椭圆的定义及性质ppt课件

思考：,问题：一架救援机从A地出发进行救援任务，之后必须回到B地加油，已知飞机一次最多能飞行500公里，而AB两地相距200公里，问这架飞机能够救援到的区域是怎样的？,1,|PA|+|PB|=500|AB|=200,2,定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离2c叫做椭圆的焦距,椭圆的定义和标准方程,3,求方程的过程:,解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(-c,0),F2(c,o)(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：,|PF1|+|PF2|=2a,这个椭圆的一个标准方程为：,(ab0,a2=b2+c2),4,求方程的过程:,解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(0,-c),F2(0,c)(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：,|PF1|+|PF2|=2a,这个椭圆的标准方程为：,(ab0,a2=b2+c2),5,椭圆的标准方程,6,椭圆的几何性质:(),1.范围:|x|a|y|b椭圆位于直线x=a和直线y=b所围成的矩形区域内2.对称性：关于x轴和y轴对称，也关于原点中心对称,A1,7,椭圆的几何性质:(),A1,A2,A1,B2,B1,3.顶点和长短轴：长轴：A1A2短轴：B1B2顶点：A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)4.离心率：,8,椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离的比为常数(ac0)，求点M的轨迹方程,(这个方程是椭圆的一个标准方程，称这个定点F是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线，比值叫这个椭圆的离心率),9,结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线,F1,10,结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线,与F2对应的准线方程：,与F1对应的准线方程：,11,例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程,椭圆的焦点在y轴上，且a2=2,b2=0.5,c2=1.5椭圆的两条准线方程为,解：由已知有椭圆的标准方程为,12,ex1:椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则椭圆的短轴长为多少？,13,eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一点到左准线的距离为2.5,则P到右焦点的距离是(),(A)8(B)(c)7.5(D)7,椭圆的性质的应用：,14,eg2:椭圆的右焦点为F，设点A,P是椭圆上一动点，求使取得最小值时的P的坐标，并求出这个最小值,15,问题：平面内到两个定点F1，F2的距离的差是定值|PF1|-|PF2|=2a的点P的轨迹是什么？,(1)若这个定值为0，它表示什么？(2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？(3)若这个定值|F1F2|，它表示什么？(4)若这个定值非零且|F1F2|,不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边,19,理想化的问题：一个出租汽车司机想从A地点送一个乘客到达目的地后，然后返回B点的家，已知A、B两点的距离为20公里假设司机送客和返回家都是直线行驶，假设汽车每行驶一公里耗费一元，乘客每乘坐一公里付费二元，请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？,（假设不考虑职业道德）,20,分析：为了把问题简单化，我们先研究司机刚好只收益15元的情形,2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15,（注意:|PA|-|PB|=1515时呢？,22,定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2c。(oa0,则有：,和有公共的焦点，它们的实轴长和虚轴长正好对换和有公共的渐进线，它们的实轴和虚轴正好对换。我们称它们为共轭双曲线,33,例4：请判断以下方程表示什么样的曲线？并指出它们的焦点在哪个坐标轴上。,34,双曲线的渐近线方程练习：,例5.求出下列双曲线的渐近线的方程。,35,与双曲线的渐近线有关的结论：,(1)求双曲线的渐近线方程时，只需将上式右边的1换成0即可(2)双曲线表示任意以为渐近线的双曲线系(k0),36,双曲线的渐近线方程：,37,例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴，有一条渐近线方程为2x+3y=0,并且过定点(2,2)求这个双曲线的方程,.(2,2),38,解法一：如图,双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分，点(2,2)刚好在上部分，故有这条双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为,39,由双曲线的标准方程为知它的渐近线方程为：,40,又已知点(2，2)在双曲线上，则有：,故所求的双曲线的方程为：,41,解2：据题意：双曲线的渐近线方程为：,即,不妨设所求的双曲线的方程为：,将点(2,2)的坐标代入上式：,故所求的双曲线的方程为：,42,证明：双曲线上任一点到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这个定值。,证明：由已知，它的渐近线方程为,它们的标准方程为bxay=0,设(x0,y0)是双曲线上的任意一点，则有：,43,.,.,.p,示意：如图，过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M、N，则有：,M,N,44,问题：|PM|+|PN|有最值吗？何时有，是多少？,.,.,.p,M,N,45,已知双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离为10，则P到双曲线的左准线的距离是多少？,46,回顾:椭圆的焦点半经公式及求法：,(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为aey,(1)设P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为aex,47,分析：如图，过点P向两准线引垂线交两准线于点M、N，根据双曲线的第二定义：,48,同理：,49,同理：当焦点在y轴上时：,|PF1|=a+ey,|PF2|=a-ey,50,如下图提示：你能推出焦点在x轴上的双曲线的焦半经公式吗？,51,若它的焦点在x轴上，则有|PF1|、|PF2|为exa,若它的焦点在y轴上呢？,则有|PF1|、|PF2|为eya,52,双曲线中三角形PF1F2中的边和角,正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系。,53,54,(1)余弦定理：,55,(2)正弦定理：,56,(3)三角形的面积公式：,57,实例1：点P是双曲线上的一点，F1、F2是焦点，,求的面积,58,圆锥曲线的统一定义,平面内到定点的距离和到定直线的距离的比是定值e的点的轨迹是：(1)当01时表示一个双曲线(3)当e=1时表示什么呢？平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线至此，椭圆、双曲线、抛物线的定义就统一起来了，这三种曲线统称为圆锥曲线。,59,平面内到定点的距离和它到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线,抛物线的标准方程：,以后我们约定这个定点到定直线的距离为P,K,讨论：怎样建立坐标系所得方程简单？,60,建系方式一：,以后我们约定这个定点到定直线的距离为P,讨论：怎样建立坐标系所得方程简单？,O,x,y,如图：以过焦点且垂直于准线的直线为x轴，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。则F点的坐标为准线的方程为,61,设点M(x,y)是所求的曲线上的任意一点，过点M作MD垂直直线L交L于点D，则有根据定义有：|MD|=|MF|,.M(x,y),D,它叫抛物线的一种标准方程,它的焦点坐标和准线方程是？,62,抛物线的标准方程有四种：,请分别画出它们的草图，并指出它们的焦点坐标、准线方程,你还记得上式中P的几何含义吗？,63,焦点的坐标为：,准线的方程为,64,焦点的坐标为：,准线的方程为,65,焦点的坐标为：,准线的方程为,66,焦点的坐标为：,准线的方程为,67,例1:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程,68,(2)已知抛物线的标准方程为y=x2,求它的焦点坐标和准线方程,69,例2：探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口的直经为60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置。,.F,O,x,y,A,B,70,抛物线的几何性质：,(1)范围：(一)(二)(三)(四)(2)对称轴及顶点(一)(二)(三)(四)(3)离心率抛物线的离心率恒为1,71,抛物线的焦半径公式:,(一)(二)(三)(四),设M(x,y)是以下抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，则焦半经EF的长度为：,当抛物线的方程为y2=2px时,则|MF|=,当抛物线的方程为y2=-2px时,则|MF|=,当抛物线的方程为x2=2py时,则|MF|=,当抛物线的方程为x2=-2py时,则|MF|=,72,例3：过抛物线y2=2px的焦点F任意作一条直线交抛物线于A、B两点，求证：以A、B为直经的圆和这个抛物线的准线相切。,A,B,M,73,过抛物线y2=2px的焦点F的弦长公式：设直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，则有,.F,O,x,y,A,B,74,特殊情形：当=90，即AB和对称轴垂直时：,|AB|=2|AF|=2p,此时称线段AB为抛物线的通经,75,设直线AB的斜率为k(k0),则直线的点斜式方程为,联立方程：,76,77,还有新的方法：,设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),两式相减得：,78,79,例4：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是x1、x2,纵坐标分别是y1、y2,求证:,分析：当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时。,80,例5：PQ是过抛物线的焦点的一条弦，通过点P和抛物线的顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴,分析：,不妨设抛物线的标准方程为y2=2px,设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为,下面只需证：ym=y2,(x2,y2),而且易知点M的横坐标为,81,设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为,82,又因为点P、O、M在一条直线上，则有：,ym=y2,即MP垂直于这条抛物线的对称轴,83,测试：,(1)求过点A(-2,-4)的抛物线的标准方程,(2)过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6,求|AB|的长。,84,直线和抛物线的交点的个数：,请你讨论一下过点(-1,0)的直线和抛物线y2=6x的交点个数，并得出相应的结论所对应的直线的斜