑空间称为，阶的或c 7 的微分流形。 定义2 1 3 微分流形m 在p m 处的切向量x 。是，指映射 x p ：c 4 r 具有如下性质： 1 砟= x ，( g ) 当 g c 。( p ) 在p 的某个邻域一致： 2 x p ( 可+ 厥) = 伍r ，( 力+ 犀r p ( g ) f ，g c 。( p ) v 口，r 3 x p ( 詹) = 八p ) x p ( g ) + g ( p ) x p ( 厂) 、咿，g c 。( p ) 在一点m 的全体切向量的集合称为微分流形吖在点m 的切空问。 可以规定全体切向量在切空间的运算。 定义2 1 4 记乙( m ) = 微分流形在p 朋处的全体切向量 ，定义运算 ( 彳，+ 匕) ( 力= x ，( 力+ 匕( 力 ( 七0 ) = k x ，u ) ，v f c 。( p ) 定义2 1 5 三元组 啦，m ，石) 称为微分流形m 的切丛，简称为切丛聊，其 中，t m = u p “l 膨，投影映射石：t m 斗m ，满足万( 爿，) = p ，锻，t m ，对于 每一个p m ，石- 1 ( p ) = 瓦肘称为切从t m 在点p 的纤维。 定义2 1 6 设厂：m 斗n 是光滑映射，定义映射巧：t m t n ，使 别乙膨= 厶，v p 肼， 像1 1 ) 则称可为厂的切映射。 设m ，上是微分流形，由切映射定义易知，若厂：m 寸n 和g ：一上都是 光滑的则有 7 江苏大学硕士学位论文 t ( go ) = t go r f ( 2 1 2 ) 若：m 专n 是微分同胚，则可：t m 一也是微分同胚。 设肘是疗维微分流形，a 是肘的一个开集。 定义2 1 7 定义在a 上取值于每一点的切空间的一个映射，称为a 上的一 个向量场。 定义2 1 8 向量场称为c 。的，如果对任意的c ”函数厂。影都是c 。， 其中定义为 ( 形。) ( m ) = j o f ，m m 定义2 1 9 设x ，y 是m 的任一开集a 上的c ”向量场，是a 上的任一c 4 函数，定义 i x , j ，l 厂= 以( 矽) 一匕( 影) ( 2 1 3 ) 即 口，j ，】= x y y x 并称之为x 与l ，的换位子。 定理2 1 1 设x ，j ，和z 是彳上的c 。向量场，五r ，则有 1 口，j ，】= - i t ，别 2 【魃+ 】，z l = 旯防，z 】+ 户口，z 】 3 瞳，矿，z 卫+ 【r ，【z ，x 口+ 【z ，防，l ，= 0 这些性质容易由定义直接验证，其中3 称为j a c o b i 恒等式。 2 2 李群、李代数 在这一节，将对李群和李代数，李群作用和李代数作用作一个定义。对李群 与李代数，李群作用和李代数作用的相互关系作一下说明。 定义2 2 1 若已在集合g 上定义了运算且集合g 满足下面公理则称为 群： 1 封闭性：v a ，b g矽( 口，b ) g 2 结合性： v a ，b ，c g 烈口，( 坟c ) ) = 矽( ( 口，矗) ，c ) 3 有单位元： 3 e g ，对v a g ，矿( a ，p ) = 矿( p ，d ) = e r 江苏大学硕士学位论丈 4 有逆元： v a g ，3 a 一g ，矿( 口，a 一1 ) = ( 口一，a ) = e 定义2 2 2 设集合g 是一个微分流形，同时也是一个群，如果群的运算， 即乘法运算： 乘法： g g g u ，g ) 寸f g ，v f ，g g 和取逆运算 g x g 寸g ，一f ，v f g 是光滑映射，那么我们就称g 是一个李群d 3 i 。 我们所熟悉的李群有： 1 一般线性群g l ( n ；f ) ，表示所有在域f ，( f = r ，f = c ) 的h n 的可逆矩 阵构成的群： 2 特殊线性群s l ( n ；f ) ，表示所有x g l ( n ；刃，其中d e t ( x ) = 1 的矩阵构 成的群： 3 正交群o ( n ；f ) ，表示所有x g l ( n ；f ) ，其中7 0 5 7 = 1 的矩阵构成的群： 4 特殊正交群s o ( n ；f ) ，表示所有的s o ( n ；f ) = o ( n ；f ) n s l ( n ；f ) 的矩阵构 成的群： 5 辛群s p ( 2 ，1 ) ，表示所有z g l ( 2 n ；r ) ，有咒7 = t ，其中 扛i o ，翻 的矩阵构成的群。 定义2 2 3 李群作用设m 是一个流形，g 是一个李群，g 在m 上的作用 是一个光滑映射，a ：g x m 专m 满足 a 0 ，x ) = x ，v x m ，p 为g 的单位元 a ( 9 1 9 2 ，x ) = a ( g i ， ( 9 2 ，力) ，v g i ，9 2 g ，v x m 特别，如果，工：m ，3 9 g ，使得a ( g ，而) = z 2 ，那么g 称为可迁的李群作用。 李群在微分方程中的作用是非常重要的，李群在微分方程中的应用就是通过 9 江苏大学硕士学位论文 它实现的，李群作用使得李群对应于微分流形上的变换群，具体来说，v g g ， 我们可以定义肘上的一个变换， a g ( 石) = a ( g ，x ) ，v x m ( 2 2 1 ) 定义2 2 4 设g 是一个向量空间，如果g 上存在一个双线性映射l 】： g x g 寸g ，满足 【a ，b 】- - b ，口】， 【口，【6 ，c 】+ 【6 ，【c ，a l l + c ，【口，6 】= 0v a ，b ，c g 那么，g 就是一个李代数，l ，】称为李括号。 其中李括号定义如下： m ，小盖l o g ( 啪( 咖。 g ( ，) ，h ( s ) g ，g ( o ) = 厅( o ) = e , g ( d ) = ，h ( o ) = v 常见李代数的例子有： 1 g l ( n ；f ) 的李代数为g l ( n ；f ) ，所有在域上n x 月阶矩阵所组成的集合。 2 s l ( n ；f ) 的李代数为s l ( n ；f ) ，所有在( 甩；f ) ，并伴有0 迹的矩阵组成的集合。 3 d ( 门；，) 和s o ( n ；f ) 的李代数为s o ( n ；1 9 ，所有在( 聆；，) 上的斜对称矩阵所组 成的集合。 4 s p ( 2 n ) 相应的李代数为s p ( 2 n ) ，为a g l ( 2 n ；f ) 且有彳，+ 朋7 = 0 的矩阵所组 成的集合。 定义2 2 5 李代数作用设g 是一个李代数，m 是一微分流形，g 在m 上 的作用是一光滑映射a ：g x m 哼m ，满足 1 五( o ，p ) = p ，v p m 2 。v v g ，利用这个光滑映射，可以构造m 上的一个向量场 ( 丑v ) ( p ) = 丢l ，“2 ( t v , p ) 坳m 其中丑表示g 和肘上所有向量场构成的集合x ( m ) 之间的对应，要求 丸【巩v 】= - 1 2 u ，2 v 】 1 0 江苏大学硕士学位论文 满足上面两个条件的2 称为李代数的作用。 定理2 2 1 在n 维李群g 上，全体左不变的向量场对线性运算和交换子运算 构成一个n 维李代数三( g ) 。因此，在g 上必存在h 个左不变的处处线性无关的向 量场即一左不变的标架场星。( f = l ，聆) ，使 喳，量】= c k 星。，f _ l ，甩， 其中c 名为常数。 定理2 2 2 如果a ：g m 斗m 是一个李群作用，那么 盯：g m 斗m c r ：( v ，p ) = ( e x p ( v ) ，p ) 为一李代数作用。 定理2 2 3 局部李群的局部同态在单位的切映射是李代数同态。 定理2 2 4 局部李群局部同构必须且只须其李代数同构。 2 3 李变换群和无穷小变换 众所周知，李对称的思想和原理在数学物理的研究中扮演着一个非常重要的 角色。在一定的变换作用下，可以使用微分方程的这些对称去构造或寻找微分方 程的精确解。李对称的分析方法提供了获得微分方程的精确解或相似解的一种系 统和精确的途径。此外，通过李对称技巧获得的群不变解可以对物理模型本身进 行深邃的解释，同时这些精确解也可用于检验数值计算结果的正确性和精度。总 之，李对称方法在微分方程的研究中起着非常重要的作用。下面我们将介绍李变 换群、无穷小变换等基本概念和结论。 在上一节已经知道了群的定义，下面介绍一下交换群的定义 定义2 3 1 设工= ( 五，石2 ，x n ) dc - r ，s s c r ，称满足下列条件变换： 工+ = x ( x , e 1 ( 2 3 1 ) 的全体g 为d 上的变换群。 1 对v g s ，( 2 3 1 ) 是d 上的一对一变换； 2 具有二元运算关系庐的s 构成群； 江苏大学硕士学位论文 3 设工。= x ( x ，s ) ，且x 一= x x 。，艿) ，贝q x ”= x ( x ，矿( s ，万) ) ； 4 当占= e 时有x = x ，即x ( x ，p ) = x ： 定义2 3 2 设d 上一个变换群还满足： 1 f 是连续参数，即s 是r 上的一个区间 2 x 关于x e d 是无穷次可微的，关于s s 是解析的 3 妒( 毛，占2 ) 是q ，占2 的解析函数，毛，占2 s 则称为d 上的单参数变换群。 定义2 3 3 将单参数李变换群工= x ( x ，) 在s = 0 附近展开： x + 占( 鼢刮。h 2 他10 。2 似砒i 小 仨刮。 + 0 ( 胡 记弛) = 妻( 蚓。m 称变换工+ 善( x ) 是李变换群( 2 3 1 ) 的无穷小变换，善( j ) = ( 点( x ) ，品( x ) ，鼻( x ) ) 为( 2 3 1 ) 的无穷小，面算子 x _ 孙) - v = 喜驰) 毒 称为单参数李变换群( 2 3 1 ) 的无穷小生成元，其中v 为梯度算子 儿c 毒 定理2 3 1 李变换群( 2 3 1 ) 等价于如下的一阶常微分方程组的初值问题： j 鲁x ) r 鲫) 【z i ；| o = x 这里瞰) = 旦等i 删r ( o ) = lc 移7 7 取f ( s ) = f f ( 占x 括，( 2 3 2 ) 可以简化为： 江苏大学硕士学位论文 石d x = 弛)( 2 3 3 ) 。= x 即存在一个参数化r ( c ) 使得李变换群( 2 3 1 ) 也等价于初值问题( 2 3 - 3 ) 。 在a z = 0 处展开公式 x ( x ；z + a c ) = x ( x ( x ；s ) ，( f ，f + s ) ) 的两端，利用微分方程组初值问题的存在唯一性即可证明定理2 3 1 。 定理2 3 1 表明无穷小变换( 无穷小) 包含着单参数李变换群的本质信息，也就是 说李变换群可由它的无穷小生成元完全刻画；同时这一定理也表明存在一个参数 化f ( 占) 使得合成率为妒( 毛，岛) 的单参数李变换群( 2 3 1 ) 总可再参数化为合成率 为矿( f 。，f 2 ) = l + f 2 的单参数李变换群a 今后不失一般性，总可假设单参数李变换群可参数化使得合成率为一= - - 6 ， r ( 占) = 1 ，妒( f l ，f 2 ) = f 1 + f 2 。 定义2 3 4 算子 z 叫班黔v = 喜i 荆毒1 2 一j 称为单参数李变换群( 2 3 1 ) 的无穷小生成元。 因为无穷小变换可由无穷小生成元重新构造，所以无穷小生成元包含了不变 群的全部信息。因此，有下面定理： 定理2 3 2 单参数李变换群x = x ( x ，占) 等价于其无穷小变换或其无穷小生 成元。 定义2 3 5d 上的光滑函数f ( x ) 称为单参数李变换群( 2 3 1 ) 的不变函数， 如果对任意的x d ，占s 成立： f ( x ) = f ( x ) 定理2 3 3 设x 是单参数李变换群( 2 3 1 ) 的无穷小生成元，d 上的光滑函 数f ( x ) 是( 2 3 1 ) 的不变函数当且仅当： x f ( x ) = 0 定义2 3 6 单参数李变换群( 2 3 1 ) 称作代数方程，( 工) = 0 的不变群，如果 江苏大学硕士学位论丈 对任意的：f s ，当f ( x ) = 0 时均有f ( x ) = 0 。简言之，方程f ( x ) = 0 的不变 群就是使其解集变为解集的变换群。 定理2 3 4 ( 代数方程的不变性准则) ：设x 是单参数李变换群g ( 2 3 1 ) 的 无穷小生成元，则g 是代数方程，( 工) = 0 的不变群当且仅当 x f ( x ) i f ( ，瑚= o 2 4 延拓变换及微分方程的不变性 为处理微分方程，李采用扩大空间变量的方法使之在一定意义下可看作较高 维空间的代数方程，李的微分方程延拓理论正是基于这一思想将通常的代数方程 的不变群理论推广到了微分方程。下面，我们给出一般性的结论，具体的推导可 参见有关的文献“j 【3 5 1 。 首先，我们对空间x u 进行延拓，考虑函数 f ( x ) = f ( x 1 ，x 9 ) 即 f ：r p 崎r 定义2 4 1x x u ”称为x u 的疗阶延拓，也称为底x x u 上的射流 ( j e t ) 空间。 定义2 4 2 给定函数甜= ( 功，即 f ：x 寸u 则由它诱导的函数 ，= 幻 = 札甜4 ( j 的重数由0 到打) 称为厂的第府阶延拓，记作p r 4 ( x ) ，即 ”，：x 一( ，” 总之，在空间x x u 上的一个甩阶微分方程组可以看成是x u 胛阶延拓空 间x x u ( ”上的一个代数方程组，微分方程的解集可以看成是延拓空问上的一个 子流形纨，微分方程的一个不变群可看成延拓空间保持仇不变的群。这样自然 产生一个问题，我们如何将作用于x u 的开集肘上的变换群延拓到肘的n 阶 4 江苏大学硕士学位论文 延拓空间m ”上。这就引出群的延拓的概念。 定义2 4 3 设g 是作用于x u 的开集肘上的一个局部李变换群，由它诱 导的在肘的n 阶延拓空间m ( ”上的作用称为g 的第n 阶延拓，记作p r ”g 。 下面的问题就是建立微分方程的不变群g 与相应的吼在延拓群扣g 的作 用下的不变性之间的关系。 定理2 4 1 设肘是x u 的开集 a ( x ，“”) = 0 ( 2 4 1 ) 是肘上的一个月阶微分方程组，相应的子流形钆( c m ) ，g 是作用于盯的局部 变换群，其延拓群p r “g 保持纸不变，则g 是微分方程组( 2 4 1 ) 的不变群。 考虑由m 个微分方程组成的含有p 个自变量x = 似1 ，工9 ) r 和g 个因变 量z f = ( 甜1 ，“4 ) r 9 的微分方程系统 e ( 工，甜“1 ) = o ，= 1 , 2 ，m ( 2 4 2 ) 它的最高阶导数为, ，其中m ，n ，巩，p ，q 均是任意正整数 记“：兰些表示未知函数”t 的导数 。 反产缸；一反 其中，3 = u ，j 2 ，j ，) n 9 ，l j j = 工 考虑作用在p + q 维空间上的单参数李变换群 石= 互 ，；f ) + = x ( x ，“；g )( 2 4 3 ) 其中函数三和z 是待定的，为了使( 2 4 3 ) 成为( 2 4 2 ) 的不变群，我们考虑( 2 4 3 ) 的等价无穷小变换形式 x ：= + ( 】o 材) + 口( 占2 ) ( “) = u + 占玎t ( 工，”) + d ( 占2 ) ( 2 4 4 ) 其中函数毒和玑分别是自变量x = ( x 1 ，x 9 ) r 9 和因变量砧= 1 ，矿) r 4 对应的无穷小，于是与李变换群( 2 4 4 ) 对应的无穷小生成元可表示为 矿= 粪脚，丢+ 圭r k k = l 杀；lm j v “ 其中矿也可以看作是李群g ( 2 4 4 ) 对应的李代数三所产生的向量场的一种线性 细合于是，有下面的定理成立 1 5 江苏大学硕士学位论文 定理2 4 2 ( 微分方程不变性准则) ：微分方程( 2 4 2 ) 关于李群( 2 4 3 ) 或( 2 4 4 ) 不变的充分必要条件是 矿e l 。= 0 ( 2 4 5 ) 其中e = ( 蜀，e ：，既) ，而萨”是无穷小生成元矿的h 阶延拓，它可下面的公式 确定 其中 尹矾喜莩讹磅， - 印i s 一 ( 2 t4 6 ) 7 7 ；( 圳) ：d j ( 玑一釉；) + 圭善。以 i = l j = l 我们把( 2 4 5 ) 称为决定方程，如果李变换群( 2 4 3 ) 或者( 2 4 4 ) 关于微分 方程( 2 4 2 ) 不变，则称相应的无穷小( 皇，巩) 为方程( 2 4 2 ) 的对称。所以，为 了寻找微分方程的对称关键是求解决定方程( 2 ，4 5 ) 。 6 江苏大学硕士学位论文 第三章广义k d v 方程的对称和群不变解 对称在偏微分方程的求解中起着很重要的作用，本章首先讨论了方程的对称 满足的条件，然后利用待定系数法，求出了广义k d v 方程的对称，最后选用一 些简单的对称将方程约化为常微分方程，并求出了广义k d v 方程的一些群不变 解。 3 1 待定系数法的基本介绍 求解偏微分方程是数学家和物理学家研究的重要课题，齐次平衡法吲、 h i r o t a 变换 3 7 1 、p a i n l e v e 展开法1 3 “、b u c k l u n d 变换l 捌、对称法i 川都是比较成 功的求解方法。对称理论的研究在数学、物理学、化学等领域起着非常重要的作 用，在可积模型的研究中更是如此。对称包括局域对称和非局域对称两种，它在非 线性偏微分方程解的结构中起着重要作用。在对称变换下，一个对称能找到其群 不变解。因此用这些对称能够容易地由经典李群法和非经典李群法得到非线性偏 微分方程的约化，并且求得该方程的解。近几年来一些著名的方程，其对称已被找 到，如k d v 方程、k i k d v 方程、a k n s 方程、k k 方程，所以研究方程的对称对于 研究方程的性质是很重要的，本章利用待定系数法求取了广义k d v 方程的对称。 引文 4 0 是利用对称求解非线性偏微分方程的一个实例，它利用l i e 变换无 穷小法求出了广义i ( d v 方程： “f + u u ，一删。+ h 。= 0 ( 3 1 1 ) 的对称，并利用一些特殊的对称将其化为常微分方程。广义k d v 方程是同时包含 耗散、色散和非线性效应的波动方程，相当广泛的物理现象都归结为这一方程， 因而多年来一直受到数学物理工作者的关注。在本章，利用待定系数法来求方程 的对称。首先论述了方程对称应该满足的条件以及如何利用对称约化方程，