（基础数学专业论文）量子群urt的表示.pdf

摘要 本文主要从谱理论和w h i t t a k e r 模型的角度研究了量子群珥。的不可约表示首先， 利 君r o s e n b e r g 的谱理论，我们构造了珥，t 的不可约权表示设p = 耽，p ，7 ，那么我们 有： ( 1 ) 如果| 佗0 ，使得a = 百皆哥f l - - l r - r ，q - 2 n 2 = 7 ，那么珥，t p l ，佗+ l 是珥，t 的有限维不 可约表示 ( 2 ) 如果对讹0 ，a = 仨q _ 出q - 1 ，二，q - 2 n f l 2 r ，那么t b ，o o 是珥，t 的一个无限维 不可约表示 ( 3 ) 如果对0 ，q = 0 9 0 f ( 擎p 一1 1 - 一q q - 一2 ：”p r 一1 y ) ，那么珥，。民，1 是珥，t 的一个无限维不可约表示 其次，我们研究7 z ( u r ，) 的w h i t t a k e r 模型，并且精确地构造了珥，的w h i t t a k e r 表 示及所有的不可约w h i t t a k e r 表示我们得到下面的结论：珥t 的w h i t t a k e r 模的等价 类和z ( 珥，t ) 的所有理想之间可以建立一个双射；由五h 珥，t 五+ 珥，。珥，加( e ) 可以建 立集合 z ( 珥，t ) 的理想) 到集合 型为7 7 的零化子) 的一个双射；v 是w h i t t a k e r 模当且仅 当y 竺珥，to z ( 阱，。) 固阱。( e ) ( z ( 珥，t ) 五) 7 ；v 是不可约的当且仅当y 有一个中心特征标 代数 关键词：h y p e r b o l i c 代数、谱理论、w h i t t a k e r 模、w h i t t a k e r 向 l 、量子群、h o p f a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s t r u c tf a m i l i e so fi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n sf o rac l a s so fq u a n t u m g r o u p 珥tb yt h es p e c t r a lt h e o r ya n dw h i t t a k e rm o d e l f i r s t , w eg i v ean a t u r a lc o n s t r u c t i o no fi r r e d u c i b l ew e i g h tr e p r e s e n t a t i o n sf o r 珥tu s i n gm e t h o d si ns p e c t r a lt h e o r y d e v e l o p e db yr o s e n b e r g l e tp = m s ，p ，7 ，t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) i fc ￥= 出q _ q - 1 ，q - 2 n p 2 = - y 7f o rs o m en o ，t h e ng ，t 只卅1i saf i n i t ed i m e n s i o n a l i r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no f 珥t ( 2 ) i fa = 出q _ q - 1 ，q - 2 n f l 2 ，y f o ra l l 扎0 ，t h e n b ，i sa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l i r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no f 珥t ( 3 ) i fa = 0 a n d0 虿专= t r 垃l _ q 2t 屑- 一1 1 亭- - 2 n p 一1 7 r ) f o ra n y 礼0 ，t h e n 珥，t 只) 。，1i sa n i n f i n i t ed i m e n s i o n a li r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no f 珥t s e c o n d ，w es t u d yt h ew h i t t a k e rm o d e lf o r t h ec e n t e ro f 珥t a sar e s u l t ，t h e r ei sa b i j e c f i o nb e t w e e nt h es e to fa l le q u i v a l e n c ec l a s s e so fw h i t t a k e rm o d u l e sa n dt h es e to f a l li d e a l so fz ( 珥，t ) ；t h em a p i d e a lo fz ( g , t ) ) 叫 a n n i h i l a t o r s o fw h i t t a k e r v e c t o ro f t y p e 叩) g i v e nb y 互h 珥，t 五+ 珥，t 珥，幼( e ) i sab i j e c f i o n ；vi saw h i t t a k e rm o d u l ei fa n d o n l yi fv 竺珥，to z ( 珥，t ) 9 弭，t ( e ) ( z ( t ) 五) 移vi si r r e d u c i b l ei f fv h a sac e n t r a lc h a r a c t e r k e yw o r d s ：h y p e r b o l i ca l g e b r a s p e c t r a lt h e o r y , w h i t t a k e rm o d u l e sfw h i t t a k e r v e c t o r , q u a n t u mg r o u p s , h o p fa l g e b r a s i i 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得迸婆盘鲎或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 鸯静 签字目期： 沙哆年j 月1 9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堑姿盘鲎 有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝姿盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 鸯暂 签字同期：哆年月l f 同 导师签名：墨老矛孥 签字嗍计a 产岁月p r 第1 章引言 最近，许多数学家和物理学家研究了量子包络代数( 与【( 2 ) ) 的广义化( 或形 变) 形式广义化的一个方法是通过引入新的关系使广义化的代数变成h o p f 代数 ( 见【6 ，9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 】) ，这些h 叩玳数在物理学中有重要应用例如，在【6 】中，新 的量子包络代数被应用在对数化形式场理论的研究中；在【4 】中，引入了代数( ，( k ) ) 的 一个广义类，并且研究了他们的有限维表示；在【9 】中从谱理论和w h i t t a k e r 模型的角度 对上述广义类的表示理论进行了进一步的研究广义化的另一个方法是引入新的生成子 来定义新的代数但是，这些代数只是弱h o p f 代数( 见【1 ，1 6 ，1 7 ，2 0 】) y g h o p f 代 数的应用更广泛，所以为了寻找这些广义化代数的应用，我们应该使它们变成h o p f 代 数在【1 7 】中，作者找到了一个使弱h o p f 代数变成h o p f 代数的方法 w h i t t a k e r 模是a r e a l 和p i n z c o n 在文章：o na l g e b r a i c a l l yi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a - t i o n so ft h el i ea l g e b r a 中发现的。在【7 】中，k o s t a n t 定义了所有有限维复半单李代数9 的w h i t t a k e r 模这个定义和数论中的w h i t t a k e r 方程有紧密的联系 设勇是9 的c a r t a n 子代数，垂是9 的根空间，且 e q ) n 圣是相应的根向量令圣+ 圣 表示9 的正根的集合，圣+ 表示单根的集合，且设舜是由 ) 口印生成的乡的子李 代数 定义1 1 设y 是一个u ( 9 ) 一模，7 7 ：u ( 弭) 一c 是一个代数同态，助( e q ) 0 ，v q 1 i ( i ) 戳v ，如果u ( o + ) 在u 上的作用通过叩给出，即 删= 叩( “) 叫，讹u ( 鲰) 那么我们称u 为型为叼的w h i t t a k e r 向量 ( i i ) 如果y 包含一个w h i t t a k e r 循环向量u ，即u y 是w m t t a k e r 向量且y = 【厂( 9 ) u ，那么我们称这样的y 为w h i t t a k e r 模 w h i t t a k e r 模一定是无限维的且在同构的意义下，可以和广义包络代数u ( g ) 的中 心z 的理想之间建立双射当夕= 5 【( 2 ) 时，r b l o c k 已经在【2 】中给出了所有单9 一模的分 类乍t w h i t t a k e r 模在分类时发挥了重要作用在【2 】中，r b l o c k 指出，5 【( 2 ) 的所有单模为 ( 同构意义下) ：最高权模，w h i t t a k e r 模，局部化得到的模族( 互不同构) k o s t a n t 利用了子代数u ( 缉) u ( g ) 的非奇异特征标叩也定义t w h i t t a k e r 模，即 代数同态叩：u ( 舛) ，c 且满足叩( e a ) 0 ，比根据量子s e r r e 关系，我们曾定义了 1 浙江大学硕士学位论文第1 章引言 量子群( 9 ) 根据量子s e r r e 关系，我们知道当9 s 【( 2 ) 时，( ( 9 ) ) + 也没有非奇异特 征标事实上，因为量子s e r r e 关系，7 7 ( e q ) 叩( e 1 8 ) = 0 ，v q p 且a a ，芦0 显然，w h i t t a k e r 模的定义和有限维复半单李代数9 的三角分解有紧密联系因此， 我们很自然地可以考虑有着三角分解的代数的w h i t t a k e r 模s e v o y s t a n o v 在【1 3 】中通过 考虑c m 1 上的拓手 h o p f 代数玩( 多) 使得( 玩( 夕) ) + 有非奇异的特征标，从而把复半单 李代数的结论扩展到了量子群g ( 0 ) 上现在，w h i t t a k e r 模已经在许多量子群上被研 究例如：o n d r u s 在【1 0 】中研究了( s f 2 ) 的w h i t t a k e r 模且还和e m i l i ew i e s n e r 一起研 究了v i r a s o r o 代数的w h i t t a k e r 模；对于广义的w e y l 代数以及和非扭的仿射李代数相 关的代数，还有h e i s e n b e r g 代数等，w h i t t a k e r 模也被研究在【1 7 】中，二元参量量子 群( ，( k ，日) ) 的w h i t t a k e r 模也被研究 本文主要研究了珥。的不可约表示在第二章，我们回忆了珥。的定义以及一些基本 的事实( 见 2 1 】) 在第三章，我们回忆了谱理论和h y p e r b o l i c 代数的一些基本事实， 并从理论的角度研究了珥。的不可约权表示即，我们把这些量子群看作h y p e r b o l i c 代 数，然后用h y p e r b o l i c 代数的结论去构造巩。的不可约权表示族用这种方法我们还得到 了珥t 的最高权和最低权表示第四章，我们构造了珥。的中心的w h i t t a k e r 模并且研究 了珥。的w h i t t a k e r 表示，我们得到了珥t 的所有不可约权表示的分类，并且证明了任 何w h i t t a k e r 表示是不可约的当且仅当它有一个中心特征标 2 第2 章代数珥芒 在这苹，我们将定义李代数_ 5 【( 2 ) 的扩张量子包络代数珥t 并且研究它的基本性质 e = ( 三三) ，f = ( ；三) ，日= 1 l 三1 ) 构成了s 【( 2 ) 的基在给出5 【( 2 ) 的扩张量子包络代数的定义以前，我们先引入一些标记现 在我们固定两个变元g ，j ，其中g 不是单位根 对任何整数n ，设 【佗】= a n 孑_ q - n = g n 一1 + g 几一3 + + g n + 3 + g 一礼+ 1 我们有下面的关于阶乘和二项式系数的等式对整数o k 佗，设 0 】! = 1 ，如果七 0 ， 附= 1 】 2 】 k 】 ”鼎 在这个新标记下，我们用归纳法能证明下面的命题 引理2 1 如釉和y 是两个变量且满勋z = q 2 x y ，那么对任何正整数佗，我们有 c z + 秒，礼= 砉g c n 一砧南 ： z 七n 一惫 南= 0 i 几l 设k 是特征为。的代数闭域k q ，口- 1 】的分式域记作l 【口 定义2 2 设r ，t 是两个固定的非零整数我们定义坼，t = 珥，t ( 亭【( 2 ) ) 为由六个变 e r e ，只k ，k ，j ，j 生成的k g 一代数，其中j 和j 一1 在珥，t 的中心中，且有如下关系 k 一1 k = k k 一1 = j t j r 一1 = j 一1 j ：1 ，( 2 1 ) k e k 一1 = q 2 e k f k 1 = q - 2 f , e f f e ：丝二丝二：尘 q g 一1 3 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 浙江大学硕士学位论文第2 章代数珥，t 由定义，我们可以证明珥。有一个代数自同构满足：对任何整数s ，虬( e ) = f j s ，u 。( f ) = e j - 8 , u 。( k ) = k 一1 j r , u 。( k 一1 ) = k j r ，u 。( ，) = zu 。( j 一1 ) = j 一1 我们有 下面的命题： 命题2 3 存在唯一的珥t 的代数自同构u 满肋( e ) = k e , u ( f ) = e k ，u ( k ) = k ， u ( k 一1 ) = k 一1 ，u ( 了) = j , w ( j 一1 ) = j 一1 证明：我们只需验证下面的关系成立即可 w ( k ) w ( e ) = q - 2 w ( e ) w ( k ) ，w ( k ) w ( f ) = q 2 w ( f ) w ( k ) ， p ( f ) ，u ( e ) 】= 竺q 竺上孑警= 箐 前两个等式由定义可以直接得到，下面我们计算第三个由关系式( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，我们有 p ( f ) ，u ( e ) = e k 。k f k f e k - 1 = e f - f e = 箐 引理2 4 设m 0 且n z ，则 e m k n = q - 2 m n k n e m ，f m k n = q 2 撇k n f m ， ( 2 5 ) e f m p e = m f m 一q - ( m - 1 ) k q 一_ g q m 1 - l k - i j r - e m f f e m = m q - ( m - 1 ) k ，- ，q m - l k - 1 j r e m 一1 证明： 前两个等式由关系式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可以得到第三个等式能够用等式 【e ，f m 】= e ，f r o - 1 】f + f , 钆- i e ，f 】 通过对m 做数学归纳法得到类似地，我们能证明( 2 7 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 定理2 1 代数t 则q o e t h e r i a n 的并且没有零因子集合 e p j 8 it ，j n ，l ，8 z ) 是珥，t 的基 4 浙江大学硕士学位论文 第2 章代数珥t 且 定理2 2 如下定义的关系： a ( e ) = j - r oe +eo k 厂。， a ( f ) = k 一1 ，( 件1 of +foj n ， a ( k ) = kok ，a ( k - 1 ) = k _ 1ok ， a ( j ) = joza ( j 一1 ) = j _ 1o j 一1 ， ( k ) = e ( k - 1 ) = ( ，) = ( j _ 1 ) = 1 ， e ( e ) = e ( f ) = 0 ， ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) s ( e ) = 一e k ，s ( f ) = 一k f j 一，s ( j ) = j ， ( 2 1 4 ) s ( j - 1 ) = zs ( k ) = k ，s ( k _ 1 ) = k 使得珥，t 是一个h o p 玳数 证明： 首先，我们证明是从坼，t 到坼，to 珥，t 的代数态射只需去验证： a ( k ) a ( k - 1 ) = a ( k - 1 ) ( k ) = 1o1 ， a ( j ) a ( j - 1 ) = a ( j - 1 ) ( j ) = 1o 1 ， a ( k ) a ( e ) a ( k 一1 ) = q 2 a ( e ) ， a ( k ) a ( f ) a ( k 一1 ) = q - 2 a ( f ) ， ( e ) ( f ) 一( f ) ( e ) = 垒堑旦上i 全产， 且对x = e ，f ，k ，k ， a ( x ) a ( j ) = ( j ) ( x ) 我们只给出 ( e ) ( f ) 一( f ) ( e ) = 垒堑旦上i 全产 5 ( 2 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文第2 章代数珥，。 的计算 ( e ) ，( f ) 】= ( j 九oe +eo k ，) ( k 。j ( 件1 ) of +fqj 叶) 一( k 一1 j ( 件1 ) qf +foj n ) ( j noe+eo k ，) =k 一1 ，o k _ 再k 矿- 1 j , + 铲 k ：a ( k ) - - a ( k 一- 1 j r ) q - - q - 下面我们证明是余结合的只需验证对于六个生成元满足即可这里只验证对于e 的情况，其他的可类似的验证一方面， 另一方面， ( i d ) a ( e ) = ( 饵 ) ( e ) = ( oi d ) ( j noe+e o k ，) 3 一t t 3 一如be 七3 一nb e bk 七e 圆kj 钕k j h ( i do ) ( j noe +eo k ，。) j r toj t r 圆e + j nq e 0k r + e0k 户 k j 仡， 其次，很容易验证是从珥，t 到k q 的代数态射且满足余单位公理 最后我们需要验证s 是珥，t 的对极首先去验证s 是从珥，t 到曙的代数态射，即 s ( k ) s ( k 一1 ) = s ( k 一1 ) s ( k ) = l ，s ( j ) s ( j 一1 ) = s ( j 一1 ) s ( j ) = 1 ， s ( k 一1 ) s ( e ) s ( k ) = 9 2 s ( e ) ，s ( k _ 1 ) s ( f ) s ( k ) = q - ：s ( f ) ， i s ( 踟e ) 】= 型竿竽塑， 且对x = e ，f ，k ，k ，j ，s ( x ) s ( j ) = s ( ，) s ( x ) 这里只验证 i s ( f ) ，s ( e ) = 曼竺q 二孑学 p ( f ) ，s ( e ) = k f j 一7 e k 一e f j 叫 = ( f e e f ) j 吖 ：s ( k ) - s ( k - ，i ) s ( j r ) q - q l 当z = e ，f ，k ，k ，zj 一1 时，很容易验证有 z ( 1 ) s ( z ( 2 ) ) = s ( z ( 1 ) ) z ( 2 ) 一e ( z ) 1 )0 ) 因为s 是珥t 的反态射，所以s 是对枕 6 第3 章h y p e r b o l i c 代数及其表示 在本章中，我们把珥t 看作h y p e r b o l i c 代数并且用谱理论的方法去构造它的不可约 表示 3 1 谱理论的预备知识 g a b r i e l 最先研究了a b e l 范畴的谱理论，他定义了任意有足够多单射的n o e t h e r i a n g r o t h e n d i e c k 范畴的单谱，这个谱由范畴中不可分解的单对象的同构类构成设r 是 可交换的n o e t h e r i a n 环，那么所有b 模范畴的谱作为概型同构于r 的素谱s p e c ( r ) 进 一步，用x 上模的拟凝聚层的范畴的谱，我们能够重新构造任意n o e t h e r i a n 交换概 型( x ，o x ) 任意a b e l 范畴的谱理论后来由r o s e n b e r g 来定义谱对a b e l 范畴有很大的作 用，通过x 上模的拟凝聚层的范畴的谱，我们能够重新构造拟分离和拟紧的交换概 型( x ，o x ) 虽然谱理论对非交换代数几何更重要，但它在表示理论方面有着很好的应用为了 研究不可约表示，我们可以研究所有表示的范畴的谱，然后对于相结合的拓扑指出谱的 临近点 设c x 是一个a b e l 范畴，m ，c x 是两个对象我们说m - n 当且仅当是o x m 的一个子商模，其中l i i - 是一个偏序m n 当且仅当m - n 且 m 显 然是一个等价关系设s p e c ( x ) 是所有的非零对象族，且m c x 满足对任何m 的非 零亍对象n 南n m 定义3 1 叫缁r a b e l 范畴的谱 s p e c ( x ) = 勋e c ( x ) 如果魄是环a 上的左模范畴，有时候对于环a 中的左理想我们要表示s p e c ( x ) 中的 点为了表示s p e c ( x ) 中的点，我们要定义左谱s p e c t ( a ) ，它是a 中满心肋是 e c ( x ) 中对象的所有理想p 的集合关于a 一模的关系 可以诱导左理想中的一个特定化关 系，特另q 地是关于s p e c t ( a ) 的一个特定化关系即，a i m a n 当且仅当存在着a 中元 素的一个有限子集z 满足着理想( 钆：z ) = a a a xcn ) 包含在m 中我们用来标 记这个关系注意到如果礼是一个双边理想，那么关系恰好是包含关系特别地，如 果环4 是可交换的，那么它也是包含关系s p e c l ( a ) 的一个映射通过和冬相关的等价关 7 浙江大学硕士学位论文第3 章h y p e r b o l i c 代数及其表示 系诱导了 e c t ( a ) 的商跏e c l ( a ) ：虱j s p e c ( x ) 上的一个双射从现在起，我们将不区 分s p e c t ( a ) s p e c ( x ) 来表述一些关于左谱的结论 3 2h y p e r b o l i c 代数r ，秒) 及其谱 h y p e r b o l i c 代数首先由r o s e n b e r g 在【1 2 】中研究，在【3 】中b a v u l a 研究了广y , w e y l 的h y p e r b o l i c 代数用h y p e r b o l i c 代数去研究谱中点的构造是比较方便的在【1 2 】中， 我们研究了谱理论对于h y p e r b o l i c 代数表示的应用像w e y l 代数a 1 ，u ( s 1 2 ) 以及它的量 子群，这些代数都有- - q - h y p e r b o l i c 代数的结构，h y p e r b o l i c 代数上模范畴的谱中的 点也被构造在 1 2 】中有一些关q - h y p e r b o l i c 代数的基本事实以及一些重要的构造定理 设p 是交换代数r 的一个自同构雎是冗中的一个元素 定义3 2 由z ，y 生成并且满足： x y = 荨， y x = 8 - 1 ( ) ， 的肛代数叫做r _ l h y p e r b o l i c 代数，其中o r 记作r ，p ) 我们也有下面的构造定理： 定理3 1 ( 定理3 2 2 【1 2 1 ) ( 1 ) 设p s p e c ( r ) ，并且假设在自同构8 的作用下p 的 轨道是无限的，那么 ( a ) 如籼_ 1 ( ) p ，艇p ，则左理想 p 1 ，1 ：= p + r ，8 x + r ，p ) 可 是s p e c t ( r ，口 ) 的双边理想 ) 如果对于o i 扎一1 ，有p - 1 ( ) p 伊( 毒) 隹p 且扩( ) p ，则左理想 p 1 ，n + l ：= r ，8 p + 兄 ，8 x + r ，口) 可刑1 属于s p e c t ( r ，口) ) ( c ) 如果p 一1 ( ) p ，且对于0 ，有伊( ) 隹p ，则左理想 p l ，：= r 毒，8 p + r ，8 x 8 可 、l ， 0 ，i l一 凸口 = 0 可 z 、l ， 0 ，、 凸v=口z 和 属于s p e c l ( r ，口) ) ( d ) 如默p ，且对于1 ，有8 “( 专) 簪p ，则左理想 凡，1 ：= r 专，8 p + 兄_ ，e y 属于s p e c l ( r ，口) ) ( 2 ) 如果在( 6 ) ，( c ) ，或( d ) 中的理想p 都是极大的，那么相应的 e c l ( r ，p ) ) 中的左 理想也是极大的 ( 3 ) 设q 是s p e c z ( r ，口) ) 中的左理想且对a v z 满肋u ( ) q ，则q 等价于一个左 理想且这个左理想可以通过上面的定义唯一地由素理想p e c ( r ) 来确定后者意味着 如果p 和p 7 是冗的两个素理想，且( q ，p ) 和( u ，p ) 取值为( 1 ，o 。) ，( o 。，1 ) ，( 。o ，( 3 0 ) 或( 1 ，扎) ， 那么p a ，卢等价于咒，p 当且仅当a = v ，p = p 且p = p 7 定理3 2 ( 定理3 2 3 【1 2 1 ) ( 1 ) 设p s p e c ( r ) 是r 中的一个素理想，满足：对i z 有( 荨) 隹p ，且对i 0 有( p ) 一p g ，那么民，：= 冗 ，o p s p e c d r ，p ) ) ( 2 ) 另外，如果p 是r ，9 ) 的一个左理想且满足pnr = p ，那么p = 民，o o 特别地，如 果p 是一个极大理想，那么民是一个极大左理想 ( 3 ) 如果素理想p icr 满足气，o 。= 咒o o ，那么j 佗z ，满足p 7 = 俨( p ) 反之， 对可z ，俨( p ) ，= 咒，o o 3 3h y p e r b o l i c 代数珥，亡 设r 是由e f ，k 士1 ，j 土1 生成的珥，t 的一个子代数，因为k e f = e f k ，显然r 是一 个交换代数下面我们定义月的一个代数自同构： p ：r r 其中 8 ( e f ) = e f + ，( p ( k ) ，p ( ，) ) ， 其州) = 等警， 8 ( k 士1 ) = 口千2 k 蛆，8 ( j 士1 ) = 户1 显然p 能够扩展到r 的代数自同构我们有下面的引理： 9 浙江大学硕士学位论文第3 章h y p e r b o l i c 代数及其表示 引理3 3 e ( e f ) = 8 ( e f ) e ， f ( e f ) = 8 - 1 ( e f ) e e k = 8 ( k ) e f k = 8 - 1 ( k ) 只 e j = o ( j ) e ， f j = 8 - 1 ( j ) f 证明：后面的四个等式根据口的定义以及( 2 2 ) 、( 2 3 ) 式很容易验证，现在我 们证明前两个等式 o ( e f ) e = ( e f + q - 2 k ，- q ，2 k - 1 j r ) e = e f e + e k 百- e 哥k 丁- 1 一j r = e ( f e + 带) = e ( e f ) 类似地，我们可以计算第二个等式也成立 由引理3 3 ，我们有： 命题3 4 以，产r 毒= e f p ) 是一个h y p e r b o l i c 代数，其中r 和p 如上定义 3 4 珥，t 的不可约权表示 现在我们可以应用上面的构造定理去构造的不可约权表示 设q ，p ，7 c ，由一q ，k p ，j 一7 生成的r 的极大理想记作p = 尥，p ，y = 一q ，k p ，j 一，y ) cr ，我们有下面的引理： 引理3 5 对1 ，俨( 耽，p ，y ) 尥，p ，7 特别地，在p 的作用下，p ，1 有一个无限 的轨道 证明：我们有 p n ( k 一) = q - 2 k 一= q - 2 ( k q 2 n p ) 因为g 不是单位根，所以对v 竹0 ，q 2 n 1 ，因此我们有v n 1 ，俨( 地，p ，1 ) ，卢， 引理3 6 ( 1 ) 对佗0 ，我们有： o n ( e f l = e f + ( 2 ) 对n 0 ，我们有： q q 一1 p n ( e f l = e f 证明： 对n 0 ，有 c 爷k 一年孚一以 q q 一1( 可1 - q 2 n k 一青一以 秽n ( e f ) = e f + q _ - - - 知( ( q 一2 + + q - 2 ) k 一( 口2 + + 口2 亿) k 一1 ，) = e f + 矛1 q - 2 1 ( 一1 - - 口一q - 2 2 n ) 一 第二个等式能类似的证明 定理3 3 设p = 耽，卢，y ，那么我们有： ( 1 ) 如果j n 0 ，4 吏g - a = 仨q _ 出q - 1 ，二，q 一2 n p 2 = r ，那么俨( ) ，p ，7 且伊一1 ( ) 尥，卢，1 ，因此珥，只，1 是珥，t 的有限维不可约表示 ( 2 ) 如果对v 扎0 ，及= 臣q _ 蔓q - 卫1 ，q - 2 p 2 7 7 ，那么珥，t 只，是珥，t 的一个无限维 不可约表示 ( 3 ) 如果对v 扎0 ，q = 0 且o f 净( 的一个无限维不可约表示 证明： p 一害荸p 一1 7 r ) ，那么珥，t 民，t 是珥，t ( 1 ) 因为p 一1 ) = 一等，所以9 1 ( ) 尥，p ，一y 当且仅当乜= 生q 出_ q - 1 由引理3 6 的证明，我们有 p 礼( ) = 专+ 再虿1 了( ( q 一2 + + q - 2 n ) k 一( 9 2 + + 口2 n ) k 一1 j ”) = + 南( 带k 一 因】煳n ( ) 尥，p ，7 当且仅当 0 = o t + q q 一1( 爷p 一年孚脚) 而口= 仨q - 垦q 兰- ，所以弓死0 ，使得g 一2 礼p 2 = ，y r ，故 沪( ) 朋乙，卢， 0 - 1 ( ) m 0 ，p ，叮 所以由定理3 1 知，珥，t p l ，n + 1 是珥，t 的一个有限维不可约表示 1 1 ( 2 ) 因为p 一1 ) = 一丝手写；，所以口一1 代) a 纭，p ，y 当且仅当q2 爷对 0 ，扩( ) = + 石知( 皇二等k 一弩k 一1 ，) 所以俨( 荨) 隹地，卢，1 当且仅当 。q + 寿( 警p 一年笋矿n 而q = 生q 出_ q - 1 ，所以口一凯p 2 r 因此由定理3 1 知，t p 1 ，o 。是珥，t 的一个无限维不可约 表示 ( 3 ) 若p 则a = 0 由引理3 6 知：对v 礼1 ， 旷十f 1 旷( 1 l - - 吖q 2 n n 等一以 所以p ( ) 譬，卢，7 当且仅当 蜥一而1 。可1 - q 2 n p 一等卢- 1 7 r ) ， 。南( 鲁卢一菁晰) ， 注：在舞e 舞a 3 3 中构造的表示已经包含了t 的所有的有限维不可约表示，最高权不 可约表示以及最低权不可约表示 另外，我们有： 定理3 4 设p = 尥以7 如果对0 ，0 f 一f 净( 里二铲卢一 对v 佗1 ，q 南( 表示 q 2 ( 】1 - d 2 - - q 2 n ) 尸f ： 一1 r ) 且1 一口2 尸y ，且 f l _ 车窘p 一1 r ) ，那么珥，t 民，o o 是珥，t 的一个无限维不可约 l a l ：明： 因为对礼20 ， 叭沪f + 南( 警k 一半孚一n 对凡 1 俨= 一再1 v _ _ t ( 1 - - 可q 2 n k 一等一n 所以俨( 专) 譬耽，p ，1 ，p 哪( 毒) 隹，p ，1 - 3 且- 支- 当 啪+ 寿c 爷一芈孚- - 1 ，y ) ， 且 即 。q 一而1 ( 可1 - - q 2 n 卢一菁脚) a 一南( 警p 一年p - a , f ) ， 且 q 南可1 - q 2 n p 一菁p - 1 c ) 由定理3 2 知，珥，t 咒，是t 的一个无限维不可约表示 推论3 7 定理3 3 中构造的表示和定理3 4 t 构造的不可约权表示包含了珥，t 的所有不 可约权表示 第4 章, 6 z ( g ，t ) 的w h i t t a k e r 模型 设g 是一个有限维的复半单李代数且u ( g ) 是它的广义包络代数在【7 】k o s t a n t 研究了u ( o ) 的中心 w h i t t a k e r 模型中心z ( u ( g ) ) w h i t t a k e r 模通过9 的幂零李 代数n + 的非奇异特征标来定义在【7 】中，k o s t a n t 利用w h i t t a k e r 模型研究了u ( g ) # w h i t t a k e r 模的结构以及一些关于w h i t t a k e r 模的重要结论后来，k o s t a n t 的思想 被l y n c h 和m a c d o w e l l 进一步推广，在【8 1 和【9 1 中分别研究t n + 的奇异特征以及一些相 关结论 在本章中，我们证明了z ( 珥，t ) 有- - + w h i t t a k e r 模型并x - x t 究了它们 w h i t t a k e r 模，还证明了几个类似于【7 】和【1 4 】中的结论 4 1 巩，亡的中, b z ( g ，亡) 首先，我们定义珥，t 的c a s i m i r 元素q ： q = f e + q k f + q - 尹a k 厂- 1 j 7 我们有下面的命题： 命题4 1 q = f e + q k 函+ = q i - f k 巧- r 1j r = e f + q - 1 lk 百= + _ q j k 呼- r 1 j 一 证明： 因为f e = e f 一等竽，我们有 q = f e + q k + ( q q 一- q l k 1 ) - r 1 j r 一 = e f 一铲+ q k + ( q - 口q - a - 1 ) k - ：a j , = e f + 籽 引理4 2q 在珥t 的中心中 证明： 只需证明对于生成, l e ，f ，k 士1 ，j 士1 可交换即可对于k 士1 ，j 士1 利用( 2 2 ) 、 ( 2 3 ) 式很容易证明下面我们只验证e q = q e ，对于f 可类似地证明 e f t = e ( f e + q k - ( - q 2 一- g i k 。) - 2 i j t ， = e f e + 趔誓高亭 = e f e + 鼍劳e = ( e f + 繁帮) e = q e 1 4 浙江大学硕士学位论文第4 章中心z ( u r ，) 的w h i t t a k e r 模型 对于珥，t 的中心z ( 珥，t ) ，我们有如下描述： 命题4 3z ( 珥，t ) 是由q ，了士1 生成的t 的子代数 证明： 显然q ，j 士1 z ( 珥，t ) 故由q ，j 土1 生成的子代数c q ，j 士1 包含在z ( 珥芦) 中 因此只需去证明z ( t ) c 即，j + 1 注意到珥，t = o n z ( 珥，t ) n ，其中( 珥，t ) n = s p a n c u 珥，t i k u = q 2 n u k 假设z z ( 以，t ) ，那么z k = k x 因此口( 珥，1 ) o ，其中( 珥，to 由e f k 士1 ，j 士1 生成的由q 的定义，我们知道( 珥，to 也可以由q ，k 士1 ，j 士1 生成因 此z = 南( q ) k ，其中向( q ) 是关于q 的多项式所以 x e = 向( q ) e = 如( q ) 9 2 e k = e x 这使得= 0 ，因此c q ，户1 从而z ( 坼，t ) = c 【q ，j + x 】 4 2z ( 珥，t ) 的w h i t t a k e r 模型 现在我们构造z ( ) 的w h i t t a k e r 模型，下面几节中将要研究珥，t 自0 w h i t t a k e r 模 我们用珥。t ( e ) 标记由e 生成的u r ，t 的子代数；坼，t ( 只k 士1 ，了士1 ) 标记由f k 蛆，j 士1 生成的珥，t 的子代数代数。的一个非奇异特征标如下定义： 定义4 4 如果叩( e ) 0 ，则代数同态 ，7 ：珥，( e ) 一c 叫做珥，t ( e ) q - - 个非奇异特征标 从现在起，我们固定珥t 的一个非奇异特征标，记作叼 定义4 5 设y 是一个珥t - 模，0 v v ，如牡在v 上的作用可通过非奇异特征 标叩来表示，即：e v = n ( e ) v ，那么铷叫做型为7 7 的w h i t t a k e r 向量如果v = 珥，t v ，那 么我们称y 为型为7 7 的w h i t t a k e r 模，并且移叫做型为印的w h i t t a k e r 循环向量 根据坼，t 的定义，显然珥，t 有如下分解： 命题4 6 作为向量空间，坼，t 同构- y u , t ( ek 士1 ，户1 ) o c 珥，t ( e ) ，并且珥，t 是珥，t ( e ) 上的一个自由模 询：以，t ( e ) 一c 的核记作以，蛔( e ) ，我们有下面的关于珥，t ( e ) 和t 的分解 浙江大学硕士学位论文第4 章中心z ( 珥t ) 的w h i t t a k e r 模型 命题4 7 珥，t ( e ) = c g 加( e ) 另外，珥，t 笺巩，t ( f ，k 蛆，户1 ) o 珥，t 珥 t ，叼( e ) 证明：因为 0 一珥，t 卵( e ) q 珥，t ( e ) 三c 一0 是一个分裂正合列，故珥，t ( e ) = co 珥t 叼( e ) 所以我们有 因此 珥，t = 珥，t ( ek 蛆，产1 ) 圆c ( co 珥，t ，7 ( e ) ) 现在我们定义投射： t 笺珥，t ( 只k 士1 ，j 士1 ) o 珥，t 珥，t ，叩( e ) 7 r ：珥，t 一珥，t ( ek 士1 ，户1 ) 对v