（基础数学专业论文）基本圈上的hopf代数结构.pdf

摘要 h o p f 代数是群的自然推广，在数学和物理的多个分支有深刻 的应用由于h o p f 代数能够刻画量子空间的对称性，所以也被称 为量子群同群论一样，分类是一个首要的问题本篇硕士学位论 文利用表示论的组合方法，特别是箭图方法来研究h o p f 代数的分 类问题。 本文主要是研究特征零域上，基本圈箭图的h 0 p f 代数结构我 首先确定了有限箭图上路余代数的自同态与自同构的一般形式，然 后考察与路余代数协调的乘法结构，给出构成h o p f 代数的充要条 件这也就完成了基本圈上的h o p f 代数的分类问题 a b s t r a c t h o p fa l g e b r ai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fg r o u p a n dh a sm a n yp r o f 6 u n da p p l i c a t i o n si ns e v e r a l 矗e l d so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s b e c a u s ei tc a nc h a r a c t e r i z et h es y m m e t r yo fq u a n t u ms p a c e ，h o p fa l g e b r ai sa i s o c a l l e dq u a n t u mg r o u p a st h e t h e 。r yo fg r o u p s ，c l a s s i f i c a t i o no fh o p fa l g e b r a si sap r o b l e mo fp r i m a r yi m p o r t a n c e t h i st h e s i sf o c u s e so nt h i sp r o b l e mw i t hah e l p o fc o m b i n a t o r i a lm e t h o d si n r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y ，e s p e c i a l l yt h e q u i v e r - t h e o r e t i cm e t h o d t h i st h e s i sc o n s i d e r sh o p fs t r u c t u r e so nb a s i cc y c l e so v e ra 丘e l do fc h a r a c c e r j s t i cz e r o f i i s t id e t e r m i n et h eg e n e r a 】f o r mo f e n d o m o r p h i s m sa n da u t o n l o r p h i s l n so fp a t hc o a i g e b r a so n6 n i t e q u i v e r s t h e nc o n s i d e rm u l t i p l i c a t i o n st h a tc o m p a t i b l ew i t hp a t h c o a l g e b r a so nb a s i cc y c l e s ，t of i n da ne q u i v a l e n tr e l a t i o nf o rh o p f a l g e b r a so nb a s i cc y c l e s i nt h i s w a y ， i6 n i s ht h ec l a s s i f i c a t i o n p r o b l e mo fh o p fa l g e b r a so nb a s i cc y c l e s 1 1 中国科学技术大学学位学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： z 。c ) 7 年歹月 争日 引言 瑕o p f 代数是一种重要的代数结构，是代数表示论的主要研究对象之一。 它可以应用到其它许多研究方向，如低维拓扑、共形场论等。特别是h o p f 代 数与量子群之间联系的发现，见【d l ，使得不管是从研究方法上，还是从研究 对象上，珏。心代数理论都得到了快速的发展， 在代数表示论中，箭图是一个有力的研究工具。可以在箭图上定义路代 数，见【a r s 】， r 】，路代数是e l e m e n t a r y 的由p g a b r i e l 的定理，有限维 e l e m e n t a r y 代数同构于一个有限箭图上的路代数模去一个a d m i s s i b l e 理想的 商代数。c 赫珏秘m o 躐g o m e r y 将构造路代数的办法对偶过来，得到了路余代 数和对偶g a b r i e l 定理，见f c m l 。从而得到了p o i n t e d 余代数同构于一个路 余代数的大子余代数由此可见路代数的一般性，以及用箭图方法研究代数表 示论的重要意义 基然的，箭图方法也被篇来研究h o p f 代数，箭图豹性震可以反映出辐关 的h o p f 代数的性质。在箭图上构造h o p f 代数有多种方式，参见 c 】， c r l 】， c r 2 】和 g s 】关于这方面的研究，近年来有如下结果c i b i l s 在 c 】中确 定了基本圈的路代数上，按照道路长度分次的所有分次h o p f 代数结构。此 后他与r d s s o 在f c r l l 中砚究了一般路代数上的分次h o p f 代数结构。他们 又在 c r 2 】中，在带r a m i f j c a t i o n 的群上引入了h o p f 箭图的概念，从而给出 了路余代数上所有分次h o p f 代数的分类。2 0 0 唾年，文章f c h y z 】中给出了 m o n o 娥i a l 代数上所有有限维h 0 1 ) f 代数的分类。同年，o y s 乞a e y e n a 和章璞在 f o z 中给出了当q 是s c h u rh o p f 代数时，路余代数惫q g 上分次h o p f 代数 的所有单点子 o p f 代数的分类。章璞又在 z 】中确定了所有局部有限的单点 鞭印f 代数。 以上这些有意义的工 乍使我想到去考虑路余代数上的所有h o p f 代数结 构的分类。这里h o p f 代数不局限于是有限维的，不局限于是分次的。由于基 本圈是构成一般 王o p f 箭图的基础，正如c i b i l s 最先便是在基本圈上研究分次 的h o p f 代数结构，本文考虑基本墨上的h o 代数。 1 中国科学技术大学硕士学位论文 2 本文首先确定了路余代数及其子余代数上皇同态和岛露构的一般表达式， 见定理2 1 ，证明了路余代数的子余代数的自同构的可扩张性，见推论2 。2 然后考察基本圈上h o p f 代数的乘法结构，给出了乘法要满足的条件，见定理 3 1 0 。接着给出了乘法满足这个必要条件时，用此乘法构造h o p f 代数的一种 方式，见弓| 理3 。羔王。从而得到了基本鋈上构造 o 茁代数的充要条件，并且毒 这个条件，便可以得到基本圈上h o p f 代数的分类 本文第一章先回顾一些关于代数、余代数、h o p f 代数以及箭图的定义和 基本性质。第二章通过定理2 ，l 给出了路余代数上鑫同态和毫同构的一般表 达式，然后由定理的推论2 2 指出了其子余代数的自同构的可扩张性。在第三 章，我具体考察了基本圈上i o p f 代数的分类。其中在第一节，我按照道路的 长度，步步推进的证明了一系列引理，自然的得到了定理3 1 0 ，给出了存在 奠o p f 代数的一个必要条件。在第二节，我首先透过雩| 理3 王王，给出了嚣。西 代数的一种具体构造，然后证明了存在h o p f 代数的一个充分条件，最终完成 了定理3 1 2 本文熙是表承一个域，从第三章开始设域特征力零。张量积均指凳上的 张量积 第一章预备知识 1 1 代数与余代数和模与余模 首先回顾代数和余代数的定义： 定义1 1 七一代数( a ，m ，札) 包括三部分，其中a 是一个七一向量空间， m ：ao a a 和乱：七一a 是七一向量空间上的态射，且使得下列交换 图交换 a o a i 圆m a 圆a m l a0a 札o ，矿 惫oa 弋 ao 忌 其中，表示a 的恒等映射。此时m 称为乘法，钆称为单位设( a ，地，u ) 和( b ，u b ) 是两个七一代数若矗一线性映射，：a b 满足下列交 换图 aa m a + i 圆l l b 0 ba i b 则称其为代数同态 b 定义1 2 忌一余代数( c ，) 包括三部分，其中c 是一个七一向量空间， ：c co c 和e ：c 一足是忍一向量空间上的态射，且使得下列交换 图可交换 i l c 圆c o ， c 圆c 3 c 圆c 一嗲 a ， 胸 a llill 0 a 以r+i 弋 汜 刚 0 l卜r coc 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 4 其中，表示c 的恒等映射。此时称为余乘，e 称为余单位设( c ，c ，e c ) 和( d ，d ，e d ) 是两个七一余代数若尼一线性映射夕：c d 满足下列 交换图 l a l c 圆c 。 l 8 l d 圆d c l 一dc 。l d 则称其为余代数同态。 注：以下代数和余代数均分别指惫一代数和七一余代数 与以上定义中的对偶类似，子余代数和商余代数是子代数和商代数的对 偶概念 定义1 3 设( c ，c ，e c ) 是一个余代数。c 的子空间d 如果满足( d ) d d ，则称d 是c 的子余代数。 定义1 4 设( c ，c ，e c ) 是一个余代数。c 的一个子空间j 如果满足( ，) ，oc+co ，和e ( ，) = o ，则称是c 的余理想此时商空间c ，称为 c 的商余代数 显然，子余代数d 和商余代数c ，均是余代数，d 上的余乘和余单位 分别为c 上余乘和余单位在子空间d 上的限制，c ，上的余乘和余单位分 别为c 上余乘和余单位在商空间c 上的诱导 定义1 5 设( c ，c ，c ) 是一个余代数定义1 = ，当礼2 时，归纳定 义n ：c co oc ( 几+ 1 个c 张量) 为n = ( o ，n 一1 ) o n 一1 可以证明，对任意的n 2 ，i = l ，几一1 ，以及m = 0 ，n i ，有 n = ( m ioj n i m ) o n i 定义1 6 余代数c 中的非零元素9 如果满足( 夕) = 9o9 ，则称其为群样 元将c 中群样元的集合记为g ( c ) 由余单位性质知，对于g ( c ) 中任一 元素夕，( 9 ) = 1 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 5 群群元往德具有很好嚣性质。下瑟介绍模鬻余模的概念。 定义1 7 设( a ，m ，u ) 是一个代数。一个发( 右) a 一模是指一个= 元组 ( x ，) ，其中x 是一个向量空间， p 是向量空间上的映射p ：a x 一义 譬：x8a 叫x ，使得 ( 1 ) p ( j 圆弘) 一弘( 掰圆f ) ( 芦露王) 一鼬( 王圆掰) ) 一结合律 ( 岔) “( 乱q ，) ( 肛( ， 扎) ) 是向量空间七0x ( x 圆忽) 到x 的典范同 构 设( x ，矿；，( k 墅) 是焉个左( 右) 焦一模。线往啖蔚，：x y 如果满是 肛( f 圆，) = ，驴( 肛( 厂，) = ，) ，贝 l 称英为左( 右) a 模同态 对璃酶，关予余代数有余模懿巍念 ，定义1 8 设( g ，) 是一个余代数。一个左( 右) e 一余模是指一个兰元组 ( m ，p ) ，其中m 是一个向量空间，p 是向量空间上的映射p ：m gqm p ：嚣一掰e ) ，使器 j ) ( gj ) p 一( f 圆p ) p ( ( j ) 矿一( 歹) 尹) ( 碧) ( o ，) p ( ( ，o ) 尸) 是向量空间m 到忌圆m ( m 圆惫) 的典范同 构。 设( 斟，尹；， ( ，是两个左右o 一余模+ 线挂映射磐：般一知果 满足( ，圆9 ) p 一妇( ( 夕qf ) p = 幻) ，则称其为左( 右) c 一余模同态 势了方便，在表示余乘戳及余摸时，经常使熏s w e e 鑫l 雠符号。 、。 寇义1 9 设( a ，) 是一个余代数。对于任意的c 中元素c ，存在 ，以及 q 1 ，c 娩c ，其中1 i 竹，使得( c ) 一墨1g l c t 2 ，此时可以省略求 和指标为楚记受( ) = e 沈。这就称为s w e e d l e r 符号。类似酶，可以 蒋礼( c ) 记秀e l 岱q 十l 。对于余模，若( 掰，p ) 是一个左( 右) c 一余 模，那么对任意的m m ，记9 ( m ) = m 1 m o ( ( c ) = m o m 1 ) ， 其中m j 。魁，m l ，m l g 。这种简便书写的可行性是由余乘和余模固 骞的籍蛙决定的。 2 0 0 7 年中国科举技术大攀硕士学位论文6 薹。2 双俄数和薹芰茁我数 窳义1 1 0 设线性空间日同时具有代数结构( h ，m ，u ) 和余代数结构( 灯，g ) ， 并雕拦和鞋均簿奢代数穰态，刘称( 日，m ，) 为双代数。设臌和 是簿个双戗薮。爹线柱啖辩歹：嚣一既是代数嚣态，又是余代数霹态，婺 称共为双代数间态。 洼；说掰和嚣均为余我数渊态等徐于说和均为季弋数嗣态。 接下来给融 o p f 代数的定义。 定义l 。1 1 ，设( g ，) 是一个余代数，( a ，m ，乜) 是一个代数对任意的，9 聪爵m e 童；，定义歹争霉醵卷夔歹霉露羚；靖强意酶e e ， ( 卜9 ) ( c ) = m 1 ) ，( c 2 ) 注。泼上关予卷糕瑟定义中艇霆了s 躐e 硅k 符号。可以稽窭卷积是结合魏， 基交卷稂可褥造代数嚣。磷g 蠢) ，车，鬣嚣) 。 定义1 1 2 设甜是一个腻代数。考虑代数( h o m ( h 秽，片a ) ，卑，u g ) 如果线 幢映射s ：胃一器是恒等映射多：嚣畸抒静逆，则称s 为双代数嚣约 a 斌i p 。d e 。联好西代数是含有馘l 蠹薅趣蒋双代数。设箨和雪是髑个蟊9 蟛 代数贝l j 线性映射，：日州廖是h o p f 代数同态，掰糠仅当，怒溉代数餍 态。 滋：h o 避代数露孛薛蠢躐i p 。莲e 是曦一懿，s ：器一拦是螽贰i p 。畦e 誊显霞 渤s ( 1 ) 2 黜危1 s ( 2 ) 一( ， ) 1 对任懑的忍席成立 墨譬是个疆露代数时，冀嚣撵元魏巢合g 嚣) 彩戏一个乘法群，冀黍 法为曩中的乘法掰，单德为锃( 1 ) 。就时露酶本原嚣往往也具有掇好酶性 质。 宠义羔。量3 。设拦是拿耍。珂代数，g 髫) 是其群稃元的巢合如果对于萝；是 g 抒；，2 嚣满足国) 一爹霪鬈茹赶，瓣豁菇涛嚣簿( 露，一本漂 辩日的( 秽，九) 一本原元集合记为b ， ( 尉) 2 0 0 7 年中甏科学技术大学硕士学位论文 ? 1 3 箭图、路代数和路余代数 定义1 1 4 箭图是一个四元组q 一( q o ，q l ，s ，t ) ，其中q o 是顶点的集合， q 1 是箭向的集合，并且对任意一个箭向d q 1 ，s ( p ) ，( p ) q o 分别表 示箭向p 的起点和终点如果集合q o 和q l 都是有限集合，则称箭图q 为 有限箭圈箭图q 中一条非平凡的道路是指一个箭向静序列妒= 尹l 鳓 ( 7 7 2 1 ) ，并且对1 m ，( 胁) = s ( 胁+ 1 ) 其中m 称为道路的长度 用图表示为； ! ! ，璺，墅，。 s ( p ) 一s ( p 1 ) 和( p ) 一亡( p m ) 分别表示p 的起点和终点对于每个顶点i q o ，用e 表示从i 出发到i 终止的长度为零的的道路，称为一个平凡道路 非平凡道路和平凡道路一起组成了箭图的所有道路。对任意的道路z ，用f ( o ) 表示道路z 酶长度。特另，l 地，长度为珏的基本豳是指包含瓣个顶点和豫个 首尾相接的箭向的箭阑。用图表示为 p 2 | 口3 、 ，j n 二 对于箭图q ，用忌q 表示以q 中所有道路为基的线性空间， q n ，惫q n 和后q 他分别表示以q 中所有长度等于仡，长度小于等于n 和长度小于n 的 道路为基生成的走q 的子空闻。在箭圈上可以逸然定义路代数和路余代数如 下 定义1 1 5 设q 是一个有限箭图在岛q 中定义乘法m 为，对任意的道路 = 纯l 触。和芗一珊l 鳓l ， 矿c z ，垒 苦z l p 聋”l 矿”l 矿”1 ：萎祟窑安。s ( 鳓1 ) 时 然后线性张成在整个线性空阀匙q 上的定义。定义嚣( 惫) = 惫i 醌岛。剐 奄q 8 = ( 惫q ，埘，u ) 是代数，称为箭图q 上的路代数 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 8 定义1 - 1 6 设q 是一个箭图在七q 中定义余乘为，对任意的道路z = p n p z m ， z m 一1 ( z ) 全e 。( 肛。) z + 芝二p z ，p z ，。p 戥+ 。j d z 。+ z e ( 如。) t = 1 然后线性张成在整个线性空间后q 上的定义。特别地，( e ) = e to e i 并且 对任意的道路z ，定义为 ( z ) 全 当2 ( z ) 1 时 ，当z ( z ) = 0 时 再线性张成在整个线性空间七q 上。则尼q 。= ( 尼q ，) 是余代数，称为箭 图q 上的路余代数。余代数昆q 乏n = ( 惫q n ，l k q 。，l 惫q o 时，对忌q c ( 或七q 堇。) 中任意长度大于仇的道路p ，按照p 的长 度顺序，归纳定义 a = 一a 复1 辔，a 孑= o p = p 1 7 ，2 2 ( p 1 ) ，f ( p 2 0 两种情况扩充的参数均满足定理中的条件a 和b 2 任意给定q o 上的映射9 ，各个参数向量和满足定理中条件a 和b 的各个 参数，对于道路p ，定义厂( p ) 等于定理中的( 1 ) 式，并线性扩张得到忌q c ( 或 惫q 呈。) 的线性映射，证明厂是余代数自同态，即验证( 厂o 厂) = ， = 对于任意的平凡道路e t ，其中i ，由于，( 巳) = a ：。e 9 ( i ) = 岛( t ) ， 则( 厂o 厂) ( 白) = e 9 ( i ) e 口( i ) = ，( e i ) ，厂( e i ) = 1 = e ( 对于任意一 条非平凡道路p ，有e ，( p ) = o = ( ，p ) 。现在证明( 厂 ，) ( p ) = ，( p ) ( ，0 ，) ( p ) 等于 f ( p n ) ( p = p n p 6 札= 0p 。= p 0 ：d 1 p ，。+ l f ( p 1 ) ，f ( p ”0 a 絮。a ； ；! ：= ，1 n 库。西( s ( ) 1 9 ( t ( 州) ) 。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 3 ( q 1 ) ，f ( q 。) 0 ao ( 口o ) 入3 ( q t ，+ 1 ) 一q 0一+ 1 u ，u o p = p o p i - p u p 7 q 1 - q 1 j q 。+ l 1 + f ( p ) f ( p 1 ) ，。f ( p 。) ，“q 1 ) ，一，z ( q ，) 0 风。西( 。( q 。) ) ，9 ( ( q f ) ) ) a 留。入；翳1 ( a ；黯1 a 挚) p 2 p u + 1 q 0 ( n 廓。西( s ( p m 9 ( 却) ) ) 圆( n 风西( s ( 叮f ) ) 从如f ) ) ) f = 1 下面证明对任意的道路p ， f ， a 掣入寥2 = p = p l p 2l z = 1 当f ( p ) = o 当f ( p ) o ( 2 ) 当f ( p ) = o 时，上式显然成立。当f ( p ) = 1 时，上式左边等于入：黑) 入笋p + a ；p a ：黑) = a 多p a ：黑) + 入娶之) 入；p = o ，所以f ( p ) = 1 时也成立假设当 f ( p ) ( ) p 2 2 p 2 l p 2 2 f ( f p 2 2 ) 0 = a a 絮，一( 入船入紧2 ) 入 p = p l p 2p 1 = p 1 1 p 1 2 f ( p 2 ) 0 a ；( p ) a 絮，一入 因此( 2 ) 式成立所以 ( ，。，) ( p ) = u 0p = p o p l。：p “q 1 q ”g 十l “+ 0 主j ( p ) f ( 2 ) 1 ) ，一，f ( p t 。) ，i ( q 1 ) ，f ( q ”) o “ ( n l = 1 ( 由归纳假设) a 磐。a 恕，1 西。西( 咖f ) ) 引咖m ) ( 应q l 画( 啪f ) ) 引t ( q 1 ) ) ) f = 1 可见( ，0 厂) ( p ) = 厂( p ) 。因此，线性映射，满足( 厂圆，) = 厂， e 厂= e ，即厂是余代数自同态。 n m 咿舻 伽 l 0 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 4 3 诞霸对路余代数意q e ( 或其子余代数惫q g 摊) 的任一窭同态毳，存在q o 上 的映射夕，各个参数向量和满足定理中条件a 和b 的各个参数，使得对凳q c ( 或尼q 呈n ) 中的任意道路_ p ， ( p ) 可以用( 1 ) 式表示 爱予矗是余代数宣尾态，将群样元映成群样元，所以危b 是集会q o 到 自身的映射取磐= 危| o 。，并对任意的顶点l q o 取a 蕊= 圭，其它参数和 参数向量为零，则满足定理中条件a 和b 此时通过( 1 ) 式生成的余代数自 同态记为知，则圳鬼q 。= 如i 惫q o 仍取多= 怒b ，假设存在各个参数向量和满足定理中条俘a 秘8 的各 个参数，使通过( 1 ) 式生成的余代数自同态厶，满足 f 庇q o ) 上的自同态，则a 是自同 中国科举技术大学硕士学位论文 1 5 构当且仅当箩是骗上的双射，并且对 壬意的满足8 ，6 0 的8 ，6 q 8 ， ( o ，6 ) 9 ( 口) ，9 ( 6 ) ) 阶矩阵瓯。可逆。 若9 不是双射，则存在o ，6 q o ，使得曰( n ) = 夕( 6 ) 于是 ( e n ) 一 ( 岛) ， 则毳不是宣同构。又若存在8 ，6 编且貔，6 ) o ，使得矩阵p 磊。不可逆， 受| 存在向量f 一( e l ，e ( 穗，6 ) ，使得f 弘薛。= 0 。于是危( 孑瓦，) 毫老q o 则 不是自同构因此，必簧性得证。下面证明充分性 由于惫q 一奄q oo 竞q l o 是q 。，则可对任意的l z + ，定 义鬼垒藏毳k 识，其中繇：奄q _ 惫酝为投影映射设q 有嚣个顶点，记为 l ，几对任意的i z 十，任取i + 1 个顶点的排列j 1 ，五+ 1 ，其中对任 意的1 2 z + 1 ，1 五札设所有依次经过歹1 ，盛+ 1 的长度为i 的 道路生成的线性空间为霉r + 籼雯| 鬼( 马j 州) 毛；) _ - _ 露钦+ ，) 。令岛p ，夷+ ， 为集合 笑虎q 关囊+ ，其中对l 奄i ，l 氏( 焱，a + 1 ) 中元素按照 f 1 c i 的字典序排列得到的乃r ，的基设玩在基岛”j 川和岛( j ，) 雪( j 川) 下的矩阵为坞p 矗4 ，。则 a 易，办+ ，= 2 。 z ，。，+ ，。s 。，。a h 托， ：耄 雪暑：享 其中( 甄) l s s 静；，矗为矩阵妇如。于是期缡可证当乃，囊+ ，不为零空闻时， 尬p j 川可逆将易r + ，岛9 ( j 州) 分别按照j 1 五十1 的字典序合并 组成线性空间惫q l 上的基b t 和色”则在基b t 和b ，i 下的矩阵为分块 对角矩阵，且对角块均可逆。于是再将最积玩，i 分别按照i 由小到大，合并 组成岛q 上的基廖和b ，烫| 忽在b 和b 下的矩阵为分块下三角方阵，且 对角块均可逆。因此， 在基b 和玩下的矩阵可逆，即 是同构。一 由这个定理和其证明中第一步证明的参数可扩张性，可得下面的推论 这个推论将在下一章的讨论申频繁使用。 推论2 2 设q 是一个有限箭图则对于其路余代数忌q g 的子余代数惫q 呈竹， 其中扎l ，的任意自同构均可扩张成是q c 的自同构 第三章基本圈上的h o p f 代数结构的分类 约定：本章中，设域七的特征为零用z 表示n 个顶点的基本圈用咿表 示尼z 中起点为i 7 ，长度为m 的道路，其中0 t 7 铭和礅 o ：o 。 m q 篙丽 m 叫 佗 m 2 0 0 7 年孛匿科学技术大学硕士学位论文王9 注：定义中使用极限就避免了分母为零的情况当m 口! ( 几一m ) g ! = o 时， 可使用洛必达法则计算极限值。于是当鼋的阶是瘥时，对旌一鼹l 蠢+ 嚣2 秘 m = m l d 十m 2 ，其中o 死2 ，m 2 d ，有 ( n 以一避黜= ( m ：- 1 ) ( 耽： m l m 2 8 命题3 6 关于( 三) 牮，有 a ( 三) 。= 譬船一m ( 三二：) 。+ ( 魏i1 ) q = ( 三二j ) 。+ 鼙m ( 托：王) 。 b 对0 七f + m ， 一n ( + 一跨m i n 阮嘲( 毒m ，) 。( m 二# 础 妒础h h j f m i n 限咖1 。惫岛h ) 譬( m 觚 ：嗡+ 王) 譬 m p 州枷州卅( m 叫娄川，) 。( m i n 赫二) 。 一( 。? ) 牮 将上式左边记为a 骅m ( 七) 证明：通过定义，容易验证a 式成立。现在用a 式来证明b 式。对于b 式，廷 需证明口不是分圆数的情形，当q 是分圆数时，可通过不是分圆数的情形取极 限证明为方便起见，以下用【o ，6 j 表示m i n ( n 1 6 ) ，f o ，们表示m a x ( b ，6 ) 当蠢= 0 或者竞= l + 礅时，无需 歪臻。当0 走 l 璐时，有 a 器m ( 忌) 趔胁叫州p 叫( 赫) 。+ ( 。是篇王) 川：搿) 譬 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 删f + 一j - 1 ) ( m j - 1 ) ，p 用j - 1 ( 。七篇h + ( 。尼篇2 ) 口 ，( ，l 二耕1 ) 。 - l 一 删吨0 1 + 1 ) ( f o 川 + 1 ) q ( 0 肛f + ”( n 矗+ 1 ) 。+ ( 心一f ) 口 “2 篇一1 ) q 妒印啪- f 1 妒卅( ，娄一小( n 高埘( u 搬岛) 口 圳 f + 一j + 1 ) 【咖1 ( & ：) 。( f 未嗡) 。 + q u ，f + m 一刚( 睛m 卜”( 。七i 1 ) 。 口u ，l + m 吐1 ( ：三i 畜) 。+ ( ，”：二z 面；1 ) 口 p 咄0 1 + u ( 。+ 2 蹴一，) q + ( u2 锄) 口 妒卸1 啪卅h 高一1 ) 。( 。按岛) 口 = g ( 1 “+ m “j + ”【m j ( & j j ) 。( ：二i 高) 。 彬件一”似m j - 1 ) ( 。危篇1 ) 。( 篙嗡：) 口 + 卅m ，0 1 + 1 ) 0 卜叭( 心以( f f ：二筠) 。 妒卸1 f 啪卅h 高一1 ) 。( u 按岛) 。 、 。肛 后q 一+ 一 n g + + 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 1 = q 驻，f + m 一七+ 1 j 睁1 ，m j， 奄一1 、 l 七一l ，叫擘 ，l + m 一七十1 、 弋f m 惫+ l ，o 。f m 惫+ l ，0 1 。 俨m 驯_ 1 ) 1 1 m j 叫，( 旷气篇。) 。1 ( ，l ：筹责u + + 口扣一缸+ l 0 1 _ 。，七一1 一f 1 + ( 阳 = 4 嚣m ( 盘一1 ) 于是对奄归纳便可证明b 。一 等叫) 。( 。；絮l l _ ) 。 利用这些组合符号，引理3 _ l 和引理3 2 可以重述为：路余代数七z 。上的 任意个h o p f 代数在_ 由余代数自同构诱导的h o p f 代数同掏下满足 口卅( 。尊啦p ，其中矿- l ，= 。或l 进一步，可以证明 引理3 7 路余代数七z 。上的舶代数，在由余代数自同构诱导的麒耐代 数同构下满足 爱哆 = 窜缸( 。专1 ) 耳。：；尹 ，当i + m d 时 霄谚= 诅，= 彰? 其中d 是q 的阶，d1n 证明：归纳证明本弓f 理引理3 1 和引理3 2 可以看作本引理的归纳基础假 设当f + m 1 时，有 ( 钾计( 篆) 口话，) - ( 哟( 刃( 纂) 。( 翻 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 6 于是当d = 魏时，蠕镌一靠秘裔蠕一弼+ 1 都是( 螺，? ) 一本原元。从蕊 当d 礼时， 镌 孑一碚塞4 囊委鬻蓁霉蓬羹! 麓一霪l 薹耋程一臣i 霎耋= b 羹薹手 翼一囊i i 攀i 蒸薹一冀磐一雹i 萋善i 篓；一鍪l 冀3 孚鬟一磊鬟一篱l 篓箍羹i j 园i 萋冀藿薹墓一雾薹苎l ； ： ：；薹剐目i 嚣；醚装一豢街芋薹；9 ( z ，。) ， ( f d ) ( 1 ) = l 圆l ( j 矗o ) ( 钟) = 田l ( ，dos ) ( 雕) = 雕 1 ( j do ) ( 例) = 魇 l ( 圆，矗) 函( 钟，风，瑶) ) 一9 ( ( 圆刖) ( 钟) ，( 圆，回( 磁) ，( 圆，d ) ( 席) ) 一量q雪( 卿，罐，露) 同理， ( ，do ) ( 夕( 明，魂，瑶) ) = 9 ( p ，傩，硝) 圆1 所以线性映射( 圆，d ) 和( 埘圆) 满足( 圆j d ) 型j d ! ( ，d ) 3 。是一个双代数，郎乘法和单位均是余代数映射。 显然，单位是余代数映射乘法是余代数映射是说m = ( m m ) ( d o ? j d ) ( ) 和m = 掰( 圆) 成立。由于余乘和余单位正是通过这两个 关系式定义的，因此乘法是余代数映射。 4 s是a n t i p o d e ，即m ( s ，( f ) = u s = m ( ，d s ) 从而是一个 h o 西 x 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 9 于是w i 室磊i ；一i i 薹l l i 菪i 囊l 曩；，蘑蒸笔蕈i ；盼黪瞢转硐委l ；黢蓑耋姜蘑 厨m 戡；磷霪i 还洒足墓萝羹萋；j 霆爨蓠餮掣氢j 眨毳囊霎薹茎蒙萼；：釜 荔蝥囊辇鐾饕。纛落；签要笪鬓糍z i 摹 鏖毫薹篓鋈羹鎏翼霎重薹霉鋈囊羹霎藿萋蒸 嗨一薹鹱垂鋈瑟薹鬻薹鋈蓁簪喜i 雾玛薹垂蓁耍雾：萋囊霉羹藿葡瞄誊护 雾；琴蓊 l ：9 2 戗2 慢2 ：矿话j 此外，由喇哆= 7 7 ( 垅一l 谬)一( 7 翌。) g m 了2 = ( 喇7 2 ) 嘤，知p 乏7 一p ：写，j = 霉一m 乏二，= 黟：霸，一l 。于是遗! 嚣t = 鑫7 d 时，对任意的l 和j ，硅7 = o 。 因此，引理归纳得证。 一 注：当2+ m = d 7 = d 时，无法从p 弩= 越写，j = q m 弘2 三1 = p 甥扣1 得到 p 管= o。正因为如此，这个芍| 理只得到了长度的穰小予d 的道路闻的乘法。 进一步，有如下引理 引理3 。8 路余代数是z 。上的熬耐代数，在由余代数盘问构诱导的叛硝代 数同构下满足 可： 一( 27 ) 譬努 7 严锗 霹矿1 = 谢一鼙q “曾 ，辫f + m d ，豢l = 0 ，m = d 或者= 矗，m = o & j + d ) ，巍2 + 仇= d 并且f ，m o 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 考虑由0 1 ，0 2 ，0 3 ，口4 ，0 5 生成的角g 的理想，其中n l ，n 2 ，n 3 ，q 4 ，n 5 定义为 n 1 = ( 钟) n 一1 a 2 = ( 雕) d 一入( d 一1 ) g ! ( 1 一( p ? ) d ) n 3 = 魂p ? 一g 卢 雕 q 4 = 醴醚一8 曜 j 风础一瑶雕a ( g 一1 ) ( 1 + ( p ? ) d ) 雕一肛( 1 一( p ? ) d + 1 ) ，当n d 一1 雕俐一例雕一入俄肛( 1 一钟)，当n ：d 其中口的阶为d 且din ，a ，肛七。设日为理想，对应的代数七g 的商代 数，并且记日中的乘法和单位分别为m ，u 于是关于h ，有下面的引理 引理3 1 1 g ，e g ，可以分别诱导商代数日上的余乘，余单位和 。佗咖d d es ，使得( 日，m ，扎，s ) 是h d 代数 证明：分4 步证明本引理 1 g ，g ，可以分别诱导商代数日上的线性映射，e 和s 即证明 g ( ，) ，og + go ，g ( ，) = o ，( ，) ， 首先归纳证明下面同余式 g ( ( 秽) 三萎( 观驸叩抄( 驴一，m o a ，。g + g ， 显然，当m = 1 时上式成立假设当 z = f 时上式成立则当m = f + 1 时， 在模，qg + g ，下 g ( ( 雕) 1 ) ( 孙剐 ( 觥刚叫 三妻( 孙彬。舯( 舻删) + 1 q ( 舻1 ( 舻1 ( ：) 。 g i ( 雕) i 。( p ? ) i ( p 3 ) 2 + 1 一i + ( 雕) + 1 ( p ? ) + 1 ( 雕) 2 一】 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文3 l 三龇二 囊冀羹蓁 i ；_ ，! i萋雾；薹鬃i i 冀；? 覃i 謦；! 裂! 纠蓬? | | ! 冀羹鍪甄冀攀矿 雾攀赘； 基p ! ! 鬣l f ! 一薹石i 凹；冀；鋈；芒辇；f ! 雾二麓警奏雾差妻蓁孽攀； 曩辆塞霪囊娄譬曼；釜j 鬟萋墓璧篓萋萋霎：耋羹i 主；一薹：囊i 藿：霉壹。姆骤 奠薹；轳p 霎霾蕈妻薹塑蓁赁 擎薹i 墨，! 一! 垂i ! 壹鐾i 舞! ! 兢霄+ a t ( 曾一戗d + 。) 其中当d 礼时，戤= o 考虑h o p f 代数惫z 。的子余代数七次d + 1 定义余 代数蛊同构五+l ：是兹。 蠢i 叫惫兹。 矗+ l ，使得当! d 时五l k z 曼d f 蠢， 五十l ( 谚“)= 谚，以及对l i 他一l ，五十1 ( 越) 一+ 1 一z l 嘭一天“，y ? 一 诅d + 。) 由推论2 2 ，可将 + 扩张成余代数自同构，：尼z 。一尼z 。赋予 歹( 足伊) 由，诱导的h o p f 代数结构。则在，( 惫z c ) 中，有 钾越= ，( ，。( 霹) ，t ( 辩) ) = 厂( 尹1 + 忿霄+ 太( 7 7 一戗辞，) ) 一霄越 于是书谚“= w碍谣+ 1 = 7 7 1 扩1 = ，7 。搿。类似的，在i 厂( 忌z 。) 中，+ 1 碍一 矿谢是( 接，暖j + d + ，) 一本原元。于是可设 + 1 7 ：= 牮黼+ 虢+ l 碡一l+ 鳓+ l ( 也l一哦d + ：) 其中当d n 时，玑+ 1 = o 对任意的歹，有( ，y ? 碍+ 1 ) = ，y ? ( + 1 7 2 ) ，于 是有箩，芦竞，使碍轨= 秽和地= 弘对任意的i 成立。 如果g = l ，e i l，y ；( 7 ) 扎一7 ；可得彰，弘= o 。否剥，如果g l ，定义 余代数自同构形+ 1 ：七次d + 1 州后壤d + 1 ，使得尼+ 1 l 知牙。= ，d ，并且对任意 的t ，髟+ 1 ( “) = + 1 + 者啊+ 尚( 胡一戗d + ，) 。幽推论2 。2 ，可将咒+ ， 扩张成余代数崮同构，7 ：是z 。_ 蠡矛。赋予，7 ，蠢z 。) 啦，7 ，诱导的h o p f 代 数结构则在，7 厂( 站z 。) 中，谬7 7 h = 搿= q 一7 尹1 钾在g = l 的情形 中，不妨取，7为七z 。上的恒等映射。则在，7 ，( 忍z 。) 中，不管口是否等于l ， 碍7 7 + 1 = 7 搿一g 。7 尹1 酱恒成立。 现在证明最后一种情形；一l ，m = 矗或者l = 蠢，m 一王容易证明 ( 碥耐一弼“) = 韶 ( 1 ，) 苦一础+ 1 ) + ( 碥谣一谣+ 1 ) 1 孙1 弼。私( 7 7傻，) + a ( 霹一胡) 暖 _ 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 3 8 p k jy u a ，d r o z d ，v v k i r i e h e n k o ，f 溯地n 髓e 丑s i o n 划a 培b b r a s ，w i t ha n a p p e n d i xb yv d 1 曲，n a n s j a 堍d 靠a mr u s s i a nb yv d