（基础数学专业论文）the+lefschetz+fixed+point+ulas+about+dirac+operator+with+certain+nontorsion+free+connections.pdf

a b s t r a c t i n p a p e r 3 】，b i s m u tp r o v e d t h el o c a li n d e xt h e o r e mf o r d i r a c o p e r a t o r sa s s o c i a t e d w i t hc o n n e c t i o n sw i t hn o n z e r o t o r s i o n ，a n di np a p e r 9 ，z h a n ga l s og o ti tu s i n gan e wt e c h n i q u e f o rt h el e f s c h e t zf i x e d p o i n tf o r m u l a s ，l a f f e r t y , y ua n dz h a n gi np a p e r 5 o b t a i n e dad i r e c t g e o m e t r i cp r o o fb yc o m p u t i n g t h e e q u i v a r i a n t i n d e xo ft h ed i r a c o p e r a t o r sw i t hr e s p e c t t oa i li s o m e t r yo ft h eb a s em a n i f o l d i nt h i st h e s i s ，w ec o m b i n et h ea b o v er e s u l t sa n de x t e n dt h et e c h n i q u e s u s e di n 9 】，【5 】t op r o v et h el e f s c h e t zf i x e dp o i n tf o r m u l a sf o rs o m e d i r a co p e r a t o r sw i t hn o n - t o r s i o nf r e ec o n n e c t i o n 摘要 在文章 3 冲，b i s m u t 对联系着非零扰率联络的d i r a c 算子给出了 局部指标定理。在文章 9 】中，张伟平通过一个新的技巧也得到了这 个结果。对于l e f s c h e t z 不动点公式，l a f f e r t y 、虞言林、张伟平等在 文章【5 中，通过计算相对于一个基流形的同构的d i r a c 算子的等变指 标给出了一个直接的几何证明。 在本文中，我们综合 5 】【9 】结果，加以适当的推广，证明了关于 某些带挠率联络的d i m e 算子的l e f c h e t z 不动点定理。 t h el e f s c h e t zf i x e dp o i n tf o r m u l a s a b o u td i r a co p e r a t o r sw i t hc e r t a i n n o nt o r s i o nf r e ec o n n e c t i o n s h u y o n g n a n k a ii n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s n a n k a iu n i v e m i t y , t i a a j i n3 0 0 0 7 1 t h ep e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a g - m a f t ：t o m h u a b c h o t m a i l t o m 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a p e r ，w ew i l lp r o v et h el e f s c h e t zf i x e dp o i n tf c r m u l af o rd i r a co p e r a t o rw i t hs o m e n o nt o r s i o nf r e ec o n n e c t i o n sb ys t u d y i n gl o c a la s y m p t o t i c so ft h eh e a tk e r n e la n dc o m p u t i n gt h e e q u i v a r i a n ti n d e xo ft h ed i r a co p e r a t o rw i t hr e s p e c tt oa ni s o m e t r yo ft h eb a s em a n i f o l d t h r o u g ht h ep r o b a h i l i t ym e t h o d ，b i s n m t 3 1e x p r e s s e dt h et r a c eo f t h ed i r a ch e a tk e r n e 2i i 2t e r m s o ft h el o c a lf l u c t u a t i o n so fab r o w n i a nm o t i o n a n dg e tt h el o c a li n d e xt h e o r e mf o rd i r a co p e r a t o r a s s o c i a t e dw i t hc o n n e c t i o nw i t hz e r ot o r s i o n h o w e v e r ，f 9 1c o m b i n e dt h ec o n j u g a t em e t h o da n dt h e m e t h o du s e di nf 8 1 ，w h i c he v a l u a t e dt h el o c a li n d e xi nt e r m so ft h ea s y m p t o t i c so ft h eh a r m o n i c s o s c i l l a t o r ，a i s ot e e e i v e dt h ei n d e xt h e o r e m ， a sf a ra sl e f s c h e t zf i x e dp o i n tf o r m u l af o rd i r a co p e r a t o rw i t hl e v i - c i v i t ac o n n e c t i o n ， 5 ie x - t e n d e dt h em e t h o d su s e di nf 8 1t ot h ec a s ef o rt h ea c t i o no fa ni s o m e t r y , a n dg e tt h et h e o r e m t h r o u g hc a l c u l a t i n gt h ee q n i v a r i a n ti n d e x t h ep a p e rc o n t a i n e dt h ef o l l o w i n gc o n t e n t ： 1 w er e v i e ws o m en o t a t i o na n dd e f i n i t i o n f o r m u l a si n 【3 】， 5 】，【8 】，【9 】9 2 w eg e tt h el o c a li n d e xt h e o r e mf o rd i r a co p e r a t o r sa s s o c i a t e dw i t hn o n - t o r s i o nf r e e 3 w ep r o v et h em a i nt h e o r e m 2p r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o n ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o nw h i c ha p p e a r e di n 【3 】t 【5 1 ，【s l ，【9 1 ， l e tmb eac o m p a c tc o n n e c t e dr i e m a r m i a no r i e n t e ds p i nm a n i f o l do fd i m e n s i o n2 n a n di t h a saf i x e ds p i n ( 2 n ) s t r u c t u r e t h e nt h e r ei sap r i n c i p a ls p i n ( 2 n ) 一b u n d l es p i n ( m ) ，f o rw h i c h s p i n ( m ) x p s o ( 2 n ) i st h eo r i e n t e df r a m eb u n d l es o ( m ) o fm ，w h e r ep ：s p i n ( 2 n ) - - - * s o ( 2 n ) i st h e t w o - f o l dc o v i n gh o m o m o r p h i s m l e ts 士a r et w oi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no fs p i n ( 2 n ) w ed e f i n e v e c t o rb u n d l e se ia n de b y s e t t i n g 匝= s 奶n ( m ) o 跏n ( 2 n ) s n o w ，i fw ec h o o s eb a 3 ( t f 】，w h i c hs a r i s r yd b = 0 t h e n w ed e f i n es bt ob et h eo n e f o r mw i t hv a l u e si na n t i s y m m e t r i ee l e m e n t so fe n d ( t m ) w h i c hh a st h ep r o p e r t ys u c ht h a t ：i f x ，y 1 z t m 一2 b ( x ，y , z ) l a n dd e n o t e db yv bt h ee u c l i d e a n c o n n e c t i o no nt m 二苎c ( t m ) b e t h ec l i f f o r da l g e b r ao ft m ，i f x ? m ，d e n o t eb y 叨t h e c o t r e s p o n d i n ge l e m e n t i n g ( ? m ) r e m e m b e r w e h a v e i s o m o r p h i s m b e t w e e n c ( t m ) a n d e n d ( & o s 一) ，t h u s i f 茜三；爵： ”竺i d e n t i t y w i t h e i ，w h e r ee ld e n o t e st h es e to fg e n e r a t o r sf o re n 。d ( 凡毒s 一) w j ：”“f 日v ，a 。三鼍一m c h i sa l s 。r e m a r k e db yv 口，t h e nw eh a v ev 昌= 可夏十掘j 女勺e k w h e r e 岛k = s 日慨，马，取) ，a n d e d l 茎；兰2 ni s a no r i e n t e d 。r t h 0 9 0 n a lf r a m ；： 。一。 f k l r t h e r m o r e ，( 3 1 ，w eg e tt h ed i r a co p e r a t o r ( d 导) = 龟v 善= ( d 。) + 留 l s l 2 ” w h e r ec bi st h ei m a g eo fb u n d e rt h ei s o m o r p h i s mc ( t m ) _ a ( t + m ) s u p p o s e dt h a tw ea r eg i v e na no r i e n t a t i o np r e s e r v i n gi s o m e t r yt ：m _ m l e t f ： z m t z = z ) b e t h ef i x e dp o i n t e ds e to ft s i n c e 丁：m _ m i sa no r i e n t e d - 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t r t + 巧( 丁。，x ) t h u sa c c o r d i n gt o ( 5 】，w eg e t ： l ( t ) = 7l j o c ( 丁) ( ) j f w h e r et h el o c a ll e f s c h e t zn u m b e ri sd e f i n e dh y ： 刈玳) _ 。+ ，f 删l ( t ，e 印c ) d c w h e r eni st h en o r m a lb u n d l eo f f ，a n d v ( e ) = z n z 0 n o ww ei n t r o d u c e o r t h o g o n a la n d n o r m a lc o o r d i n a t e s s u p p o s ef i so fd i m e n s i o n2 n ，l e t f ， a n de = ( e 1 ，历n ) b ea no r i e n t e do r t h o g o n a lf r a m ef i e l di nan e i 【g h b o r h o o do f s u c ht h a t ： ( 1 ) f o r f e l ) ：，e 2 。，( ) a r et a n g e n tt of w h i l et h ev e c t o rf i e l d se 2 n t + l ( f ) ，e 2 n ( ) a r e n o r m a l t o f ( 2 ) ei sp a r r e la l o n gg e o d e s i c sn o r m a lt of ( 3 ) f o rd te x p r e s s e d a sam a t r i x - v a l u e df u n c t i o n 瞬a sd t e ( x ) = e ( 7 0 ) 辩( z ) ，t h e n 跪( f ) = 1 l c o e0 1 s i n 日l s i n 巩 c o s 口l c o s 日 n s i n 一。 s i n 口m ， c o s 口n 一一 w h e r e0 口 0 ，t h e i n t e g r a n dl ( t ，。) i se v a l u a t e db y ： 一一一一 一一 l ( t ，z ) = t rt p t ( x ) l s + 一t rt p t ( z ) i s 一= 玑丁+ p t ( z ) w i t ht h es e c o n de q u a l i t yd e f i n i n gt h es u p e r t r a c et n 4 p r o o f ：f - 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