（基础数学专业论文）半序f型拓扑空间的理论及其应用.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：i 金g 圭整 日 期：竺生：兰：2 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索i 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定。 作者签名：i 盏：臼垂整 日期：型：! ：2 摘要 本文主要研究半序f _ 型拓扑空间中单凋映射的不动点定理和一类非线性 算子方程的可解性主要内容如下： 第一章，介绍f 一型拓扑空间的定义和它的特征刻画，并在f 一型拓扑空间 中引入庐一辅助序、上( 下) 序完备、上( 下) 序连续、序上( 下) 半连续等概念 在此基础上，研究半序f 一型拓扑空间的基本性质 第二章，利用半序f 一型拓扑空间的基本性质，建立这类空间上单调增映射 的不动点定理，研究其序区间上单调增映射的最大、最小不动点的存在性并利 用这些结果来证明f 一型拓扑空间中混合单调映射的耦合不动点定理 第三章，作为第二章中给出的这几个不动点定理的直接应用，得到了概率 度量空间和模糊度量空间中关于单调增映射的几个相应的不动点定理和混合单 调映射的耦合不动点定理 第四章，在半序f _ 型拓扑空间框架下研究一类非线性算子方程l x = n x 解的存在性，以及满足l u 。+ l = n u 。的迭代序列 “。 对于方程解的收敛性， 并给出这类算子方程具有多解性的条件 以上这些结果是张宪 2 】、冯育强、刘三阳 1 4 ，2 0 】等在半序度量空间中 给出的相应结果的改进和推广 关键词：f 一型拓扑空间；步辅助序；上( 下) 序完备；上( 下) 序连续；单调 增映射；不动点 2 a b s t r a c t i nt h i sd a p e r 、w em a i n l yd i s c u s st h ef i x e dp o i n tt h e o r e m so fm o n o t o n em a p - p i n g sa n dt h es o l v a b i l i t yo fa c l a s so fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si np a r t i a l l y o r d e r e df t y p et o p o l o g i c a ls p a c e s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，t h ed e f i n i t i o no ff ，t y p et o p o l o g i c a ls p a c ea n di t sc h a r a c t e r - i z a t i o na r ep r e s e n t e d i nf t y p et o p o l o g i c a ls p a c e ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p 硌 o f 护a c c e s s o r i a lo r d e r ，u p p e r ( 1 0 w e r ) o r d e r c o m p l e t e n e s s ，u p p e r ( 1 0 w e 。jo r d 。 c o n t i n u i t y ，o r d e r e du p p e r ( 1 0 w e r ) s e m i c o n t i n u i t ye t c o nt h i sb a s e ，w er e s e a r c h t h eh a s a lp r o p e r t i e so fp a r t i a l l yo r d e r e df t y p et o p o l o g i c a ls p a c e s - i nc h a p t e r2 ，b yv i r t u eo ft h ep r o p e r t i e so fp a r t i a l l yo r d e r e df t y p et o p o l o g i c a l s 口a c e w ee s t a b l i s hs o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m so fi n c r e a s i n gm a p p i n g si nt h i sk i n d o fs d a c e a tt h es a m et i m e ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm a x i m u m f i x e dp o i n t a n dm l n i m u mf i x e dd o i n to fi n c r e a s i n gm a p p i n g so na no r d e ri n t e r v a l m a k i n g u s eo fc h e s er e s n l t s ，啪p r o v et h ec o u p l ef i x e dp o i n tt h e o r e m so fm i x e dn l o n o t o n e m a p p i n g si nf t y p et o p o l o g i c a ls p a c e s - i nd ：1 a p t e r3 a st h ed i r e c ta p p l i c a t i o n so ft h o s et h e o r e m si nc h a p t e r2 ，”e z e t5 r a lc o r r e s p o n d i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m so fi n c r e a s i n gm a p p m g sa n dt h e c o u p l ef i x e dd o i n tt h e o r e m so fm i x e dm o n o t o n em a p p i n g s i nm e n t o rp r o b a b l i s t i c m e t r i cs p a c e sa n df u z z ym e t r i cs p a c e s i nc h a p t e r4 ，i nt h ef r a m eo fp a r t i a l l yo r d e r e df t y p et o p o l o g i c a ls p a c e ，、阳 r e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no fan o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o nl x = v z ， a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e 缸n w h i c hs a t i s f i e sl 缸n + l = u n f o ras o l u t i o no ft h ee q u a t i o nt h e n ，w eg i v et h ec o n d i t i o n sf o rm u l t i p l i c i t yo f t h es o l u t i o n so ft h i so p e r a t o re q u a t i o n t h ea b o v er e s u l t s & r et h ei m p r o v e m e n ta n dg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gr e s u i t si np a r t i a l l yo r d e r e dm e t r i cs p a c e sw h i c hh a db e e ng i v e nb yz h a n g x l a n 1 2 1 、f e n gy u q i a n ga a dl i us a n y a n g 1 4 ，2 0 1 k e yw o r d s ：f - t y p et o p o l o g i c a ls p a c e ；函- a c c e s s o r i a lo r d e r ；u p p e r ( 1 0 w e r ) o r d e r c o n l p l e t e n e s s ：u p p e r ( 1 0 w e r ) o r d e r - c o n t i n u i t y ；i n c r e a s i n gm a p p i n g ；f i x e dp o i n t 3 前言 1 9 7 6 年，j c a r i s t i 【1 1 利用函数曲：x 一( o ，+ ) 在度量空间( x ，d ) 上定 义了一种半序关系! d ( 为方便起见，以下称它为c a r i s t i 半序) ： z ! $ y 错d ( x ，y ) s ( 。) 一妒国) 并利用z o r n 引理证明了一个不动点定理，即著名的c a r i s t i 不动点定理： 定理a ( c a r i s t i ，1 9 7 6 ) 设( x ，d ) 是完备的度量空间，曲：x f o ，+ 。) 是 下半连续函数，映射f ：x x 满足： d ( z ，( z ) ) 西( 。) 一曲( ，( z ) ) ，v z x ，( a ) 则_ ，在x 上有不动点 任何压缩映射，：x x 都满足c a r i s t i 条件( a ) ( 只需令咖( z ) = ( 1 一 ) - 1 d ( 。，( z ) ) ，这里的0 0 y 巩( a ，) ) ，( 11 ) 则 以 a 。是x 上的一个拟度量族，满足： ( q m 一1 ) d ( z ，y ) = 0 ，v a d = z = ； ( q m - 2 ) d ( 。，y ) 一d ( ，z ) ； ( q m 一3 ) a ，卢d 且a ! 卢寻出( z ，y ) sd r , ( z ，鲈) ； 6 ( q m - 4 ) v a d j p d ，p 三a ，使得 d ( z ，y ) sd p ( 。，z ) + d p ( 可，z ) ，v 。，y ，z x 并且，由该拟度量族 出) 。d 导出的x 上的拓扑与原拓扑丁相一致也就是 说，对每个z x ，玩= 玩( a ，t ) ia d ，t o ) 构成( x ，丁) 中点z 的一个 邻域基，其中 b 。( a ，) = xd ( 茁，y ) n 有出( z 。，。) 。o ，, f 一1 ，x y 0 ，f l ，x y 0 ， ( z ，y ) = 0 ，x y = 0 jf 2 ( z ，y ) = 0 ，x y = 0 ， 【1 ，x y 0 ，【一1 ，x y n 时有 d ( x n ，z 。) s 丸( z n ，z 。) 4 - 露( 。，x ) ( 弘) 眵( z 。) 一西( z 。) 】+ d 。( z 。，茹) 。k ( a ) f 庐( z 。) 一击( 茁m ) 】+ d 。( 。m ，。+ ) 在上式中令m o o ，得 所以z 。兰矿口 d a ( z n ，z + )sj - ( ( a ) ，i 西己渺( 。n ) 一( z m ) = k ( a ) 睁( a k ) 一l i m 西( z 。) 】 。k ( a ) 曲( 。) 一曲( z + ) 】 将性质l 的证明稍作修改，可证得： 性质1 1 7 设( x ， 出) 址d ，三口) 是上序完备的，则x 中任一单调递增有上 界b 的序列( z 。 必有极限矿并且，当毋序下半连续时，有z 。! 。+ ，当妒序 上半连续时，有矿b 1 0 证因 翰 单调增有上界b ，所以v n n ，有 z 。三z 。+ l 羔b 曲( 。) 2 妒( z 。一1 ) 三j j ( b ) 从而数列 西( z 。) ) 单调递减有下界，故 9 ( 。) 收敛于是，类似于性质1 利用 x 的上序完备性可证得，存在z 。x 使z 。一x 。并且，当西序下半连续时， 有z 。! 矿 当西序上半连续时，对任一a d ，存在卢d ，a ! m 使得 d ( 。+ ，b ) d u ( 。+ ，。) + d u ( x 。，b ) d u ( x + ，x 。) + k ( a ) ( z n ) 一庐( 6 ) 1 注意到z 。一矿，所以有 民b ) 墨k ( a ) 甄( z n ) 一咖( b ) sk ( ) ( 矿) 一 ，v d ， 这表明矿5b 口 类似于性质1 1 和性质1 17 ，可得到： 性质1 2 设( x ， 出) 。d ，! ) 是下序完备的，如果曲：x r 有上界，则 x 中任一单调递减序列 。) 必有极限。+ 并且，当妒序上半连续时，z n 三以 性质1 2 7 设( x ， 以) 印，匀) 是下序完备的，则x 中任一单调递减有下 界。的序列 x 。 必有极限z ，并且，当咖序上半连续时，x n 三。，当西序下 半连续时，o 。兰a 性质1 3 设( x ， 出) a 。d ，! 。) 是半序f 一型拓扑空间如果是连续的， 序列 ) 、 如) 、 z 。 满足：z n y n 墨z n 且l 堍z n2 。l i r a 。z n2 。， 则溉y n 2 证由z 。! 推得西( 弧) 毋( 。) 再由三推得 出( 。，) ( a ) ( ) 一咖( ) 】( a ) ( z 。) 一咖( ) 1 ，v d ( 1 3 ) 由9 的连续性及l i m , t o 。= l i m 。一o 。= 。，在( 1 3 ) 中令n 。，即得 毒空蛩d a ( _ n ，芬t ) = 0 ，v a d ( 1 4 ) 此外，由f - 型拓扑空间的性质知，对每个a d ，存在p d ，“兰a ，使 出( ，。+ ) 叱( 蜘，磊) + 叱( ，。j 由。z ，及( 1 4 ) ，在上式中令n 一。，得l i m 。o 。出( 如，。；) = 0 ，( v a d ) 即l i r a 。玑，= z ，口 注l 4 由性质1 3 的证明不难看出，如果 z 。) ， 是单调增( 减) 的，则 砂的连续性可减弱为上( 下) 序连续，性质1 3 结论仍成立 性质l4 设， 如) a e d ，匈) 是半序f 型拓扑空间，如果砂是序上半连 续的，a x 有上界z ( 即对任何。a ，恒有。三功，且a 中存在收敛于z 的 点列 ) ，则s u p a = 。 证设y 是4 的任一上界，显然可也是 ) 的上界，从而 d ( z n ，y ) ( a ) 庐( z 。) 一曲( 可) 1 ，v a d ，n ：= l ，2 于是，据f 一型拓扑空间的性质，对每个a d ，存在p d ， 三芦，使得 出( z ，) 叱阮) 4 - 丸( ，们 咄x ，玛z ) + f ) 渺( z 。) 一( f ) s 叱( 而x n ) - k 耳d ) 眵( ) 一矽( 穿) l 注意到。n z 以及曲的序上半连续性，在上式中令n 一。o ，即得 d - ( 砌) ( a ) 甄母( ) 一( ) 1s ( a ) 西( 。) 一曲( 口) ，v a d 这表明5 7 5 y 因此。是a 的最小上界，即s u p a ：。口 类似地可证得： 1 2 性质1 5 设( x ， 呶) d ，! 口) 是半序f 一型拓扑空间，如果西是序下半连 续的，bcx 有下界z ( 即对任何b b ，恒有b 三z ) ，且b 中存在收敛于z 的 点列( x 。) ，则i n f b = 。 1 3 第二章半序f 一型拓扑空间中单调增映射的不动点定理 本章的主要目的是利用半序f 一型拓扑空间的性质来证明这类空间上单调 增映射的不动点定理同时给出序区间上单调增映射的不动点定理和混合单调映 射的耦合不动点定理 52 1f 一型拓扑空间上单调增映射的不动点定理 定义2 1 设( x ， d ) d ，) 是半序f 一型拓扑空间，：x x 是一映 射，如果对任何z ，y x ，z ! y 蕴涵，( z ) ! ，( g ) ，则称，关于! 是单调增的， 简称，是单调增的如果对任何。，y x ，z ! y 蕴涵，( z ) 兰，( g ) ，则称，关 于! 是单调减的，简称，是单调减的 定理2 1 设【x ，( 如) d ，) 是上序完备的f 一型拓扑空间，西：x r 是下有界函数，映射，：x x 满足如下条件： ( i ) f 单调增、上序连续； ( i l ) 存在z o x ，使z o ，( z o ) ， 则，有不动点蕾x ，且迭代序列 z 。= f “( 茹o ) ) 递增收敛于i 特别地，当曲 序下半连续时，有2 7 n ! 虿( t t = l ，2 ) 证记。= ，n ( 。o ) = f ( x 1 ) ，扎= l ，2 ，由x o ! ( x o ) 及，的单增性， 推得 x 0 蔓3 7 1 三x 21 墨z n 三。， 即 z 。) 是x 中的递增序列又因( x ， 九 d ，口) 是上序完备的，曲有下界， 从而据性质1 1 ，存在极限l i k o 。= 虿x 再据，的上序连续性，我们有 ，( z ) 2 拽，( 。n ) 2 规x 州2 i ， 即苗是，的不动点特别地，当序下半连续时，由性质1 1 知z 。! z ( = 1 ，2 ，) 口 1 4 注2 1 不难看出，上述结果是f 2 】中定理1 的推广我们的定理不仅适用 的空间是比度量空间广泛得多的f 一型拓扑空间，而且对空间的完备性和，的连 续性的要求也减弱了，只要求空间“上序完备”，“上序连续” 类似地，利用性质1 2 可以证明： 定理2 2 设( x ， 如 d ，口) 是下序完备的f 一型拓扑空间，审：x r 是上有界函数，映射f ：x x 满足如下条件： ( i ) ，单调增、下序连续； ( i i ) 存在z o x ，使x 0 三y ( x o ) ， 则f 有不动点互x ，且迭代序列 z 。= p ( 茁o ) 递减收敛于x 特别地，当毋 序上半连续时，有x 。三羔( n = 1 ，2 ，) 注2 2 定理2 2 是 2 中定理2 的推广 定理2 3 设( x ， 出) d ，1 4 ) 是上序完备的f 一型拓扑空间，尊：x r 是序连续的下有界函数，映射，：x x 满足t ( i ) ，是单调增的； ( i i ) 存在黝，使印! ，( 铷) ， 则f 在x o = z x i z o 茁 中有极大不动点z 证令，= z x of z ，( z ) ) ，显然x 0 ，故，0 设f 是，的任 一全序子集由( 1 2 ) 知，对任何。，y f ，z ! y 争咖( ) 妒( z ) 所以是f 上的递减函数注意到妒是下有界的，故存在下确界i n k f ( z ) = - , f 于是，存 在点列 cf ，使o ( x 。) 1 显然 z 。) 是递增的( 因递减) ，从而由性质 1 1 知，存在极限l i m 。一。x 。= ：，且由的序连续性知z 。( n = 1 ，2 ，) ， 妒( o ) = 7 下证z 是f 的上界，即要证v y f ，y 兰z 我们对y f 分以下两种情 形讨论： ( a ) 存在某个n o 使y 。此时，显然有y 。 1 5 ( b ) v n z 。兰y ，z 。y 则我们有7s 妒( g ) 曲( z 。) 一7 ，由此推得 毋( g ) = ，= 妒( z ) 另一方面，对任何a d ，存在p d ，a ! 肛，使得 d ( = ，y ) d p ( = ，。) + d p ( z 。，y ) 叱( z ，z 。) + k ( p ) f 西( z 。j 一咖( 9 ) j 在上式中令n 一。o ，得以( 。，y ) = 0 ，v d ，即y = z 因此z 是f 的上界 据z o r n 引理，有极大元虿由i f 知，x o ! 虿! ，( z ) 由，的单调递增 性推得s 0 ，( i ) 兰，( ，( 虿) ) ，即知，( i ) ，于是，由i 极大性得，( 矗) = i ，即 虿是，的不动点，且是极大不动点 口 类似地有 定理2 4 设( x ， 出) d ，5 ) 是下序完备的f 一型拓扑空间，西：x r 是序连续的上有界函数，映射，：x x 满足： ( i ) f 是单调增的； ( i l ) 存在x 0 ，使x o 三，( 蜘) ， 则，在x o = 缸x l s 墨x 0 中有极小不动点互 注2 3 定理2 3 和定理24 分别是 2 】中定理3 和定理4 的推广 52 2 序区间上增映射的不动点定理 定理2 5 ( x d ) a d ，口) 是序完备的f 一型拓扑空间，曲：x r 是序 连续函数，x o ，y o x ，x 0 兰y o ， x 0 ，y o = z xlx 01 。三y o 是序区间又 设映射f ： x 0 ，y o 一x 满足如下条件： ( i ) ，单调增且序连续； ( i i ) s o ! ( s o ) ，f ( y o ) ! y o ， 则迭代序列( z 。= ，“( z o ) ) 和 = 广( o ) 分别收敛于，的不动点z + 和2 7 + 和 ) 满足： 1 6 z o ! z l 兰- 兰z n 兰z ，兰z 兰可。! 掣i ! 掣。 并且，矿和x 。分别是，在 t o ，y o 中的最大和最小不动点，即若z f z o y o 是 ，的任一不动点，则必有z 。z5 矿 证令3 1 n = 广( x o ) = ，( 一- ) ，y 。= 广( y o ) = ，( 一- ) 由f 单调增及条件 ( i i 知 3 7 0 2 1 11 - 13 5 。y n ! y l ! y o ( 21 ) 于是 z 。 为x 中单调递增有上界y o 的序列，又x 是序完备的，据咖的序连 续性及性质1l 知：存在。+ x 使。一z + m 一。) 且z 。! y o 同样地，因 为( 。 为x 中单调递减有下界t o 的序列，又x 是序完备的，据性质1 2 7 知， 存在矿x 使y 。一z 4 ( 札一o 。) 且x 0 矿 对每个a d ，存在p d ：a p ，使得： d ( z + ，z + ) d “( 。+ 。) + d u ( 。，y n ) + 叱( 。，。+ ) d 。( 。+ ，x n ) + ( p ) ( z 。) 一曲( 玑。) + d u ( y x ) s 叱( z ，x n ) + f ( a ) ( z 。) 一( 蜘) 】+ d u ( 蜘，3 2 4 ) 由舰。n = 舰y n = 矿及毋的序连续性，上式两边令n 一。得 d ( z + ，z ) 七( a ) ( 驴( z 。) 一曲( 。) 】，v a d 故z o ! z + 兰z + ! y o 据，的序连续性，我们有 f ( x t ) 2 舰，) = 熙x n + l2 ，( z + ) 2 熙，( ) = 舰玑州= 。+ 所以z 。，z 都是，的不动点 最后证明z ，x + 分别是，在【x 0 ，y o 中的最大、最小不动点设z 2 ；0 ，y o 是，的任一不动点，贝4 ，( z ) = 。于是，据，的增性得 2 ：01f ( x o ) = 。l ，( z ) = z 三l = f ( y o ) 5y o ， 1 7 归纳地推得2 7 。兰。! y nm = l ，2 ，- - ) 于是，对任一a d 存在d j 肛使得 呶( 。+ ，。) s 叱( z + ，z 。) + d “( z 。，z ) d 。( z + ，z 。) + ( p ) 曲( z 。) 一曲( 。) 】 d u ( z 。z 。) + k ( a ) 西( j e 。) 一曲( z ) j 由。一z 及妒的序连续性，在上式中令n o 。得 d ( z + ，z ) 曼k ( a ) 西( z 。) 西( z ) ，v a d ， 这表明。，z 同理可证z 因此矿，z + 分别是，在 z o ，珈 中的最大、 最小不动点 口 推论2 1 在定理2 5 的条件下，若，有唯一的不动点面，则v x x o ，y o ， 有广( z ) 一zm o o ) 证v x ，y o i ，即3 7 01 。! y o 由，的单调递增性有 。= f “( x o ) 三广( 。) ! 广( v o ) = 骱 由f 有唯一不动点三及定理2 5 知，序列 z 。) ， p ( 。) ) ， ) 满足： 。n ，”( 。) 骱，舰z n = 瓤y n = 五 从而由f 的序连续性及f 一型拓扑空间性质l3 ( 注1 4 ) 即得0 魄广( 。) = i 口 在定理2 5 中去掉，的序连续性条件，可得如下结果： 定理2 6 设( x 出) x e d ，女) 是序完备的f 一型拓扑空间，妒：x r 是 序连续函数，z 0 ，y o x ，跏y o ， x o ，y o j = z xfj ：01 。! y o 是序区间 又设映射f ： x o ，y o 一x 满足如下条件： ( i ) f 单调增； ( i i ) x 0 羔，( 如) ，f ( y o ) y o ， 则，在f x o ，y o 】中有极大不动点z + 和极小不动点z 。 1 8 证记x l = 0 ，记 b 。( a ，亡) = f 秽= ( 卫，y 7 ) xxxl 巩( ， ) ) ， 吕。( a ，t ) = = z yj 出( 。，。) 0fe v ( t ) l a ，( 2 ，y ) ex x ( 3 i ) 在d 上定义半序：口卢 = 辛。卢，则( x ，) 关于它的a ) 一拓扑( 见 f 5 j ) 是一个f 一型拓扑空间，并且 如) d 是它的生成拟度量族 定理3 1 设( x ，) 是完备的m e n g e rp m - 空间，t 范数满足 s u p o 1 一a ， 由( 3 1 ) 得以( 墨y ) s 垂( z ) 一驴( ) + e 由的任意性得如( p ) 曲( z ) 一( p ) 反之，若出( z ，f ) 矽( z ) 一( y ) ，v a ( 0 ，1 ) ，则由( 3 1 ) 知，v e o ，存在 0 l a 由和a 的任意性，即得b ，( 驴( z ) 毋( ) + o ) = 1 ，( 3 3 ) 得证 2 6 由( 3 2 ) 和( 3 3 ) 知，这里定义的! 。就是( 1 2 ) 意义下的乒辅助序( 这 里k ( a ) i1 ) 因此，不难看出：在此定理的条件下，m e n g e r 概率度量空间 ( x ，厂，) 是半序f 一型拓扑空间( x ，( 出 ( o ，l ) ，兰) ：其中出由( 3 1 ) 定义，而且 定理2 1 的条件均满足故本定理的结论可由定理2 1 直接推得 口 类似地，我们可分别由定理2 2 一定理2 8 推得下面的定理3 2 一定理3 8 定理3 2 设( x ，) 是完备的m e n g e rp m - 空间，t 一范数满足 s u p 。 ( t ，t ) = l ，西：x 一( 0 ，+ o 。) 是有上界的函数，! 是x 上由( 3 2 ) 定 义的半序又设映射f ：x x 满足如下条件： ( i ) ，关于! 是单调增、下序连续的； ( i i ) 存在x 0 x ，使5 9 0 三，( z o ) ， 则，有不动点量且迭代序列 z 。= 广( z o ) 递减收敛于羔，特别地，当序上 半连续时，x n 三互( 扎= l ，2 ，) 定理3 3设( x ，) 是完备的m e n g e rp m - 空间，c 一范数满足 s u p o 。矧n ( t ，t ) = 1 ，西：x r 是下有界函数且关于! 序连续，其中型由( 3 2 ) 定义又设f ：x x 是关于的增映射，且存在x o ，使z o ! 厂( z o ) ，则f 在 x o = z x l z 兰x o 上有极大不动点面 定理3 4设( x ，f ，) 是完备的m e n g e rp m - 空间，t 一范数满足 s u p o 。( ，t ) = 1 ，：x r 是上有界函数且关于! 序连续，其中! 由( 3 2 ) 定义又设f ：x x 是关于5 的增映射，且存在x o ，使3 7 0 三，( 。o ) 则，在 x o = z x 】。! x o 上有极小不动点x 定理3 5 设f x ，厂，) 是完备的m e n g e rp m - 空间，t 一范数满足 s u p o 。t 。ln ( t ，t ) = l ，咖：x + r 是关于! 的序连续函数，其中! 由( 3 2 ) 定 义又设2 ：0 ，y o x ，z o y o ，【z o ，9 0 1 是序区间，映射f ： z 0 ，y o ，x 满足如 下条件： 2 7 ( 1 ) ，关于! 单调增且序连续； ( 2 ) x o ! ，( z o ) ，f ( y o ) 5y o ， 则迭代序列 z 。= ，n ( 。o ) ) 和 = ，礼( o ) 分别收敛于f 的不动点x + 和 。) 和 ) 满足： z o5z l ! z 。三! z + 兰z + 。三y n ! - ! y l ! y o 并且，矿和乳分别是，在i x o ，y o 中的最大和最小不动点即若z x o ，g o 也 是，的不动点，则z ，5z ! 矿 定理3 6 设( x ，f ，) 是完备的m e n g e rp m 一空间，t 一范数满足 s u p 。1 ( ，t ) = l ，曲：x r 是关于三的序连续函数，其中由( 3 2 ) 定 义又设z o ，y o x ，z o ! y o ，陆o ，y o 是序区间，f ： x 0 ，y o 】+ x 满足如下条 件： ( i ) ，关于! 单调增且序连续； ( i i ) x 0 ，( 。o ) ，f ( y o ) ! y o ， 则 ( 1 ) ，在，y o 中有极大不动点矿，即若x x o ，y o 】是，的不动点，且 z + z ，贝0 。= z + ( 2 ) f 在 x o ，y o 中有极小不动点z + ，即若z ：c o ，y o 】是，的不动点，且 z ! z + ，贝4z = 。+ 定理3 7 设( x ，) 是完备的m e n g e rp m - 空间，t 一范数满足 s u p 嘁。l ( ，t ) = l ，：x + r 是关于兰的序连续函数，其中由( 32 ) 定 义又设珈，y o x ，z o ! y o ，记e = 【x 0 ，y o 】是序区间，映射，：e xe x 是 序连续的( 关于乘积半序，由( 2 3 ) 定义) ，且满足如下条件： ( i ) ，是混合单调的； ( i i ) 。o ! ，( z o ，g o ) ，f ( y o ，x o ) ! y o 则 r ( 1 ) ，在e e 中有耦合不动点( 矿，旷) ，即f ( x 4 ，y + ) = 矿且f ( y 矿) = y + ( 2 ) 迭代序列 z 。= ，( 。一鼽一i ) ， 。= ，( 鼽一1 ：。一t ) ) 分别收敛于z + 和y + ，且有 x 0 z l ! 一- z n - ! x 。! y + 兰! y l ! y o ( 3 ) ( 。+ 、y + ) 是，的最小最大耦合不动点，即对，的任何耦合不动点( z ，y ) e e 恒有x + ! zsy ，。! y ! y + 定理3 8 设( x ，芦，) 是完备的m e n g e rp m 一空间，t 一范数满足 s u p o 。矧( c t ) = l ，j j ：x ，r 是关于5 的序连续函数，其中! 由( 3 2 ) 定 义又设z o ，y o x ，z o ! y o ，记e = 陋o ，y o 是序区间，映射，：e xe x 是 序连续的( 关于乘积半序，由( 2 3 ) 定义) ，且满足如下条件： ( i ) ，是混合单调的； ( i i ) z o ! f ( x o ，v o ) ， y o ，。o ) ! y o 则 ( 1 ) ，在e e 中有极大极小耦合不动点( z + ，g + ) ，即对，的任何耦合不动 点( z ，y ) e e ，若。+ 兰z 且y5y + ，贝4z + = x ，y + = y ( 2 ) ，在e e 中有极小极大耦合不动点( z y ) e e ，即对f 的任何 耦合不动点( x ，y ) exe ，若z ! z ，且y 。y ，则z + = 。，y 。= y 3 2 模糊度量空间中单调映射的不动点定理 定义3 3 7 1 _ 我们称实数集r 上的模糊集，即映射u ：r 一 0 ，l 】，为模糊 数设u 是一个模糊数，如果对任何a 0 ，1 】，z ，y r 有“( 妇+ ( 1 一a ) y ) m i n u ( x ) ，u ( g ) ) ，则称“是凸模糊数；如果存在2 7 0 r ，使得u ( x o ) = 1 ，则称u 是正规模糊数；如果对任何f 0 有u ( ) = 0 ，则称是非负模糊数，我们用g 表示所有非负上半连续的正规凸模糊数组成的集合 2 9 定义3 4 7 1 设x 是非空集合，l ，r ： 0 ，1 1 0 ，1 】一 0 ，1 是对称、不减 的二元函数，且满足l ( 0 ，0 ) = o r ( i 1 ) = 1 又设d ：x x g 是一映射， 记 ( 承，y ) l 。= a 。( 。，) ，p 。( z ，g ) 】，v z ，y j 0 o 1 如果满足以下条件： ( f m - i ) d ( 。，y ) = 0 当且仅当z = ； ( f m - 2 ) d ( 。，y ) = d ( y ，。) ， v z ，y x ； ( f m 一3 ) 对任何。，y ，z x ， ( a ) 当s a l ( 。，z ) ，f a l ( z ，y ) 且s + t a 1 ( z ，y ) 时，有 d ( 。，) ( s + t ) l ( d ( x ，z ) ( s ) ，d ( z ，) ( t ) ) ( b ) 当8 a l ( z ，z ) ，t a l ( z ，y ) 且s + t a l ( x ，y ) 时，有 d ( z ) ( s + t ) r ( d ( x ，= ) ( s ) ，d ( z ，可) ( t ) ) ， 则称四元组( x 互l ，r ) 为模糊度量空间，称i 为x 上的一个模糊度量 引理3 2 6 1设( x ，互l ，r ) 是一模糊度量空间，如果满足如下条件： ( a ) 。j i m o + 冗( n ，o ) = o ； ( b ) 墨恐d ( z ，) ( t ) = 0 ，v x ，y x ， 则( x ， 以) e ( 叭i ) 是f 一型拓扑空间，而且该f - 型拓扑与x 上由模糊度量导出 的拓扑是一致的，其中 儿l 口( 0 ，1 】) 是它的生成拟度量族( ( o ，l 】上按如