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6 自由度串联机械手位置逆解新方法 摘要 面对众多串联空间机器人结构的类型，其运动学位置逆解能否 用一种统一的方法来解决，一直是国内外机构学领域以及机器人领域 学者研究目标。本文在借鉴传统串联机械手机构位置逆解方法的基础 上，将倍四元数理论引入6 自由度串联机械手逆运动学分析中，试图 开拓一种基于倍四元数理论的6 自由度串联机械手位置逆解的通用 算法，并在此基础上取得了一些有价值的研究成果。 文章首先阐述了四元数、对偶四元数和倍四元数理论的概念， 以及它们的空间几何意义，同时也介绍了所用到的d i x o n 结式消元的 方法。基于对偶四元数与倍四元数之间的转换关系推导出了倍四元数 形式的坐标系之间相对位姿变换表达式，建立了倍四元数形式的串联 机构运动学方程。 对运动学方程分离变量，进行线性消元和d i x o n 结式消元后，建 立了一种基于倍四元数的一般6 r 串联机器人位置逆解新算法。这种 算法也适用于其它具有1 6 解的1 p 5 r 、4 r 1 c 等串联机械手，因此具 有一定的通用性。 另外，把这种算法推广到具有特殊尺寸机器人位置逆解中，通 过调整一些结构尺寸，把特殊尺寸机器人看作一般6 r 机器人，解决 了由于机器人尺寸特殊而使求解失效的问题，使算法具有通用性。然 后对p u m a 5 6 0 机器人和我国研制的一种喷漆机器人进行求解，验证 了此方法的可行性。 最后，在补充了纯角度关系的运动学方程基础上，对输入输出 方程次数为2 的第一组机构提出了一种通用的求逆解的算法。并以 r r p p c 和r c p c 为例对这种解法进行了验证。 关键词：6 自由度串联机械手位置逆解倍四元数通用算法 n e wa l g o r i t h mf o ri n v e r s ek i n e m a t i c so f6 d o fs e r i a lm a n i p u l a ，r o r a b s t r a c t f a c e dt o om a n yt y p e so fs e r i a ls p a t i a lr o b o tm e c h a n i c a l ，au n i v e r s a l m e t h o dt os o l v ei n v e r s ek i n e m a t i c sa n a l y s i sa b o u tt h e ma t t r a c t e dm a n y r e s e a r c h e r so ft h ek i n e m a t i c sc o m m u n i t ya n db e c o m et h e i rr e s e a r c hg o a l i nt h i sp a p e rw er e f e rt ot r a d i t i o n a ls o l u t i o n so ft h ei n v e r s ek i n e m a t i c so f as e r i a lm e c h a n i s m s ，d o u b l eq u a t e m i o n si si n t r o d u c e df i r s t l yt oi n v e r s e k i n e m a t i c sa n a l y s i so f6d o fs e r i a lm a n i p u l a t o ra n dt r yt od e v e l o pan e w u n i v e r s a la l g o r i t h mf o ri n v e r s es o l u t i o no fa l lk i n d so f6d o fs e r i a l m a n i p u l a t o rb a s e do nd o u b l eq u a t e r n i o n sa n ds o m ev a l u a b l er e s u l t sa r e o b t a i n e d i nm i sp 印e rw ei n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a la n dg e o m e t r i c a lt o o l s ， w er e c a l lt h en o t a t i o n sa b o u tq u a t e m i o n d u a lq u a t e r n i o n sa n dd o u b l e q u a t e m i o n st od e s c r i b es e r i a lc h a i n sa n dd i s c u s st h em e t h o do fd i x o n e l i m i n a t i o nt h a tw eu s e di nt h i sp a p e r t h er o t a t i o na n dt r a n s l a t i o no f c o o r d i n a t es y s t e m si nd o u b l eq u a t e m i o n sa r ed e d u c e db a s e do nt h e t r a n s f o n t lb e t w e e nd o u b l e q u a t e r n i o n s a n dd u a l q u a t e r n i o n t h e k i n e m a t i c se q u a t i o n so fs e r i a lr o b o ta r ec o n s t r u c t e di nt e r m so fd o u b l e q u a t e r n i o n s v a r i a b l ea r es e p a r a t e df r o mt h ee q u a t i o no ft h ed o u b l eq u a t e r n i o n s ， n o v e li n v e r s es o l u t i o na l g o r i t h mo fag e n e r a l6 rs e r i a lm a n i p u l a t o r si s o b t a i n e dv i al i n e a ra l g e b r aa n dd i x o nr e s u l t a n tf o r m u l a t i o n ，a n dt h i s a l g o r i t h ma l s oc a nb ea p p l i c a b l et ot h ei n v e r s ek i n e m a t i c sa n a l y s i so ft h e r o b o t sw i t h1 6r o o t s ，s u c ha s1 p 5 ra n d4 r 1 c ，s oi th a su n i v e r s a lu s a g e t h i sm e t h o di sa p p l i e dt os o l v et h ei n v e r s ek i n e m a t i c sa n a l y s i so ft h e s p e c i a l d i m e n s i o nw h i c hi sr e g a r d e da sg e n e r a l6 rr o b o t sv i aa d j u s t i n g s o m ed i m e n s i o n sal i t t l eu n d e rt h ep r e c i s i o np e r m i t t e d t h e nt w o e x a m p l e so fap a i n t i n gr o b o ta n dp u m a 5 6 0r o b o ta r eg i v e nt op r o v ei t f i n a l l yan e wu n i v e r s a li n v e r s es o l u t i o na l g o r i t h mf o rg r o u pl m e c h a n i s m sw i t ht w or o o t si sd e v e l o p e d b a s e do nag r o u pk i n e m a t i c s e q u a t i o no fa n g l ei sa d d e d t h e nt a k er r p p ca n dr c p cr o b o t sf o rt w o e x a m p l e st op r o v et h i sa l g o r i t h m k e yw o r d s ：6d o f s e r i a lm a n i p u l a t o ri n v e r s ek i n e m a t i c sd o u b l e q u a t e r n i o n s n e wa l g o r i t h m 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处， 本人签名：番蠛塞么 本人承担一切相关责任。 日期塑：! ：! 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅：学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期：塑：! ：! ! 日期：竺! ! ： 北京邮电大学工学硕士学位论文 绪论 1 1 引言 第一章绪论 串联空间机器人结构类型，按照运动副的种类和排列有数十种。面对如此众 多的类型，其运动学位置逆解能否用一种统一的方法来解决，一直是国内外机构 学领域以及机器人领域学者研究目标。实际上统一方法求解的思想很早就出现 了。d u f f y 【i 】在8 0 年代就试图利用球面三角法进行统一求解的研究，但最后剩下 1 5 种机构没有办法求解。廖启征【2 于8 6 年解决了7 r 机构以后，又完成了其它 未解决的1 5 种机构的位置分析。理论上可以说，已经完成了全部串联空间机器 人机构的求解。廖方法的关键部分包括酉交矩阵的数学建模、计算机关系式的寻 找以及线性消元、结式消元的两步消元法等。但实际上这种方法在各个阶段都需 要人工干预，不具备一定机构学知识的人是很难完成的，并不适于自动编程。因 为机构的种类太多，而且每种机构的特殊情况也很多，所以推广应用困难。最近 有人提出把串联运动链拆成两部分或几部分，每部分只有r r r p r r r 等几种简 单的组合，对每部分分别求解，然后把它们组装起来。但是这种想法只适于某些 解耦的特殊情况。例如，有球铰存在时，如p u m a 机器人，它可以实现位置与姿 态解耦。拆成两部分时，一部分处理位置，另一部分处理姿态，求解变得比较简 单。但是对于尺寸任意的机器人，位置与姿态耦合在一起，是无法处理的。 针对这一困难，必须从其它的途径解决这个问题。利用倍四元数( d o u b l e q u a t e m i o n s ) 建立单环空间机器人位置逆解的统一数学模型，可以在一定程度上 解决这个问题。 倍四元数出现较早，但是在机器人运动学中的应用是最近几年的事情。我们 知道，球面中的一小部分可以近似看作一个小平面，只要这个平面足够小，或球 的半径足够大，这个近似所造成的误差就可以任意小。倍四元数的一个主要特点 就把滑动副的线性位移近似看作一个半径足够大的圆弧，于是刚体在三维空间的 三个转动和三个移动就可以近似看作是在四维空间中的纯转动。这样就把移动和 转动统一起来，大大减少了机构的种类，使得用统一的方法建模与求解成为可能。 此外，由于没有了滑动副，在求解当中还避免了滑动位移所造成的关系式相关、 奇异等编制程序当中非常棘手的问题。 本文是对以上问题的一个初步探讨，利用倍四元数建立了单环空间机器人位 北京邮电大学工学硕士学位论文绪论 置逆解的统一数学模型。在对具有6 自由度的串联手进行了位置逆解后，发现具 有1 6 解的一般6 r 、1 p 5 r 、4 r 1 c 等机械手能用统一的算法求解。在此基础上对 一些特殊尺寸的机器人进行了位置逆解。并进一步对具有2 组解的6 自由度串联 机器人位置逆解建立统一运动学模型进行了求解。 1 2 文献综述 1 2 1 机械手运动学逆解及机构位移分析方法 工业机械手可按自由度来划分，要使机械手能达到工作空间的任何位姿，其 自由度必须大于等于6 。与空间单环机构一样，机械手也可用关节运动副的顺序 来描述。如s t a n f o r d 机械手是一种5 r p 机械手，它由5 个转动副和1 个移动副 构成；p u m a 5 6 0 是一种6 r 机械手，它由6 个转动副组成。 机械手的位置反解是已知机械手的空间位姿，求解各个运动副的位移量( 包 括角位移量) 。传统的机械手的结构一般比较特殊，如轴线相交或平行，轴线长 度为零等等。这样它的姿态和位置之间就没有耦合，其逆解很容易用分离变量的 办法来实现。在这方面有许多中外学者都做了巨大的努力，也有很多的成功方法 d 4 。然而对于一类结构尺寸比较一般的复杂机械手 69 1 ，由于姿态和位置高度耦 合，一般无法进行变量分离，这时必须借助于数值算法。这些算法可分为3 类： 幻数值解析法【9 】，牛顿拉弗森法f l o j 等。这些算法可满足实时性要求，较难得到 全部逆解，且必须给出适当的初值。b ) 优化算法【n i ，区间迭代法【12 1 ，遗传算法【1 3 】 等。这类算法收敛范围大，可求出全部逆解，但一般实时性差。c ) 位置和姿态分 别迭代法l h l 。这种算法能较迅速地求得全部解，但当机械手位置和姿态高度耦 合时，迭代过程会发散。 苏海军【”l 应用空间一般7 r 机构位移分析( 该问题与一般6 r 机械手的逆解 问题等价，曾被喻为是空间机构运动分析中的珠穆朗玛峰，它于1 9 8 6 年为我国 学者廖启征，李宏友，梁崇高解决【l6 j ) 的成果，得到一种基于代数消元的独特 实用算法。这种算法无需初值就可实时地得到全部解，而且可以适用于各种一般 6 r 机械手。其基本思路是： ( 1 ) 将多项式方程组通过适当的代数消元，得到只含一个关节变量的结式。 这一步通常用计算机代数系统实现。 ( 2 ) 将机械手末端位姿参数代入结式，并展开结式可得一个关于某个关节 变量的一元高次多项式方程。 ( 3 ) 运用数值算法求解该一元方程，从而得到其中个关节变量。 2 北京邮电大学工学硕士学位论文 绪论 ( 4 ) 将( 3 ) 解出的关节变量回代，可将其他关节变量依次较容易地解出来。 苏的方法也有一些不足：一是代数消元过程十分烦琐且对于不同结构的机械 手其消元过程会有所不同。这主要体现在挑选消元方程时不能象一般6 r 机械手 那样可以任意挑选，而要避开会导致出现恒等式的方程，技巧性很强。二是求解 过程中对一元高次方程中的变量的精度要求很高。 以后的求解方法与苏的大致相同。林森【l7 j 在苏的基础上，继承我国古代的 一些数学成果，把华罗庚先生的利用有理数逼近实数的方法引入到一种喷漆机器 人的逆解计算中，开拓了一种基于有理数运算的方法。于艳秋【l8 】把这种基于有 理数运算的方法方法推广到结构更一般的6 r 机构中。此后王品u 9 1 又提出了一种 能用c 抖语言实现的一种算法并加以实现。 更值得一提的是杭鲁滨【2 0 i 用数学机化的方法，即基于g r o e b n e r 基法，对一 般6 r 机器人机构逆运动学进行符号解分析。仅用d u f r y 的含3 个未知变元的4 个 运动学方程，附加3 个正余弦恒等式，不增加其他几何约束方程，并得出一般串 联6 r 机器人机构逆解最多为1 6 解的结论。 但在对机械手运动分析中，还没有一种通用的方法，用一种统一的求解模型；” 对机械手进行运动分析。 1 2 2 四元数的发展历史及其应用 四元数也是数的一种，是1 8 4 3 年英国数学家w r 哈密顿把复数加以推广， 创立了有4 个分量的超复数，即q = q l i + q z i + q 3 k + q 4 ，他把这个数称之为四元数， c l i f f o r d ( 1 8 7 3 ) 把四元数做了进一步的推广，在三维空间中，他用对偶四元数( d u a l q u a t e m i o n s ) 表示旋量，在椭圆三维空间，他用倍四元数( d o u b l eq u a t e r n i o n s ) 表示旋量。 随后，s t u d y ( 1 9 0 3 ) 及r a v a n i 和r o t h ( 1 9 8 4 ) 通过研究，把三维空间中空间位 移的几何表示与对偶四元数关联起来。s t u d y 引入八个齐次坐标来表示空间位移， 其中前四个参数，q = ( q t ，q 2 ，q 3 ，q 4 ) ，是e u l e r r o d r i g u e s 旋转参数；后四个参数 妒( q o l ，o o ，q 0 3 ，q 0 4 ) ，是两个矢量的乘积即q 坦，这儿d = d d + d z i + d 3 k 是表示平移的矢量四元数。这八个参数不是独立的必须满足 q l q o l + q 2 q 0 2 + q 3 q 0 3 + q 4 q 0 4 = o 的关系。这样，一个空间位移就被映射为用s t i l d y 参数( q ，函) 定义的空间中的一个点，这个空间就是s o m a 空间。s o m a 空间可 以说成是投影7 维空间中的一个六维二次曲面，也可说是四维空间的一个线性六 维簇。r a v a n i 和r o t h ( 1 9 8 4 ) 弓i 入了一种更简捷几何映射，把空间位移映射为对偶 投影三维空间中的一个点，这个空间称为e v c l i d e a n 运动象空间。用s t u d y 的s o m a h 北京邮电大学工学硕士学位论文绪论 坐标，这个象空间坐标 ：( o l ，o 一：，垂，包) 定义为 磊= q j + e 0 2 ) q , 。f _ 1 , 2 ，3 ，4 其中是对偶数单元。由于q 、q o 由看作是一对四元数，r a v a n i 和r o t h ( 1 9 8 4 ) 认为q = q + e ( 1 2 ) q o 更确切的是对偶四元数形式表示的空间位移的解析表 示。这样对s t u d y 的s o m a 空间和e v c l i d e a n 运动象空间的推广可视为把空间位 移转化对偶四元数表示的几何研究。 而三维空间中空间位移的几何表示与倍四元数的关联是通过对偶四元数作 中介完成的。m c c a r t h y 2 1 1 和g e l 2 2 - 玉) 做出了巨大的努力。他们通过用幂矩阵【a 】 来完成这个工作。c l i f f o r d ( 1 8 7 3 ) 指出了四维空间即椭圆三维空间中的能用倍四元 数表示，而三维空间的位移能用对偶四元数表示。我们只需在对偶四元数和倍四 元数找到某种关系，就能把三维空间的位移与四维空间的位移关联起来。也就是 说把三维空间的位移转移到四维去。m c c a r t h y 2 5 j 研究表明，当四维球体的半径 足0 0 时，四维空问的旋转矩阵 a 】就近似为三维空间位移的齐次转换矩阵。g e 冽 也显示表示三维空间位移的对偶四元数是表示四维空间双旋转的倍四元数的特 例。这在第二章进一步介绍。 对偶四元数代数在运动分析中的应用开始于y a n g 和f r e u d e n s t e i n ( 1 9 6 4 ) ，这 使对偶四元数成为空间机构分析的基本工具，r a v a n i 和r o t h ( 1 9 8 4 ) 显示象空 间是空间机构分析、综合和分类的基本几何工具。m c c a r t h y 和r a v a n i ( 1 9 8 6 ) 提 出了用象空间研究空间机构的微分运动学的基本框架。随后，g e 和 m c c a r t h y ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 发现了象空间理论在机器人和自动控制中的新就应用。g e 和r a v a n i ( 1 9 9 4 a ，1 9 9 4 b ，1 9 9 3 ) 把象空间应用于计算机辅助几何设计中并为运动 插值和逼近建立了计算几何代数。对于倍四元数，m c c a r t h y 2 1 1 把倍四元数用于 机器人的尺寸综合中，并对两圆柱副运动链( c c ) 进行了综合设计。p e r e z 2 6 1 用 倍四元数对空间r r 机器人进行综合。但尚未有学者把倍四元数用于串联机构逆 运动学分析。 1 3 本论文的主要工作 本论文把倍四元数引入到具有6 自由度串联机械手位置逆解中，建立了一种 不同于传统求解6 自由度串联机械手位置逆解的方法，并初步建立了一种通用的 求解模型。整个论文分七章： 第一章绪论。阐述了论文工作的理论背景，对该领域国内外相关文献进行 4 北京邮电大学工学硕士学位论文 绪论 了综述，并介绍了本论文的主要内容。 第二章基本理论。系统的介绍了本文采用的四元数、倍四元数的基本理论、 空间位移的倍四元数表示以及d i x o n 结式消元方法。 第三章串联机械手数学模型的建立。在d h 矩阵建立6 自由度串联机器人 运动学方程的基础上，把d h 矩阵以倍四元数形式表示，从而建立倍四元数形 式的运动学封闭方程。 第四章具有1 6 解的6 自由度串联机械手分析。本章对一般6 r 、1 p s r 、4 r 1 c 等具有1 6 解的6 自由度串联机械手位置逆解进行了统一建模，得出了一种通用 的求解方法。并分别以一实例对这三种机构进行了位置逆解。 第五章具有特殊尺寸机器人的位置反解。本章把一般6 r 机器人位置逆解 的方法推广到具有特殊尺寸机器人位置逆解，解决了用传统方法一种构型一种解 法且用通用方法对这些特殊尺寸机器人求解时出现解法失效的问题。并以 p u m a 5 6 0 机器人和6 r 喷漆机器人为例进行了实例验证。 第六章其它6 自由度机器人位置逆解。第一组机构的输入输出方程的次数 为2 ，也就是逆解为两组。本章利用第三章所建立的运动学方程，另外补充一组 纯角度关系的运动学方程，为第一组机构建立了一种通用的求逆解的方法。并以 m 冲p c 和r c p c 为例对这种解法进行了验证。 第七章结论与展望。对全文作了简要的总结，同时对今后的研究进行了展 望。 本文的推导是采用的软件是计算机代数系统“m a t h e m a t i c a ”5 2 版本。 北京邮电大学工学硕士学位论文 基本理论 2 1 引言 第二章基本理论 本论文是以倍四元数( d o u b l eq u a t c r n i o n s ) 为理论基础，并用倍四元数为数 学工具，建立具有6 自由度串联机器人机构逆运动学分析的数学模型。这种数学 建模方法，在机构运动分析中还很少有人采用。串联机器人机构位移分析的关键 是求解非线性方程组，本文在处理这个问题时采用了d i x o n 结式消元法。本章将 对倍四元数和d i x o n 结式进行系统的介绍。 2 2 倍四元数( d o u b l eq u a t e m i o n s ) 2 2 1 四元数 四元数是实数和复数以及三维空间点矢量的扩充。复数仅有两个单元1 和i ， 四元数有四个单元l ，i ，j ，k 。后三个单元有如下的性质 f 2 = ，2 = k 2 = 一l = 七，弦= f ，酊= ， ( 2 1 ) j i = - k ，移= - i ，i k = - y 这样的三个单元i ，j ，k 可看成直角坐标系的三个基本矢量。于是，一般四 元数q 的形式为 q = 【v + s 1 = q l h q 2 + q 3 五+ q 4 = ( q i ，q 2 ，q 3 ，q 4 ) 因此它表示为一个标量部分s 和一个矢量部分v 。其中q l ，q 2 ，q 3 ，q 4 都 是实数。 四元数具有以下基本性质 标量部分：q 4 矢量部分：v = q 1 i + q q 3 k 共轭四元数：q = 【一v + s i = - q i i - q d - q 3 k + q 4 = ( - q l ，q 2 ，- q 3 ，q 4 ) 四元数的代数运算法则如下加( 减) 运算法则：两四元数的和( 差) 等于对 应元素的和( 差) 。 6 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 乘法法则： q i q 2 = ( q x i + q z + q 3 k + q 4 ) ( q i f + q 2 ，+ q 3 k + q 4 ) = q 4q 4 _ v 1 v 2 - f q 4 v 2 + q 4 v l + v l v 2( 2 2 ) 共轭： 艘。= l ( 2 3 ) 模研+ 谚+ 讲+ 西= 1 的四元数称为单位四元数。在三维空间中，绕单位矢 量s = 0 1 ，s 2 , s 3 ) 旋转0 角的旋转可用单位四元数表示为 s i n ( 0 2 ) ( s l f + s2j + s 3 k ) + c o s ( 0 2 ) 特别是，一个点x = 五f + 镌+ 而七被旋转到z = 墨f + 砭+ 焉七表示为 i = q + 。 2 2 2 矩阵幂和旋转 在1 1 维空间中，绕一固定点的一个旋转能被一个l l x l l 的正交矩阵【a 】表示， 此矩阵 a 】的行列式为+ l ；微分旋转用一个n x n 的反对称矩阵【m 】表示。【a 】和【m 】 通过下面的式子联系在一起： k 】= p 忆争k = o 咀k ( 2 。4 ) 如果【m n 】_ 口叼 m ，有 少m 1 = e m l 1 = i 川 ( 2 。5 ) 12 1 ) 旋转 我们用2 维空间中的旋转证明上面的关系。在2 维空间中，表示微分转动为 2 x 2 的反对称矩阵： m 】= o z j 这里【，】= o ： ，且有特性 【，】2 = 陋：l ( 2 - 6 ) 由式( 2 - 4 ) 和( 2 - 6 ) 得到： a = e 口v = e o s 0 e ：】+ s i n 目【，】= l c s i o n s 曰0 - c 。s i s n 矽0 ( 2 - 7 ) 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 这就是平面旋转矩阵。 23 d 旋转 3 维空间中的微分转动为如下的3 x 3 的反对称矩阵表示： 1 - 0 吲：is ， i l s i - - s 2 一s 1 o 且有j ；+ j ；+ s ；= 1 。 这个矩阵有这样一个特性： s k i s 2 + 眩西= o ，可推得 e o s = 陋，】+ s i i l p 眵】+ ( 卜c o s 口) p 】2 表示绕单位矢量s = ( s 。，j 2 ，s ，) 旋转o n n 旋转。 把式( 2 8 ) 改写成一个4 x 4 的反对称矩阵： = o i s 1 三 得。 阮】= ( 0 2 ) s + 】+ ( 们) h 其中： 引： i s 一】- 0 s 3 一s 2 一s l o j 3 一s 2 j l s 3s 25 l 0 一s ls 2 0s 3 一s 2 一s 3 0 一s 3 0 最 j 2 s 2 一毛 0 j 3 一s l s 2 一s 3 0 则3 维空间的旋转矩阵可表示为： e m 1 = 2 ( o 2 ) b + 】2 ( o 2 ) = e ( o 2 ) b k ( o i2 ) s + 1 此时，e ( o m s + 1 可表示为如下4 x 4 的正交矩阵： ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 1 ( 2 1 4 ) 吖。 墨2 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 口 c o s 2 p j 38 1 n i 臼 一是5 m 了 秒 一五s m i 二 ( 2 - 1 5 ) 此矩阵与如下的四元数是同构的【2 2 1 ： g = s i n ( 0 2 ) ( s i i4 - s 2 + 8 3 露) + c o s ( o 2 )( 2 1 6 ) 同样的，e ( o i 渺】与下面的四元数相关联： g = 一s i n ( o 2 ) ( s l i + $ 2 j + s 3 k ) + c o s ( o 2 )( 2 1 7 ) 是g 的共轭四元数。 上面分析可知：一个3 维空间的微分转动伊防 由两个4 维空间的微分转动 ( 纠赳r 和( 2 ) p 】合成的。一个单位四元数对应一个4 d 旋转。 2 2 3 倍四元数和对偶四元数 1 空间运动和四维空间旋转 在三维空间中，为了表示位移，引入了齐次坐标，把一个3 3 表示的旋转矩阵 a ( o ，沙) 和一个表示平移的3 x 1 平移矢量i = ( 口，b ，c ) 7 写成一个4 4 的齐次转换 ( p a u l1 9 7 9 ) ，这种形式的矩阵表示三维空间的一个矩阵集，或者说是特定的一个 欧几里得集。角度0 ，y 是欧拉角，这样a ( o ，妙) = r o t ( y ，o ) r o t ( x ，- 矽) r o t ( z ，) 。 根据m e c a r t h y 2 7 1 ，我们可以把这个4 4 的矩阵看作是在四维空间中w - - i 的 超平面上的一个位移。从这个观点出发，我们得到一个w = r 的超平面上的完全 相同的一个转换： 卧 口| r ：0 ，矽，) b r c r o0 l 一目 ( 2 1 8 ) 现在，通过如下方式构造4 4 旋转矩阵 k ：a ( o ，) 为4 4 旋转矩阵 k 】的 9 邝一2一2邝一2臼卜2 s s s o q 屯 屯 c 92秒卜29 i p 卜2 卜， n 目一2 n 豳 汪 盼 芦 屯 心 c 吖 口一2 ，一p一2口2伊一2秒卜2p卜2 跚 0卜，。m 眦 吨 驴 吨 蔓量蜜邮电大学工学硕士学位论文 基本理论 左上角3 x 3 的子矩阵，其第四对角元素为l ，则矩阵 k 表示四维空间中子空间 x - y - z 上的一个旋转，其保持w 轴固定。下面令形一x 平面上旋转角口，w y 平面上旋转角，w z 平面上旋转角，我们定义一个4 4 的矩阵： j 他，) = c 口 一s 8 s 伐 - s r c p s 口 - c r c f l s a 0o c p 0 s y s f l c yc y - s f l c r- s y s 口 s f l c a s r c p c a c y c p c a ( 2 1 9 ) 这里，j 和c 分别表示正弦和余弦函数。这样一个更一般意义上的4 x 4 旋转 d 】通过如下乘积给出： d 】- 【j ( a ，r ) l k ( o ，妙) 】 ( 2 - 2 0 ) 通过引入式( 2 2 1 ) 的关系，空间位移( 2 1 8 ) 实际是( 2 2 0 ) 的一个特例。 t a i l 口= i a ，t a l l = i b ，t a n ，= 丢( 2 - 2 1 ) 把( 2 2 1 ) 代入( 2 2 0 ) ，用泰勒级数展开： n | r 彳( 9 ，妒) 6 r c r oo0 l x j ， z w + l 足 00 00 0o 巳乞 00 00 00 e 3 0 x y z w + d ( 1 欠2 ) ( 2 2 2 ) 此式与式( 2 1 8 ) 比较，我们可以看出，后一个式子中含有1 r 的高次项，4 x 4 的旋转与w = r 的超平面上的齐次转换完全相同；式( 2 1 8 ) 0 0 在w 方向的元素与 w - - r 超平面正交。这样就可以引入一个足够大的r ，三维空间的位移就可以近 似为四维空间中的旋转。 24 d 旋转和倍四元数 下面根据g e 【2 2 1 ，定义一对四元数，即倍四元数，并推导出它与旋转矩阵 d 】 的关系。首先，我们能根据矩阵【d 获得一个4 x 4 反对称幂矩阵 m 】1 2 8 】： 阵： m - - o 毛 一z 2 一嵋 ( 2 - 2 3 ) g e l 2 2 1 通过交换元素w 与z j 定义一个矩阵 m 】，把【m 】分解成两个反对称矩 l o 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 这里 【m + 】= ( 【m 】“m 】，) 2 【m - 】= ( m i - m ) 2 【m + 】= m 一】_ u s 2 一s 2 0 屯 一岛0 乞一，i f l 一 0 t 3 0 ( 2 - 2 4 ) = 舡s 】( 2 - 2 5 ) = “丁】 ( 2 2 6 ) 和d 通过计算砰= 乎= l 获得。结果是 m 】= s + o t 】 旋转矩阵【d 】可通过如下的乘积表示： d 】- 1 = s 卜”口1 = s l e “力 根据g c 2 2 1 ，矩阵【g 】+ = e t 4 剐和【日丁= p ”们有如下形式： 【g 】+ = i n 】一= f 誊c o s o - 墨t 3 s i n o s 2s i l l - - $ ls l n c o s - - s 3s i n t ，s i l l p - - t is i n o c o s u t 3s i n o 焉s i n j 2s i n 岛s l n c o s 一t ls i n u - - t 2s i n u - - t 3s i nl ， c o s u ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 这里的符号+ 和只是指示从四元数元素转变过来的特定的矩阵结构 m e c a r t h y t 2 7 1 。由这两个矩阵产生的单位四元数为： g j l 8 i n z t i + s 2s i n u j + s as i n 七m 汕 ( 2 - 3 1 ) 日= 一t ls i nu f t 2s i nu ，一岛s i nu 七+ c o s u 、 这儿日是通过对四元数h 的矢量元素取反获得的共轭四元数。这样矩阵 【d 】与这一对单位四元数联系起来了。这对单位四元数我们称之为倍四元数，表 飞o & 吨t o 乞 。邑吨1 o勺t 北京邮电大学工学硕士学位论文 基本理论 示为：g = ( g ，聊。 这样四维空间中一点量= x ，y ，z - ，w 7 通过【d 】旋转到j ： j = e t m l i = 【g 】+ 【h 】一曼( 2 3 2 ) 这与四元数乘积是完全相同的： 彳= g x 日+ ( 2 3 3 ) 式中曼= x i + y j + z k + w 和j = x i + 巧+ z 七+ 形 当g = 时，4 维空间的的旋转化为一个3 维空间的旋转： x = g x g + ( 2 - 3 4 ) 给定两对倍四元数( g ，h 。) 和( g ：，日：) ，则4 d 中的两个连续转动( g 3 ，马) 表 示合成的旋转，则有： g 3 = g 1 g 2h 3 = 日lh 2 ( 2 3 5 ) 也就是，g 部和h 部可以分开运算。在此引入孝和r ，满足善2 = f ，r 2 = r ， 勿= o ，则倍四元数可表示为： g = 孝g + r h( 2 3 6 ) 有 g 3 = g 1 g 2( 2 3 7 ) 33 d 旋转和对偶四元数 一个3 d 位移由旋转和平移组成。以单位四元数q 表示旋转，d 表示平移矢 量。则3 d 位移用对偶四元数表示为： 委= q + 坦o( 2 3 8 ) 是对偶单位，e 2 = o ， q o = ( 1 2 ) d q ( 2 - 3 9 ) 4 对偶四元数与倍四元数的相互转换 我们可以把二维平面的位移看作是三维空间内绕半径足够大球体球心的旋 转，同样，三维空间上的位移能被近似为四维空间内半径足够大球面上的小旋转。 故对偶四元数可以表示三维空间内的位移( 包括旋转和平移) ，倍四元数可以表 示四维空间内的双旋转。只要我们指定四维空间球体的半径r 足够大，就能把三 1 2 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 维空间内的位移转换为四维空间内的双旋转。 已知对偶四元数亘= q + 田。，转换为对应的倍四元数为： g = c o s 趁+ s i n 恕h = c o s 趁一s i i l 恕( 2 - 4 0 ) 其中，= iq ol 尺，9 = q o iq ol 。 已知倍四元数e = ( g ，) ，转换为对应的对偶四元数为： q = ( g + h ) ( 2 c o s )q o = r ￥z ( g h ) ( 2 s i n t )( 2 4 1 ) 其中，缈= ( 1 2 ) c o s - 1 ( g h ) 。 至此，各种四元数及几何意义我们已经明了。在第三章中，我们以此为理论 基础推导出以倍四元数表示的串联机器人机构运动学方程，并进行逆运动学分 析。 2 3 空间位移的倍四元数表示 在实际应用上，更常用的是以d h 矩阵表示的机械手末端位姿。因此，有 必要把以d h 矩阵表示的机械手末端位姿近似转化为倍四元数表示的机械手末 端位姿态。我们可以通过矩阵【d 】求反对称矩阵【m 】，然后根据g e 的分解方法 从而完成以上的转换。 但是对于给定的矩阵f d ，反对称矩阵 肘】可能不易求得。从而无法完成上 面的转换。下面我们介绍一种方法完成空间位移的倍四元数表示： 利用c a y l e y 公式 b o t t e m aa n dr o t h1 9 9 0 1 求得个反对称矩阵【明 【b 】= 【d - i d + ，】- i( 2 4 2 ) 其被用于求得倍四元数0 = ( g ，哪。用g e 的分解方法，得到 捌，且有 黑2 黑+ 熙鬈( 2 - 4 3 ) 如i t 】- ( 【b 】一陋】) 2 这里，毛，岛通过计算y = 罗f = 1 获得。常数量，屯通过下式计算： 。_一一 -。 乏三( t a n ( 别, w 2 2 j 二州t a n ( g 裂佗2 ( 2 删 岛=) 一2 ) ) 、 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 这儿矿n 和矿嵋是矩阵 d 】的特征值。根据g e l 2 2 】角度a ，f 与四元数角度的关 系如下： 2 4d i x o n 结式【冽 2 4 1 单变量消元与结式 z + f 口= o ( 2 - 4 5 ) 五一f 、 7 u = 一二 2 形如 门= 矿+ a l x 2 + 掣+ 吗= o g ( x ) = 6 0 ，+ 噍，+ 屯x + 包2 0 的两个方程，我们把它写成矢量形式如 八力= c o x + q 矿_ 1 + + 一l x + c 。 和c 0 2 v ) + 眇1 + 一l c n - l l 、l x + 盼。 ( 2 - 4 6 ) 这实际上是两个具有同样形式的方程写到了一起。我们要求两个方程消去一 个变量x ，得到一个方程。构造以下行列式： t t ( x ，口) 2 | ( x ) ，( 口) j 2 x 2 。0 ( 2 - 4 7 ) 式( 2 4 7 ) 是个2 x 2 的行列式展开后是关于x 与口的多项式。很显然，当x = - - a , 时，此行列式恒等于零。换句话说，此行列式能被x 一口整除。于是把式( 2 ，4 7 ) 除以x 一口，得到 骶叻：j 弛：0吠五叻= l = ( 2 4 8 ) 当x 取公共根时，第一列为零，不论口取什么值，行列式都等于零。于是把 展开后的行列式按口的各次幂排列。由于行列式等于零与口无关，所以口的各次 幂系数全为零。而口的各次幂系数都是一些关于x 的多项式。于是能够得到一系 列关于x 的方程。这些方程可以构成一个大型的结式，称为迪克逊结式，记为l d 卜 1 4 北京邮电大学工学硕士学位论文基本理论 ( 1 ，c b 口2 ，c z ”一1 ) d ( 1 ，工，工2 ，x 4 1 ) 7 = 0( 2 4 9 ) d o ，x ，工2 ，x 州) r = o j l d l = 0 ( 2 5 0 ) 其中l d l 是n n 的行列式。因为在式( 2 4 7 ) 中，分子关于x ，a 都是n 次的，减 去分母的各一次，所以式( 2 4 8 ) 关于x , c x 都是胛一1 次的，可以写成式( 2 4 9 ) 的形式。 i z ( x ，y ) 正( x ，y ) a ( x ，y ) l a ( x ，y ，口，) = l 石( 口，j ，) 正( 口，y )