（基础数学专业论文）具有耦合的非局部源的抛物系统的奇性传播问题.pdf

摘要 本论文主要研究了具有非局部指数型非线性源的反应扩散系统解的整体 存在和不存在性、临界指标，以及相关的关于奇性解的渐近性分析，例如b l o w u p 速率、b l o w ，u p 集以及b o u n d a r yl a y e rp r o f i l e 等问题。我们特别引入了和系统 参数有关的特征代数方程组，以简洁而本质地刻画所有非线性指标之间的这 种相互作用 作者在前言中主要介绍了本文所研究问题的实际背景并在第二章中回顾 了反应扩散系统发展历史及发展现状在第三章中我们首先引入与系统参数 有关的特征代数方程组，用以统一而简洁地刻画所研究问题的临界指标等关 键特征，随后利用临界指标我们得到了系统解的整体存在和有限时刻b l o w u p 的判定准则接下来在第四章中得到此抛物系统解的爆破速率以及爆破集估 计；最后在第五章中，我们讨论系统的b o u n d a r yl a y e rp r o f i l e 问题 关键词：非局部非线性源；抛物系统；整体存在；有限时刻爆破；爆破集；临 界指标；爆破速率；边界层估计；奇性传播 a b s t r a c t t i l em a i np r o b l e m ss t u d i e di nt h i st h e s i sa r ep r o p a g a t i o n so fs i n g u l a r i t i e si n a p a r a b o l i cs y s t e mw i t hc o u p l e dn o n - l o c a ln o n l i n e a rs o u r c c sw i t he x p o n e n tt y p e ，s n c b r t q g l o b a le x i s t e n c e ln o n - g l o b a le x i s t e n c e ，c r i t i c a le x p o n e n t sa n db l o w u pr a t e ，e t c b e s i d e s w ew i l li n t r o d u c es o m el i n e a ra l g e b r a i cs y s t e m sc o n t a i n i n ga l lt h en o n l i n e a re x p o n e n t si n t h es y s t e m st od e s c r i b et h ec r i t i c a le x p o n e n t sa 3w e l la 8t i l ep r o p a g a t i o no fs i n g u l a r i t i e s o fs o l u t i o n sf o rt h er e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m sc o n s i d e r e d i nc h ci n t r o d u c t i o n w eg i v ead i s c u s s i o na b o u tt h ep r a c t i c a lm e a n i n ga n da l lk i n d s o fb a c k g r o u n dt ot h ep a r a b o l i cs y s t e m i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h es oc a l l e d c h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e m st od e s c r i b et h ec r i t i c a le x p o n e n t sf o rt h ep a r a b o l i cs y s t e m c o n s i d e r e dw ec a l lg e ts i m p l ed e s c r i p t i o n sf o it h eb l o w u pc r i t e r i ab yu s i n gt h ec r i t i c a l e x p o n e n t s i nc h a p t e r4 ，w ew i l lo b t a i nt h eb l o w u pr a t ea n d t h eb l o w u ps e te s t i m a t eo f t h es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e mc o n s i d e r e d i nc h a p t e r5 ，w ew i l ld e a lw i t ht h eb o u n d a r y l a y e rp i 。o f i l eo ft h er e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m k e yw o r d s ：n o n ，l o c a ln o n l i n e a rs o t l r c e ；p a r a b o l i cs y s t e m ；g l o b a le x i s t e n c e ；b l o w 。 u p ；b l o w u ps e t , ；b l o w u pt i m e ；c r i t i c a le x p o n e n t ；b l o w u pr a t e ；b o u n d a r yl a y e rp r o f i l e ； p r o p a g a t i o no fs i n g u l a r i t i e s 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：张鹤日期：2 0 0 5 年6 月 1 前言 本章主要通过列举若干实际模型来介绍本文所研究问题的实 际背景，并将本文的结构安排加以概述 随着科学技术的发展，我们了毹到凡涉及到空间分布及与时间变化有关 的问题的讨论以及对自然界中许多质变现象的刻画无法用线性模型来实现， 这就必然要与非线性模型特别是非线性偏微分方程( 组) 打交道，因此非线性 科学特别是非线性偏微分方程( 组) 理论就成为了整个自然科学中活跃而重要 的研究领域 到目前为止对这个领域的研究的兴起已有两百多年的历史了早在1 9 0 0 年，h i l b e r t 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、 2 0 、2 3 问题均涉及了如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就形成了现 代偏微分方程理论的萌芽现在，偏微分方程特别是非线性偏微分方程，已 成为数学偏微分乃至整个自然科学中活跃而重要的研究领域随着数学工作 者以及其他学科的工作者的努力，数学在理论和方法上取得了很大的进步 数学工作者及其他学科工作者各显其能充分利用现代数学工具解决复杂的非 线性问题 近二十年来反应扩散方程( 组) 作为典型的二阶非线性抛物型和椭圆型偏 微分方程( 组) 也曰益受到广大科学工作者的关注这是因为反应扩散系统本 身所涉及和研究的内容，正是大量来自物理学、化学、生态学和生物学的研 究中出现的众多的数学模型，因此它的理论研究有着强烈的实际背景；另一 方面，在反应扩散方程组自身的理论研究过程中对数学学科本身也提出了许 多挑战性的问题因此，对它的研究正引起愈来愈多的数学家 当今在物理学、化学、生物学和生态学等各个研究领域中，各种各样的偏 微分方程被用来描述实际问题这中间，相当一部分的模毅可以归结为二阶 具有耦台的非局部源的抛物系统的奇性传播问题 抛物型和椭圆型偏微分方程，即反应扩散方程。近二十多年以来，对反应扩 散方程的研究日益受到科学工作者的重视并逐渐取得了许多有价值的成果， 使有关单一的反应扩散方程的理论得到了不断的完善而在最近几年来，随 着人们认识的进步，许多研究者又开始着手进行反应扩散方程组的研究。 在近几年中，人们对反应扩散方程解的爆破性理论产生了极大的兴趣。爆 破理论与其它各个领域之间的关系( 例如：化学反应堆，量子力学，流体力 学，湍流流量等) 越来越受到广大学者的关注 1 2 模型举例 为进一步介绍反应扩散系统的实际背景，下面列举若干相当经典的反应 扩散模型： 1 生态方程( 群体增长，传染病，病虫害等) 詈；2 “+ u f c “， ，+ f c “c $ 8 ，u c z ，5 ，d 8 。， 警= m 忡m + z 。g ( 巾，临) ) d s 。 2 神经传导的h o d g k i n h u x l e y 方程 u t = u 站+ i ( u ，叫l ，w 2 ，叫k ) 姐。：壹纵岫州。= l i 2 ，) ( 1 删 j 。1 篆= k ，丁+ e x p ( 一旦r t )疣、 7 警飓n ne 砷( 一旦r t )砒、 7 4 ，b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应的n o y e s f i e l d 方程 宝= l r v + u ( 1 - - t - - r v ) + 嚣8 t船2 堡o t = m y - b u y + 象0 茁2 ( 123 ) ( 1 2 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 5b r u s s l a t o r 方程 - - 窑= a a u + a - ( 川如 f 1 2 剐 祟：6 。b u 一蟊 其他例如渗透方程、液晶方程、反应器动力学方程、超导方程，反映生命 现象的众多数学模型，污染问题中出现的对流扩散方程等等，也都可以归于 更复杂的反应扩散方程( 组) 1 3 本文内容介绍 在第二章中我们介绍了与本文所研究问题相关的知识以及理论基础，特 别是最大值原理以及比较原理，并且引入了在以后的章节中可以赢接应用的 具体形式 在第三章中我们首先对所研究的一类具有非局部的耦合的指数型源的反 应扩散系统建立解的整体存在和有限时刻b l o w u p 的判别准则我们通过引入 与系统参数相关的特征代数方程组得到了系统的临界指标等关键特征的精确 刻画 在第四章中我们进一步讨论了该模型的爆破集和爆破速率问题，进而揭 示了模型中各非线性指标特别是反应项的非局部性对爆破结论所起的作用 在第五章中我们在得到解的爆破速率的基础上继续深入讨论系统的边界 层问题在关于边界层的讨论中源的非局郝性是本质的 2 反应扩散系统的预备知识以及发展现状 本章首先介绍了反应扩散系统的相关知识以及本文所凭借的主要理 论工具：最大值原理和比较法则，接着简要叙述了本文所研究问题的目 前发展状况，最后介绍了本文的研究问题 2 1 基础知识 本文主要介绍反应扩散系统的爆破理论以及奇性传播问题下面我们给 出反应扩散系统的相关基础知识 2 1 1 反应扩散系统及其基础知识 在数学上通常把以下半线性抛物型方程组 警= d ( z ，u ) u + ，( z ，也v u ) ( ( z ，t ) q r + ) ( 2 11 ) 称为反应扩散系统，其中qcr “，n ，m 1 ，z = ( 轧，。) ，u = ( “h 一，u m ) ， “_ ( - ，m v u = ( v ”，v “m ) 】v u ，= ( 差，差) ， ( i = 1 ，2 ，一，m ) ，d ( 。，u ) = ( d i j ( z ，u ) ) ，( i ，j = 1 ，2 ，m ) 根据不同的问题可以研究初值问题，满足初始条件 u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，x r “( 2 1 2 ) 和各种边值问题，即qcr ，有界，o q 表示n 的边界，方程( 2 1 1 ) 满足边界 条件 ( 1 ) d i r c h l e t 条件： u ( x ，t ) = g ( z ，t ) ，( x ，t ) a q r + ； ( 2 1 3 ) ( 2 ) n e u m a n n 条件： _ 0 u ：9 ( z ，t ) ，( z ，t ) a n r + ； ( 2 1 ，4 ) 具有耦台的非局部源的抛物系统的奇性传播问题 ( 3 ) r o b i n 条件： 象+ 州州) = 出，巩( 叫) a q r + ( 2 1 1 ) 的与时间无关的解满足 一d ( x ，u ) a u = f ( x ，“，v u ) ，z n ， 我们把定常问题( 2 1 6 ) 与( 2 1 3 ) ，( 2 1 6 ) 与( 2 1 4 ) 或者( 2 1 6 ) 与( 2 15 ) ( 其中9 ( 。，t ) 三口( z ) = l i m 。g ( z ，t ) ) 的解称为( 2 1 1 ) 与( 2 1 3 ) ( 或( 21 4 ) 与 ( 2 1 5 ) ) ，( 2 1 2 ) 问题的平衡解或定态解( 2 1 1 ) 的空间均匀的解满足常微分 方程组 等= ，( u ) ，( ，( “) ；f ( x ，u ，v u ) ) ( 21 7 ) 还可以研究( 2 1 1 ) 的行波解u ( z ，t ) = “( z c t ) ( 设n = 1 ) 由于( 2 1 6 ) ( 217 ) 是( 2 ，1 1 ) 的特殊形式，我们也把( 2 1 1 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 的耦合组称为反映扩散方程 组 ( 21 1 ) 中的d 和，也可依赖于t , d ( x ，u ) a u 也可以替换为非线性抛物算子， 边界条件也可以是非线性的，也可以是一个范函，等等 反应扩散方程研究中的基本问题是： ( i ) ( 2 1 1 ) 的行波解的存在唯一性及稳定性 ( i i ) ( 211 ) 的平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分 叉结构以及平衡解的稳定性问题 ( i i i ) ( 2 11 ) 的初值问题、初边值问题的整体解( 包括周期解和概局期解) 的 存在唯一性及稳定性 ( i v ) 当解没有整体解时解在有限时刻的“爆破”( b l o w - u p ) 问题，以及解 的其他性质例如“熄灭区”( d e a dr e g i o n ) 和奇性传播( s i n g u l a r i wp r o p a g a t i o n ) 问 题， ( v ) 计算方法问题：解决( i ) 一( i v ) 中各种问题的计算问题有一些困难，需要 发展一些新的行之有效的计算方法 在本文中，我们讨论的问题主要包括( i i i ) 和( 吼 2 1 2相关基本概念 本节我们介绍一些与本文研究相关的基本概念首先引入具有如下初边 6 大连理工大学硕士学位论文 值条件的抛物型方程的一般形式： 害岫“刮叫，u ) b = 9 ( x ，t ) ， u ( 。，0 ) = ( z ) ， 其中 ( z ，t ) q ， ( z ，t ) s t ， ( 2 1 8 ) z n 伽= 戊n a t ) c 9 2 u + 麓婚一差， 鼬= n 囊+ 6 ( 州) u ， ( 州) 曲， ( 2 1 9 ) 豢“u ， q t = q ( 0 ，t ) ，s t = a q ( 0 ，丁) ， a j ( z ，t ) ，b j ( x ，t ) c ( q r ) ，一r 是q r 上的抛物算子 定义2 1 1 爆破若存在常数t ( o 0 ，u 0 范围内的实值函数，g 为连续函 数，那么我们在g 1 空间内对于“ 0 ， 0 ，考虑系统： = a u + ，( “，) ，饥= a v + g ( u ， ) 若存在凡( u ，u ) 0 ，且乳( u ，u ) 0 ( 其中u 0 ，v o ) ，则我们称此系统为全耦 合的：反之则称之为完全非耦合的 定义2 1 5 非局部在如下抛物系统中： 毗= a u + ，( u ，u ) ，饥= 口+ g ( u ， ) 7 具有耦合的非局部源的抛物系统的奇性传播问题 若实值连续函数f ，9 满足v ，= v 9 = o ( 即，g 与z 无关只与t 有关) ，则我们 称f ，9 为非局部的，也称此系统为具有非局部反应项的抛物系统 2 2 基于最大值原理的比较法则以及上下解方法 本节我们给出在以后章节中经常使用的一些基本原理及公式 2 2 1 最大值原理和比较法则 最大值原理和比较法则是反应扩散系统( 组) 的理论基础，通过这些原理 可以引出研究抛物方程( 组) 解的有效工具一上下解方法，也可以对解的上 下界进行估计，讨论解的爆破性以及对爆破速率进行估计由于这些原理在 本文中使用频率较高，故在此我们不加证明的给出最大值原理和比较法则的 几种形式 设n 是r n 中的区域，善= ( z 1 ，z 2 ，x n ) n ，q t = n ( 0 ，丁) ，f t = a n ( 0 ，丁) 记 l - 甍一三。+ c ( 叫) ，( 叫) 虻岳n 吲叫，彘十蚤n 坼瓦0 b u = a ( 刈) 象+ 6 ( 州) u ，( 叫) b 对上述算子，我们假设： ( 1 ) o “( z ，t ) ，b ；( ，t ) ，c ( z ，t ) 都是q 丁中的连续函数； ( 2 ) 在国内一致椭圆，即存在正常数南，d l ，使得对任意的( 。，t ) q t 及 任何非零实向量= ( - ，岛，白) ，都有 d o l t 2 ( z ，t ) 晒d l m i j = l 此时，l 在劬内是一致抛物的 ( 3 ) 在q t 内c ( z ，t ) 有界； ( 4 ) o ( z ，t ) ，b ( z ，t ) 在r t 上非负连续且d ( 。，t ) + 6 ( z t ) 0 在以上假设下，我们有如下强极值原理： 8 大连理工大学硕士学位论文 定理2 1 设u ( 。，t ) c 2 , 1 ( q t ) ，且在q r 中满足毗一l o 让o ( t “一l o “o ) 如 果u ( z ，t ) 在q t 中某点( 珈，t 。) 使u ( x o ，t o ) 最小值m 或最大值m j ，那么在 中，u ( z ，t ) = mr 或“( z ，t ) = m j i 即若u ( x ，t ) 在q t 内不为常数，则u ( z ，t ) 只 能在r t 上取得最大值和最小值，如果鲫还满足内球条件且在r ，上的某点 ( x o ，t o ) 达到最小值缄最大值，那么当u ( z ，t ) 在0 t 内不为常数时，在( z 。，t o ) 处有丽o u 。) 定理2 2 设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q t ) n c ( 百0 ) ，对于任意( z ，t ) 0 t ，c ( 。，t ) 0 且 l us o ( o ) 若在0 t 内某点( z 1 ，t ，) 达到负的最小值mr 或正的最大值m j ，则 在国中，t ( z ，t ) = mr 或u ( 茁，t ) = 驯进一步，若a n 满足内球条件且u ( z ，t ) 在0 t 内不为常数，那么若在r 7 1 上的某点( z 1 ，t 1 ) 达到负的最小值m 绒正的 最大值m j ，则在( t 1 ) 处有豢 o ) 有了强极值原理作为基础，我们就可以引用解决实际问题时常常用到的 比较法则 首先对于单个方程的情况引入一个正性引理( 2 3 第5 4 页引理2 1 ) ： 引理2 2 1 若u c ( 爵) n c l , 2 ( q r ) 使得 u t l o u + c ( z ，t ) u 0 ，扛，t ) q t ， 。( 叫) 鬻+ b ( x , t ) u 0 1 ( 州) r ， t ( ，0 ) 0 ，o n ， 这里o ( z ，t ) 0 ，b ( x ，t ) 0 ，d ( z ，t ) 十6 ( 。，t ) 0 ，而c ( z ，t ) 是一个定义于q t 的有界 函数，则u ( x ，t ) 0 于爵而且若在爵上u ( z ，0 ) 不恒等于零，则u ( x ，t ) 0 于q t 对于方程组的情况我们也引用一个正性引理( 2 3 】第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理2 2 2若函数b 。2 ，b 2 ，吼和h t 一= 1 ，2 ，在它们的定义域中都是非负 的，且( z ) f = 1 ，2 j 非负且不恒为零，则如下方程组存在唯一正解 ( 矾h l 。配一c l u , = 哦，( z ，t ) q r ， 掣：b i i u l + 氓2 巩+ 札， il ，2 ，( z ，t ) r t ， u 。l l 阢( z ，0 ) = 以o ( o ) ，z q 9 具有耦台的非局部源的抛物系统的奇性传播问题 2 2 2 上、下解方法 下面我们引入一些基本概念和解决问题常用的方法 考虑抛物方程的初边值问题 “t l o u = ，( z ，t ，“) )( z ，t ) q 丁， b u = g ( x ，t ，u ) ，扛，t ) f t ， u ( o ，0 ) = u o ( x ) ，z n 这里，在翰j ( j 是某个适当的区间) 中是一致h s l d e r 连续的 定义2 2 1 若有函数瓦( z ，t ) g ( 爵) n c l , 2 ( q t ) 满足 面一l o 可+ ，( 。，t ，瓦) ，( o ，t ) q r ， b 面g ( x ，t ，询，( z ，t ) f r 西( z ，0 ) ( 。) ，。孬， 则称西( ，t ) 为俾2 纠一偿2 印的上解；类似地，若有函数些( z ，t ) 满足 u 一l o u + ，( z ，t ，笪) ，( z ，t ) q t b u g ( z ，t ， ) ，( z ，t ) f t ， 笪( z ，0 ) 蛳( z ) ，z 豆， ( 2 2 1 ) ( 22 2 ) ( 2 ，2 3 ) 则称塑( z ，t ) 为偿2 一俾2 印的下解 根据最大值原理和比较法则，我们容易得到如下定理： 定理2 3 设瓦( 。，t ) ，型( z ，t ) 分别是俾2 j ，一俾2 纠的上、下解，且，关于u 是 c 1 的，则西( z ，t ) 型( z ，t ) 若“是偿量，一俾o 圳的解，则西( 。，t ) 矿，型( z ，t ) “+ 考虑抛物方程组的初边值问题 等= 州曲+ 胁枷一，训，( 州) 。r 最u t = g t ( u l ，u m ) ， ( z ，t ) f t ， “ ( z ，0 ) = u i d ( z ) ， z q ( t ：= 1 ，2 ，m ) ( 2 24 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 这里l 叭是形如的算子，且啦= 吼鬻+ b 池，其中系数毗，机满足口b 0 ， 。f ， 0 ， ( 。，t ，u l ，u 。) ，吼( u ，。) 关于，j i 递增，t ，j = 1 ，2 ，m 类似 地我们也可以定义上下解：将( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中的“= ”号都变为“”时，称 1 0 大连理工大学硕士学位论文 为上解，而将( 2 2 4 ) 一( 2 26 ) 中的“= ”号都变为“”时，称为下解通常我 们记上解为( 西”，碥) ，下解为( 些。，) 根据比较法则，我们容易得到如下定理： 定理2 4 设碣( z ，t ) ，m ( z ，t ) 分别是俾2 纠一偿2 甜的上、下解，且 一： i ，2 ，m ，关于疗= 1 ，2 ，m ，是c 1 的，则蕊( 。， ) 蛆( 。，t )若n ：是 俾2 圳一俾2 础的解，则砜 ，t ) t ：，弛扛，t ) s “：，。= 1 ，2 ，一，m 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献【3 5 】中第三章第四节以及第五 章第二节的有关内容 对于一致抛物的初边值问题，其局部解( 相对时间变量t ) 总是存在的，那 么解的最大存在时间是有限的还是无限的，即解是在有限时刻b l o w - u p 还是整 体存在；在最大存在时间t o 。附近解的状态( b l o w u p 速率、渐近估计等) 是 我们感兴趣的问题在局部古典鳃存在时，处理这类问题的一种常用方法就 是上下解方法，该方法是利用比较原理，通过构造问题的上、下解来导出问题 的整体存在和有限时刻b l o w - u p 以及临界指标等性质上、下解方法贯穿本文 的所有章节 2 3 目前发展状况 当今，为了解决复杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能。然而， 人们发现，对非线性问题的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法；非线性问 题的极端复杂性，直接反映了自然现象的极端复杂性例如，对非线性抛物方 程组来说，非线性可以来自反应项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项，以及 经由它们所形成的各种不同的耦合关系所有这些各不相同的非线性项都有 可能导致解的奇性的产生：解在有限时刻内的b l o w u p 、e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数b l o w u p ) 等，分别对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等 现象上述四种非线性间的相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞 争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 通常还 和空间维数及区域的几何性质有关系) 。本论文的目的，就是研究当抛物系统 中具有的反应项是耦合的并且非局部( 反应项与位置。无关只与时间t ) 有关 的情况下，多重非线性机制之间相互作用以及反应项的非局部性对解的奇性 的影响为此，需要多种数学技巧的结合，需要现代分析与古典分析工具的 具有耦合的非局部探的抛物系统的奇性传播问题 结合，甚至还需要相当的物理洞察力 我们知道，对于一致抛物的方程( 组) 来讲关于时间变量总是存在局部解 的接下来很自然就应提到解是否关于时间整体存在；如果解不整体存在， 判断的条件是什么，最大存在条件是什么，最大存在时间如何估计；解在最 大存在时刻附近的状态如何等等问题对于非线性问题而言，很难给出一个 统一的答案随着人们对事物的进一步认识及物理和化学现象的研究，人们 发现了某些模型的内在本质，得到了一些较为深刻结果，提出了解的整体存 在、有限b l o w u p 及临界指标等概念 以非线性扩散方程u 产u m 土扩为例，u m 代表扩散项，而士u p 代表反 应项( 负号表示吸收项) ，当m = 1 时是热传导方程，而0 m l 时代表快扩散方程可以考虑初值问题，也可以考 虑附加d i r i c h l e t 型边值，n e u m a n n 型边值等的初一边值问题，特别地，非线性 n e u m a n n 边值( 例如芸= 土u q ) 所表示的是向内或向外的非线性边界流下 面我们就简述一下关于这些问题已有的部分结果 自1 9 6 6 年f u j i t a 对半线性抛物方程( 1 ) 毗= u + 扩的研究取得关于临界 指标的开创性成果以来，包括a f r i e d m a n ，h l e v i n e ，f w e i s s l e r ，y g i g a ，v a g a l a k t i o n o v 在内的一批著名数学家进入这一研究领域方程( 1 ) 的f u j i t a 临界 指数标为p c = 1 + 2 n ( n 为空间维数) 和p o = 1 ：当psp o 时初值问题的解整 体存在；p o 1 ) 在文献 1 7 】中，l 6 p e z g o m e z 等考虑了初边值问题 u t = ，( 。，t ) q ( 0 ，t ) ， 赛- g ( u ) ， ( 州) a n ( o ，t ) ， ( 2 3 1 ) 让( z ，0 ) = ? - 0 ( 。) ， 茹q ， 1 2 大连理工大学硕士学位论文 得到了问题解整体存在和有限时刻爆破的充要条件在文献【1 3 中，h u 和 y i n 研究了系统( 2 3 1 ) 中9 ( 钍) = u 一的情况下的爆破速率估计，爆破速率为 ( t t ) 一响( p 1 ) 在文献【2 7 】中，r o d r f g u e z - b e r n a l 和t a j d i n e 研究了具有吸 收项的半线性方程 “t = a u 一，( u ) ，( z ，t ) n ( 0 ，? ) ， 未刮咄 ( 州) e c 3 nx ( 0 1 丁) ， ( 2 3 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，z 矗， 得到了系统解整体存在和有限时刻爆破的条件 在文献【3 6 】，( 3 7 】，【3 8 中，郑斯宁研究了具有d i r i c h l e t 条件的初边值问题 毗= a u + u q l 矿1 ， v t = a v + u o 矿2 u 扣，t ) = u ( z ，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = “o ( z ) ，( z ，0 ) = v o ( x ) ( z ，t ) n ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) n ( 0 ，t ) ， ，q ，。、 ( 嚣，t ) a q ( o ，丁) ， 1 2 jj ) x q 得到解整体存在、整体有界和有限时刻爆破的条件，并在一定的假设条件下 得到u ，u 的爆破速率分别为( t 一矿“，( t 一矿4 ，这里t 是爆破时间，而n ，口 是以下线性矩阵方程组的解 ( p 1 二1旷q 1 ，) ( ；) = ( ，1 ) 王明新在文献【3 0 】改进了上述问题中关于爆破速率的研究，去掉了 3 7 中的 某些条件也得到同样的爆破速率结果 对于附加n e u m a n n 边界条件的初边值问题 u t = a u ，刨。= a v ，( z ，t ) n ( 0 ，丁) ， 罢：俨泸，豢：“q 2 v p ：， ( z ，t ) a n ( o ，丁) ，( 2 3 4 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，v ( x ，0 ) = t 自( z ) ，z n ， d e n g 在文献【6 】中对口。= p 。= 0 的情形做了研究，得到解整体存在和有限时刻 爆破的充要条件，后来王明新在文献f 3 1 】中得到解的爆破速率估计，u ，”的 爆破速率分别为( t t ) 一g ，( t 一) 一，这里。，卢如上 对于拟线性方程( u m ) 。= u 。( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) 附加边界条件“。( o ，t ) = 0 ， u 。( 1 ，t ) = “。( 1 ，t ) 的初边值问题，f i l o 在文献f 1 0 】中做了研究，得到解整体存 在和有限时刻爆破的充要条件，并且在更强的条件下得到爆破速率估计后 】3 具有耦台的非局部攘的撼物系统的奇性传播问题 来，d e n g 和x u 在文献【7 中将 1 0 文中留下的问题都得到解决王明新等在 文献【3 2 】中研究了问题 u t = a u m ，仇= 俨，( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， 嚣v ，荔刮8 ， ( 叫) 酣n ( o ，t ) ，( 2 35 ) 仳( z ，0 ) = 札o ( z ) ，u ( z ，0 ) = v o ( z ) ，z 矗， 得到解整体存在和有限时刻爆破的充要条件，又在文献( 2 8 】中研究了 ( “m ) t = a u ，扣“) t = u ，( 茁，t ) q ( 0 ，t ) ， 票= u 。伊，磊o v ；u 口矿， ( z ，t ) a n ( o ，t ) ，( 2 3 6 ) d 鲫 “( z ，0 ) = u o ( z ) ，u ( z ，o ) = v o ( x ) ，z n ， 其中( m ，n 1 或m 1 ，o 0 而且去d s 0 ，p 。q l ( i = 1 ，2 ) 为实数，且p 2 ，q l 0 ，即反应扩散系统( 2 4 1 ) 是完全耦 合的 假设初始条件伽( z ) ，v o ( x ) o ，4 0 扛) 伽( z ) c 2 + ”( f i ) 其中p ( 0 ，1 ) ，且满足 a u o ( z ) + a l e m t 0 ( 2 ) + 口l 如( 卫) d x 0 ，如( 。) + a 2 e p ? 如( 。) + 啦”。恤) d x 0 ， 。n j ；lj f l 1 r 大连理工大学硕士学位论文 本文重点研究反应扩散系统( 2 正1 ) 的临界指标、爆破速率以及边界层估计 等问题通过对临界指标的讨论我们可以进一步得到系统解的整体存在和有 限时刻b l o w - u p 的判别准则，这些对以后爆破速率以及边界层估计都具有重要 的作用而且我们还特别引入了和系统参数有关的特征代数方程组，以简洁 而本质地刻画所有非线性指标之间的这种相互作用，并讨论了系统的临界指 标与解的奇性传播问题 1 7 3 具有非局部源的抛物系统的i 临界指标问题 在本章，我们讨论了一类具有耦合的非局部源的非线性抛物方程组， 得到了解整体存在和有限时间内爆破的条件其间受到特征代数方程缎 的启发，得到了系统的临界指标。 3 1 问题简介 从本章开始，我们主要讨论如下具有非局部源的抛物系统： r “= a u + 1 e p l u + q l v 如，( ，) n ( o ，t ) ， 2 仇= u + a 2 e m ”+ 啦”d z ，( z ，t ) n ( 0 ，t ) ，( 3 11 ) u ( x ，t ) = ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a n ( 0 ，t ) ， ( o ，0 ) = u o ( z ) ， ( z ，0 ) = o ( z ) ，t q ， 其中n r 。( n 1 ) 为有界域，具有光滑边界勰，方程组( 3 1 1 ) 中的参数 a - ，a 2 0 ，p i ，儡( i = l ，2 ) 为实数，且p 2 ，q l 0 ，这就意味着反应扩散系统( 3 i 1 ) 是完全耦合的 假设初始条件u o ( z ) ，v o ( z ) 0 ，u o ( z ) ，v o ( z ) c 2 + ”( 矗) 其中v ( 0 ，1 ) ，且满足 a u o ) + a 1 e m t 口扣) + 9 1 加扛) d x 0 ，a v o ( x ) + a 2 e 船t 0 ( 。) + q 2 , o c 。i d z 0 ， z n ，2j l 】 在我们所要考虑的问题( 3 ，11 ) 中有两个非线性项均为非局部的也就是说 系统的热源是均匀的只随着时间的变化而变化系统( 3 1 ，1 ) 可以作为两种混 合固体燃料的热传导模型，u ，”表示两种燃料的温度，模型的热源是非局部 的( 均匀且各向同性的) 且两种燃料在容器的边缘保持恒温零的状态 3 2 参考模型 近来，p s o u p l e t 在文献 2 5 中研究了具有非局部源的非耦合的单个反应 1 9 具有耦台的非局部源的抛物系统的奇性传播问题 扩散方程： r 毗一a u = 9 ( # ) i n nx ( 0 ，t ) ， u ( z ，站= 0 0 7 1a q ( 0 ，t ) ， lu ( z ，0 ) = u o ( x ) o nn ， 其中9 ( t ) 是非负的而且依赖于解u 有如下结论： 命题3 , 2 1 设u g 2 ，1 ( 晚( 0 ，? ) ) 为问题p 2 圳的解则 ! i 啤( ，t ) l l 。= + 。 ( 3 2 2 ) 当且仅当 ，r f g ( 7 ) d r = + o 。 再老，若( 3 i 2 2 ) 戍i ，赋 牌帮= m l i m 訾萨= ， 在n 的紧子集上一致成立，其中g ( c ) = 启9 ( s ) d s 口 另外，在文献 1 6 】中谢春红讨论了具有幂形式非局部源的抛物系统( 2 3 8 ) 对于本章中所讨论的问题，我们主要参考了以上两个模型的结果 3 3 研究结果 本章主要研究了该系统的整体存在和有限时刻爆破的充要条件进而讨论 了该系统的临界指标问题为了方便起见，我们在此引入与系统指标有关的 参数( o ，p ) 满足特征代数方程组 ( 翳) ( ；) = ( i ) ( 3 3 1 ) 层口 o ：一生卫l ，口：生( 3 3 2 ) p 2 q i p l 口2p 2 q l p l 啦 其中( i ) 若g ，= 9 2 = 口且p 。p 1 1 有；= 篙= 引 ( i i ) 若p z = p 1 = p 且q l = 啦= q ，定义芦2 五三，。2 面而a 1 在纯9 1 一p 1 啦= 0 的情况下，由于假设p 2 9 。0 意味着n 目2 0 ，我们可以表 示为堕：塑：c 0 p 2v 2 我们主要的结论如下： 大连理工大学硕士学位论文 定理3 1 若1 肛，1 伊 0 或1 伊 0 只要相应的a 。( i = 1 ，2 ) 适当大，则对于任 意非负初值i * 0 ( z ) ， o ( 。) ，系统p j j 的解在有限时刻爆破 定理3 3 假设1 肛= l 卢= 0 若p 1 0 或q 2 0 只要相应的a ；适当大 ( i = 1 ，2 ) ，则对于任意非负初值u o ( z ) ， 0 0 ( z ) ，系统pj 纠的解在有限时刻爆破； 否则系统p j j 整体存在。 注从定理3 1 3 3 中，我们不难得到系统( 3 1 1 ) 的临界指标可以简单的描 述成( 1 a ，z l # ) = ( 0 ，0 ) 的形式 3 4 定理证明 在以下部分中，我们将逐一证明上述定理首先证明了定理3 1 得到解的 整体存在条件，接着证明了定理3 2 得到解的爆破条件最后，通过对定理3 3 的证明得到系统的临界状态 3 4 1 定理3 1 的证明 本部分的证明主要利用了上下解的方法构造上解来证明解的整体存在性 证明：由假设条件可得n ，卢 0 和n 7 ，卢7 0 或i z 0 包含1 肛，l 伊均为正和l 0 ，只要丸适当大( i = 1 ，2 ) ，则对于任意非负初值 咖( 。) ，( z ) ，系统p 印的解在有限时刻爆破 证明：设是“下列初边值闯题的解 厂 0 2 t = u + a o e “d x ，( 。，t ) q ( 0 ，t ) ， u ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a n ( 0 ，t ) ，( 34 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( o ) ， z n 易知对于任意非负初值，u 在有限时刻爆破只要a o 适当大f 2 6 - 令 堕( ，t ) = a w ( z ，t ) ，型= p 叫( z ，t ) i nq ( 0 ，t ) 由于( 3 3 1 ) 蕴含着p i o + q , f l = 1 ( i = 1 ，2 ) ，我们可以得到 _ u t - a u _ _ = a ) , o 上眠a - 上眇1 呐上e “出 盐一型= 7 ) , o 上一如，- 。上扩2 时2 出= 沁上e “如 2 2 大连理工大学硕士学位论文 这里a o = m i n ( a 1 a ，a 。加) ，u o ( z ) = n n ( u o ( z ) o ，v o ( z ) 卢) 易知( 型，型) 是( 3 1 1 ) 的下解进而我们得到了系统( 3 ，1 1 ) 的爆破结论 口 引理3 2 ，2 若l o 和1 伊二者之一为正，只要九适当大( = 1 ，2 ) ，则对于 任意非负初值u o