（控制理论与控制工程专业论文）非线性滤波中具有非最大秩的有限维估计代数.pdf

f ini t edim e n s i onale s t ima t i o na l g e b r a sw i th no n ma x imair ankinnonlin e arf il t e r s z h a n g h u i - g u a n g s u p e r v i s o r ： p r o f l i uy u n g a n g s c h o o lo fc o n t r o ls c i e n c ea n de n g i n e e r i n g s h a n d o n gu n i v e r s i t y m a y , 2 0 1 0 s u b m i t t e di nt o t a l 札圻l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o i rt h ed e g r e eo fm a s t e r i nc o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科 研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：型金互 日 期：2 盟垒：互：22 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的 印刷件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学 位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：龇导师签名：壶乒型笔卜日 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 3 1 3 2 3 3 目录 绪论 非线性滤波中估计代数结构的研究概述 1 1 1 课题背景和理论意义 1 1 2 国内外研究现状 基本概念和性质 1 2 1 基本概念 1 2 2 基本性质 关键定理 本文的主要工作 低维状态空间中有限维估计代数分类 问题描述 状态空间维数为2 的有限维估计代数 状态空间维数为3 的有限维估计代数 2 3 1 一阶微分算子结构 2 3 2 零阶微分算子结构 小结 任意维状态空间中低维估计代数分类 问题描述 五维以下估计代数 六维估计代数 3 3 1 具有一次多项式的估计代数 ； v m 1 i 1 3 4 4 6 7 8 9 9 加 加加 墙 均 舡 殂 盟 盟 褐 限维估计代数 2 5 3 9 4 1 4 3 4 9 5 1 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n c o n t e n t s 1 1r e s e a r c ho v e r v i e wo nt h es t r u c t u r eo fe s t i m a t i o na l g e b r a s i nn o n l i n e a rf i l t e r s 1 1 1 s u b j e c tb a c k g r o u n da n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e 1 1 2r e s e a r c hs t a t u sa th o m ea n da b r o a d 1 2b a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e s 1 2 1b a s i cc o n c e p t s 1 2 2b a s i cp r o p e r t i e s 1 3 k e yt h e o r e m s 1 4m a i nc o n t e n t c h a p t e ri i c l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a s i nl o wd i m e n s i o n a ls t a t es p a c e 2 1p r o b l e ms t a t e m e n t 2 2t h ef i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a sw i t hs t a t e 1 9 9 s p a c ed i m e n s i o n2 1 0 2 3t h ef i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a sw i t hs t a t e s p a c ed i m e n s i o n3 1 0 2 3 1s t r u c t u r eo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t ho r d e ro n e 1 0 2 3 2s t r u c t u r eo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t ho r d e rz e r o 1 8 2 4b r i e fs u m m a r y 1 9 c h a p t e ri i i c l a s s i f i c a t i o no fl o wd i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a s i na r b i t r a r yd i m e n s i o n a ls t a t es p a c e2 1 3 1p r o b l e ms t a t e m e n t 2 1 3 2e s t i m a t i o na l g e b r a so fd i m e n s i o na tm o s tf i v e 2 2 3 3 s i xd i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a s。2 2 1 1 1 1 1 3 4 4 6 7 8 2 3 2 5 3 9 4 1 4 3 4 9 5 1 摘要 自从m i t t e r 和b r o c k e t t 各自提出估计代数以来，这个概念已经成为研究非 线性滤波理论的一个重要工具，从而对非线性滤波中估计代数结构的研究成为了 一个重要的课题由此产生的估计代数理论能够解释：对于线性系统容易构造清 晰的有限维滤波器，而对于非线性系统却非常困难过去三十年，非线性滤波中估 计代数理论取得了许多重要的理论成果解决了以下问题：最大秩估计代数的分 类、滤波系统状态空间维数等于2 的有限维估计代数分类和五维以下估计代数结 构与已有结论不同之处在于：本文研究对象是具有非最大秩的有限维估计代数 包括状态空间维数等于3 的有限维估计代数结构和六维估计代数结构主要内容 分为以下三个部分： 一、估计代数理论的综述 本部分对非线性滤波中估计代数理论进行了综述，包括估计代数结构课题背 景、理论来源及目前的研究状况解释了估计代数理论的优点：滤波系统中估计 代数有限维性质能够构造出一个清晰结构的有限维滤波器 二、低维状态空间中有限维估计代数分类 本部分介绍了状态空间维数为2 中有限维估计代数的分类，然后针对状态空 间维数为3 的非线性滤波系统，研究了与其对应的具有非最大秩的有限维估计代 数结构先采用比较微分算子的方法，研究了一阶微分算子在估计代数中的结构 最后获得了一些二次多项式不属于有限维估计代数 三、任意维状态空间中低维估计代数分类 本部分针对低维估计代数进行研究首先介绍了五维以下的估计代数分类， 然后研究了六维估计代数，并且得到如下结论：六维估计代数不含有三个线性无 关的一次多项式、不含有一个一次多项式和一个二次多项式在估计代数的二次 秩小于状态空间维数前提下，六维估计代数不含有两个线性无关的二次多项式 最后证明了带有某些条件的六维估计代数不含有某些二次多项式的形式 关键词：非线性滤波；最大秩估计代数；非最大秩估计代数；d u n c a n - m o r t e n s e n - z a k a i 方程：w e i - n o r m a n 方法 a b s t r a c t s i n c ee s t i m a t i o na l g e b r aw a si n t r o d u c e di n d e p e n d e n t l yb ym i t t e ra n db r o c k - e t t ，i th a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o o l t od e a lw i t hq u e s t i o n sc o n c e r n i n gf i n i t e d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rf i l t e r s t h u s ，i nt h en o n l i n e a rf i l t e r s ，r e s e a r c ho nt h es t r u c t u r eo fe s t i m a t i o na l g e b r ab e c o m eav i t a lt o p i c t h et h e o r yo fe s t i m a t i o na l g e b r a c a ne x p l a i n sc o n v i n c i n g l y ：i ti se a s yt of i n df i n i t ed i m e n s i o n a lf i l t e r sf o rl i n e a r s y s t e m sw h i l ei t i sv e r yh a r dt oh a n d l et h en o n l i n e a rf i l t e rp r o b l e m s d u r i n g t h el a s tt h i r t yy e a r s ，t h et h e o r yo fe s t i m a t i o na l g e b r ai nn o n l i n e a rf i l t e r sh a v eo b t a i n e dm a n y i m p o r t a n tt h e o r e t i c a lp r o d u c t i o n s t h ef o l l o w i n gp r o b l e m sh a v eb e e n s o l v e d ：t h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a sw i t hm a x i m a l r a n k ，t h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a sw i t hs t a t es p a c e d i m e n s i o n2a n de s t i m a t i o na l g e b r a so fd i m e n s i o na tm o s tf i v e t h ed i f f e r e n c e f r o mt h ee x i s t e dc o n c l u s i o nl i e si n ：t h i st h e s i si n v e s t i g a t e st h ef i n i t ed i m e n s i o n a l e s t i m a t i o na l g e b r a sw i t h n o n m a x i m a lr a n k i n c l u d i n gt h ef i n i t ed i m e n s i o n a le s t i - m a t i o na l g e b r a sw i t hs t a t ea p a c ed i m e n s i o n3a n dt h es t r u c t u r eo fs i xd i m e n s i o n a l e s t i m a t i o na l g e b r a s t h em a i nc o n t e n t sa r ec o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： ( i ) s u r v e yo ft h ee s t i m a t i o na l g e b r at h e o r y i nt h i sp a r t ，w es u m m a r i z et h ee s t i m a t i o na l g e b r at h e o r yo ft h en o n l i n e a ri l l - t e r ，i n c l u d i n gt h es u b j e c tb a c k g r o u n d ，t h et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dt h er e s e a r c h s t a t u s a n dt h i sp a r te x p l a i n st h ea d v a n t a g eo fe s t i m a t i o na l g e b r at h a tt h ef i n i t e d i m e n s i o n a l i t yo ft h ee s t i m a t i o na l g e b r ag u a r a n t e e st h ee x p l i c i tc o n s t r u c t i o no f t h ef i n i t ed i m e n s i o n a lf i l t e r ( i i ) c l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a s i n l o wd i m e n s i o n a ls t a t es p a c e i nt h i sp a r t ，w ei n t r o d u c ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o n a l g e b r a sw i t h2d i m e n s i o n a ls t a t es p a c e t h e nt h ef i n i t ed i m e n s i o n a le s t i m a t i o n a l g e b r a sw i t hn o n m a x i m a lr a n ka r e s t u d i e di nt h ec a s eo ft h en o n l i n e a rs y s t e m s w i t h3d i m e n s i o n a ls t a t es p a c e v i ac o m p a r i n gt w od i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，t h e s t r u c t u r eo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rw i t ho r d e ro n ei nt h ee s t i m a t i o na l g e b r a si ss t u d - i e d f i n a l l y , w eo b t a i nt h a tt h ef i n i t ee s t i m a t i o na l g e b r a sc a n n o tc o n t a i ns o m e d e g r e et w op o l y n o m i a l s a l s ，c a n n o tc o n t a i nad e g r e eo n ep o l y n o m i a la n dad e g r e et w op o l y n o m i a l w h e n t h eq u a d r a t i cr a n ko fe s t i m a t i o na l g e b r ai sl e s st h a ns t a t es p a c ed i m e n s i o no f f i l t e r i n gs y s t e m ，s i xd i m e n s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a sc a n n o tc o n t a i nt w ol i n e a r l y i n d e p e n d e n td e g r e et w op o l y n o m i a l s ，f i n a l l y , t h er e s u l ti sp r o v e dt h a ts i xd i m e n - s i o n a le s t i m a t i o na l g e b r a sw i t hs o m ec o n d i t i o n sc a n n o tc o n t a i ns o m ed e g r e et w o p o l y n o m i a lf o r m k e y w o r d s ：n o n l i n e a rf i l t e r ；e s t i m a t i o na l g e b r aw i t hm a x i m a lr a n k ；e s t i m a t i o n a l g e b r aw i t hn o n - m a x i m a lr a n k ；d u n c a n - m o r t e n s e n - z a k a ie q u a t i o n ；w e i - n o r m a n a p p r o a c h 第一章绪论 1 1非线性滤波中估计代数结构的研究概述 1 1 1课题背景和理论意义 系统的滤波器设计是控制理论与控制系统工程的一个重要课题自从 k a l m a n 滤波被提出以来，滤波器设计在理论与应用方面都取得了进一步的发展 然而由于这种滤波系统的漂移项和观测项均存在线性化的假设，k a l m a n 滤波的 应用受到了限制非线性滤波器设计问题的研究就显得很有意义然而，由于该 问题本身固有的难度使得非线性滤波器设计变得十分困难为了解决这一难题， 文献 1 ，2 】提出利用估计代数思想来构造有限维非线性滤波器的方法此后，估计 代数逐渐成为研究非线性滤波的一种重要工具 3 4 ，5 ，6 1 利用估计代数去构造非线性滤波器，这种想法来自于用李代数观点去解时变 线性微分方程的w 薛n o r m a n 方法考虑方程 云x ( 亡) = a ( 亡) x ( 亡) = q t ( 亡) a t x ( 亡) ， x ( o ) = x o ， 其d p a i s 是n n 矩阵，a i s 为标量值函数令b 1 ，玩是由a l ， 代数的一组基那么，在t = 0 的一个邻域内，x ( t ) 具有如下形式： x ( t ) = e x p ( b l ( t ) b 1 ) e x p ( b n ( 亡) 玩) 托， ( 1 1 ) ，a m 生成的李 其中玩s 满足仅依赖于a s 产生的李代数和a ；s 的常微分方程 在这篇论文中，所要考虑的滤波系统，是基于如下的连续信号观测模型： ， jd x ( t ) = f ( x ( t ) ) d t + 夕( z ( 亡) ) 咖( 亡) ，x ( o ) = x o ，o 、 id y ( 亡) = h ( x ( t ) ) d t + d w ( t ) ，y ( o ) = 0 ， 其中过程z ，v ，可和w 分别是在舻，册，舻和舻空间上取值u 和叫的元素是相互独 立的，标准的b r o w n i a n 过程此外，f = ( 1 1 ，厶) 和h = ( h 1 ， m ) 被假设 为c 。0 的，夕是一个正交矩阵z ( 亡) ，可( t ) 是系统在t 时刻的状态和观测值 令p ( 亡，z ) 表示给定观测值 可( s ) ：0 8 的状态条件概率密度p ( 亡，z ) 是 由著名 拘d u n c a n m o r t e n s e n - z a k a i ( d m z ) 方程所决定的d m z 方程是一个关 非线性滤波中具有非最大秩的有限维估计代数 于o ( t ，z ) 的随机偏微分方程，其中盯( t ，z ) 是p ( t ，z ) 非标准形式根据s t r a t o n o v i c h 积 分，对于非线性滤波系统( 1 2 ) ，它的d m z 方程可以写如下形式： 打( 亡，z ) = 三以z ) d t + ：i h i a ( 。，z ) d y i ( 亡) ， ( 1 3 ) io ( o ，z ) = a o ， 其中l o = 互1 ：1 碚( 0 2 - e i ：1 五矗- e i = 1 如o i , 。一2 1 罂1 埒a r 0 是初时状态知的概率 密度记d = 蠢一 ，7 7 = ：1 眠o k + 墨1 斤+ 墨1 磅， j v 么l 0 = ( ：1d ；- y ) 把w e i - n o r m a n 方法利用到解决非线性滤波问题中是相当复杂的首先需要 求解d u n c a n - m o r t e n s e n z a k a i 方程，而方程( 1 3 ) 是一个随机偏微分方程，直接求 解这个方程是异常困难的通过研究d m z 方程的鲁棒形式，能够把这个问题的复 杂性降低到解决一个时变偏微分方程上在f 7 】中，定义了一个非规范密度函数： 专( 亡，z ) = e 印( ：h i ( x ) y i ( t ) ) a ( t ，z ) i = 1 将上式代i k ( 1 3 ) 得： i 掣= l o ( t ，z ) + ：。y i ( t ) l o ，玩腆，z ) + z ：ly i ( t ) y 3 ( t ) l 9 ，h i ，幻舯，z ) ， ( 1 4 ) if ( o ，z ) = 印， 其中_ ，1 是由定义l 所定义的李括号 如果在( 1 4 ) 式中可以采用w e i n o r m a n 方法，那么只要保证f h ( 1 4 ) 式产生的 李代数是有限维的( 也即由定义2 所定义的估计代数是有限维的) ，就能构造出一 个有限维滤波器此类问题，在 7 ，8 中已经给出了大量的结果从而，有限维滤波 器的研究转化到估计代数结构的研究 估计代数理论作为解决关于有限维滤波器问题的一种重要工具由它产生了 许多关于有限维滤波器的新结果【9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 】，并且能够对一般的非线性滤波器的 结构有更深的认识在2 0 世纪8 0 年代早期，对此问题的研究很热这种理论很容 易解释对于线性动态系统为什么容易找到回归滤波，而对于非线性动态系统却很 难目前，运用估计代数这个工具，一些新的滤波器已经发现【7 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 1 利用估计代数理论研究非线性滤波器，最大的优点就是估计代数的有限维 性质能够保证有限维滤波器有一个清晰的结构令人遗憾的是，由于非线性滤波 本身所具有的复杂性，许多问题仍然无法解决，仍旧是开放性问题由于能够采 用w e i - n o r m a n 方法构造滤波器的系统不多，所以对利用估计方法研究非线性滤 波器设计很是艰难 2 山东大学硕士学位论文 直至1 | 1 9 8 3 年召开的国际数学会议上，b r o c k e t t 提议对所有的有限维估计代 数进行分类 1 8 】通过对有限维估计代数分类这个过程，试图找到一些新的具 有实际意义的有限维滤波器，或许能够全面理解非线性滤波系统的结构后 来m i t t e r 和l e v i n e 1 9 各自提出了关于有限维估计代数的猜想： m i t t e r 猜想：如果e 是有限维估计代数，如果是e 中的函数，那么莎是关 于z 1 ，z n 次数至多为一的多项式 l e v i n e 猜想：如果e 是有限维估计代数，那么e 中的微分算子至多是2 阶 的 其中e 是由定义2 所定义的估计代数从而对有限维估计代数的分类也就成 了对m i t t e r 猜想和l e v i n e 猜想的验证 1 1 2国内外研究现状 估计代数这个概念在2 0 世纪8 0 年代初首次被正式提出来以后随后， o c o n e 2 0 给出，如果系统( 1 2 ) 的估计代数是有限维的，那么磁s 的次数是不能大 于2 的多项式在w o n g 2 1 1 中，这个结果得到了进一步的优化，如果，和h 是实解析 函数，且，满足一些增长性条件，那么弼s 是次数不能大于1 的多项式w o n g 2 1 】的 结论显示有限维估计代数具有特殊的结构尤其，它的一组基是由一个含有二阶 微分算子三o ，一些一阶微分算子和一次多项式组成的 w o n g 17 】给出了一个重要的概念：q 矩阵该矩阵第i 行，第歹列的元素被 定义为磐一o _ h 从此，q 矩阵成为了研究滤波系统的估计代数的重要参数 在t a m i s 中，研究了q = 0 的滤波系统另外，如果一个滤波系统的q = 0 ，则称 该系统所对应的估计代数为恰当估计代数，且由p o i n c a r e 弓i 理知，厂是一个梯度 向量场在 8 】和 2 2 1 中，解决了有限维恰当估计代数的分类y a u 7 1 中扩展了对于 恰当维估计代数的结果，给出了当q 是常数矩阵的一些重要结果，并且运用w e i n o r m a n 方法构造了一类有限维回归滤波在系统模型的漂移项厂( z ) 解析，且其一 至三阶偏导数均有界的前提假设下，w o n g 证明了该模型的估计代数是可解的， 且它的观测项九( z ) 的元素是关于z 1 ，z n 的一次多项式 从1 9 9 0 年，y a u 等人开始了对最大秩有限维估计代数研究2 3 最终解决了具 有最大秩的有限维估计代数的分类 目前，对非线性滤波中有限维估计代数的研究大致有三种思路第一种 是最大秩估计代数与非最大秩估计代数：文献2 4 1 提出了最大秩估计代数 的概念，解决了状态空间维数至多为2 的最大秩有限维估计代数分类文 献 2 5 ，2 6 】成功地解决了状态空间维数为3 和4 的最大秩有限维估计代数分类 3 非线性滤波中具有非最大秩的有限维估计代数 文献 7 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 1 解决了所有的最大秩有限维估计代数分类第二 种是状态空间维数为2 与状态空间维数为亿：状态空间维数为2 的非最大秩估计 代数分类已经被w u 和y a u 在文献f 3 4 1 中得到了彻底地解决，而关于状态空间维数 为死的情形，r a s o u l i a n 和y a u 在文献3 5 1 中只给出了部分结果，其它具有非最大秩 的有限维估计代数分类问题至今未得到解决，仍是一个开放性问题第三种是 低维估计代数与高维估计代数：y a u 和r a s o u l i a n 等人给出了估计代数维数至多 为5 的结构 3 6 ，3 7 1 1 2基本概念和性质 1 2 1基本概念 如下定义在本文中经常用到，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 】： 定义1 1 如果x 和y 是微分算子，则x 和y 的李括号 x ，y 】定义为：对于任意 的光滑函数，有 x ，v i e = x ( y 咖) 一y ( x 西) 很显然，由上面定义的李括号满足： ( 1 ) 对任意常数a r ，b r ， a x ，b y 】= a b x ，y 】； ( 2 ) x ，x 】- o ； ( 3 ) 蜀， x 2 ，恐】“x 2 ， x 3 ，x 1 】+ x 3 ， x i ，恐】= 0 这说明对任意微分算子集合，通过如上定义的李括号都可以张成一个代数， 通常称之为李代数 定义1 2 对滤波系统( 1 2 ) ，由微分算子集合 ，h 1 ，h m ) 经李括号生成 的代数称之为估计代数，记作e = ( ，h 1 ，h m l a ，其中= i 1 ：1 为一 ：。五矗一：。如o _ h 。一 墨。碍 定义1 3 针对滤波系统( 1 2 ) 的估计代数e ，如果对任意的t = 1 ，n ，都存 在常数龟，使得盈+ q e ，则称e 为最大秩估计代数；如果仅对一个孙，1 r n ， 不存在常数c r 使得研+ c r e 成立，则称e 为次最大秩估计代数 如果e 是最大秩估计代数，那么很容易计算得出： l o ，+ q 】= d e ， d t ，鼢+ q 】= 1 e 因而，所有次数小于1 的多项式都属于e 定义1 4 针对滤波系统( 1 2 ) ，该系统的q 矩阵被定义为一个n n 矩阵q = ( ) ，其中= 差一筹，v 1 i ，j n 4 山东大学硕士学位论文 定义1 5 如果三( e ) 是e 的子空间，且( e ) 是由e 中所有的一次多项式组成 的那么u ( e ) ：= d i m l ( e ) 是估计代数e 的线性秩 定义1 6 对于e 中的一个给定的函数h ，它的二次项 ( 2 ) = x t a x ，a 是一个对 称矩阵， 的二次秩a ( ) 被定义为矩阵a 的秩而e 的二次秩a ( e ) 是e 中所有二次 多项式函数的最大二次秩，即，a ( e ) = m a x h e e a ( 危) 令汐是微分算子的集合，对于v a u ，则 肚m 莓i ， 挚寿，( l ，n ) e i a ”l 。n 其中，非零函数a i ，i 。c o o ( 舻) ，i a 是a 的有限指标集合厶中的元素都是佗元 的i l ，z n 都是非负的整数( i 1 ，z n ) 的范数是 i ( i 1 ，i n ) i = i l + + i n a 的阶数 o r d a = m a x ( i l ，i n ) i a l ( i l ，“) 1 如果a = 0 的阶数被定义为一u 是基于定义l 形式的李代数 如果i a = b ，且 a i l ，i 。= b i l ，t 。，v ( i l ，i n ) a ， 微分算子a 和b 在u 中是等价的，记巩表示u 的子集，其阶数小于或等于向特殊情 况v o = c ( 舻) 通常情况下，r o o d 表示等价类即，如果y 是u 的一个子集， a = br o o dv 铮a b v 如果a ，b u ，定义 a 以b = a ，a 玄1 b 】， 其中a d o a b = b l ( d 1 1 d 磬) 表示以下微分算子的集合：阶数小于l ( i 1 ，i n ) i 的微分算子； d 1 的阶数小于i 1 的微分算子；d 1 的阶数等y - i 1 ，n d l 的阶数小于z 1 的微分算子； ；d 1 ，d n 一1 项的阶数按顺序依次等于i l ，i n 一1 ，而d n 的阶数小于i n 的微 分算子如果a b ，则有 q d d 磬+ l ( d 1 1 d 挚) 6 d d + l ( d 1 1 d 窘) 5 仃 一 0 ，那么 = 圭妒 ( 2 ) 如果m = 0 ，妒= 0 ，那么( 是一个关于x l + 1 ，z n 的光滑函数 ( 3 ) 如果m 一1 ，那么( = e + 去妒，其中e 是关于变量x l ，z l 的。次或m 次 的齐次多项式，且系数是关于现+ l ，z n 的函数 1 3关键定理 黑塞矩阵非分解定理：记讯是关于z 1 ，的四次齐次多项式日( 仉) 是啦的 黑塞矩阵，即 日( 啦) = 、弛0 2 呐? 7 4 心, 、渤 那么日( 吼) 不能分解为 ( z ) 7 ( z ) ， 其中( z ) = ( 如) 1 i ，j 冬n 是一个反对称矩阵，岛是关于z 1 ，z n 的线性函数除 非? 7 4 和( z ) 是平凡函数，从而日( 叩4 ) = ( z ) 7 ( z ) 可以推出啦= o 和( z ) = 0 7 p 一 l a 其中， 三o = 去( d i + d ；+ d ；一7 7 ) ， d t ：昙一五，江1 7 2 ，23 ， 叼= 妾差+ 善3 辟+ 喜硪 m 被假设为一个正整数，否则e 显然是1 维估计代数q 矩阵也是一个3 3 的反 对称矩阵，其中毗t = 0 ，i = 1 ，2 ，3 以下引理对于问题的研究起着非常重要的作用： 引理2 i 3 2 令e 是一个有限维估计代数，如果 a= 口札h d i l d 窘 r o o du t 一1 i ( i l4 , m ，i n ) i = l 属于e ，其中l o ，d i = 去，i = 1 ，n 那么口死，“s 是关于z 1 ，z n 的多项 式 引理2 2 3 2 1 4 - g ，h c o 。( 形) ，i 1 ，z n , j l ，j n 为非负整数，冬1 i t = r ，警1 j z = s ，r + 8 2 ，如是克氏符号，即如果i j ，则= o ；如果i = j ， 则= 1 那么 g d 1 1 d 2 ， d 1 职】 = 酗9 面o h “ 瓦o g 。) d p 吨l 破栅 m o d 吐 秩的有限维估计代数 引理2 3 【3 2 】如果e 是最大秩有限维估计代数，那么q 是常数矩阵，且在此条 件下，m i t t e r 猜想是成立的 2 2 状态空间维数为2 的有限维估计代数 状态空间维数为2 的有限维估计代数分类已经在文献 3 2 被完全解决： ( 1 )如果估计代数e 的线性秩为o ，则能s 是常数，e = a 或者e = l a ； ( 2 )如果估计代数e 的线性秩为1 ，则磁s 是关于z 次数至多为一次的多项式， 叫1 2 是常数 如果u 1 ，2 = 0 ，那么7 7 是关于z 1 的次数为2 的多项式与关于z 2 的光滑函数的和， e = l a 如果u 1 2 0 ，那么叩是次数为2 的多项式与，e = l a ( 3 )如果估计代数e 的线性秩为2 ，那么e 是最大秩估计代数，q 是常数矩阵， e = l a 2 3状态空间维数为3 的有限维估计代数 2 3 1一阶微分算子结构 定理2 1 如果y = p ( x ) d 2 m o dv o e ，其中p ( z ) 的最高次项系数为非负 数那么p ( z ) 是& - 于- z 1 ，x 2 ，x 3 的次数至多为l 的多项式 证明 根据引理2 1 ，可以知道p ( z ) 是关于x l ，x 2 ，z 3 的多项式不妨设d e 夕p = l ，用p ( 2 ) 表示p ( z ) 中f 次齐次多项式贝j j p ( 。) 具有形式：= o ：ob i j 砰。x 2 一z 3 i m ，其 中玩j s 是常数 记妖= a d 笔。y ，那么 k = a d 匕y = 妻( ：) 妾( ；) 嘉硝。 + 1 。；一r o o d u 七 1 0 当k = f 时，那么 阢 dom 卜3 d 升 扣o d 玩 ；伽 。础 i l m 山东大学硕士学位论文 当k m 一1 1 时 a 4 ；1 y ( f 一1 ) ! ( z 一1 ) ! ( f 一1 ) ! ( ( f t ) 6 l j x 3 + ( t - j + 1 ) b i + 1 j x 2 ) 硝d “d 纩讧1 j = o 0 + 1 ) 6 l + 1 j + l x l 硝d j + 1 d 5 _ 卜1 鼠j 硝。i - 升1 砖扣1 m 。d 阢。 j = o 为证明的需要，我们根据m 中含d 3 ，d 2 ，d 1 的阶数由大n d , 顺序排列系数，可 得序列 b o o ，b l o ，b 1 1 ，b 2 0 ，6 lz l ，现f 不妨设( s 口) 是序列b o o ，b l o ，b 1 1 ，b 2 0 ，6 l l 一1 ，6 “中第一个不为零的元素的下 标，显然8 问题的证明可以分以下几种情况进行： ( 1 ) 当v 2 时 因为s ，所以s 2 把a o 定义为m 一1 ，a 1 定义为m ，a 件1 定义为 4 ，a o ，那 么 a o = ( f 一1 ) ! v b 。口x 1 d ；1 d ；一计1 d 纩5 l - 1 i + ( f 一1 ) ! 最j 硝d + 1 酵一1 + l ( d ；- 8 d ；- v - t - 1 d ；- 1 ) i = oj = o = d o x l 硝_ 明叫+ 1 d 5 8 f 一1 + ( z 一1 ) ! i = o 5 t j = o 鼠j d j l 2 i - + 1 d 纩一1 + l ( d 2 3 - 8 1 d ；- v - i - 1 d ；一1 ) f f b 。j 硝d ；一+ 1 d 5 8 + l ( d 5 - 8 ) j = o l ! b 。口d ；d ；叫+ 1 d 纩8 + l ( d 2 3 - 3 d ；- v + l d ；) d l d ：d ；一口+ 1 d 纩8 + l ( d 5 d ；- v + l d y ) 陋- ，】 d 2 d ；口一2 d ；8 一时1 d ；。一5 + 三( d ；一s d i ( s 一口+ 1 d ； 一2 ) a r + 1 = 【a ，a o 】 = d r + 1 d ：扣一2 ) 佃d + 1 ) o 一计1 d 9 + 1 ) ( 一。) 1 1 瑚 篇筹铷 毛 = = + + 1 2 a a 非线性滤波中具有非最大秩的有限维估计代数 + l ( d i r + 1 h d ，+ 1 s 叫件1 d r 2 + ) 其中d r + 1 = d r d o 0 由上式可知a ，+ 1 阶数为 r ( v 一2 ) + 口+ ( 7 + 1 ) ( s u + 1 ) + ( r + 1 ) ( 1 一s ) = l