（基础数学专业论文）关于painlevé方程的单值同构方法以及对painlevé方程解的奇点的初步探讨.pdf

关于p a i n l e v 6 方程的单值同构方法以 及对p a i n le v 6 方程解的奇点的初步探讨 基础数学 硕( 博) 士生：黄翔 指导教师：赵育求教授 摘要 本文主要分两部分。第一部分系统研究了一阶线性o d e 系统的单 值同构方法，研究了p a i n l e v6 方程的对应的一阶线性o d e 系统的单 值同构形变，导出l a x 对，阐明了p a i n l e v6 方程与单值同构形变的 关系，并由此结合黎曼一希尔伯特方法按照a s f o k a s 和x z h o u 的 想法证明了p a i n l e v6 方程的p a i n l e v6 性质。第二部分主要是按照 v y u n o v o k s h e n o v 提出的思路，用帕得逼近初步研究了p a i n l e v6 方程解在有限区域内的的极点分布。 关键词：p a i n l e v6 方程，单值同构方法，l a x 对，帕得逼近 o nt h ei s o m o n o d r o m ym e t h o do fp a i n l e v de q u a t i o n s _ 一 _ 一 a n dap r e l l m l n a r ys t u d yo ns i n g u l a rp o i n t so f p a i n l e v 6t r a n s c e n d e n t s p u r em a t h e m a ti c s n a m e ：x i a n gh u a n g s u p e r vis o t ：p r o f e ss o ty u q i uz h a o a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ei s o m o d r o m ym e t h o df o rt h ef l r s to r d e rl i n e a ro d e s y s t e m ，s t u d yt h ei s o m o n o d r o m yd e f o r m a t i o no ft h ef i r s to r d e rl i n e a ro d es y s t e m a s s o c i a t e dw i t hp a i n l e v de q u a t i o n s w eu s et h i sm e t h o dt og i v eo u tal a xp a i rf o r s o m ep a i n l e v de q u a t i o n s a l s ow eu s et h el a xp a i rf o rp a i n l e v de q u a t i o n sa l o n gw i t h t h er i m a n n - h i l b e r ta p p r o a c ht op r o v et h ep a i n l e v dp r o p e r t yf o rp a i n l e v de q u a t i o n s i n d e e d ，t h i si st h ei s o m o n i d r o m ym e t h o df o i l o wa s f o k a sa n dxz h o u i nt h e s e c o n e dp a r to ft h i sp a p e r , w eu s ep a d da p p r o x i m a t i o nt os t u d yo nt h ed i s t r i b u t i o n o fp o l e so fp a i n l e v de q u a t i o n si nt h ef i n i t ea r e a ，f o l l o wt h es u g g e s t i o no fv y u n o v o k s h e n o v k e yw o r d s ：p a i n l e v de q u a t i o n s ，i s o m o n o d r o m ym e t h o d ，l a xp a i r , p a d d a p p r o x i m a t i o n i l 论文原创性声明内容： 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：丧轫习 日期：，厶年厂月歹f 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构 送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以 采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 1 ， 学位论文作者签名：轰茸明导师签名硅渗暂l 日期：2 口“年口 o 。人芝、已分别是上述l a u r e n t 展开的主系数矩阵a 一( v 。? 的若当型和相 应的变换矩阵，即 髟1 创0 = 心，d c t p p o 。 ( 1 7 ) 并且关于人2 有如下限制： 1 如果o = 0 ，那么人要么是一个基本若当元， 硝= 以+ ，= 4 十l ，j = o ， ( 1 8 ) 要么是一个不同对角元之差不为非零整数的对角矩阵。这个限制事实上 可以去掉f 8 ，1 0 ，但本文研究的p a i n l e v 6 方程满足这个限制条件。 t 这里己定义为q 点附近的局部变量。当q 时，= 兄一q ；当q = 时，善= 万1 。以下沿 用此记号。 6 一 2 如果r v 0 ，那么人了要是一个对角兀各不相同的对角矩阵。 选定一个基点口o x - c p l q ：，我们就固定了单连通区域j2 、万有覆盖j 以 及x 上多值函数的分支。 当吼是一个f u c h s i a n 点，那么局部的存在一个具有如下形式的典型解( 1 1 ， 8 ， 1 0 ) 甲( i ，( 彳) = ( ，+ j 兰= l 甲妒影) 品a 护， 允包三n 戈。 ( 卜9 ) 其中式中级数的系数矩阵、壬，? 可以通过人譬、r 逐项表示出来。 当a v 是一个非正则奇点时，那么局部的存在2 0 + 1 个由如下渐近条件所定义的 典型解( 1 0 ， 8 ) ， 甲妒( 力) e ( ，+ 盖甲罗影) 一( 劬，五哪，2 - , a ，玎= 1 ，2 。+ 1 ， 甲锐+ l ( 允) = 甲p ( 力) p 2 鹕，( 1 - 1 0 ) 其中 q ，) ： 1 是如下固定的非正则奇点q 处的一族s t o k e s 扇形域( s t o k e s s e c t o r s ) q 妒= 孑州q ( w ，z ：1 ，2 ，q p ：q 2 l = 剑w ， q y k 己c ：o l l 岛，研y ：茎箍胪- ；扁，。 ( 1 - 1 8 ) 这样，扩展单值数据就完全刻画系统( 1 - 3 ) 的全局行为，而且由下面的命 题1 1 7 ，p 7 3 可知，扩展单值数据事实上唯一确定了这个系统。记么三 么( 五) ) 为所有给定m 个极点并且给定每个极点的重数r 的有理矩阵的集合，m 兰 聊) 和 m 三 分别为所有相关的单值和扩展单值数据的集合。 命题1 1 映射4 弓么( 力h m m 是双射。 证明：运用单值群不难证明这个命题 7 ，p 7 4 。 定义1 3 - 选定一基点口0e c p l a j 7 。，仍记由此生成的基本群的元素为闭曲 线厂，则基本群乃( c 尸1 a ，m 。) 的有一个如下的线性表示： 乃弓7 h m 一1 ( y ) g l ( n , c ) ， ( 1 1 9 ) 9 称为系统( i - 3 ) 的一个单值表示( m o n o d r o m yr e p r e s e n t a t i o n ) 。给定彳( 兄) ， 子群 m t - - m ( y ) 。7 巧l c g “，回 ( 卜2 0 ) 称为系统( 卜3 ) 的单值群( m o n o d r o m yg r o u p ) 。 其中m 为固定a o 、y 。后，系统( 卜3 ) 的基本解、王，( 名) 和、壬，( 兄) 沿，延拓得到的 新的基本解、壬，( 五) ，按基本定理1 1 ，相差的右乘常数矩阵，显然m 依赖于7 ( 的 同伦类) ，记为m 兰m ( y ) 。事实上上述基本解可以改成芽，由定理1 3 和定理 1 1 仍可得到相同结果，因此我们时常可以把基点选在某个奇点q 。 关于单值群有很多重要的性质，下面是后面会用到的( 详细证明可参看 7 ， 6 9 - 7 3 ) ： 循环乘积条件 m m m m = ，。 ( 卜2 1 ) 单值群和扩展单值数据( 本性单值数据) 的关系 ( 1 ) 如果吼是一个f u c h s i a n 点，则有 m = e 1 p 2 酬e ， ( 卜2 2 ) ( 2 ) 如果巳是一个非正则点，则有 鸩= e 1 p 2 酬鼋亨1 一q 州e 。 ( 卜2 3 ) 本节最后指出，研究有理系数线性系统理论的主要焦点就是分析和系统( 卜3 ) 相联系的正单值映射( d i r e c tm o n o d r o m ym a p s ) ， 4 h m ， ( 1 2 4 ) 和逆单值映射， m h 么。 ( 1 - 2 5 ) 反单值问题一个重要方面就是r i e m a n n h i l b e r t ( - b i r k b o f f ) 问题。命题1 1 说 明映射a h m 是卜1 的，但( 卜2 4 ) 的正单值映射一般不是卜1 的，而p a i n l e v d 一】0 方程在此正起到了一般非线性方程和线性方程之间的分界作用，从而也导致了后 面提到的单值同构形变方法的引入。 1 3 小结和p a i n l e v 6 方程的应用 本章主要介绍了一阶复线性系统的经典理论，刻画了一阶复线性系统的解在 系数矩阵奇点附近的行为；并通过引入联络矩阵定义了全局单值数据，从而得到 了整个系统的一个刻画。本章的最后，是指出了一阶复线性系统研究的焦点就是 分析正单值映射和逆单值映射，并指出p a i n l e v 6 方程在此的重要分水岭意义， 从而引出下一章将要研究的单值同构形变方法。 关于p a i n l e v 6 方程的应用，这里只做简短说明。 作为特殊的非线性方程，在数学上，所有可积非线性p d e 的约化都是 p a i n l e v 6 方程，一些不可积p d e 的o d e 约化也是p a i n l e v 6 方程。例如k d v 方程 的o e d 约化将导出p i 和p i i ，非线性薛定谔方程将导出p i v ，s i n e g o r d o n 方程 将导出p i i i 等等。这些o d e 往往会在相关p d e 的渐近分析中起到至关重要的作 用。 在物理上，p a i n l e v 6 方程也有着非常重要的应用。如在二维量子重力学、 随机矩阵、三维波塌陷等等各方面的应用中都有很重要的地位。值得一提的是， p a i n l e v 6 方程在物理上最早的成功应用是在二维i s i n g 模型上。 第2 章单值同构形变与p a i n l e v 6 方程 以及单值同构方法 2 1 p a i n l e v $ 方程与单值同构形变 1 1 2 1 1 单值同构形变基本概念 上一章我们讨论了系统( 1 - 3 ) 的经典理论，并指出了单值同构形变在研究 p a i n l e v 6 方程全局性质中的重要作用。下面我们将加以研究。 因为正单值映射并不总是i - i 的，例如对于有四个奇点的f u c h s i a n 系统， 这时有： 7 = d i m a 4 = d i m 4 - 1 。 ( 2 - 1 ) 此时显然不是单射，m 上的一个元素单值数据所，将和4 中的一条“曲线” 相对应( 7 ，7 9 8 1 ) 。在这种情况下，传统的分析方法显然难以得到理想的结 果。一个自然的想法就是在4 中的元素，即在系统( i - 3 ) 的系数矩阵中引入参 数，参数的个数恰好是d i m a d i r n a d ，得到新的系数矩阵彳( 名，f ) ( 此处t 可以 为向量，维数恰好是d i m a d i m m ) ，这样新系统的么( 五，) 正好相当于4 中的 一条“曲线，从而又可以建立卜1 对应。为了保证彳( 力，) 确实是4 中与m 对应 的那条“曲线 ，一个自然的要求是：当变t 的时候，新的对应下m 是不变的， 即单值数据要关于t 独立。 把上面的要求写下来就是： 定义2 1 ：我们称如下一个全纯族： 彳( 旯) = 么( 旯，f ) ，t = ( ，f 2 ，乞) ，g l ，t y ， ( 2 2 ) 彳( 五) 全纯依赖于t ，1 夕是a 中的一个开集。 为一个容许形变( a d m i s s b l ed e f o r m a t i o n ) ，如果满足下面的条件： ( 1 ) 奇点的个数m 不依赖于t ，即 嘭o ) 吒o ) ， v t v ， y 。 p o i n c a r 6 秩显然是，不变的，更进一步，我们假设存在一族见平面上 的开圆盘 乜) ：。，使得 q ( 力日， v t y ； 厩n 或= a ，y 。 一1 2 ( 2 ) 矩阵么( 兄，f ) 的l a u r e n t 级数的主项的若当标准型人! = ( f ) 的类型不依赖 于t y 。 ( 3 ) 典型扇形域 硝枷2 r v 。+ 1 可以选取为在映射兄h 旯一q o ) 下对于所有的 t 1 夕都是一样的。 ( 4 ) 典型解可以选取为关于，全纯，且对于在一个非正则奇点附近的典型 解，关于f y 一致的满足渐近条件( 卜1 0 ) 。 定义2 2 ：如果除了定义2 1 中的条件，系统( 1 - 3 ) 的形变( 2 2 ) 还满足：可 以选取一个典型解的集合，使得所有奇点的形式单值指数人丁( 如果是f u c h s i a n 共振情况下则为 人扩；) ) 、所有非正则奇点的s t o k e s 矩阵& ”和所有的联络 矩阵巨都关于te l ；独立，那么我们称之为单值同构形变( i s o m o n o d r o m y d e f o r m a t i o n ) 。 注意到单值群和扩展单值数据之间的关系( 卜2 2 ) 和( 卜2 3 ) ，我们有矩阵m 从而整个单值群瓢在单值同构形变下是不变的。 2 1 2 单值同构形变的非线性微分系统描述 现在我们定义了单值同构形变，但这还不足以运用到分析我们的线性系统 ( 1 - 3 ) ，因为单值同构形变的定义不是构造性的，单值同构形变具体是怎样的还 很不清楚。但幸运的是，单值同构形变可以用特定的非线性o d e 系统来描述。下 面将建立是具体如何描述的。 为了建立这种描述，我们参考 7 ，1 3 4 做如下假定： ( i ) 在每个f u c h s i a n 点，系数矩阵彳( 兄) 都是非共振的。 ( i i )有一个奇点对于所有t y 恒为无穷，不妨令此奇点为( f ) 。 ( i i i ) 彳( 允) 在无穷远点处的l a u r e n t 展式的主项对所有的t y 都是对角 的，即只( f ) 毒，。 ( i v )基础基本解( t h eb a s i cf u n d a m e n t a ls o l u t i o n 即给定，独立单值 1 3 数据时对应的解) l 壬，( 名，f ) ，当a m - - 0 0 为f u c h s i a n 点时， 、王，( 元，f ) 暑、壬，( m ( 兄，f ) ；当善为非正则奇点时，t p ( 2 , t ) - v l m ( 名，f ) 。 我们都记为甲( 五f ) _ - t t , 。( 尢f ) 。 ( v ) 基点口。属于的a m 暑一个邻域，而且当无穷远点是一个非正则奇点 的时候，基点位于第一典型域。换句话说，位于基础解的正规 化区域内。 注释2 1 注意到通过恰当的依赖于t 的共形变换和规范变换，假定( i i ) 、( i i i ) 、 ( i v ) 、( v ) 总是可以满足的。而假定( i ) 排除了共振的情况，主要是为了简化 计算，事实上这个假定可以去掉( 参考 1 2 ) 。 下面我们来考虑单值同构形变对应的非线性方程。有如下重要的定理。 定理2 1 j m u 】：设一个线性系统( 卜3 ) 的容许形变彳( 五) = 么( 名，t ) 满足上面的条 件( i ) 一( i i i ) ，同时假设相关的单值数据由条件( i v ) 中所说的基本解所定义。 那么，这个形变是一个单值同构形变仅当形变方程 剃( 见) ：暑+ ，彳】 d 以 成立。反过来，假设一个如下形式的有理矩阵值函数 彳( 元) = 彳。( 兄) + a ( 五) v = l + l ( 2 ) = ( 名一q ) 础鹞：。( 五) ，v = l ，m l ， k = l 一i 么。( 五) = 一兄4 缨l ( 兄)名 o ，彳( 动量o 名= o ， k = o ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 满足系统( 2 3 ) ，那么它定义了一个( 2 - 4 ) 的单值同构变换( 同样单值数据由 上述条件( i v ) 中所说的基本解所定义) 。 证明可以参考 7 ，1 3 5 - 1 4 1 。 式子( 2 - 3 ) 中的o 是一个如下的对数微分形式 1 4 珊一，。，) = d t p = 莩挚。 ( 2 _ 5 ) 是基空间x 上的单值解析函数。由( 2 5 ) 和第一章第二节中的描述( 1 9 一 卜1 1 、 卜1 5 一 1 1 6 ) ，并且注意到矩阵人、e ，都是芒独立的，我 们容易得在一非正则奇点q 的邻域口内有 。( 见) d ( e ( j + 喜甲，影) p a 叶( 知) ( ( ，+ 善甲罗影) p 叶( 知) 一 a q ， ：e ( ，+ 艺甲夕髟) 枞( p ( 五) p a x + 妻甲影) r ，+ d ( 1 ) z q ， 一掣声一t q ( y ) in n 、 名或， 2 荟和n d ( 1 ) ，三冀，= l 7 ， 由上式可知其中系数微分形式o - - 0 7 ) 可以如下唯一确定 芝：o ：y ) = e ( ，+ 哆影) d a y m ) 眈( ，+ 哗彰j ，j - - 1 ( m o d ( o ) ) ( 2 - 6 ) 其中 玳胪j c 苎訾峭射 。7 ， = 一人譬帆( f ) 一争f - 从譬 弓0 一七 k = ok = l 当q 是f u c h s i a n 点时，只需要令0 = 0 并在( 2 7 ) 中和式舍弃掉后面那一部分 即可。 由上述0 的分析可得如下命题 命题2 1 如上( 2 5 ) 式定义的微分形式o ( z ，) 是一个关于变量允的有理矩阵值 函数，它的极点位于奇点q ，y = 1 ，m 一1 ，m = 0 0 ，相应的主部分解为 o ( 五) = o ”( 允) ， ( 2 8 ) 其中o ”( 旯) 三k = l 彭2 0 如( 2 - 6 ) 式所定义。 上述的重要定理中的系统( 2 - 3 ) ，比较相关的主部就得到一个关于矩阵系数 4 ”专4 ”( f ) 有限的非线性微分方程系统，这就是我们所需要的单值同构形变对 应的非线性方程，我们把它连同它的紧形式( 2 - 3 ) 都称为单值同构形变方程( t h e is o m o n o d r o m yd e f o r m a tio ne q u a tio n s ) 。 即 2 1 3 单值同构形变的应用与p a i n l e v 6 方程 我们首先研究较“简单”的情况，f u c h s i a n 系统。考虑一个f u c h s i a n 系统， i d q - ：彳( 兄) 甲， 一= 月一y d a 、7 删，= 喜去， 通过恰当的共形和规范变换，我们不难做如下正规化假设 以兰4 为对角矩阵。 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 最早研究这个问题的是s c h l e s i n g e r ，他选择了形变参数为t 三娩，q ) ，下面 叙述s c h l e s i n g e r 的做法。 由命题2 1 我们有 o ( 五) = o y ( 五) ， 由式( 2 6 ) 、( 2 7 ) ，我们有( 注意到这时= 0 , v = 1 ，n ) 于是我们有 7 ( 名) = 0 ( ，+ 甲岁影) d a ( 五) e a l + 甲岁影) 】q j ；l= l ：一人限】一，电 缸 ：一拿氟 缸 学：一二甲，y ：1 ，批 魄力一嘭 一1 6 一 ( 2 - 1 1 ) 故比较不同奇点处的主部后有，单值同构形变( 2 - 3 ) 等价于： 以2 争4 ，等一乩， 即 一窆z v1 0 趔。- - a v ，州， 。1(2-13) 竺趔，l ，：1 ，辨 这就是s c h l e s i n g e r 方程。它是如下方程的相容性条件： 因此方程( 2 1 4 ) 构成s c h l e s i n g e r 方程的一个l a x 对。 下面把上述方法运用到2 x 2 的系统上，研究其单值同构形变和p a i n l e v d 方 程的联系。 正像前面所说的，当n ，满足代数方程( 2 3 7 ) 。 设么模2 x 2 复矩阵值函数】，( 名，曲，厶x c 在复允平面上有如下表示： yca，c，=：菱三：；耋三圣：i僦面，k：1，6， 这里q ，瓯是( 2 3 6 ) 中定义的扇形域。i 爱y ( 2 ，x ) 满足如下的黎曼一希尔伯特 问题： 砭+ 1 ( 旯，功：k ( 旯，x ) e 一；矿+ 以她墨p h ；妒+ n 坞 后：1 ，6 ； 砭+ l ( 旯，功= k ( 旯， 3 一墨p 3 一后= 1 ，6 ； = k ； x ( 允，x ) ：k ( 名，矿+ n b ； 巧( 允，x ) = k ( 名， 、3一、3 一； k ( 允，x ) ：i + d ( 马，五专； 几 其中常数矩阵s ，以及e 如命题2 2 中所定义。设“( 力如下定义 “( x ) = 2 il ，i m a ( x ( 旯，功) 1 2 ， 这里下标1 2 表示矩阵的( 1 ，2 ) 元素。那么： ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) ( a ) 上述的黎曼一希尔伯特问题定义了一个唯一的2 x 2 矩阵y ( a ，x ) ，使其 作为x 的函数是半纯的。 ( b ) 函数“( x ) 是x 的半纯函数，且满足p a i n l e v 6i i 方程。 证明( 参考 7 ，1 7 0 - - 1 7 4 ) ：( a ) 我们记9 ( z ，功= 一f ( ；五3 + 砝) 吒。则由( 2 3 8 ) 和( 2 - 3 9 ) ，我们有： e = x ，s , e 一，e = e p 口1 e 一，k = e p 口s p 一， e = 五p 一西1 e 一，k = e e s p 一，虼= p 口s z l p 一， k = x p 口石1 e 一，砭= r o e l e 一，r o = e p 口疗1 p 一， e = k ，a e 一，r o = e p 口疗1 e ，虼= r o e 口l e 一， 五= 五晒五q 3 硒一4 一l 七= 1 ，6 ，s o = o 这些方程定义了如下跳跃条件 k ( 允，x ) = e ( 名，x ) e 烈五一v ( 2 ) e 一氓丑一， 允， 其中围道工如下面的图2 1 ， y ( 五) = s ，a r 9 2 = g ”n l 旯l 1 ；矿( 见) = 1 ， 2 4 a r g ) t = 量n 1 ) ；依图2 1 类推。 岛 图2 1p a i n l e v 6i i 方程的黎曼一希尔伯特问题。 我们可以看出，跳跃矩阵缸y ( 见) p 坝五j ) 当兄很大时是指数递减的，并且 在图2 - 1 所示的交点处，相关跳跃矩阵的循环乘积为单位矩阵。事实上我们有： 4 附近：石墨疗1 = ， 4 附近：石墨片1 = j ， 4 附近：石墨靠1 = ， 4 附近：厶是厅1 = ， 以附近：墨疗1 - i ， 以附近：无叉斤1 = ， 对于4 ，以，我们只需用上面的定义直接验算即可。对于4 ，则还需要用到 循环乘积条件( 1 - 2 1 ) 。 这样我们就证明了跳跃矩阵在交点处是“光滑的 ，从而是全局光滑的，而 且它随着兄的增大指数阶变小，因此我们可以用黎曼一希尔伯特问题的一般方法， 证明y ( a ，力关于的x 半纯性。 ( b ) 下面我们来证( b ) 。定义、王，( 名，x ) 如下： 甲= r 翟3 怫： 2 5 我们注意到对称条件最“= q & qk = l ，2 ，3 ，故可推出关于y ( a ，x ) 的对称 条件： 】，( 儿栅，x ) = o - t r ( , t ，x ) q ， a i 1 。 ( 2 4 2 ) 我们记、王，、】，为由、壬，。、甲。和珞k 分片定义的函数，定义b 如下： b = 、王，、王，一= ( 】：+ h 一现吒) ) r 1 。 ( 2 4 3 ) 因为e 和】，有相同的跳跃条件，所以b 在有限区域内是全纯的。且由( 2 4 3 ) 可 知，在允= o o 有： b = b o ( 力+ 碣( 砷。 把上式代回到( 2 - 4 3 ) 式有： 艺一觑吒= ( b o ( 功+ 鸠( x ) ) 】，。 ( 2 4 4 ) 把下式代入( 2 - 4 4 ) ， h + 掣堋a , - - - o o ， 4 5 ) 我们得到 旦= 一死毛，尽= 珏吗，明。 ( 2 4 6 ) 把( 2 4 5 ) 式代到关于y ( a ，x ) 的对称条件( 2 4 2 ) ，我们得： 】二l ( x ) = - o 1 1 1 _ l ( x ) q 。 ( 2 4 7 ) 把二阶矩阵的一般表达式l 二l = 口q + 6 呸+ c o 3 + 刃代入( 2 4 7 ) 式，得： “加警呸州鹕 ( 2 _ 4 8 ) 把( 2 4 8 ) 式代入( 2 4 6 ) ，即得：b o = 甜( 功q 。从而有 b = b o ( 功+ 碣( 的= 彳吗+ 甜( 功q 。 也就是说、王，( 名，z ) 满足方程甲，= b p 。 我们定义彳为a = 、壬，五、王，一，则有： 一2 6 彳：( 匕- f ( 4 a 2 + x ) y o 3 一署) 一l 见l 1 。 和上面类似的叙述，因为匕和】，有相同的跳跃条件，所以彳是c 0 ) 上的全纯函 么：昙4 l ( x ) + 4 ( 功+ z 4 ( x ) + 名2 4 ( x ) 。 ( 2 5 0 ) 以 4 。( 功= - a y ( o ，功吗r 1 ( 0 ，功。 ( 2 5 1 ) y ( 0 ，功吒= - o - y ( o ，功。 ( 2 5 2 ) 把( 2 5 2 ) 式代入( 2 5 1 ) 即得正l = t z , t ：l r t 。 匕一i ( 4 a 2 + x ) y o - ，= ( 4 。( x ) + 4 ( x ) + 名4 ( x ) + 力2 4 ( x ) ) 】， ( 2 5 3 ) 以 + 半+ 半+ d ( 知2 - - - o o ， 防5 4 ， 4 = 4 北毛，4 = 4 z i o - 3 ，j 二l 】，彳o = - x 吗一4 l z l + 4 砸吗，匕】o ( 2 5 5 ) 把式( 2 4 7 ) 代入( 2 5 5 ) 第二式即得4 = 4 u ( x ) q ，代入第三式得 4 = 嘲- 4 u ( x ) o - , y l + 4 砸吒，匕】。 ( 2 5 6 ) e + it a 3 ，明= “( x ) q 】，。 ( 2 5 7 ) ( e 1 ) ，= 讲吒，匕】+ “( q e l 。 ( 2 5 8 ) 鸽= - x o 3 4 ( e 1 ) ，。 ( 2 5 9 ) 把( 2 4 8 ) 代人( 2 5 8 ) ，得 d i a g ( y _ a = “ ) d i a g ( o 。y _ 。) = 甜( x ) 诫昭( 三“o ) q 吒) = 三i “( 功2 。 且 o f f d i a g ( y _ 。) ，= j li d u 吒。 故 ( ，= 三( 舻吒+ 否d u 吒) ( 2 6 6 ) 把( 2 - 6 0 ) 代入( 2 5 9 ) ，得 鸽= 哦吗- - 2 i u 2 吒一2 塞。 也就是说、壬，( 五，功满足方程、壬，五= a r t 。 这样我们就证明了( b ) 口 定理2 2 说明p a i n l e v 6i i 方程的解是半纯的，即证明了p a i n l e v 6i i 方程 的p a l n 】e v 6 件盾。 第3 章对p a i n l e v 6 方程解的奇点的初步探讨 上一章我们已经证明了p a i n l e v 6 方程的p a i n l e v 6 性质，这告诉我们， p a i n l e v 6 方程的解的临界点的位置都是不随初值的而改变的，那么考虑p a i n l e v 6 方程解的奇点分布，自然就是考虑其极点分布。 那么如何找p a i n l e v 6 方程解的极点呢? 显然上一章介绍的单值同构形变是 非常有力的工具。但这种方法只能找到p a i n l e v 6 方程对应线性系统系数矩阵奇 点附近的临界点，对于别的地方则无能为力。 这时我们自然想到用数值方法来初步研究p a i n l e v 6 方程极点的分布。这时 p a d 6 逼近将起到重要的作用。 1 8 3 和 1 9 3 在这方面做了重要的研究。 给定一个函数y ( x ) 和非负整数1 1 1 、n 的，则( m ，n ) 阶的p a d 6 逼近是如下定 义的有理函数： 2 8 m ，= 笔1 罱措q x ，+ 绣x + 9 2 x 。+ + ” 满足y p ( 力= 尉 ( 功，= 0 1 ，m + n 。 1 8 考虑了p i 和p i i 的p a d o 逼近， 1 9 考虑了p i v 、p v 、p v 。 对于p i ，我们可以通过f a i r - l u k e 算法来找它的p a d 6 逼近 ，p i i 也类似 的可以找到。f a i r l u k e 算法如下定义： 设= 丁兰l ，那么如果方程 l + z u + l ( 4 ，+ 最) 玩+ ( q + q ) 以- 2 鼠( u d 2 + e + e “。+ g + 峨3 = 0 ， ( 3 1 ) 和如下循环迭代公式： 4 ：一a , - a , b , ，b n + l = - z a n ，e + 。：- 2 华一q 一见， 啦以心t 一半+ 3 乞+ 2 c + 嘛 e + l = z - 1 ( 簖1 e + e + q + 巩) ，以+ l = 簖1 2 2 4 ， 瓯+ l = 2 z - 1 4 - c , + z ( 3 簖1 e + e ) ， 一篇， 成立。则如果有z o ，三0 ，那么 甜( z ) 甜o ( z ) = 1 + z 只( z ) = = 一o q ( z ) 1 + z l + 要对p i 运用上述算法，就要把方程化为( 3 - 1 ) 的形式。我们设p i 为如下 形式并给定初值 q 。= 6 砰- - z ，q ( o ) = q o ，a ( o ) = q l ， 设q ( z ) = q o + q l z + z 2 “( z ) ，则p i 可化为 z 2 u ”+ 4 删+ 2 ( 1 6 q o z 2 6 q l z 3 ) u + 6 2 4 u 2 + z 一6 ( n o + q 1 2 ) 2 = o ； ( 3 2 ) 这就是( 3 - 1 ) 的形式。 数值试验结果表明，用p a d 6 逼近研究p i 的极点分布有很好的效果。 一v2 9 。 由于时间的限制，对于用p a d o 逼近来研究p a i n l e v 6 方程的极点分布，没有 做出较深入的研究，将在日后继续研究。 3 0 一 参考文献； 1 h f l a c h k aa n da c n e w e l l ，m o n o d r o m y a n ds p r e c t r u m - p r e s e r v i n gd e f o r m a t i o n si ， 纰施地p h y s ，7 6 ，( 1 9 8 0 ) 6 5 - 1 1 6 2 m j i m b o ，丁w i w a ，k u e n o ，m o n o d r o m yp r e s e r v i n gd e f o r m a t i o no fli n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hr a t i o n a lc o e f f i c i e n t s i i ，p h y s i c a 口2 ( 1 9 8 1 ) 4 0 7 - 4 4 8 ：m j i m b o ，t m i w a , m o n o d r o m yp r e s e r v i n gd e f o r m a t i o no f1 i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hr a t i o n a l c o e f f i c i e n t s i i i ，p h y s i c ad4 ( 1 9 8 1 ) 2 6 4 6 3 r g a m i e r ，s u rl e se q u a t i o n sd i f f 6 r e n t i e l l e sd ut r o i s i 6 m eo r d r r ed o n ti i n t 6 9 r a l e9 6 n r a l e e s tu n i f o r m ee ts u ru n ec l a s s ed b q u a t i o n n e sn o u v e l l e sd o r d r es u p 6 r i e u rd o n ti i n t 6 9 r a l e 9 6 n 6 r a l eas e sp o i n t sc r i ti q u ef i x e s ，a 册e c o en o r m s u p e r ，2 9 ( 1 9 1 2 ) 1 - 1 2 6 4 h u m e m u r a ，o nt h ei r r e d u c i b i l i t yo ft h ef i r s td i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a i n l e v & , a l g e b r a i c g e o m e t r ya n dc o m m u t a t i v ea l g e b r ai nh o n o ro fm a s a y o s h in a g a t a ( 1 9 8 7 ) 。1 0 1 11 9 5 k n i s h i o k a an o t eo nt h et r a n s c e n d e n c yo fp a i n l e v 6 f i r s tt r a n s c e n d e n t ，n a g o y a 胎啦z ， 1 0 9 ( 1 9 8 8 ) ，6 3 6 7 6 v i g r o m a k ，i n ：r c o n t e ( e d ) ，t h ep a i n l e v & p r o p e r t y , o n ec e n t u r yl a t e r , c r ms e r i e si n m a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，s p r i n g e r ，b e r l i p 1 9 9 9 ，c h a p t e r2 7 f o k a s ，a t h a n a s s i o ss ：i t s ，a l e x a n d e rr ：k a p a e v ，a n d r e ia ：n o v o k s h e n o v ，v i c t o ry u ( 2 0 0 6 ) ， p a i n i e v & t r a n s c e n d e n t s ：t h er i e m a n n h i l b e r ta p p r o a c h , m a t h e m a t i c a ls u r v e y sa n dm o n o g r a p h s ， 1 2 8 ，p r o v i d e n c e ，ri ：a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，m r 2 2 6 4 5 2 2 ，i s b n9 7 8 0 - 8 2 1 8 3 6 5 1 - 4 8 y s i b u y a ，l i n e a rd i f f e r e n t i a e q u a t i o n si nt h ec o m p l e xd o m a i n ：p r o b l e m so fa n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , t r a n s l a t i o no fm a t h e m a t i c a lm o n o g r a p h s ，8 2 ，p r o v i d e n c e ，1 9 9 0 9 0 f r o s t e r ，l e c t u r e so nr i m a n ns u r f a c e s , s p r i n g e r ，1 9 9 2 1 0 w w a s o w ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a e q u a t i o n s , i n t e r s c i e n c e - w il e y 。 n e wy o r k ，1 9 6 5 1 1 霄b a l s e r ，f o r m a lp o w e rs e