（工程力学专业论文）四轮转向汽车的操纵稳定性研究.pdf

中文摘要 四轮转向( 4 w s ) 的含义是指汽车除了通常的前轮转向之外，附加相应的后 轮转向。其主要目的是增强汽车在高速行驶或在侧向风力作用下的操纵稳定性， 改善低速时的操纵轻便性和高速行驶时的转弯半径。国外从7 0 年代末，开始研究 开发四轮转向系统。1 9 8 5 年首次应用四轮转向系统以来，汽车的操纵稳定性的研 究也进入了新的阶段。 本文在系统分析汽车非线性因素的基础上，引入汽车后轮转向对系统的影 响，并增加司机调节模型，建立五自由度的汽车四轮转向非线性模型。该模型由 于考虑较全面，因而更接近于汽车转向的实际情况，具有一定的代表性。 本文运用汽车操纵动力学理论，对四轮转向汽车的操纵稳定性进行了比较系 统的理论分析，充分说明四轮转向汽车在操纵稳定性方面，优于两轮转向汽车。 本文在汽车四轮转向非线性模型的基础上，运用现代非线性动力学稳定性理 论、h o p f f t 子 叉理论对其进行深入研究，对汽车四轮转向操纵稳定性进行了分析， 推导系统h o p f 5 - ) 叉的产生条件，系统的h o p f ，5 - ) 叉范式以及系统周期解稳定性的判 断条件。 本文进行了各种情况下汽车四轮转向、两轮转向系统稳定性的数值模拟，讨 论了不同参数变化对汽车稳定性的影响，补充和验证了汽车四轮转向非线性模型 的理论研究，提供了模拟汽车转向稳定的数值方法，为进一步开展汽车四轮转向 技术奠定了基础。 本文的理论和数值研究方法，以及所讨论的各种轮胎模型、司机模型，为进 步开展四轮转向技术的研究奠定了基础。 关键词：四轮转向；非线性振动；稳定性；h o p f 分叉 a bs t r a c t t h ea u t o m o b il ef o u r - w h e e ls t e e r i n g ( 4 w s ) i sn o r m a lf r o n tw h e e l s t e e r i n g ， b e s i d e s ，r e a rw h e e ls t e e r i n gi si n c l u d e da c c o r d i n g l y t h em a i nt a r g e to fh i g h s p e e d s t a b i l i t y , s i d ew i n dp r o c e s ss t a b i l i t y , l o w s p e e dm a n e u v e r a b i l i t yf l e x i b i l i v ya n d h i g h s p e e dt u r n i n gr a d i f i si si m p r o v e df o r4 w sv e h i c l e s i n c et h el a s ts t a g eo f19 7 0 s ， t h e4 w ss y s t e mh a sb e e n b e g u nt o r e s e a r c ha b r o a d t h er e s e a r c ho fv e h i c l e s o p e r a t i o ns t a b i l i t ye n t e r e di n t oan e wp h a s ea f t e rt h ef i r s tu s eo f 4 w ss y s t e mi n19 8 5 t h i sp a p e rc o n s t r u c t i v e l ym o d e l e dan o n l i n e a rv e h i c l e sf o u r - w h e e l s t e e r i n g m o d e l ，af i v ed e g r e eo ff r e e d o ms y s t e m ，w h i c hi sb a s e do nt h ea n a l y s i so ft h e n o n l i n e a rc h a r a c t e r so fv e h i c l es y s t e ma n di n c l u d e sam o d e lo fd r i v e rr e g u l a t i o na n d t h ee f f e c to fr e a rt i r eo nt h es t e e r i n ga c t i v i t i e s t h i sm o d e li sat y p i c a lm o d e la n di s m o r ep r a c t i c a lt h a na n yo t h e rm o d e l s ，b e c a u s ew et a k ea c c o u n to fm a n yn o n l i n e a r f a c t o r si nt h ev e h i c l es y s t e m t h i sp a p e rs p e a k sv o l u m e sf o r4 w sv e h i c l ei sb e t t e rt h a n2 w sv e h i c l ei n o p e r a t i o ns t a b i l i t y , w h i c hd o e sr e l a t i v e l ys y s t e mt h e o r ya n a l y s i sb yu s i n gs t a b i l i t y t h e o r y t h i sp a p e rt a k e sad e e pr e s e a r c ho nt h en o n l i n e a r4 w sm o d e lb yu s i n gm o d e m n o n l i n e a rd y n a m i c ss t a b i l i t yt h e o r y , h o p fb i f u r c a t i o nt h e o r y t h eo p e r a t i o ns t a b i l i t yo f 4 w sv e h i c l ei sa n a l y z e d t h ec o n d i t i o nl e a d i n gt h eh o p fb i f u r c a t i o na n dt h en o r m a l f o r mo fh o p fb i f u r c a t i o na r ed e d u c e d i ta l s og o ta w a yt oj u d g et h es t a b i l i t yo fp e r i o d s o l u t i o nt ot h em o d e l t h i sp a p e rs i m u l a t e st h e4 w sa n dt h e2 w ss y s t e m sn u m e r i c a l l yu n d e ra l lk i n d s o fc o n d i t i o n s ，d i s c u s s e st h ee f f e c to fd i f f e r e n tp a r a m e t e r so nv e h i c l e s s t a b i l i t y , s u p p l i e sa n dt e s t st h es t u d yt h e o r yo fn o n l i n e a rv e h i c l e sf o u r - w h e e ls t e e r i n gm o d e l ， a p p l i e st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o do fv e h i c l e ss t e e r i n gs t a b i l i t y t h i sp a p e ri sa l s oab a s eo ff u r t h e rr e s e a r c hw o r ko nn o n l i n e a r4 w s ，b e c a u s et h e t h e o r ya n dn u m e r i c a lm e t h o d si ni ta n dm a n yt i r em o d e l ，d r i v e rm o d e la n ds t e e r i n g m o d e li ni t k e y w o r d s ：f o u r - w h e e ls t e e r i n g ；n o n l i n e a rv i b r a t i o n ；s t a b i l i t y ；h o p fb i f u r c a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丕盗盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：f 术干罕签字日期：2 0 0 7 年护月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文拓一：宋干军新魏磁汤 签字日期： 2 0 0 7 年p 月7 日 签字日期 2 0 0 7 年j 月纱日 第1 章绪论 第一章绪论 1 1 汽车四轮转向系统的研究现状 自从1 8 8 5 年德国人卡尔奔茨发明汽车以来，前轮转向一直是汽车转向的主 要方式：驾驶员转动方向盘，通过转向机构带动前轮绕转向节主销转动来实现。 前轮转动后，汽车产生沿着具有一定曲率半径的曲线运动的趋势，质心产生的离 心力通过车轮作用到地面，而地面上产生一个反作用力推动汽车转向。但是， 传统的前轮转向汽车具有低速时转向响应慢，转弯半径大，转向欠灵活；高速时 操纵稳定性差等缺点。为了提高汽车操纵的稳定性、轻便性，使转向时车身摇摆 减小，从而增加舒适性和安全性，国外从7 0 年代末，开始研究开发了四轮转向系 统( f o u r - w h e e ls t e e r i n 旷_ 4 w s ) ，即在前轮转向的基础上，通过动力装置控制后 轮的转向角。 4 w s 作为汽车新技术，目前在各国的应用都不是很广泛。日本虽然在4 w s 的研 究上做了很多的工作，也取得了很大的成果，但是就日本每年生产的千万辆汽车 而言，安装4 w s 的只是很小一部分，仍然不能大规模地使用。其一是4 w s 在很多方 面尚不是很成熟，其二是成本较高。尽管如此，4 w s 技术在改善汽车操纵稳定性 和增强汽车的安全性能上具有很明显的效果。1 9 8 5 年，丰田s o a r e r 汽车根据横向 加速度一车速，采用机一电一液控制的四轮转向系统，马自达( m a z d a ) 公司的四轮 转向系统根据转角l t - 车速，采用机一电一液控制口1 ，大大提高了汽车的操纵稳定 性，世界各大汽车厂家和有关部门纷纷研制四轮转向装置。计算机技术和电 子技术的飞速发展，推动了四轮转向装置的研发进度。 四轮转向装置发展趋势主要表现在以下两方面： 1 、向小型化方向发展。各大汽车公司都力求四轮转向装置向小型化、轻量 化方向发展。如日本本田的前奏曲牌轿车上，前后轮进行电气联动，减少了机械 部件，从而使得四轮转向系统体积减小、重量变轻。 2 、提高行驶状况的控制性能。目前四轮转向装置是在保持车身侧偏角为零 ( 几乎不变) ，根据车速决定前后轮的转向传动比的。但在实际行驶工况中，因环 境( 路面摩擦系数、加速、减速、接地负载的变化) 等因素的影响，车身的侧偏角 不断地发生变化。也就是说，车速的变化对车身侧偏角的影响最大，其次是路面 与轮胎之间的摩擦系数等。为保持车身侧偏角为零，使汽车操纵更稳定、安全， 必须控制最佳转向传动比。 与二轮转向汽车相比，四轮转向汽车有如下优点( 如图1 - 1 所示) ： 第一章绪论 2 w s c 4 w si 高速)4 w si 低速、 图1 一l 前轮转向( 2 骼) 与四轮转向( 4 船) 的比较 c 1 、汽车低速行驶转弯时，转弯半径小，提高了汽车的机动性。 2 、汽车高速行驶转弯时能按照驾驶者的意图迅速改变汽车行驶轨迹，而 车身又不致产生过大的摆动，减少了摆尾产生的可能性，使驾驶者更容易控制汽 车的姿态。 3 、减少了轮胎磨损。 按照汽车四轮转向系统的不同控制方式，主要有以下四种类型心1 ： 微小转角控制：根据汽车横向加速度一车速进行控制； 根据汽车前轮转角一车速进行控制。 大转角控制：根据汽车前轮转角进行控制； 根据汽车转角比一车速进行控制 1 2 汽车四轮转向系统的非线形动力学研究 四轮转向技术的研究已经取得了不少进展，但是至今这项技术还未在商用汽 车上得到广泛的应用。这是因为，现在还没有一个成熟的理论对汽车四轮转向运 动行为进行深刻的阐述，导致在运用现代控制理论进行研究时，控制规则的确定 和控制方法的选择，更多的是依靠经验，而不是根据令人信服的理论依据，尤其 是当考虑到汽车模型中的非线性因素时，汽车模型更加趋于复杂，仅靠经验几乎 无法得到准确结果。 要使网轮转向系统在已有基础上有更进一步的发展，应该综合考虑下面的几 个热点问题： 轮胎的非线性，车辆的多自由度特性及其数学模型。 动态运行中汽车的动力学特性。 轮胎压力、老化程度，车辆载荷，路面，环境的变化( 如侧风) 对运行稳定 第。章绪论 性的影响。 司机对汽车转向调节的方式及其数学模型。 。对于非线性及含有未知动力学特性的汽车模型，研究转向响应快，稳定性 高的控制系统。 近年来国外也加强研究考虑非线性特性的汽车运动和转向模型，由于非线性 系统本身的复杂性，所进行的研究尚不深入，一些有代表性的论文如下： p l u g n e r 和m p l o c h l 陋1 讨论了基于较复杂的四轮转向的客车模型，考虑了在 各种摩擦条件下的综合了径向和横向侧滑特性的轮胎模型，提出了一种对司机转 向调节输入补偿的四轮转向系统，运用了三种控制模式来使汽车沿指定的轨道前 进或避开障碍物，最后模拟了极值情形下的拐角操纵。文章主要从控制的角度探 讨汽车的转向运动，没能从理论上对一系统中的非线性因素进行进一步的研究。 z l i u ，g p a y r e 和r b o u r a s s a 力研究了基于前轮转向并考虑司机调节行为的非 线性前轮转向模型。用分叉方法分析了系统在临界速度附近的稳定性，结果显示 系统发生h o p f 分叉，极限环的稳定性主要依靠于汽车和驾驶员的模型参数：然后 讨论了汽车受外界周期性扰动的情况下的混沌行为，并进行了数值模拟。该研究 由于采用了前轮转向模型，不能反映汽车四轮转向系统后轮在其转向过程中的调 节行为。 m a s a on a g a l 1 等指出大多数4 w s 控制系统均以二自由度线性自行车模型为研 究对象，但事实上系统受到轮胎强非线性性质的影响。文章介绍了一种考虑了汽 车轮胎和悬架非线性特性的4 w s 系统的设计方法；介绍了积分人工神经网络和线 性控制理论，以识别和控制用多刚体运动分析软件a d a m s 构造的汽车非线性模型 ( 轮胎采用m a g i c 公式) 。结果显示非线性模型设计有效的提高了汽车的操纵性和 稳定性。论文主要从建模和数值模拟的角度进行探讨，没有进行更深的理论分析。 由于我国汽车工业起步较晚，国内对四轮转向技术的研究还很少，涉及相关 内容的论文如下： 北京理工大学阳1 探讨了用简单的汽车试验数据来辨识汽车转向运动数学模 型参数的方法。根据这些参数可估算汽车物理参数。该方法在预测汽车性能和改 进汽车设计方面可提供相当的帮助。但该方法的个重要问题是其参数之间关系 实际上都是非线性的，而在该方法中假设为线性的，需要对比试验加以验证。如 误差太大，还得采取修正措施。 北京工业大学叫对由梯形机构和麦弗逊独立悬架构成的汽车转向机构建立 起非线性的空间机构运动学模型。为转向机构的合理设计提供了一种有效的数学 模型，也为验证和评价转向机构提供了数值仿真方法。论文主要从转向机构的空 间非线性角度进行探讨，没有考虑汽车系统本身固有的非线性特性，也未能从整 3 第一章绪论 个汽车系统运动的角度研究转向机构对汽车运动的调节作用。 吉林工业大学n h 5 1 在一系列关于轮胎侧偏特性研究的文章中，阐述了车辆动 力学特性与轮胎力学特性的关系，指出对轮胎构造精确模型及其侧偏特性的研究 对4 w s 的设计与研究有很大的意义。该研究方向主要是论述轮胎建模的方法和所 建模型的合理性，其轮胎模型可作为四轮转向系统研究建模时的参考。 天津大学n 蚴1 运用现代非线性动力学与分岔理论对采用轮胎非线性模型的 汽车悬架运动特性和汽车四轮转向系统非线性动力学特性进行了研究，探讨了 4 w s 系统发生随机h o p f 分岔的参数区域；考虑到汽车转向时的侧偏引起的轮胎刚 度等特性的变化，采用人工神经网络辨识了轮胎非线性m a g i c 公式，并应用主动 控制策略对非线性模型进行了控制，分别设计了离散的p i d 控制器和神经网络控 制器；此外，通过引入混杂( h y b r i d ) 控制思想，结合汽车4 w s 系统的非线性特 性，对4 w s 系统进行了主动控制研究。 以上的国内外研究中，没有涉及到汽车四轮转向非线性模型的构造，也未能 从理论的高度充分论述系统由于引入非线性因素后所导致的行为的改变。所做工 作多数集中于控制策略选择和对线性二自由度转向系统的研究。因此，建立合理 的四轮转向非线性模型，应用现代非线性理论从整体的角度对四轮转向技术进行 充分探讨显得尤为重要。 1 3 论文的工作和内容安排 综上所述，国内外对四轮转向汽车动力学与控制研究已经取得了不少成 果，但由于汽车是一个复杂的多刚体系统，含有诸多线性、非线性因素和不确 定性因素，所以在汽车横向动力学研究中仍有许多工作要做。本文针对目前汽 车操纵稳定性研究领域很少综合考虑线性、非线性和不确定性因素影响的现 状，确立以四轮转向汽车横向动力学特性及控制研究为方向。全面考虑线性、 非线性及不确定性因素对汽车操纵稳定性的影响，展开研究工作。在此基础上 应用控制理论对模型进行了操纵稳定性分析。通过对四轮转向系统模型试验， 获得了令人满意的结果。 4 第_ 章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 2 。1 引言 第二章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 汽车正常行驶时，轮胎的力学特征即轮胎侧偏力与侧偏角的关系近似线性， 操纵稳定性按线性叠加原理得到的结论，经过试验并修正完全可以满足工程实际 应用需要。但是当汽车侧向加速度大于0 4 9 刀r z 2 ，轮胎侧偏角大于5 0 时，侧偏 ，s 力与侧偏角的关系非线性特性明显，按线性替加原理得到的结论与工程实际误差 较大，影响到汽车安全、可靠的行驶，必须予以高度重视，对汽车操纵稳定性更 具实际意义。本章建立了汽车四轮转向系统非线性数学模型基础，为利用现代非 线性动力学理论、分叉理论等研究手段，进一步深入揭示汽车横向动力学行为， 完善汽车四轮转向系统的操纵动力学理论研究奠定了基础。 2 2 汽车四轮转向系统非线性影响因素 2 2 1 汽车运动时的受力分析 建立一个与实际情况接近的汽车动力模型，首先应该分析汽车的运动形式及 在运动中所受到的力。 汽车的运动包括：纵向( s u r g e ) ，横向( s w a y ) 和上下( h e a v e ) 共三个方向的平 动，以及三个方向的转动：横摆( y a w ) 、侧滚( r o l l ) 和俯仰点头( p i t c h ) ，如图2 - 1 所示。其中纵向、上下和俯仰运动和转向操作没有直接关系，而侧倾运动则是伴 随侧向及横摆运动产生的。 汽车运动状态的改变与重力、空气阻力和地面对它的作用力的有关。 空气阻力可分为两个部分：空气静止阻力和风力。前者的产生是由于汽车与 空气的相对运动，该力的等效力在汽车上的作用点称为风压中心。为了确保汽车 的稳定，车身的气动中心应处于汽车质心的后方，其原理与摆稳定的机理相同。 后者的产生则是由于空气的运动，其方向和大小具有一定的随机性 空气阻力： e ：而c , ，, 4 v 2 ( 2 1 ) 2 1 15 岬” 乙d 一一车身空气阻力系数 a 一一车身迎风面积 第_ 二章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 ，一一汽车行驶速度 图2 - 1 汽车的运动 为了降低车身空气阻力系数，要求车身的形状具有良好的流线型。汽车的空 气阻力模型很少见，一般都是在数值计算中引入这种作用，没有这种力的解析表 达式。在现有的横向动力学分析中，主要考虑的是横向阵风的作用。 汽车与地面接触，首先产生压力，又因汽车与地面之间存在相对运动或相对 运动趋势，从而产生摩擦力。为了把握这种摩擦力的本质，通常把地面作用于轮 胎的力分为：静态力、动态力、随机力，分别进行建模。现有的大量研究表明， 轮胎力具有明显的非线性特性，在大转角的情况下对车辆的动力学有显著的影 响。 轮胎力的随机性表现在两个方面：横向力和垂向力。其中垂向力的随机性对 车身铅垂方向运动的影响，已经引起人们的重视，并在汽车悬架系统的设计中考 虑了这一因素。而横向力的随机性在汽车横向力的研究中还考虑得较少。尽管人 们对这种随机性的存在没有异议，但对它产生的机制缺乏了解，以至于无法提出 具有说服力的假设。 显然，所有可能影响轮胎与地而之间的相对运动或相对运动趋势的因素，都 会对摩擦力的大小和方向产生影响。在这些因素中，几何方面有：轮胎与地面的 相对位置，如地面的高低不平：运动方面有：汽车的不同行驶状态，如加速、减速、 起动、刹车、转弯等。还有轮胎气压、轮胎材料等。 6 第_ 章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 所有上述因素中，几何因素的影响最易改变和利用。一方面，人们通过调整轮胎与地面 之间的相对位置，即车轮定位，利用摩擦力来提高汽车的行驶性能。车轮定位包括：主销后 倾( 提高汽车的行驶稳定性) ，车轮前束( 使汽车有更好的保持直线行驶的能力) ，主销内倾及 轮胎外倾( 使汽车转向方便灵活) 。另一方面，司机通过调节转向角，改变地面作用在轮胎上 力的方向，从而实现对汽车姿态的控制。轮胎的力学特征对汽车动力学有如此重要的影响， 所以在汽车四轮转向数学模型的建立过程中，应对轮胎的非线性加以充分地考虑。 2 2 2 轮胎的受力分析和模型选择 力f 2 x 图2 2 轮胎坐标系与地面作用于轮胎的力和力矩 轮胎的受力如图2 2 所示。汽车在行驶的过程中，由于路面的侧向倾斜、侧 向风或曲线行驶等原因，车轮中心沿y 轴方向将作用有侧向力f ，f ，也称侧偏力。 相应地在地面上产生地面反作用力f f 。当车轮有侧向弹性时，即使f ，没达到附 着极限，车轮行驶方向亦将偏离车轮平面的前进方向，这就是车轮的侧偏现象。 在汽车转向的过程中，地面的作用力f ，即为作用于汽车的横向力，是汽车 进行转向运动的驱动力，f ，的大小与侧偏角口有关。 国内外提出的轮胎横向力模型主要有以下几种： a 线性模型 鼻= c , a ， (i=f，厂)(2-2、 在侧偏角较小时，侧偏力与侧偏角可看成线性关系，但当侧偏角超过5 。时， 上述模型就不适用了，现有的研究一般都采用该模型。 7 第二章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 j0 一( c l f a f c 3 f a f j ) 【f = - ( q ，一c 3 ，3 、 ( 2 3 ) _ 2 坠 【e2 2 + _ 2 ( 2 4 ) 厂粕彳乏篓 五= _ 亡l 习+ 矿 2 e ( 川) 2 + ( g 口) 2r卜南 j ，一觚c 觚 3 州。s 编觚 8 第二章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 口 o t m 其中，：轮胎与干燥路面的静摩擦系数，z ：轮胎所受的垂直载荷， 滑力所对应的侧滑角，e m a g icf o r m u l a 公式乜们 弓，= 一ds i n ( ct a n 一( b a i ，) ) 其中 ( 2 - 6 ) ：最大侧 ( 2 - 7 ) 肚面。c = a o d = a l 曙加) + 口2 c ( ，) c ( ，) = m g 矿l r , f b c d ：口3s i n ( a 4t a l l - i ( 略e ( ，r ) ) ) m ：汽车的质量( k g ) ，：汽车前后轮的距离( m ) ，：汽车质心距前轮的距离( m ) z ，：汽车质心距后轮的距离( m ) 在上述模型中，m a g i cf o r m u l a 能够突出反映侧偏力与侧偏角的非线性关系， 虽然形式比较复杂，但是神经网络辨识和控制模型并不需要十分精确的数学模 型，所以从整体建模上考虑，采用m a g i cf o r m u l a 模型可以满足研究需要，在以 后的讨论中，将采用横向力的m a g i cf o r m u l a 公式来建立汽车四轮转向系统的非 线性模型。 2 2 3 司机模型的选择 在四轮转向的系统中，另个需要考虑的重要因素是司机对汽车的控制行 为。从5 0 年代s e g e l 幢鲥发表三自由度汽车转向模型后，汽车动力学研究已取得许 许多多的成果。但由于缺乏对司机控制行为特征的了解，司机对汽车动力学的影 响常常被忽略，导致引用这些成果存在本质的困难。因此，研究者提出不少不同 的司机模型用于汽车一司机闭环系统的研究。司机对汽车运动状态的影响，是通 过施加转向角，改变车轮的侧滑角，从而调节地而作用于轮胎的侧向力来实现的。 然而，要准确地定量描述司机的行为，并非易事。因为司机的行为不仅受客观因 素的影响，如所驾车辆、天气、路面情况等，还受司机自身因素的影响，如经验、 生理状态等。 为更准确的描述汽车的运动，人们相继建立了一些模型来描述司机对汽车运 动方向的调节作用。各种模型的基本思想都可用图2 - 3 来表示： 9 尘碥 口 z m丝嘶 z 3 乞 3 一乙 叫 f f 第二章汽车四轮转向系统的非线性模型的建立 x 图2 - 3 司机转向决策示意图 由上图可看出，在改变路径的过程中，司机不断根据目测结果和对汽车运动 状态的感觉，作出判断并进行调节。基本的几何关系可粗略的表示为： y + l s i n ( 5 u + ( 万，万，”= y a ( 2 - 8 ) 其中，f ( 5 ，万，) 为司机的期望的调节量，不仅可能与汽车当前的状态量有关，还 可能与汽车以前的状态量有关。 在汽车动力学分析中常用的司机模型有： 模型a m ： 万( d = 后 ! 掣一沙。一f ，) 1 5 1 0 同向转向( 后轮与前轮方向相同) 0 ，口7 ( 0 ) 0 ，即当= 鳓时口( ) 徊( ) 横穿虚轴。( h 2 ) a ( t o ) 其余的特征值具有负实部。 1 9 第三章汽车四轮转向系统的非线性理论研究 则当j = ( x ，) 在( ，心) 邻域内对x ，解析时，解的解析表达式为： 比) = 驴t ：o7 州啦兹( - 十耖) 啦) = 喜( 帕鲁， 周期解的稳定性由其范式系数决定。 3 2 5h o p f 分叉范式 ( 3 - 1 4 ) 当系统= - t o 时，系统在平衡点有中心流形，因此可以利用中心流形定理把 门维系统的分叉问题化为二维系统的分叉问题去讨论。考虑由中心流形定理化简 得到的二维h o p f 分叉系统： 戈= 厂( x ，) ，x 6r z , a r( 3 - 15 ) 将其泰勒展开得： 戈= 么( ) x + 五( x ) + 五( x ) + j i ，d j ，x 6r 2 , a r ( 3 - 1 6 ) 舯x = ，d j ( 噼砌) - ( 0 国c 础a + 叫) 印，= ( 三甜五- ( 芸磁乏：褰) 肌，_ ( 篙：臻激薹：篾) 在直角坐标下其规范形为： u = 彳( ) u + g j ( 【，) + g s ( u ) + 办d j ，u r 2 ，r ( 3 - 1 7 ) 其中：u = ( 篡 ；g ( u ) 二( 甜；+ 甜；) ( 乏： ( 茏) 鲫) = ( 砰卅2 ( 乏烈约 在极坐标下的规范形为： j 户= ( d = 口l ，2 + q r 4 ) r + 办d f( 3 18 ) 【台= 缈+ c a + b l r 2 + 如，4 + h a g t 其中a i ，6 l 为： a l = ( 6 2 l t o + 3 a 3 0 ( o + 3 b 0 3 功+ q 2 6 0 一2 6 l l + 2 a 0 2 b 0 2 + a 1 1 + 口1 a ，。一b 2 n6 l l 一2 6 2 0 口2 0 ) ( 8 ) 第三章汽车四轮转向系统的： 线性理论研究 6 l = ( 3 6 , 2 缈一9 a 0 3 国一3 口2 l + 9 6 3 0 一4 坛+ 5 6 0 2 a , l 一1 0 b 0 2 6 2 0 一西+ q l 呸o l o 虼一1 0 + a 0 2 岛l l o 口0 z a 2 0 一配+ 5 6 l l 口2 。一4 a 2 0 ) ( 2 4 w ) ( 3 19 ) c ，d 分别为雅可比矩阵特征值虚部和实部在( o ，鳓) 点的导数。如果a ， 0 ，周期 解是稳定的，如果a 。 0 周期解是发散的。周期解的周期由a 和缈来决定。若d = 0 或a ，= 0 ，分别称为第一、二类退化情况。 3 3 自治i ：l 胜l 弓形下四轮转向系统的h o p f 分叉 现在考虑系统在自治情况下h o p f 分叉行为，则系统中作用于前轮的周期横 向扰动屯( f ) 为o ，作用于前轮的转向角为啦( f ) ，后轮的转向角为七p t ( f ) 。 在直线运动的情形下，起点鼍= ( o ，0 ，0 ，0 ，o ) 显然是这个系统的一个平衡点。 x = f ( x ，7 ) x r 5 ( 3 2 0 ) 为了分析系统的稳定性，将系统对x 在咒附近展开为多元的t a y l o r z 次展 开式为： ， x = 彳( y ) x + g ( x ，) + d i x l 5 ) ( 3 - 2 1 ) 其中彳( 厂) 是非线性函数f ( x ，厂) 在平衡点五附近计算而得的雅可比行列式， g ( x ，厂) 中仅含有三次非线性项置( 因为系统模型的奇函数性质，有 f ( - x ，厂) = _ 厂( x ，7 ) ，该展开中不含偶数次z 的项。 a = 一u + 2 ( - a y + b c i , ) m u 2 ( - a 2c i ，- b 2c l ，) g ( x ，y ) 如后所示： , u 0 1 0 2 l o0 0o ou 0o kk l zz兰号一一一棚一一。碰一哆 第三章汽车四轮转向系统的非线性理论研究 g ( x ，7 ) = a i x ；+ 口2 x ；+ a 3 x ；十q # 屯+ a s x ；x 5 + 口6 而2 + 口7 2 墨+ 五+ 毛2 屯+ 口1 0 x j x 2 x 5 6 l # + 6 2 + 6 3 + 6 4 # t + 6 5 彳屯+ b o x ：x , + 岛毛+ 魄五十6 9 恐+ 6 l 。x ，x 2 x 5 q + c 2 _ 2 j c l o 碣+ 吐 中： 口l ：2 ( c l ：+ c i , + 3 百c 3 + 3 c 一3 , ) ，口，：2 ( 矿c 1 ：- b c i , + 3 a _ c 3 - 3 b 3 c 一3 , ) 1 3 研u 3 2 3 珊u 3 g = 一c l ，e 一3 c 3 ，k ； 呜：2 ( - 3 c 丽3 - 厂3 c 一3 r k p ) ， 所u 2 ( 一3 a 2 c 3 ，一3 b 2 c 3 ，) 0 7 = 二_ 二：一二二， m u n c lr - 6 c , r k 2 p + 6 a c 3r 一6 b c 3r k ： a 9 = = = m u 扛：2 ( a ( c , + 3 c 3 ：) + j b ( - - c l , - 3 c 3 一, ) ) 口4 ：2 ( a c l - b c i l , + 矿3 a c 3 ：- 3 一b c 3 r ) 脚u ：2 ( a 2 c , y + b 2 _ c j r 历+ 3 广a 2 c 3 f + 3 b 一2 c 3 , ) 吼= 丛垡掣 口l 。：2 ( - 6 a c 3 y 历+ 广6 b c 一3 , k r ) 6 2 ：2 ( a ( a c i f + 3 a c 3 f ) + ：b ( b c l r + 3 b 3 c 3 r 一) ) ， 3 1 ，u 6 4 = 塑坠鼍笋蔓业， 6 6 = 塑坠掣， 氏：! ! 刍至鱼! 皇! 二鱼：笠二鱼鱼：笠! ， 。 i u 岛= 垫坐岩攀， 6 3 = 亟专等盟 玩= 2 ( - 3 a c 可3 y + r 3 b c 3 r k p ) 6 7 = 2 ( - 3 a 3 c 巧3 ：+ 厂3 b a c 3 r k p ) b 。= 2 ( - - - 6 a 2 c 可3 f - 厂6 b 一2 c 3 r k p ) c i 一一6 c 22 - i d - 一面d 2 一丽 对于么( 7 ) 的特征多项式： d e t ( a , i - a ) = 0 设a ( r ) 的多项式至少有一对复根口移并有如下形式： ( 名2 + 毛名+ 如) ( 名3 + 屯咒2 + 屯名2 + 如) = o 将上述两式展开并比较各项系数可求得k l ，颤。 ，其 ( 3 - 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) 第三章汽车四轮转向系统的非线性理论研究 取口一鲁，存心一等 则系统在口= o ，口7 o ，七? 一4 k 2 0 时，系统的周期解是稳定的； 2 当a o 时，s 总为正，为不足转向，s 的大小随车速1 3 的增加而减少，系统稳 定。 k o 时，为过多转向，响应随车速的增加而增加。当超过临界车速u f ，时， 响应趋向无穷。临界车速由下式给出： 旷任：i m2 c 焉 ( 4 - 2 5 ) 实际驾驶汽车的感觉是车辆转弯过度，超出了预期的转角，驾驶员不得不减 少转向盘的输入，以保证车辆沿着期望的路径行驶，否则车辆面临失稳发生急转， 引起侧滑而翻车。 、 啊弗厦 瑚过誊钟 b 0 中性靖由 7 1 二 、 l 竺哆9 7 啪不足艟l i i 瑚过毒砖_ l 7 图4 一l不同k 值情况下稳态转向曲率和车速的关系 第四章比例控制4 w s 汽车的操纵稳定性分析 上述三种情况如图4 1 所示。 方程( 4 2 2 ) 的解有两种形式，或两个解都为实数，即：五1 一盯l ，五2 = 仃2 ； 或两个解为一对共轭复数，即：五l = 盯+ i m ，a 2 = o - - i r a 。在任何一种情况下，特征 方程解的实部的符号都决定系统的稳定性。若有任何一个盯为正，则系统不稳定； 否则系统稳定。如图4 - 2 所示。 履锢 j 1 1 1 4 - 妇 f 有阻尼固有频率 i ， 阻尼比 i i n ， r 稳定靠稳定 、 名l 一， 工- ， 实轴 名- f 一幻 图4 - 2 特征根与相应的固有频率和阻尼比的关系 4 44 w s 汽车的瞬态响应分析 由车体动力方程( 2 2 5 ) 得h 5 。： z m u2 细盼c l ，“m 口2 c 1 ，+ 6 2 c l ，) h m u2 ( 口c l f - b c l ，) - t 2 c 1 f c l ， r = 一mu2 ( ac 1 f - - bk p c l ，) 占，( ，d 1 后| p ) c l f c l r 万厂 或写为：+ 2 脚。善+ 0 ，= 曰1 古，一b o 万 式中：b 。：生尝 耻等筹竽 2 mu2 ( 口c i f b c n ，) 一1 c l f c l 7 缈02 ：一 j z mu ，j z ( c l f + c t r 卜m ( a c i f + b2 c t ，) ，= - - _ _ - - - - _ _ _ _ 1 - _ - _ - _ _ _ _ 。_ _ _ 。- 。一 。 2 0 ) 0 1 z mu 给汽车一阶跃角输入口引： 万厂= 1 6 0 , 。t ， 0 时，与前轮转向汽车相比，横摆速度增长较慢， 汽车响应时问较长，过摆量减少，有利于汽车高速行驶。上述结论对于进一步研 制4 w s 汽车具有重要的参考价值。 3 2 第五章汽车四轮转向系统的数值研究 5 1 引言 第五章汽车四轮转向系统的数值研究 在本章中，将采用r u n g e - k u t t a 法讨论四轮转向非线性模型数值解求解方法 和结果，通过模型中参数值的改变，研究模型参数对转向稳定性的影响，并确定 四轮转向系统的数值稳定范围。通过对比数值解与理论分析的结果，可以验证该 模型的正确性，并且为设计汽车的转向系参数提供了有效的依据。在本章的后半 部分，采用数值方法研究了四轮转向系统自治情况下稳定性与分叉参数u 之间的 关系，对不同的分叉参数u ，得到渐进稳定与稳定两种状态。在本章中，将采用 r u n g e k u t t a 法讨论四轮转向非线性模型数值解求解方法和结果，通过模型中参 数值的改变，研究模型参数对转向稳定性的影响，并确定四轮转向系统的数值稳 定范围。通过对比数值解与理论分析的结果，可以验证该模型的正确性，并且为 设计汽车的转向系参数提供了有效的依据。在本章的后半部分，采用数值方法研 究了四轮转向系统自治情况下稳定性与分叉参数u 之间的关系，对不同的分叉参 数u ，得到渐进稳定与稳定两种状态。 5 2 常微分方程的数值解法 随着电子数字计算机的迅速发展以及各种计算方法的不断完善，数值分析法 已成为各个科学技术领域中普遍应用的重要研究方法。其基本思想是首先通过一 定的方法把连续型定解问题在给定区间的节点上离散化，得到一个差分方程的初 值问题，再由差分方程求得常微分方程的解在节点处的近似值。把连续型问题离 散化的方法有数值微分法、数值积分法和t a y l o r 展开法，r u n g e k u t t a 方法是最 为常用的一种微分方程数值积分方法。r u n g e k u t t a 法计算简单、精确度高，经 典的四阶标准r u n g e k u t t a 法，其计算格式为： 第五章汽车p l q 轮转向系统的数值研究 x = _ + 告( k + 2 如+ 2 憋+ k 4 ) 墨= 厂( f 。，矗) 如= ( + 尝，矗+ 害k ) 墨= 厂( ，。+ 尝，矗+ 尝k ：) k 4 = ( 乙+ 办，+ h k 3 ) 采用r u n g e k u t t a 法利用公式( 2 3 3 ) ，从计算出+ l ，这是一种单步方 法，它在一个步长内分成四级( 对应于四个后值) ，因此是一种单步四级的方法。 数值计算软件m a t l a b 中专门提供了采用r u n g e - k u t t a 方法来求解常微分方程 的函数，如o d e 2 3 ，o d e 4 5 等。本文的数值计算即采用了m a t l a b 内嵌的o d e 4 5 函数。 5 3 四轮转向系统的参数稳定范围 根据第二章所建立的四轮转向非线性数学模型，讨论系统在不受外界激励的 情况下的参数稳定范围。 设系统的数学模型为： x = f ( x ，) x r 5 该模型与第二章所建立的模型相比，不含外激励项国( f ) = q c o s ( t o a t ) 。 现在论述判定系统平衡点附近稳定性的数值方法，显然起点 置= ( 0 ，0 ，0 ，