（基础数学专业论文）代数体函数与随机dirichlet级数的定理.pdf

目录 摘要( a b s t r a c t ) i 前言i i 第一章代数体函数的定理：9 2 1 引言1 2 2 定义及引理2 2 3 定理及证明4 第二章随机d i r i c h l e t 级数的定理1 4 2 1 引言1 4 2 2 定义及引理1 4 2 3 定理及证明1 5 后记2 1 参考文献2 2 致谢2 3 “， 摘要 本文第一章主要利用孙道椿教授定义的代数体函数的对应加 法，结合孙道椿杨乐的研究亚纯函数的方法，将仪洪勋联系重值的 亚纯函数唯一性定理推广到了多值的代数体函数、研究了代数体函 数的唯一性问题，将几个亚纯函数的唯一性定理推广到了多值的代 数体函数 本文第二章研究了全平面内随机d i r i c h l e t 级数所表示的整函数 的增长性和值分布，得出结论：任何水平带形内与全平面有相同的 a s 增长性，对于无穷级随机d i r i c h l e t 级数在任何水平带形内都存在 p i c a r d占 关键词：代数体函数；公共值；重值；唯一性 随机d i r i c h l e t 级数；增长级；值分布；p i c a r d 点 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed e f i n et h ea d d i t i o no fa l g e b r o i d a lf u n c t i o n s a n di n v e s t i g a t ei t s o p e r a t i o n f u r t h e r m o r e ，w ee x t e n dt h ey i h o n g x u n su n i q u e n e s st h e o r e m so fm e r o m o r - p h i cf u n c t i o n sw i t hm u l t i p l ev a l u e st ot h ea l g e b r o i d a lf u n c t i o n sb yu s i n go u rr e s u l t si n c o m b i n a t i o nw i t hy a n g l o sm e t h o d i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eg r o w t ha n dd i s t r i b u t i o no ft h ee n t i r ef u n c t i o ne x p r e s s e db y ar a n d o md i r i c h l e ts e r i e so nt h ew h o l ep l a n e t h er e s u l t sa r eo b t a i n e d ：t h eg r o w t hi n ah o r i z o n t a ls t r i pa r et h es a m ea st h ew h o l ep l a n ea s t h e r ea r ep i e a r dp o i n t si ne v e r y ho r i z o n t a ls t r i pf b rt h er a n d o md i r i c h l e ts e r i e sw i t ho r d e r 。 k e y w o r d s ：a l g e b r o i d a lf u n c t i o n s ；s h a r i n gv a l u e s ；m u l t i p l ev a l u e s ；u n i q u e n e s s r a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ；t h eg r o w t h ；t h ev a l u ed i s t r i b u t i o np i c a r dp o i n t s 前言 代数体函数是由二元复方程 步( z ，w ) = a 口( z ) w u + a 口一l ( z ) w 口一1 + + a 1 ( z ) w + a o ( z ) = 0( o 1 ) 所确定的v 值解析函数，其中a 钞( z ) ，a 一。( z ) ，a o ( z ) 是定义在复平面c 上的一组没有公共零点的全纯函数特别的，若a ( z ) ，a 卜，( z ) ，a o ( z ) 都是多项式，则称w ( z ) 为代数函数若方程多( z ，w ) = 0 是关于彬的 不可约方程，则称相应的w ( z ) 为u 值不可约代数体函数 熊庆来先生曾指出，代数体函数在h p o i n c a r d 最初引入的时候， g d a r b o u x 就认为它是重要的一类函数，后来很多著名的数学家在研究 常微分方程的时候也遇到并讨论了此类函数做为亚纯函数的推广，代 数体函数的研究内容之一就是其值分布的理论，而有关的研究则是从 g r 百m o u n d o s 将亚纯函数的p i c a r d 定理推广到代数体函数而开始的， g r d m o u n d o s 曾证明v 值代数体函数至多有2 u 个p i c a r d 例外值在亚 纯函数的n e v a n l i n n a 理论诞生后不久，g v a l i r o n ( 1 9 2 9 ) ，e u l l r i c h ( 1 9 3 1 ) 和s e l b e r g ( 1 9 3 0 1 9 3 4 ) 分别用不同的方法对代数体函数建立了相应的 定理，并且随着亚纯函数值分布理论的发展，代数体函数的相应研究也 取得了一系列进展但是由于其多值的复杂性，总体上来说进展比较缓 慢，所得到的结果也远没有亚纯函数的丰富 在代数体函数的唯一性问题上的研究则开始于g v a l i r o n ，他曾宣 布如下结果而未有详证：两个v 值的代数体函数w ( z ) 和彬( z ) 若对 4 v + 1 个n j c ( j = 1 ，2 ，4 v + 1 ) 具有相同的a j 值点并具有相同的重 级，则必有w ( z ) = 彬( z ) 后来何育赞教授于1 9 6 5 年发表了代数体函 数唯一性定理的一个证明，并且得到了一个较g v a l i r o n 更为理想的结 审 木 设w ( z ) 和w ( z ) 分别是v 值和8 值的代数体函数，且v s ，若对 4 u + 1 个o f c ( j = 1 ，2 ，4 口+ 1 ) 具有相同的口f 值点，但不计重数，则 必有w ( z ) = 彬( z ) 此后几十年来，亚纯函数的唯一性理论不断的发展，特别是在亚纯 函数函数的重值与唯一性问题上，杨乐院士所创造的处理重值问题的 “杨乐方法 ，以及仪洪勋教授在此问题上做的推广都取得了大量优秀 成果但是关于代数体函数的相应理论，却由于其多值及分支点的复杂 性而没有显著的进展 最先在代数体函数的唯一性上取得突破的是孙道椿教授，他与高 宗升教授建立了两个任意值的代数体函数之间的循环加法及对应加法 运算，将处理亚纯函数重值问题的杨乐方法推广到了多值的代数体函 数，并得到了相应的关于重值的代数体函数唯一性的定理i ，9 】( 在本文的 第一章中，将简要介绍这种运算) 本文使用n e v a n l i n n a 值分布理论的标准记号，除特别说明外，均参 照文献 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，9 ，在下文的使用中，将不再一一地加以声明另外， 为了讨论的方便，本文中的w ( z ) 除特别说明外，一般为不可约代数体 函数，但是相应的结果都不难推到一般的代数体函数 d i r i c h l e t 级数是在1 9 世纪中l d i r i c h l e t 研究级数时引进的它可 看作是t a y l o r 级数的推广，也是l a p l a c e s t i e l t j e s 变换的一个特例对于 d i r i e h l e t 级数的研究，一方面是为了解决数论中的问题，一方面是为了 解决这种级数本身的分析性质在2 0 世纪，这两方面研究都取得了极 大的进展本文研究了全平面内随机d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的 增长性和值分布，得出结论：任何水平带形内与全平面有相同的a s 增 长性，对于无穷级随机d i r i c h l e t 级数在任何水平带形内都存在p i c a r d 点。 第一章代数体函数的对应运算 本文的符号除特别说明外均参考 1 , 2 ，3 ，4 ，5 本文定义了两个k 值代 数体函数的对应加法：结合孙道椿：杨乐研究亚纯函数重值的方法，将仪 洪勋关于亚纯函数的几个定理推广到多值的代数体函数设a 惫，a 惫- 1 ，山 是定义在复平面c 上的一组没有公共零点的全纯函数，则方程 多( z ，w ) = a k ( z ) w 托+ a k l ( z ) 彤庀一1 + + a 1 ( z ) w + a o ( z ) = 0( 1 1 ) 定义了c 上的一个k 值代数体函数 2 ，3 】若方程多( z ，w ) = 0 是关于w 的不可约方程，则称相应的w ( z ) 为k 值不可约代数体函数为了讨论 的方便，本文一般不要求圣( z ，w ) 是不可约的一般的k 值代数体函数 w ( z ) 可能分裂成几个( 钆个) 不可约代数体函数( 包括w = c 是常数的 情况) ，但分裂后的k 个新值数k 1 ，k 2 ，k n 的和等于原值数k = ：k j 设w ( z ) 是由( 1 ) 式定义在复平面c 上的k 值代数体函数我们称 z o c 是w ( z ) 的临界点，当且仅当a k ( z o ) = 0 或者圣( 绚，w ) 与偏导数 圣札，( 绚，w ) 有有穷或无穷公根( 即圣( 询，w ) 有重根，即有分支点) 所有临 界点之集称为临界集记为& ，称其补集死= c 一& ，为正规集每一个 临界点z o 死是孤立点，在而附近| ( z z o ) 七叫( z ) l 有界，他们是可去奇 点或极点，因此在球面上是按球距连续的，本文研究的函数一般只在正 规集死中讨论：剩下的孤立点由连续性即可唯一确定 不可约v 值代数体函数w = w ( z ) 的单值定义域是连通的r i e m a n n 曲面疋，它上面的点是正则函数元素( w o i ( z ) ，b ( o ，r ) ) ，其中w a ) 表示, i z 圆盘b ( a ，r ) 上的全纯函数。w = w ( z ) 亦记做 w ( z ) = _ ( 叫嘶( z ) ，男( o ，r ) ) 准l = 伽i ) 整，任意两个正则函数元素( w n a z ) ，a ) ( w b ( z ) ，) 恒存在路径7瓦使它们互相解析开拓, t bc 定义1 ：设w ( z ) = ( 毗，n ) ) 冬，是k 值代数体函数，称h 是w ( z ) 上 的一个对应如果 a ) 任意正则元素( w 嘶，a ) 的象ho ( w 撕，a ) 还是正则元素 b ) h 对解析开拓保持不变即w ( z ) 的两个任意正则元素( 叫7 ，o ) ，( w 。，b ) 它 们通过路径： 0 ，1 _ 死纱( o ) = a ，( 1 ) = b 互相解析开拓那么它们 的象h o ( w io ) ，h o ( w b j ，b ) 也通过路径： 0 ，1 】_ 死( o ) = a ，( 1 ) = b 互相解析开拓 c ) 若a ，则在a 附近及其象是广义有界的即3 p 0 ，v b 0 i z a f r 内有i ( 6 一a ) p ho ( w b t ，6 ) f m( 2 ) 定义2 ：设两个k 值代数体函数彬( z ) = 叫t ) 警1 和m ( z ) = 叻) 凳1 存在对应关系h 且h ：( w i ，a ) 一( t r t i ，a ) 则可定义对应加法( w + m ) ( z ) = w i + m 1 ) 冬，则可定义对应乘法( w m ) ( z ) = w i m t 准l( 3 ) 设w ( z ) 是k 值代数体函数a 一c 为任何复数。用面。) ( 形= a ) 表 示所有w ( z ) 一n 的重级不超过t 的零点集合用硫1 ( r ，w = a ) 表示在 i z i r 内w ( z ) 一a 的重级不超过t 的零点数( 不计重数，但包含有分 支点的零点) 。用瓦( t + 1 ( 7 ，w = a ) 表示在i z l r 内w ( z ) 一a 的重级超过 t 的零点数( 也不计重数，也包含有分支点的零点) 。对应的计数函数 为n t l ( r ，w = a ) 及f 件1 ( r ，w = a ) 定义3 ：设彬( z ) ，m ( z ) 是两个不可约的k 值代数体函数? h 为w ( z ) ，m ( z ) 之间的一个对应：满足h 。( 叫t ( z ) ，a ) = ( m t ( z ) ，o ) ，a 为一有限数如果对满 足妒( 徇，a ) = 0 的点z o ，当z 0 咒，时，z o 为w e ( 2 ) 一a 的重数不超过t 的 零点当且仅当z o 为m i ( z ) 一a 的重数不超过t 的零点，当z o 时，z 0 为w a i ( z ) 一a 的重数不超过t 的零点当且仅当z o 为m 九( 名) 一。的重数不 超过t 的零点，则称a 为w ( z ) ，m ( z ) 的t 一公共值 2 定义及引理 引理1 设w ( z ) 是k 值代数体函数，m ( z ) 是忌值代数体函数，存在 一个对应关系h , ho ( 功( z ) ) = m y ( z ) 使得且集合w ( o ) ，m ( o ) 中均不含极 点，贝4t ( r ，w4 - m ) t ( r ，w ) + r ( r ，m ) + l o g2 ； t ( r ，w m ) t ( r ，w ) + t ( r ，m ) 证明设在剪破的复平面上，w ( z ) 分离成k 个单值分支w j ( z ) ；m ( z ) 分离成尼个单值分支( z ) ，于是 2 m ( r ，w 土m ) = 丢m ( r ，哟( z ) 士u s ( z ) ) l j k 去z 2 9 r1 0 9 + m 詹性啪) 脚 丢c 忌- 。g 2 + 萎k 1f 0 2 万，。g + i 让。c r e i p ，f d 目 弋k - 、1 + 善1 芴t = 1 惫 = 兰r 尼么一 j = l 1 岛 ；二r 尼么一 = l f 2 7 r l o 矿 j 0 i u j ( r e 徊) l d e ) 互z 2 7 1 1 。g + l 哟( r e 徊) i d p 互2 丌f 。夕+ f ( r e 徊) i d 目+ 1 。g 2 = m ( r ，伽( z ) ) + m ( r ，u ( z ) ) + l 0 9 2 n ( r ，w 士m ) 3 继 1 一尼 = m ( r ，w m ) 万1 ，萎七嘶删删) 一1 ，聂：芴1z 1 0 9 + | 姒他循心p 勺旧目 丢( 圭去z 109讹印旧+妻去z孙，og+柑纠刎j 去(去上109讹(代徊凇善芴上109+他徊=l 2 7 9 1 l u j ( = ：1 壹，一。i 0 2 丌l 。g + i u 。( r e i 口) j d p + ：1 圭，。1 j 0 2 丌l 。g + i 吻( r e 徊) i d p ( r ，w 誓) = 去z 7 华出 玎华蚺z r 华 = 丢f o rn ( t , w ) 也+ ：lj o r 华出 = n ( r ，w ) + ( r ，m ) 引理2 设w ( z ) 是非常数不可约的尼值代数体函数， ) ；：，c 虿是 q 个不同的复数， 巧) ；：，是g 个正整数，则 ( q 一2 尼) t ( r ，w ) s ( r ，w )( 5 ) 壹南瓦j ) ( r ，w = a j ) + 壹再1 ( r ，w = ) + 口口 ，2 17 = 4 口口 ( g 一2 k 一i 玎1 ) t ( r ，w ) 2 k ( 8 ) 则w ( z ) 三m ( z ) 证明：( i ) 先假定a j ( j = 1 ，2 q ) 是q 个不同的有限值，设w ( z ) m ( z ) ， 注意觋) ( r ，w = a j ) = 一t t t j ) ( r ，m = a j ) n ( ? ，w m = o ) ， ，2 l了2 i 即瓦) ( r ，w = a j ) n ( r ，w m = 0 ) 妻瓦) ( r ，m = ) ( r ，w m = o ) j = l 由代数体函数第一基本定理及引理1 口口 - n t j ) ( r ，w = ) + 瓦j ) ( r ，m = 弓) 2 n ( r ，w m = o ) ，2 17 = 1 2 t ( r ，w m ) + 0 ( 1 ) 2 t ( r ，w ) + 2 t ( r ，m ) + o ( i )( 9 ) 由( 7 ) 式有互i 南丽。q - - i 且t 2 + l 上t l + l 1 不妨假定集合彬( o ) ，m ( o ) 中均不含极点，否则同乘以适当的因子 z n ，结合引理2 有 ( 1 0 ) q口 ( j t j + l l 一2 惫) 丁( r ，w ) = ( g 一2 k 一百玎1 ) 丁( r ，w ) j = lj = l 。 妻南瓦炒，彬= ) 删叫) 即 = 南妻瓦灯，= q ) + 妻 ( 南一丽t 2 - - “r ，w = 训+ 跗，缈) 且t 2 + l 妻瓦灯，w = 叼) + ( 希一持) 丁( r ，缈) + 跗，w ) 同理 ( 妻南+ 等一2 妒( r ，w ) 立t 2 + l 妻瓦) ( r ，彤=q ) + s ( r ，w ) ( 嘉南+ 互t 2 + 1 2 七) t ( r ，m ) 且t 2 + l 妻瓦妒，m = ) + 跗，w ) 结合( 9 ) 式有 ( 妻南+ 且t 2 + l 一2 州t w ) + 卟，圳 6 毒石( 丙毛) ( r ，w = ) + 瓦，) ( r ，m = a j ) ) + s ( r ，w ) + s ( 7 ，m ) 7 2 1 冬考籍( r ，w - m = 0 ) 三t 2 + 生l ( ( t ( r ，) + 丁( r ，m ) ) + 5 ( r ，彬) + s ( r ，m ) 口 即 ( 南一2 尼) ( t ( r ，w ) + t ( r ，m ) ) 2 尼 ( 1 则t ( r ，w ) = o ( t ( r ，m ) ) t ( r ，m ) = o ( 丁( r ，彤) ) ( r 岩e )( 1 2 ) 证明：类似定理2 ，可假定0 = l ，2 q ) 是g 个不同的有限值，设 w ( z ) m ( z ) ，由( 1 0 ) 式，有 ( 暑q 击+ 且t 2 + l 一2 忌) 丁( r ，彬) 南妻砚灯，w = q ) + 跗，彤) = 且t 2 + lj = l 瓦) ( r ，m = ) + s ( 7 ，) 血t 2 + l 丁( r ，m ) + s ( r ，w ) 结合( 1 1 ) 式有丁( r ，w ) = d ( t ( r ，m ) ) ( rge ) 同理有t ( r ，m ) = o ( t ( r ，w ) ) ( rge )证毕 7 定理3 设w ( z ) ，m ( z ) 是二个不可约k 值代数体函数，且存在一个 对应关系h ，使得ho ( 屿( z ) ) = m j ( z ) ( j = 1 ，2 忌) ，其中叻( z ) ，m j ( z ) 分 别为w ( z ) ，m ( z ) 的不同的单值解析函数。设 ) ；：，是q 个不同的复数 ( 有限或无限) ，坞) ；：，是q 个正整数或0 0 满足( 7 ) 式及有 ( 歹= 1 ，2 q ) 为w ( z ) 和m ( z ) 的t j 一公共值且满足 舞= 2 尼 ( 1 3 ) 则( i )丁( r ，w ) = t ( tm ) + s ( r ，m ) ，t ( r ，m ) = t ( 7 ，w ) + s ( r ，w ) q ( i i ) 岛) ( r ，w = a j ) = 2 t ( r ，w ) + s ( r ，彬) ， j = l q 如) ( r ，m = a j ) = 2 t ( r ，m ) + s ( r ，m ) j = l 证明：类似定理2 ，先假定a j ( j = 1 ，2 g ) 是g 个不同的有限值 设w ( 2 ) m ( z ) 由( 1 0 ) ，( 1 3 ) 式，有 貉可( r ，叫) 南主瓦，) ( r ，w = ) + s ( r ，w ) ( 1 4 ) 由本定理条件及引理1 ，有 q 瓦) ( r ，w = ) ( r ，w m ：o ) t ( r ，w ) + t ( r ，m ) + j = l o ( 1 )( 1 5 ) 结合( 1 4 ) 式，有 2 t ( r ，w ) t ( r ，m ) + 丁( r ，m ) + s ( r ，w ) 令t ( r ，w ) t ( r ，m ) + s ( r ，w ) t ( r ，m ) + s ( r ，m ) 同理有t ( r ，m ) f ( 7 ，w ) + s ( ? ，w ) 这就得到( i ) 结合( 1 4 ) ，( 1 5 ) 式及( i ) 2 t ( r ，形) q 丙岛) ( r ，w ：) + s ( r ，w ) 丁( j = 1 2 r ( r ，w ) + s ( r ，w ) 2 r ( 7 ，m ) q 岛) ( r ，m ：) + s ( r ，m ) j = l 2 t ( r ，m ) + s ( r ，m ) 、 这就得到( i i )证毕 2 1 引言 第二章随机d i r i c h l e t 级数 本文的符号除特别说明外均参考 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 设( u ) ( 死= 0 ，1 ，2 ) 是概率空间( q ，汐) 上的一个复随机变量序列，设非负数序列 a 竹( 佗= 0 ，1 ，2 ) 满足0 = 入o 入1 a 2 入扎下+ o 。( 1 ) 、 那么f ( s ，u ) = ( u ) e k 8 ( s = p + i t )( 2 ) n = 0 叫做一个随机d i r i c h l e t 级数，这里p 及t 都是实变量。 熙_ _ i i n n = 。 厩攀a n = 一毫。s ( 3 )扎。、礼 n 1 。 引理1 ：设c 为一正的常数，x 是任一正实数，那么函数矽( 9 ) = e 一甜+ x e ( - 。o 0 ，k = k ( h ，) n 使得 对任何复数列b 几cc 及任何p 与q , p q 尼恒有 厶i k ) 2 p ( 咖) b 矿薹1 6 2 pp 引理3 ：级数级f ( s ，u ) = b n x 佗( w ) e h 8 有增长级p ( u ) n = o i o op ( u ) = 0 错藏锩笋= 丽1 o 咖) 。 l0j 9 ) = 。 若级数 f ( s ，u ) = k ( u ) e h 8 1 0 满足 而竽：d 。而攀：一。 n + o 。、n r t - - * 0 0 、n 那么级数f ( s ，u ) = 6 礼 ) e 以n 8 与级数f ( s ) = b n e 以n sa s 有相同 的增长级 定理1 ：设h 及满足( 1 ) ，( 2 ) ，那么厂( s ，u ) a s 具有下列性质： 对任意的实数q 及( a p ) l i - - m in+in+一m臼(oco)口兰ln+ln+mj(o厂,a一,b,w)0-+-oo ( 4 ) 一口_ 一o o 一目 、7 证明：设( 4 ) 的左边的上极限等于p ，a s 当p = 0 时( 4 ) 是显然成立 的。 设0 p + 。o 假定q 中有一概率大于零的事件e ，相应的有一个正 数p 7 ( p ) 使得对于u e 以及某两实数o l 及p ( q p ) 我们有 fin+ln+m(o-,ce,13,w)llm p ，= _ 一 d f _ 一。o 一 那么当0 _ 。且o l t p ；u e 时，有 则有 b 凡( u ) e ( 删j e e - p 7 0 十o 。一i， i b n x n ( w ) e k ( 口+ 托) i f 6 他( ) e h ( 日+ 娩) l + e e 8 凡= nn = 0 一1 k ( 1 + b n e - x n o ) 一9 n = 0 由引理2 ，对充分大的n ，有 b 曼酬2 e 一2 瑚厶i 曼k ( ) e h ( 州t ) 1 2 尸( 凼) c e 2 e 8 n = = n 佗：= n 所以当一0 充分大，佗n 时有 b i e a n 口 c e e p “令i n + i b n i e 一口+ k 0 + c( 5 ) 则由引理1 ，( 5 ) 式右边在0 = 0 。= 学 取最小值 軎( e 嘞一 所以 舻f 軎( i n p - i n x + 1 ) 矿i 了a n l n p 一了a n l r t ) - + 芳( 6 ) 在( 6 ) 式两边同时除以a n l n 3 n 则有 丽l n + l b , 1 l 两l n p n a n p 一专+ 熹p i n a a 他z 佗h 一2 7 n 他亘lira+。l、nn+，lbkrd一一歹1a t n 0 对于u e 假设厂( s ? u ) 在水平带形 1 2 中没有p i c a r d ，作变换 z2s 一( i t o i c ) 2 7 rz = e z e z i 乱= e ：+ i ( 1 ) 依次把区域i t 一圳 变成z = z + i y ，0 耖 0 ，及m 1 通过上述变换我们得到： 令 设 厂( s ，u )= ，2 ) ( z ，u ) = i 厂( 3 ( z ，u ) = 厂( 4 ( 乱，u ) m ( 1 ) ( 伊，t o e ，t o + ，u ) = s u p i t - t o l m ( 2 ) ( z ，u ) = s u p| 产( 2 ，u ) l i f ( s ，u ) ( z = z + i y ，0 y 0 ，m r ) m ( 引( i t ，u ) = m a xi f ( 4 ) ( 乱，u ) i ( o s 1 ) i u l l t 一芒( j | 使m ( o 扎，t o e ，t o + e ，丸) ：i 厂( 9 佗+ i t n 又因为 锄：生 旦丌，磊：一： 锄一i 一7 1 ，厶礼2f “，2 = 一_ 一。o = l i m 礼+ 。 e 。2 一z z n + i 堕：堕：丝! 翌：! ! 二! ：垫! ：型 一p ! 塑二! 塑：丝塑! ：! ! 二! ：! q ! ：盘2 - 0 佗 ：1 i m i o g + l o g + l f ( o , + i t s ) r t - - - * + o o - t 9 n 1 4 即 若 则 即 ：l i m 丝二! 丝二坦堡：竺2 札_ + 。o 目几 l i m 壁 口。- - ，- o o 一靠 匦l i r a l 0 9 1 + l o g + m r ( r , w ) ：。 r l c d 口- _ ol r 号l i m l o g + m 1 4 ) ( r , w ) ： r l 一：_ 上 一r p ( 有限数) z 叼+ m ( 4 h u ) ( p + e ) 再1 切+ 2 叩+ m 4 ( r ，u ) l o g ( p + ) + f d 夕土 上一r 矛盾，所以命题成立一log+log+m(4)(rw) 0 ，k = k ( h ，) n 使得 对任何复数列b 凡cc 及任何p 与q , p q k 恒有 五i 耋c 训2 尸c 凼，b p f 2 定理3 ：设k 及b 礼满足( 1 ) ，( 2 ) 及甄者篝= 一丢那么厂( s ，u ) a s 具有下列性质： 对任意的实数q 及p ( q p ) 口戛掣= 凰坐掣( 4 ) 口_ 一o 。 一p _ 一o 。 一目 、 证明：设( 4 ) 的左边的上极限等于p ，a s 当p = 0 时( 4 ) 是显然成立 的。 设0 p + o 。假定q 中有一概率大于零的事件e ，相应的有一个正 数p 7 ( p ) 使得对于u e 以及某两实数口及( a ) 我们有 面丝坠娑堕幽 p ， n m 二：二二二二 d 那么当0 _ 一且 t p ；u e 时，有 f b n ( u ) e 一堋嘲 e e - p t e + o 。 则有i 6 凡( ) e k ( p 糊) l 佗= n 由引理4 ，对充分大的n ，有 o 。 b j 6 n 1 2 2 e 一2 h 护厶i 6 凡k ) e k ( 护+ 甜) j 2 p ( 幽) c e 2 e 叫勺 n = n凡= n 1 6 e 入一 e 佗 l d m 删 +k 一 所以当一p 充分大，死n 时有 6 一e h c e e 一加兮i n + m e 一卯+ 入n o + c ( 8 ) 则由引理1 ，( 8 ) 式右边在秒= = 丁2 n p t - l n a n 取最小值寺( f 佗p “一f 死k ) 所以 矿l 軎( i n # - i n k + 1 ) 地饥+ c 舻j 等一学+ 軎坩+ c ( 6 ) p d 7 。 r7 在( 6 ) 式两边同时除以k 2 死h 则有 i n + 2 1 。 1 i n 曰仡c 入佗z 佗a ：丽一歹十两一a n l n ) 。+ 天j 元石 佗。l i - m + 。l 入n 佗+ 。佗l b h n l - 一专+ 去 。 则与引理4 矛盾，所以命题得证。证些 ：。仙霉理4 ：对于满足定理3 的条件的非同分布的随机变量也有定理2 的结论 。一一一一一 后记 近几年来关于建立在对应运算基础上对代数体函数进行研究并不 止唯一性问题一个方面，即使在代数体函数唯一性上的研究也还有很 多优秀成果，本文没有一一给出，甚至相关文献也只是包含了这方面 研究的一小部分对应运算特别是对应加法在代数体函数的唯一性研 究中起到了很大作用，但是在其他方面的研究还是比较少的；如何在 代数体函数的其他领域发挥这种运算的作用是值的继续研究的 1 8 参考文献 1l 孙道椿，高宗升代数体函数的定理 j 】数学学报，2 0 0 6 ，4 9 ( 5 ) ，1 0 2 7 1 0 3 2 【2 何育赞，萧修治代数体函数与常微分方程 m 北京：科学出版社，1 9 8 8 【3 仪洪勋，杨重骏亚纯函数唯性理论 m 北京：科学出版社，1 9 9 5 【4 吕以辇，张学莲黎曼曲面【m 】北京：科学出版社，2 0 0 3 5 杨乐值分布及其新研究 m 北京：科学出版社，1 9 8 2 【6 孙道椿n e v a n l i n n a 方向的存在性定理【j 数学年刊，1 9 8 6 ，7 a ，2 1 2 2 2 1 【7 杨乐亚纯函数的导数总亏量的估计【j ，科学通报，1 9 9 0 ，1 6 ，1 2 0 8 1 2 1 0 【8 】杨乐亚纯函数及函数组合的重值 j ，数学学报，1 9 6 4 ，1 4 ，4 2 8 4 3 7 9 】孙道椿，高宗升代数体函数的定理【j ，华南师范大学学报，2 0 0 5 3 ，8 0 8 5 1 0 】梁美丽，陈特为代数体函数的拟b o r e l 例外值及其唯性f j 】，华南师范大学学报，2 0 0 7 2 2 3 - 2 7 【1 1 懵廷彬博士毕业论文微分方程的复振荡理论与函数的唯性理论 【1 2 张进，孙道椿涉及小函数的代数体函数的第二基本定律 j ，待发表 【1 3 柴富杰代数体函数的公共值点密度与唯一性定理 j 】，完成 【1 4 余家荣随机狄里克莱级数的一些性质数学学报，1 9 7 8 ，2 1 ，9 7 - 1 1 8 【1 5 孙道椿，高宗升无限级随机d i r i c h l e t 级数的值分布数学年刊1 9 9 3 1 4 ( a ) ，6 7 7 - 6 8 5 1 6 爱f 道椿半平面上的随机d i r i c h l e t 级数数学物理学报，1 9 9 9 ，1 9 ( 1 ) ，1 0 7 1 1 2 f 1 7 孙道椿，陈特为无限级d i r i c h l e t 级数，2 0 0 1 ，4 4 ，2 5 9 2 6 8 f 1 8 y a n gl e ：p r e c i s ee s t i m a t eo ft o t a ld e f i c i e n c to fm e r o m o r p h i cd e r i v a t i v e s j ，j d a n a l m a t h ， 1 9 9 0 5 5 2 8 7 2 9 6 1 9 r 6 m o u n d o s ，g ：e x t e n s i o na u xf o n c t i o n sa 1 9 6 b r o i d e sm u l t i p l i f o r m e sd ut h 6 d r 爸m ed em p i c a r de t d es e s9 6 n 4 r a l i s a t i o n s m