（基础数学专业论文）广义bbmburgers方程初边值问题解的渐近行为.pdf

硕t 聿位论交 摘要 本文讨论了如下广义b e a j a m i n b o n a - m a h o n y b u r g e r s 方程( 以下简称为b b m - b u r g e r s 方程) 的初边值问题： i “t + ，( u ) $ = “。+ “。z t ，。r + ，t 0 ， i “毛k 旷钆，崆0 ( i ) 卜圳= k ：三2 其中，( u ) 为定义在r 上的光滑凸函数，u 士为给定的常数在u 一 u + 的假设 条件下，我们讨论了问题( i ) 解的整体存在性及t _ o 。时解的渐近行为即：对于 初边值问题( i ) ，根据，( u 士) 的不同符号，按照文【1 0 】的想法，可将问题分为下列 五种情形： ( 1 ) ，( u 一) f l ( “+ ) 0 ， ( 2 ) ，( u 一) f l ( “+ ) = 0 ， ( 3 ) ，( t 一) 0 ( “+ ) ， ( 4 ) 0 = ，( u 一) ，7 ( t + ) ， ( 5 ) 0 ，( u 一) ，( t + ) 在对初值作适当的限制后，上述五种情形的解均整体存在，且当t - o 。时，对于 情形( 1 ) ，( 2 ) ，s u pf “( 。，f ) 一以( 。) f 一+ 0 ，其中苡( 。) 0 = 1 ，2 ) 为( i ) 的驻波解： i ，( 毋) 。= 札。，z r + ， i 咖( o ) = u 一，西( + 。o ) = u + 对于情形( 4 ) 和( 5 ) ，当t 斗o 。时，s u pf ( 。，t ) 一婵( z ，t ) l _ 0 ，其中妒# ( 。，t ) ( i = 4 ，5 ) z c r + 为u r ( x t ) 在r + 上的限制，且u r ( x t ) 为下面无粘b u r g e r s 方程的r i e m a n n 问题； ft + ，( u k ：0 ， ft l 一，z 0 性波也( 。) 和好( 。，t ) 的叠加即壬3 ( $ ，t ) = 咖2 ( z ) + 镏( 岳，t ) 本文共分为两章： 第一章，介绍广义b b m b u r g e r s 方程初边值问题和相关问题的历史进展，在回 顾前人工作的基础上，叙述了本文的结果，并指出方法的不同之处 第二章，共分为三节讨论了广义b b m b u r g e r s 方程初边值问题解的渐近行为 第一节讨论了情形( 1 ) 和( 2 ) ，第二节讨论了情形( 4 ) 和( 5 ) ，第三节讨论了情形 ( 3 ) ，均得到了解的整体存在性及渐近行为 关键词：广义b b m b u r g e r s 方程，l 2 能量方法，先验估计，驻波解，稀疏波， 渐近行为 硕士学位论文 1 、1f r s j e s l n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e m f o rt h eg e n e r a l i z e db e n j a m i n - b o n a - m a h o n y - b u r g e r se q u a t i o n ( f o rb r e v i t y , w ec a l li tb b m - b u r g e r se q u a t i o nl a t e r ) ， ( i ) w h e r e ( n ) i sas m o o t hc o n v e xf u n c t i o nd e f i n e do nra n du 士a r et w og i v e nc o n s t a n t s u n d e rt h e a s s u m p t i o no f u 一 “+ ，w es t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o r o ft h es o l u t i o na st + o of o r ( i ) i e ，f o rt h ei n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e m ( i ) ，a si n 【1 0 ， t h es i g n so ft h ec h a r a c t e r i s t i cs p e e d s ，( u ) d i v i d et h e a s y m p t o t i cs t a t ei n t of i v ec a s e s ： ( 1 ) ，( t 一) ，7 ( “+ ) 0 ( 2 ) ，( 一) ，7 ( “+ ) = 0 ， ( 3 ) ，( “一) 0 f t ( “+ ) ， ( 4 ) 0 = ，( 一) f l ( “+ ) ， ( 5 ) 0 0 ， t 上( 石j i $ = 。= “一，。o ， ( i ) u c z ，t ，i t ：0 = b 0 ( x ) ：x 。= - + 。0 0 ， 其中，( u ) 为定义在r 上的光滑凸函数，即，”( “) 0 ，“士为给定的常数 方程u t + ，( u ) 。= u 。+ u 称为广义b b m - b u r g e r s 方程，其中b b m 方程 u t + “z = “$ z t 由t b b e n j a m i n ，j l b o n a 和j j m a h o n y 于1 9 7 2 年为描述非线 性弥散系统中的长波的单向传播而提出来的( 见【l 】) 它是用来描述浅水波现象的 k o r t e w e g - d ev r i e s 方程u + u u 。+ u 。= 0 的一个修改较之于k d v 方程，b b m 方 程具有更好的数学性质因此，对这类问题的研究有重要的理论意义和应用价值 各种各样的广义b b m 方程的周期问题，初值问题和初边值问题都有许多人研究 另外，对于各种各样b b m 方程初值问题解的大时间行为，在某种假设条件下，已 经建立了这些问题解的工2 和三0 0 模的衰减估计( 见参考文献 1 2 ，1 3 ，1 4 ，2 9 ) 下面回顾一下前人在这个问题及相关问题上所作的工作情况 关于b u r g e r s 方程的c a u c h y 问题和初边值问题的研究，已经有了如下的一些结 果： i i i n 和o l e i n i k 5 首先在1 9 6 0 年研究了如下粘性b u r g e r s 方程的c a u e h y 问题： ( z ，t ) r r + ， ( 1 1 ) o _ + 士o o 解的大时间行为在文章【5 】中，作者用极值原理证明了问题( 1 1 ) 在t _ + o o 时解 渐近收敛到下面的无粘b u r g e r s 方程的黎曼问题； “t + ，( u ) 。= 0 ， “l 。= 。= u 参( z ) = t 工一。 0 0 牲 p | 舭“ = = b，0 + 毗 “ ，、l 硕士荤位论文 1 、1 1 1 r sl i i f s h n i s h i h a r a 在文【17 也曾用三2 能量方法研究过问题( 1 1 ) ，在u 一 0 ) ：n ， 【t + t 0 ( 1 4 ) z = 0 o _ 0 ( 3 其中i ( u ) 为r 上的光滑凸函数，在“一 u + 的假设条件下得出如下结果 根据特征速度，( u 士) 的符号将渐近状态分为五种情形： ( 1 ) ，( u 一) ，7 ( “+ ) 0 ( 2 ) ，( t 一) ，( “+ ) = 0 ， ( 3 ) ，( “一) 0 ，( “+ ) ， ( 4 ) 0 = ，( u 一) ，( u + ) ， ( 5 ) 0 ，( u 一) ，( “+ ) 对于情形( 1 ) ，( 2 ) ，作者用三2 能量积分的方法证得( 1 4 ) 的解整体存在，且当 t _ c o 时， s u pi u ( z ，t ) 一咖( 。) i _ 0 x e r + 其中咖( z ) 为 的解 妒f。(。咖，)x：2。一cx，x曲。x+。er ，：+ 。+ 2 ( 1 5 ) 一一 ， 0 ， ( 1 1 0 ) it 扛，t ) i k 0 = u o ( x ) ，g r “ 解的l 2 和厶m 模衰减率，并得到了如下结果： 定理1 3 ：设1sn 曼3 ，u o ( x ) l 1n h 2 ，咖( u ) c c a ) 满足条件： l 币( u ) i 曼g i u l 2 ，i ! “币( ，) d ，isc l t 1 3 ，n ：l ，i u i8 m a l l ， j o i 咖( “) lsc l , , i ，i ( r ) d r isc l , , 1 2 ，n = 2 ，3 ，i t is m a l l ， 忡) i g m i 上州d r i e “，n = 2 ，j u l l a r g e ， i ( u ) i e i u f 2 ，i ，“( r ) d r i c l u l 3 ，n ：3 ，卜lf 口r 9 e ， j o 4 硕士学位论文 、1 、jr rs j i s i s 那么有如下的衰减估计： l i u ( t ) l l 茎c ( i + t ) 一“，4 ， 其中c 0 为依赖于a 0 ，u o 和咖的工1 和日2 模的常数 定理1 4 ：令1 n 3 ，“o ( z ) l 1nh 3 ，咖( u ) c 1 ( r ) 满足上述定理中的条 件，那么有下面的衰减估计： ( 1 + t ) , 3 l l u ( t ) l l + ( 1 + t ) ；+ 詈| | k 7 uc t ) l l + ( 1 + 0 1 + 箐| i u c t ) l l + ( 1 + t ) 詈l u ( t ) l l 。c 其中c 0 是一个仅依赖于o 0 ，t o 和曲的l 2 和日3 模的常数 4 h j z h a o 和b j x u a n ( 见【2 9 ) 研究了如下具有耗散项的b b m b u r g e r s 方程 的c a u c h y 问题： ju t + ，( u ) z n u x x t 一卢# + y u x z z = 0 ，茁r ，t 0 ， ( 1 1 1 ) lu ( z ，t ) i b 0 = u o ( o ) 的光滑解的整体存在性和收敛性 其中n o ，p 0 ，y 0 均为常数，u ( z ，t ) = ( “l ( z ，t ) ，“。( 。，班，( u ) = ( 1 1 ( - ) ，a ( u ) ) 1 为向量函数 定理1 5 ：假定u 0 日1 ( r ，r “) ，( u ) c 2 ( 彤，r ”) ，且，( u ) = ( ，l ( u ) ，n ( u ) ) 1 满足o y i o u j = a j j l a t , 。，t ，j = 1 ，2 ，n ，那么c a u c h y 问题( 1 1 1 ) 对任意的o t ，卢，y 存在唯一整体光滑解： u 。，口，1 ( t ，。) g ( 【o ，。o ) ，日1 ( r ，r “) ) n c l ( o ，o o ) ，l 2 ( r ，r “) ) 且对任意的k z ， u 。，口，1 ( t ，。) g ( 【o ，o o ) ，h ( r ，r “) ) nc 1 ( o ，o 。) ，h 一1 ( r ，r “) ) 此外，u 。，p ，7 ( t ，。) 收敛到u ( z ，t ) ，且“( z ，t ) 是m + ，( u ) 。= 0 的一个弱解 据我们所知，以前关于解的大时间行为及衰减估计的研究均集中在u 一 u + 和“一= u + 的情形，关于末端状态不为常数的广义b b m - b u r g e r s 方程，特别是在 u 一 u + 的情形下，解的大时间行为至今为止尚无人研究过，本文采取l 2 能量积 分的方法对问题( i ) 在u 一 u + 的情形下进行了研究，在对初值作适当的限制后， 得到了如下的结果： 5 顶士尊_ _ 王论支 、1 、j 】r 1s jj e s j ， 同文【l o ，对问题( i ) ，将渐近状态分为五种情形，在初值充分小的情况下， 分别得到解的整体存在性和渐近行为即对情形( 1 ) 一( 5 ) ，( i ) 存在整体解，且当 t _ + o o 时， 对于情形( 1 ) ，( 2 ) ，s u pf u ( z ，t ) 一a ( z ) f 一0 ，其中晚( $ ) 0 = 1 ，2 ) 为( i ) 的驻波解， 并且满足( 1 5 ) 对于情形( 4 ) 和( 5 ) ，当t _ o o 时，s u pl u ( x ，t ) 一妒# ( 。，) i 叶0 ，其中1 f i ( z ，t ) “= 4 ，5 ) 为”r ( z ) 在r + 上的限制，“r ( z ) 为( 1 3 ) 所示 对于情形( 3 ) ，当t _ o o 时，s u pi u ( z ，t ) 一弧( z ，t ) i 叶0 ，其中圣3 ( z ，t ) 是非线性 波咖2 ( z ) 和妒乎( 。，t ) 的叠力b p 圣3 ( 。，t ) = 咖2 ( z ) + t f i 擎( z ，t ) ( 详细叙述分别见定理2 1 4 ，定理2 2 2 ，定理2 2 9 和定理2 3 1 ) 记号：本文所采用的数学符号绝大部分是标准的，但为了本篇文章的完整性， 补充几点： 1 在不引起混淆的情况下，我们用c ，c 来表示常数，并且在不同的地方同一个 字母“g “或c 可以表示不同的常数 2 l p ( r ) ( 1 p o 。) 为通常意义下定义在r = ( 一o o ，+ o 。) 上的驴空间，定 义范数 f 刑l ，( 删= ( f ( x ) l 出) ；，1 p 0 ， u ( 。，t ) i 。= 。= u 一，。0 ， ( i ) u c 。，l t ：。= u 。c 。，= ：三： 由于( i ) 的解在。= 0 时有一个边界效应，故根据特征速度，( u 土) 将渐近状态分为 五种情形( 见【1 0 ，2 4 ，2 5 1 ) ： ( 1 ) ，7 ( i t 一) ，( “+ ) 0 ， ( 2 ) ，( i t 一) ，( “+ ) = 0 ， ( 3 ) f ( u 一) 0 ，7 ( “+ ) ， ( 4 ) 0 = ，( i t 一) ，( “+ ) ， ( 5 ) 0 ，( u 一) ，( “+ ) 同时我们还假定 f ( 0 ) = f ( o ) = 0 本章共分为三节第一节对情形( 1 ) ，( 2 ) 进行了讨论，第二节研究了情形( 4 ) ，( 5 ) 最后一节为情形( 3 ) 时的情况 注：在本章中，将l 2 ( r + ) ，h ( r + ) 分别表示为l 2 ，日k ，并且将其范数分别记为 0 ，忆 7 第一节驻波的稳定性 本节，我们考虑情形( 1 ) 和( 2 ) ，即，( u 一) ，( u + ) so 的情形 首先，给出如下引理( 见【l o ，2 4 ，2 5 】) ： 引理2 1 - 1 假设f c 2 ，f 为凸函数，且f ( o ) = ，( o ) = 0 ，当，( u 一) ，( “+ ) 0 ， v ( o ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 2 1 4 ) 口( $ ，0 ) = v o ( x ) ：= u o ( x ) 一曲( z ) 首先定义问题( 2 , 1 4 ) 的解空间为： x ( 0 ，t ) = j 工o 。( 【0 ，t 】；日2 ) n g ( o ，明，h 1 ) ，仇工o 。( 【o ，t 】；工2 ) ，t 三( 0 ，卅，h 1 ) ) 8 硕士学位论支 1 、【f r s1 i l i b 【、 根据证明的需要，首先作先验假设，令 ( t ) = s u pf i | u ( 0 l l ；+ i | ”科( 0 1 1 i ) s 砰，0 曲 0 ，使得l i v o l l + i i 0 。t 旧”， 且当t - o 。时满足： 假设硫；) i 酽i 忑i 百- ，且存在秃夯小常 则问题( 2 1 4 ) 存在唯一整体解u x ( 0 ，o o ) ， s u pl u ( z ，圳_ 0 x e r + 证明：根据命题2 1 2 和命题2 1 3 知，为了证明问题( 2 1 4 ) 存在唯一的整体解 v ( x ，t ) x ( 0 ，。) ，我们仅需验证先验假设( a 1 ) ，即 ( t ) = s u p i i , ( t ) i i ；+ i i t ( t ) 哪j 不0 6 1 1 t 【0 ，卅、 。 成立事实上，在先验假设( a 1 ) 下，我们已经证明了( 2 1 6 ) 若取q 充分小使得 哪譬， 由命题2 1 _ 3 知 i i v ( 圳i ；+ i i 啦( t ) 1 1 - c ( 1 l 圳；+ i i 。1 1 i ) - c 幡譬 这说明先验假设( a 1 ) 是合理的因此我们证明了问题( 2 1 4 ) 存在唯一的整体 解v ( x ，t ) x ( o ，o o ) 为了证明当t _ 0 0 时，s u p i ( ，t ) i _ + 0 ，需要下面的引理： r + 引理2 1 5 若g ( t ) 20 ，9 l 1 ( o ，o o ) 且9 l 1 ( o ，o o ) 那么当t _ o 。时， g ( t ) _ 0 引理的证明能在文【1 7 中找到，为了完整起见，我们给出简单的证明 证明： 因为当t 1 ，t 2 _ o o 时，旧( t 1 】一9 ( t 2 ) f ：ii t 2 9 t ( t ) 疵f - o ，故当t _ o 。 - l 时，g ( t ) _ g o ，其中g o 为某个非负常数又9 l 1 ( o ，。o ) ，所以g o = 0 引理2 1 5 证毕 令g ( t ) = i 忆( 0 1 1 2 ，由( 2 1 6 ) 知9 ( t ) l 1 ( o ，) 且 9 ( t ) = 2 z ， z ) = 一2 ( v t ， ；。) = 2 ( ( ，扣+ ) 一，( 咖) ) 。一 。一 。t ， 。) l 1 ( 0 ，o o ) ， 其中( ，- ) 是l 2 内积因此当t _ + o o 时，0 。( 0 1 i - 0 运用s o b o l e v 不等式可得 当- o o 时， s u pi ( z ，t ) isc l l v ( 0 1 l 钏 。( t ) 肚- - + 0 定理2 1 4 证毕 1 0 硕士学位论文 、1 、x 【l ：r 、1 1 l 五i 、 蕞百我f i 证明命题2 i 3 ：事实上，它可由下面的二系列引理得到 一 引理2 1 6 在命题2 1 3 的假设条件下，我们有； 。 l i ( t ) l l i + ( i i 、；函( r ) 0 2 + l i ”。盯) 1 1 2 ) d t c i i v o 旧 证明：将方程( 2 1 4 ) 两边同乘以v ，并将得到的结果在r + 上关于。积分得 到： ；丢厶+ ( v 2 - - v x 2 ) 如+ 上+ ”( ，扣+ 曲) 一，( 。d x + 厶+ 2 d x = 。 ( 2 1 7 ) 等式( 2 1 7 ) 左端第二项估计如下： v ( f ( v + 咖) 一，( 咖) ) 。d x j r + = 五+ 一( 厂m 陋，”) 。m 删叫沪九咖m ) 如 = ( ，( ”+ 咖) 一，( ) 一，( ) ”) 咖。d x( 2 1 8 ) = ；厶+ ，( 0 1 ) 咖2 出 鲁厶+ 如 其中口l 介于和 + 庐之间，b i = ，蝉j ，”( ) 这样，结合( 2 1 8 ) ，由( 2 17 ) n 一一i 气u 十1 得到： ；丢厶+ ( v 2 + v ：) 如+ 譬厶+ 以v 2 d x + 厶+ ”：如。 ( z 工。) 将( 2 1 9 ) 两边关于时间t 在 0 ，胡上积分得到： m 0 1 1 i + f ( 1 1 、i i 汀) 1 1 2 + l l ”。p ) 1 1 2 ) d t g | | 咖幅 ( 2 1 1 0 ) 引理2 1 6 证毕 引理2 1 7 在命题2 1 3 的假设条件下，我们有： i i v 。( t ) 惦+ i 。( r ) l j 2 一o i v d t c l l v o 1 2 2 0 硕士尊位论文 、1 、l 、r sl i l 5 5 , i 、 证明：将( 2 1 4 ) 两边同乘以( 一”。) ，并将所得结果关于$ 在r + 上积分得t ；丢厶( 2 + ”孙如+ r + v ：xd x = r _ f v 。c x ( ，( ”+ 妒) 一，( 咖) ) 。出( 2 1 1 1 ) 下面来估计( 2 1 u ) 右端： 厶+ ( m + 咖) 一m ) ) 。d x = t k 。，7 ( ”+ ”。d x + 。；( ，7 ( ”- f 咖) 一，( ) ) 。d x j r +j r + = | j 。 如+ t ) 。妇+ | j ”。i e 曲审。 妇。 1 2 1 1 2 ) j 兄+j r + 其中0 2 介于和+ 之间，令 日2 = m a x s u pi ，扣- f 妒) i s u p ，”( ) ) ( 2 1 1 3 ) , j l tu 一一l u + + l 利用引理2 1 1 ，我们有 j r + v x x ( ，扣+ 审) 一，( 币) ) z d x s 厶+ b 2 k 。u z i 如+ 厶+ b 2 k z 如 j d x s 知”一1 2 + z 霹d ( 圳1 2 + j 。厶+ 九”2 如) s 扣u f 2 + g o ”羽) l i 2 + 厶+ 以”2 如 ( 2 1 j 1 4 ) 结合( 2 1 _ 1 4 ) ，( 2 1 1 1 ) 可变为： ；旦d t 厶( 噻+ 如) 如+ 互3k 。如g 9 郇川2 + 厶也”2 如 ( z 工- 5 ) 将( 2 1 1 5 ) 两端关于t 在 o ，司上积分，并利用( 2 1 1 0 ) 得： m t ) 1 l + 纠( t ) 帅r sc 蚓艮 ( 2 1 1 6 ) 引理2 1 7 证毕 引理2 1 8 在命题2 1 3 的假设条件下，我们有： f i v e ( 圳2 + o i i 撕( r ) 1 1 2 打+ o o ( r ) 1 1 2 d r _ c i i 限 1 2 硕士学位论文 1 i l r s1 i i e s i s 一一面主而一蒋一瞳1 西两迈同乘以优，_ 并将所得结果关于。在r + 上积分得： ；丢厶”：出+ f g + v 如+ 上+ ”刍如= 一f n + v t ( f ( ”+ 咖) 一，( ) 。如( 2 1 1 7 ) 下面来估计( 2 1 1 7 ) 右端： 一厶+ 州m + 妒) 一m ) ) 。如 = 一厶吖铷+ 咖) v x d x r v t ( ，( ”+ ) ( 奴出 = 一厶+ 地，( ”+ q 5 ) ”z 如一厶+ 毗，( 蚴札”出 ；i i v t l l 2 + c l l v 。( t ) 1 1 2 + 上+ 灿2 如) ( 2 1 1 8 ) 结合( 2 1 1 8 ) ，( 2 1 1 7 ) 式变为： ；丢厶+ ”：如+ ；厶+ v 。2a z + 厶+ 2 。d x g 上+ ( 2 + 九固d z ( 2 1 1 9 ) 将( 2 1 1 9 ) 两端关于t 在【o ，t 上积分，并利用引理2 1 、l 和( 2 1 1 0 ) 得： o u 。( t ) 1 1 2 + _ 。l ，( r ) 1 1 2 d r + ti i 。，( ，) 1 1 2 d r c l l v o i v d r d r o ；( 2 1 2 0 )0 u 。2 + l ，( r 2 + i i 。，( r 2 0 ；( 2 ) j 0。0 引理2 1 8 证毕 引理2 1 9 在命题2 1 3 的假设条件下，我们有： 0 u “0 ) 惦+ l i v 。，( r ) 1 1 2d t c ( 1 l v o 武旧+ i i v o 旧) j u 证明：将( 2 1 4 ) 两边关于t 求导，并将所得结果两端同乘上( 一”一) ，然后将两 边关于z 在r + 上积分： ；旦d tj r + h 2 t + 吨t ) 如+ 上+ ”州2 如= r v x w t ( f ( 。+ 咖) 一，( ) ) 科如( 2 1 2 1 ) 1 3 硕士掌位论文 1 、i f l l 、lj f s i 、 下面来估计( 2 1 2 1 ) 右端，利用先验假设1 ) ，我们得到： 厶+ 嘶( m + 曲) 一) ) 。如 =r v x x t ( ，( + ”) 。t 一，( 咖) z t ) 如 ；f r + v ：引出+ c 厶+ ( ” + 咙2 2 + 2 ) 如 ；f r + v ：引如+ c 厶+ 2 如+ c 厶+ ” 如+ c 忆i 蛩厶+ ”；如 ；f n + v ：甜如+ c rv 2 t d x + g 厶+ ” 出 ( z 埘) 结合( 2 1 2 2 ) ，( 2 1 2 1 ) 可变为： ；丢五+ ( ”刍+ ”；_ 如+ ；厶+ 谴。如g 上+ 2 如+ g 厶+ ” 如( 。- z 。) 将( 2 1 2 3 ) 两端关于t 在【o ，t 】上积分，并利用( 2 1 2 0 ) 得： i i t ( t ) l l + l l ”。，( r ) 1 1 2d r 墨c ( 1 l v o 。t i i ；+ i l v d l l ) ( 2 1 2 4 ) j 0 引理2 1 9 证毕 将( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 6 ) ，( 2 1 2 0 ) 和( 2 1 2 4 ) 相加就得到了( 2 1 6 ) 命题2 1 3 得证 1 4 第二节稀疏波的稳定性 本节我们讨论情形( 4 ) 和( 5 ) ，即0 ，( u 一) 0 且f ( 1 + 护) 一。却= l ，那么咖= 讪( z ，t ) ：= ， j 0 ( ，7 ) - 1 ( 。，t ) ) i r + 满足： 和 瞄| = 广出肛k 毫她， ( i ) 对任意的( z ，t ) r + 【0 ，。) ，0 = u 一 0 ， l ( o ，t ) = 0 ，t 0 ，( 2 2 2 ) i 【口( z ，0 ) = v o ( x ) ：= u o ( x ) 一妒4 0 ( z ) ，。0 首先，我们定义( 2 2 2 ) 的解空间为： x ( o ，t ) = ”l 三o 。( o ，t 】；日2 ) ne ( 【o ，t ，h 1 ) ，巩l 。( 【o ，t ；工2 ) ， 。t l 。( 【o ，t 】，h 1 ) ) 根据证明的需要，首先我们作先验假设，令 _ ( t ) = 8 竺已， i i v ( 0 1 1 ；+ l l 。( t ) 暗 霹，0 如 1 ， ( a 2 ) 蚝 o ，卅、 j 。 1 6 硕士学位论文 、l t sj j j i 、f 、 则根据s o b o l e v 不等式可知 i ( v ，口。t ) | o 。g 如 定理2 2 2 ( 0 = ，( u 一) 0 ，使得惦+ 。t 峙+ h ( u + ) s ，则问题【2 2 2 ) 存在唯一整体解 u x ( o ，。) ，且当t _ + o 。时满足： s u pl ( o ，t ) i _ 0 ，x e r + 定理2 2 2 的证明可通过局部存在性和先验估计证得( 见第一节) 这里我们只 证明先验估计 命题2 2 3 ( 先验估计) 假设v o ( x ) h 2 ，v o x t ( z ) h 1 ，且v ( x ，t ) x ( o ，t ) 是问 题( 2 2 2 ) 的一个解，其中t 为正常数，则在先验假设( a 2 ) 下，有： 1 1 ”( 0 1 1 ；+ i i 。t ( t ) 幅+ ( 1 l 、；瓦知( r ) i f 2 + i i v 。( 下) 幡+ | 阳。，0 2 ) d r sc ( 1 l v o l l ；+ i i v o 。幛+ ( + ) ) (