电磁学数学准备.pdf

1 电磁学电磁学: 绪言、数学预备绪言、数学预备 2 使用使用教材：教材：赵凯华、陈熙谋赵凯华、陈熙谋 新概念物理教程新概念物理教程电磁学电磁学 北京：高等教育出版社北京：高等教育出版社 参考书：参考书： 大学物理通用教程大学物理通用教程电磁学电磁学 陈秉乾、王稼军陈秉乾、王稼军 电磁学电磁学 第二版第二版 贾起民贾起民 郑永令等郑永令等 物理学物理学三卷二分册三卷二分册 瑞斯尼克、哈里德瑞斯尼克、哈里德 费曼物理学讲义费曼物理学讲义第二卷第二卷 R.P.费曼费曼 电磁学专题研究电磁学专题研究 陈秉乾陈秉乾 舒幼生舒幼生 等等 3 电磁学的重要性电磁学的重要性 The Importance of Electromagnetism 诸如诸如电子、质子电子、质子等等带电粒子，带电粒子，是是自然界普遍存在的自然界普遍存在的物质物质. . 我们周围的各种我们周围的各种无生命的无生命的和和有生命的物质有生命的物质内部，都存在着内部，都存在着 大量的带电粒子大量的带电粒子. . 而且而且, ,按理论推算按理论推算, ,宇宙物质的宇宙物质的 90% 90% 以上，处于以上，处于等离子体等离子体 （plasmaplasma）状态）状态. . 4 电磁相互作用电磁相互作用和和电磁场电磁场 电磁相互作用电磁相互作用是迄今为止，所发现的自然界是迄今为止，所发现的自然界四种基本相互四种基本相互 作用之一作用之一, ,这种相互作用通过这种相互作用通过电磁场（电磁波、光电磁场（电磁波、光) ) 传递传递, ,它它支支 配着原子和分子的结构配着原子和分子的结构, ,因而在很大程度上因而在很大程度上决定着各种物质决定着各种物质的的物物 理与化学性质理与化学性质. . 电磁场和电磁波电磁场和电磁波( (光光) )是人类至今最主要的是人类至今最主要的能源能源, ,也是人类至也是人类至 今最广泛利用的今最广泛利用的电子信息载体电子信息载体. .所有的电子和信息所有的电子和信息元（器）件元（器）件， 都是利用一定都是利用一定材料的电磁（光电、光磁）效应材料的电磁（光电、光磁）效应. . 电磁学电磁学的研究对象是电磁相互作用的基本规律的研究对象是电磁相互作用的基本规律. .电磁学的基电磁学的基 本原理不仅是本原理不仅是物理学物理学的重要基础的重要基础, ,也是也是材料科学、电子与信息科材料科学、电子与信息科 学、生命科学学、生命科学和和工业、农业、医学工业、农业、医学与与生物工程、军事、环保生物工程、军事、环保技术技术 领域的重要基础领域的重要基础. . 5 电磁学的研究对象电磁学的研究对象 电磁学电磁学的研究对象是的研究对象是电磁相互作用的基本原理及其电磁相互作用的基本原理及其 应用应用. . 电磁学的基本原理不仅是电磁学的基本原理不仅是物理学物理学的重要基础的重要基础, , 也是也是能源科学、材料科学、电子与信息科学、生物与能源科学、材料科学、电子与信息科学、生物与 医学科学，以及工业、农业、军事、环保医学科学，以及工业、农业、军事、环保等技术领域的重等技术领域的重 要基础要基础. . 6 电磁学课程介绍电磁学课程介绍 电磁学是普通物理系列中电磁学是普通物理系列中最重要的基础课之一最重要的基础课之一，是电工，是电工 学、电子学、等离子体物理、磁流体力学、光的电磁理论等学、电子学、等离子体物理、磁流体力学、光的电磁理论等 的的基础基础，是经典物理的，是经典物理的重要组成部分重要组成部分，也是近代物理和许多，也是近代物理和许多 技术学科技术学科不可缺少的基础。不可缺少的基础。 电磁学课程包括电磁学课程包括静电场、恒磁场、电磁感应、电磁介静电场、恒磁场、电磁感应、电磁介 质、电路、麦克斯韦电磁场理论、电磁波质、电路、麦克斯韦电磁场理论、电磁波等内容。等内容。 7 电磁学中电磁学中最重要的概念是最重要的概念是“场场”。场与质点不同，是。场与质点不同，是 在空间具有连续分布的客体，它的规律要从总体上去把握在空间具有连续分布的客体，它的规律要从总体上去把握 。场在空间的分布不一定直接与场源相联系，临近各点之。场在空间的分布不一定直接与场源相联系，临近各点之 间场的分布也是紧密相关的。间场的分布也是紧密相关的。描述和处理描述和处理“场场”所需的概所需的概 念（如通量、环量）和方法与力学、热学课程中所遇到的念（如通量、环量）和方法与力学、热学课程中所遇到的 大不相同大不相同。电磁学课程第一次系统地向学生。电磁学课程第一次系统地向学生介绍介绍“场场”的的 概念和处理概念和处理“场场”的方法的方法。按现代物理学的观点，。按现代物理学的观点，粒子不粒子不 过是场的激发态，过是场的激发态，“场场”的概念比的概念比“粒子粒子”更基本更基本。通过。通过 “场场”产生相互作用的观点与现代物理学的精神相通的。产生相互作用的观点与现代物理学的精神相通的。 8 电磁学概貌电磁学概貌THE GENERAL PICTURE OF ELECTROMAGNETISM 17851785 库仑定律库仑定律 电荷的电场电荷的电场 电场强度电场强度 电场高斯定理电场高斯定理 静电场环路定理静电场环路定理 静电标势静电标势 电场能电场能 电荷与电场的互作用能电荷与电场的互作用能 电荷守恒定律电荷守恒定律 18201820 安培定律安培定律 毕奥毕奥- -萨伐尔萨伐尔 定律定律 稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场 磁感应强度磁感应强度 磁场高斯定理磁场高斯定理 安培环路定理安培环路定理 磁场矢势磁场矢势 磁场能磁场能 电流与磁场的互作用能电流与磁场的互作用能 18311831 法拉第法拉第 电磁感应定律电磁感应定律 变化磁场变化磁场 产生电场产生电场 变化电场变化电场 产生磁场产生磁场 18641864 麦克斯韦麦克斯韦 电磁场方程组电磁场方程组 18951895 洛伦兹洛伦兹 力公式力公式 电磁波电磁波 电磁场的电磁场的 相对性和统一性相对性和统一性 物质的电磁性质物质的电磁性质 电磁相互作用的电磁相互作用的 守恒定律守恒定律 18641864 麦克斯韦假设麦克斯韦假设 实验定律实验定律场概念场概念场性质场性质经典电磁理论经典电磁理论 9 电磁学课程学习要求：电磁学课程学习要求： 1.1.课前要课前要认真预习认真预习，找出疑难之处。，找出疑难之处。 2.2.上课时要求认真听讲，并作必要的课堂记录，上课时要求认真听讲，并作必要的课堂记录，要向要向 4545分钟要效率。分钟要效率。 3.3.课后要及时课后要及时复习复习，要，要独立按时独立按时完成作业。完成作业。 建议：建议： 培养良好学习习惯培养良好学习习惯及时复习、及时总及时复习、及时总 结；结； 抓住基本概念、内容和基本解题方法；抓住基本概念、内容和基本解题方法； 课内与课外相结合、教材与参考书相结合；课内与课外相结合、教材与参考书相结合； 适合你的是最好的适合你的是最好的量力而行，不要跟量力而行，不要跟 风；风； 教与学要经常沟通，互相适应，教学相长；教与学要经常沟通，互相适应，教学相长； 10 评价：评价： 学学习习成绩（成绩（100分）分） 平时成绩平时成绩20 期期中中考试成绩考试成绩20 期末考试成绩期末考试成绩60 任何教学建议请发邮件任何教学建议请发邮件:xzzhang 本课程的考核方式本课程的考核方式 11 物理量分类物理量分类: : 标量，矢量和张量标量，矢量和张量(scalars ,vectors and tensors) 标量（标量（0 0阶张量）阶张量）无空间取向无空间取向，只需要，只需要一个数值一个数值即可表示的即可表示的 量。例如，量。例如，长度，时间，质量，能量长度，时间，质量，能量，电势电势（电位）等。（电位）等。 数学预备（数学预备（1） 矢量、坐标系、立体角与重积分矢量、坐标系、立体角与重积分（教材（教材P463P463） 矢量矢量（1 1阶张量）阶张量）有一定的空间取向的量，在一般的三维欧有一定的空间取向的量，在一般的三维欧 氏空间中，氏空间中，这类量可分解为这类量可分解为3 3 个个有序分量有序分量。例如，质点。例如，质点 的的位置位置矢量，速度，动量，角动量矢量，速度，动量，角动量; ;电场强度，磁场强电场强度，磁场强 度，度，等。等。 二阶张量二阶张量这类量有着这类量有着比比矢量更复杂矢量更复杂的空间取向的空间取向，在一般的，在一般的 三维欧氏空间中，三维欧氏空间中，二阶张量二阶张量可分解为可分解为9 9 个个有序分量有序分量。例。例 如，如，刚体的转动惯量刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。电荷系统的四极矩，等。 还可以定义更高阶的张量还可以定义更高阶的张量 12 印刷印刷用用黑体字母黑体字母，如，如 r , A 书写书写在在字母上方加一字母上方加一箭头箭头，如如r , ,A 1 1. .矢量的矢量的点乘点乘和和叉乘叉乘 ( (1 1) )矢量的点乘矢量的点乘（标积标积） 矢量矢量 A与与B 的点乘的点乘定义为定义为标量标量 A B =AB cosq q 非黑体的非黑体的A和和B，分别表示分别表示矢量矢量A和和B的数值的数值，q q是两是两矢量的夹角矢量的夹角. .按此定按此定 义义，显然有显然有 A B = B A （矢量的标积矢量的标积满足交换律满足交换律） 正值正值当当0 q q p p / /2 2 A B =0当当q q = = p p / / 2 2（两矢量正交两矢量正交） 负值负值当当p p / / 2 2 q q p p 矢量表示矢量表示 A B q 13 矢量矢量 A与与B 的的叉乘叉乘定义为定义为矢量矢量 C = AB 其值为其值为 C = AB sinq q 即等于以这两个即等于以这两个矢量的长度矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积为邻边构成的平行四边形的面积. . 规定：规定：作为运算结果的作为运算结果的矢量矢量C ，垂直于垂直于A和和B 构成的平面构成的平面，其方向遵其方向遵 从从右手右手螺旋规则螺旋规则设想设想 A 沿沿q q 角角（小于（小于p p ）旋转）旋转到到 B（以右手弯曲的四（以右手弯曲的四 指表示旋转方向），则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是指表示旋转方向），则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向的方向. . 按此规定，显然有按此规定，显然有 AB = - BA （矢量的矢积不矢量的矢积不满足交换律满足交换律） 而且而且, ,当当q =0 q =0 或或p p，即两个即两个矢量矢量同向或反向同向或反向时，时，矢积为零：矢积为零： AB = 0 (2)(2)矢量的叉乘（矢积矢量的叉乘（矢积） q A B C 14 2.2.坐标系、立体角坐标系、立体角（教材（教材P467P467）和）和重积分重积分 （1 1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）直角坐标系（笛卡儿坐标系） 沿三个坐标轴正方向的单位基矢沿三个坐标轴正方向的单位基矢： 任一点任一点P P的坐标：的坐标： （x, y, z） P P点的点的位置矢量位置矢量： P P点处点处任一矢量任一矢量： x r P y z x y z dx dy dz o F zeyexe , , 321 = z zyyxxr= zFyFxF zyx =F 沿三个基矢方向沿三个基矢方向的的无限小线元为无限小线元为 dl1 = dx, dl2= dy, dl3=dz 与三个基矢正交与三个基矢正交的的无限小面积元为无限小面积元为 dS1 = dl2 dl3= dydz dS2= dl3dl1= dzdx dS3= dl1dl2= dxdy 无限小体积元为无限小体积元为 dV = dl1dl2 dl3= dxdydz 15 除了直角坐标系之外除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要我们还常常根据具体问题的需要，采用采用曲线正交曲线正交 坐标系坐标系，例如例如球坐标系球坐标系和和圆柱坐标系圆柱坐标系. . 对于一般的对于一般的曲线正交坐标系曲线正交坐标系，空间任一点空间任一点P P的坐标以的坐标以( (u1,u2,u3) )表示表示， 沿沿u1,u2,u3三个坐标增加方向三个坐标增加方向的的基矢量基矢量 （2 2） 一般的曲线正交坐标系一般的曲线正交坐标系 F 32, 1 ,eee 1 e 2 e 3 e 互相正交互相正交. .一般地，随一般地，随 P P点位置变动，三个基矢点位置变动，三个基矢 的方向将发生改变，但总保持的方向将发生改变，但总保持正交。因此正交。因此 P jiee jiee ji ji = = 当 ，当 , 0 1 循环，为当321,kjieee kji = 16 沿三个沿三个基矢量基矢量方向的方向的无限小线元无限小线元为为 dl1= h1du1 dl2= h2du2 dl3= h3du3 h1 ,h2,h3称为称为度规系数，度规系数，一般是坐标一般是坐标 (u1 ,u2,u3) 的函数的函数. . 任一任一P点上的点上的矢量矢量F 可以分解为可以分解为 332211 eFeFeF=F 17 (3)(3)球坐标系球坐标系 任一点任一点P 的坐标为的坐标为: : u1= r ,u2=q q , u3 =f f r P点离坐标原点点离坐标原点O的距离，的距离，变化范围：变化范围：00r q q O与与P的连线与的连线与 z 轴（极轴）轴（极轴）的夹角，称为的夹角，称为极角极角，变化范围：变化范围：00q q p p f fO与与P的连线对的连线对x 轴的夹角，其中轴的夹角，其中P是是P点在点在xy平面的投影，平面的投影， f f 也称为也称为P点的点的方位角方位角，变化范围：变化范围：00f f 22p p 18 以以P P为原点建立的为原点建立的球坐标系基矢球坐标系基矢 分别沿三个坐标增加的方分别沿三个坐标增加的方向向. . P P点的直角坐标点的直角坐标（x, y, z）与球）与球坐标坐标(r, q , fq , f)的的变换变换关系为关系为 x = r sinq qcosf f, y = r sinq q sinf f, z = r cosq q 当坐标有无限小增量当坐标有无限小增量dr，dq q , df f, 则则三个无限小线元三个无限小线元为为 dl1=dr , dl2= r dq q, dl3= r sinq qdf f 三个度规系数三个度规系数为为 h1 =1, h2 = r, h3 = rsinq q 以以r为半径的为半径的球面元球面元为为 dS = dl2dl3= r2sinq q dq qdf f = r2dW W 其中，其中，dW W 称为称为dS对对O点张开的点张开的立体角元立体角元： （单位：球面度）（单位：球面度） fq , , 321 =eere fqqdd r dS dsin 2 =W dr dq q df f r q q f f y x z q r f 19 将将d W W 对任意半径的球面积分对任意半径的球面积分，均得到，均得到 事实上，由于事实上，由于和和对对O点的立体角元相点的立体角元相 等，故等，故容易证明：容易证明： 任意闭合曲面任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的对其内部任意一点所张的 立体角均为立体角均为4p p. . 由于球面元由于球面元dS = r2dW W，故故半径半径 r =a的的球面积球面积 无限小体积元无限小体积元为为 d V = dl1dl2dl3= r 2sinq q dr dq q df f= = r 2drdW W 将将dV对半径为对半径为a 的球体积分，给出此的球体积分，给出此球的体积球的体积 问题：内、外半径分别问题：内、外半径分别a 和和b为的球壳体积是多少？为的球壳体积是多少？ 3 4 3 0 2 a ddrrV a p =W= 22 4 adadSS s p=W= o dS1 dS2 S pfqq pp 4sin 2 00 =W=W ddd dS2dS 1 20 任意一点任意一点P P的坐标为的坐标为 u1= r r , u2= f f, u3 = z . . 坐标变化范围：坐标变化范围：0 r r , 0 , 0 f f 2 2p p , , - - z + 以以P P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增加方向的为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增加方向的基矢量基矢量为为 P P的的坐标坐标( (r ,fr ,f , , z) )与与(x ,y ,z)的的变换变换为为 x = r rcosf f ，y = r rsinf f ，z = z (4)(4)圆柱坐标系圆柱坐标系 zeee, , 321 =fr 21 当坐标有无限小增量当坐标有无限小增量dr r，df f ，dz , 则则三个无限小线元三个无限小线元为为 dl1 = dr r ，dl2= r rdf f ，dl3= dz 三个度规系数三个度规系数为为h1= 1 , h2= r , r , h3= 1 圆柱圆柱侧面的面积元侧面的面积元为为 dSr r= dl2dl3 =r rdf fdz 半径为半径为r=r=a，长为，长为l 的圆柱的圆柱侧面积侧面积为为 aldzdadSS l pf p r 2 2 00 = l a x y z dSr r r rdf f dz dr r r rdf f dz 22 圆柱圆柱端面的面积元端面的面积元为为 dSz= = dl1dl2= r = r dr rdf f 无限小体积元无限小体积元为为 dV = = dl1dl2dl3 = r r dr rdf fdz 半径为半径为a，长为长为 l 的圆柱体积为的圆柱体积为 la dzddV al 2 0 2 00 p frr p = = l a b 内外半径分别为内外半径分别为a和和b ，长为，长为 l 的的 圆柱壳体积是多少？圆柱壳体积是多少？ dr r r rdf f dSz dz 23 数学预备（数学预备（B） 矢量分析简介矢量分析简介（教材（教材P472P472） 经典场经典场 (classical fields) 概念概念 如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们 就把这个就把这个物理量在空间的分布看成一个物理量在空间的分布看成一个“场场”. . 例如例如 温度场温度场温度在空间或物体内的分布函数温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场这是标量场 流速场流速场流体的速度分布分布函数流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场这是矢量场 如果如果温度温度和和流速流速的分布还的分布还与时间与时间t 有关有关，那么它们就都是，那么它们就都是空间和时间的空间和时间的 函数：函数： T = T （x,y,z，t ） v = v (x,y,z, t ) 24 电磁场电磁场 经典电磁理论把经典电磁理论把传递电磁作用的物质传递电磁作用的物质，看成是，看成是“连续分布的物质连续分布的物质”，这种这种 物质就是物质就是电磁场电磁场. . 电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述： 电场强度电场强度分布函数分布函数 E(x,y,z,t ) 磁感应强度磁感应强度分布函数分布函数B(x,y,z,t ), ,或或磁场强度磁场强度分布函数分布函数H(x,y,z,t ) 两者都属于两者都属于矢量场矢量场 也可用也可用标势标势和和矢势矢势描述电磁场描述电磁场 标势标势分布函数分布函数(x,y,z,t ) 构成构成标量场标量场（或以或以U U表示表示） 矢势矢势分布函数分布函数A（x,y,z,t）构成构成矢量场矢量场 在相对论电动力学中，在相对论电动力学中，电场强度电场强度E 和和磁感应强度磁感应强度B，统一成统一成电磁场张量电磁场张量. . 以后，我们都用某点的以后，我们都用某点的位矢位矢r 表示这点的坐标表示这点的坐标( (x,y,z,x,y,z,).).如如 E(r,t ) = = E(x,y,z,t ) 25 dl zdzydyxdxz z y y x x dz z dy y dx x d = = = f fff fff f ) ( ) ( 在直角坐标系中，在直角坐标系中，无限接近的两点无限接近的两点P与与P 之间，线元矢量之间，线元矢量dl分解为分解为 （1） 标量场标量场 在在P点的值：点的值：（ r） 在在P 点点的值的值：(r +dr) 在这两点之间在这两点之间，的无限小增量的无限小增量全微分全微分为为 (2) 我们称我们称 (3) 为为标量场标量场在在P点的梯度点的梯度，它是一个矢量它是一个矢量. 在所有点上的梯度构成在所有点上的梯度构成矢量场矢量场. 标量场的梯度标量场的梯度（gradient of a scalar field） dl =dr =zdzydyxdx f fff fgradz z y y x x = = r dl P P x y z n 26 我们看到，我们看到，微分算符微分算符（读作（读作“del” ） （4） 具有具有矢量性质矢量性质,它它作用于标量函数作用于标量函数f f 的结果，变成一个矢量函数的结果，变成一个矢量函数. 从（从（2）式可知：）式可知： 若若P与与P两点处于标量场两点处于标量场的同一等值面的同一等值面，即线元矢量，即线元矢量dl沿此等值面的切向，沿此等值面的切向， 此时此时d=0，这意味着，这意味着P点上的矢量点上的矢量必定沿等值面的法向必定沿等值面的法向. 仅当线元矢量仅当线元矢量dl与此等值面的法向一致，即与此等值面的法向一致，即dl = dn时，时，d才有最大值：才有最大值： 因此有因此有 （5） 这表示：这表示：标量场在某点的梯度标量场在某点的梯度, ,数值上等于数值上等于沿等值面的法向导数，其方向与沿等值面的法向导数，其方向与 的等值面垂直（沿的等值面垂直（沿增加最快的方向）增加最快的方向）. . 大家将会看到，静电场中某点的电势（或称电位）函数大家将会看到，静电场中某点的电势（或称电位）函数U 的梯度之负值，的梯度之负值， 等于该点的电场强度等于该点的电场强度E (矢量函数矢量函数) ： （6） 即电场强度即电场强度E总与等势面（或称等位面）正交总与等势面（或称等位面）正交. z z y y x x = d =dn n = dn df n UE-= 27 在一般的曲线正交坐标系中，在一般的曲线正交坐标系中，带有矢量性质的微分算符为带有矢量性质的微分算符为 在在球坐标系球坐标系中，中， u1= r u2= q q u3 = f f, , h1 =1 h2 = r h3 = rsinq q 故故球坐标系中，球坐标系中，标量场标量场的梯度为的梯度为 f q q q ff f sin 1 1 = rr r r fq , , 321 =eere 3 33 2 22 1 11 3 3 2 2 1 1 e uh e uh e uh e l e l e l = = 28 而在而在圆柱坐标系圆柱坐标系中中 u1= r r u2= f fu3 = z h1= 1 h2= r r h3= 1 故圆柱故圆柱坐标系中，坐标系中，标量场标量场的梯度为的梯度为 zeee, , 321 =fr z z 1 = f f r r r f f 29 微分算符微分算符对对矢量函数矢量函数E 的的两种运算方式两种运算方式 （1）E 的散度的散度（divergence） 在直角坐标系中：在直角坐标系中： 矢量函数矢量函数E 的的散度，是一个标量散度，是一个标量. （2） E 的旋度的旋度（rotation, 或或curl） 在直角坐标系中：在直角坐标系中： 矢量函数矢量函数E 的旋度，的旋度，是一个矢量是一个矢量. z y E x E y x E z E x z E y E zEyExE z z y y x x x y zx y z zyx )()()( ) ()( - - - = =E z E y