（控制理论与控制工程专业论文）基于ts模型的非线性时滞系统的分析和设计.pdf

珊i l lirrl il l l lf i i i i i i i i i iii l r litillilt l y 1 9 0 9 2 0 1 d i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt oh a n g z h o ud i a n z iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e r a n a l y s i s a n d d e s i g n f o rt - sm o d e lb a s e d n o n l i n e a r s y s t e m sw i t ht i m e - - d e l a y s c a n d i d a t e ：z h o ul e i s u p e r v i s o r ：p r o f z h o us h a o s h e n g n o v e m b e r ，2 0 1 0 杭州电子科技大学 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过 的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 】乱磊 日期： f 年f 月lz 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解杭州电子科技大学关于保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属杭州电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为杭州电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其 它复制手段保存论文。( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名： i 司磊 日期：b 年1 月iz 日 指导教师签名： 日期：沙降月f 胪 杭州电子科技大学硕士学位论文 摘要 本论文主要研究一类基于t a k a g i - s u g e n o ( t - s ) 模型的非线性时滞系统的稳定性和滤波 器( 及控制器) 的设计问题。研究的主要内容包括以下三个部分： 第一部分：考虑一类基于t - s 模型的非线性中立型时滞系统，研究其p 一指数稳定性和控 制器设计问题。首先，利用时滞分解方法并在积分项中引入指数函数，构造新型李雅普诺 夫一克朗索夫斯基函数，根据这个函数并运用矩阵不等式处理技巧，寻求使系统p 一指数稳 定的充分条件；其次，利用得到的这个条件，设计一个保证系统口一指数稳定的控制器。最 后，给出数值实例，验证所得结果的可行性和有效性。 第二部分：对一类基于t - s 模型的、带有时变时滞的非线性系统，研究其比滤波问题。 在这部分里，时滞要求在一个给定的区间里变化，其变化规律不做限制。对这类系统构造一 个新型的模糊基依赖的滤波器，设计这种滤波器需要的模糊基信息较之非模糊基依赖的滤波 器而言，相对较多，但是所得滤波器的保守性较小。构造这个滤波器的过程是：首先寻求一 个依赖于时滞变化区间上下界的新型李雅普诺夫一克朗索夫斯基函数，对所得滤波误差系统 进行稳定性分析，再利用所得结果结合矩阵处理技巧求出滤波器的参数。数值仿真对构造的 滤波器进行了验证。 第三部分：研究基于t - s 模型的带有随机扰动的时滞系统的稳定性问题和控制器设计 问题。通过时滞分解方法，建立新的二次李雅普诺夫一克朗索夫斯基泛函，结合伊藤微分公 式、等距定理等，寻求判断系统渐近稳定的时滞依赖的充分条件，以线性矩阵不等式的形式 表示，并设计了控制器镇定系统，最后给出了数值例子来验证这种方法的有效性。 关键词：时滞系统，t - s 模型，时滞分解，丑0 滤波器，指数稳定，随机系统 杭州电子科技大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h es t a b i l i t ya n a l y s i s ，f i l t e ra n dc o n t r o l l e rd e s i g np r o b l e m sf o ra c l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y s t h i sk i n do fn o n l i n e a rs y s t e m si sr e p r e s e n t e db y t a k a g i s u g e n o ( t - s ) m o d e lf u z z ys y s t e m s s p e c i f i c a l l y , t h er e s u l tm a i n l yc o n t a i n st h ef o l l o w i n g t h r e ep a r t s ： i nt h ef i r s tp a r t ，t h ef l - e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o np r o b l e m sf o rac l a s so ft - s m o d e lb a s e dn e u t r a ls y s t e m sh a sb e e ni n v e s t i g a t e d t os o l v et h e s ep r o b l e m s ，n e wl y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a lc a n d i d a t e sf o rt h i sc l a s so fs y s t e m sc a nb ec h o s e nb yu s i n gd e l a yd e c o m - p o s i t i o na p p r o a c ha n di n t r o d u c i n gs o m ee x p o n e n t i a lf u n c t i o n si n t oc o r r e s p o n d i n gi n t e g r a n d s j 3 - e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc o n d i t i o n so ft h et - sm o d e lb a s e dn e u t r a ls y s t e m sa r ee s t a b l i s h e db y u s i n gt h el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a la n dam o d i f i c a t i o ni n t e g r a li n e q u a l i t y a nl m i b a s e d s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g ns t r a t e g yf o rt h i sc l a s so fs y s t e m si sp r o p o s e db a s e do no n eo f t h eh - e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc o n d i t i o n s t w on u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s op r o v i d e dt oi l l u s t r a t e t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da p p r o a c h t h es e c o n dp a r tf o c u s e so nf u z z yr u l ed e p e n d e n th f i l t e rd e s i g nf o rd i s c r e t et i m en o n l i n e a r f u z z ys y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y n e wd e l a y - d e p e n d e n tl y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a li s u s e di nw h i c hd i f f e r e n tw e i g h t e dm a t r i c e sa r ec o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n ti n t e r v a l s t h ei n t e r v a l s d e p e n do nt h et i m e - v a r y i n gd e l a ya n di t sl o w e ra n du p p e rb o u n d s b a s e do nt h i sl y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ，s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sg u a r a n t e e i n gs t a b i l i t yo ft h es y s t e ma n d s a t i s f y i n gap r e s c r i b e d 比p e r f o r m a n c el e v e la r ed e r i v e d t or e d u c ec o n s e r v a t i s m ，af u z z yr u l e d e p e n d e n tf i l t e ri sd e s i g n e db yu s i n gt h er e s u l t e dc r i t e r i a n u m e r i c a le x a m p l ei sp r o v i d e dt o i l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s t h et h i r dp a r ti sc o n c e r n e dw i t ht h es t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o np r o b l e m so fs t o c h a s t i cs y s - t e r n sw i t ht i m ed e l a y s b yu s i n ga d e l a yd e c o m p o s i t i o na p p r o a c h ，an o v e ll y a p u n o v - k r a s o v s k i i f u n c t i o n a li sp r o p o s e d c o m b i n i n gw i t ht h ei t 5f o r m u l aa n di s o m e t r yp r o p e r t y , an e wd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i o nf o rn o n l i n e a rd e l a y e ds t o c h a s t i cs y s t e m si sd e r i v e di nt e r m so f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s e m p l o y i n gt h eo b t a i n e dr e s u l t ，as t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sc o n - s t r u c t e dt oe n s u r et h es t a b i l i t yi nm e a ns q u a r eo ft h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e d - l o o ps y s t e m a n u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ed e s i g nm e t h o d i i 一一1。1。1。1。-。1。一 杭州电子科技大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：t i m e - d e l a ys y s t e m ，t - sm o d e l ，d e l a y - d e c o m p o s i t i o na p p r o a c h ，乩f i l t e r ， e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , s t o c h a s t i cs y s t e m i i i 杭州电子科技大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 时滞系统概述1 1 2 模糊控制的发展概况3 1 3 本文解决的主要问题4 第2 章基于t s 模型非线性中立型时滞系统的指数稳定性分析和控制器设 计6 2 1引言6 2 2问题的提出7 2 3p 一指数稳定性分析8 2 4控制器设计1 8 2 5仿真算例2 0 2 6小结2 2 第3 章带有时变时滞的非线性系统的模糊基依赖滤波器设计2 3 3 1引言2 3 3 2问题的提出2 4 3 3稳定性和比性能分析2 6 3 4 模糊基依赖的巩滤波器设计3 2 3 5 仿真算例3 4 3 6 小结3 7 第4 章带有随机干扰的时滞系统的稳定性分析和控制器设计3 9 4 1引言3 9 4 2问题的提出及初步3 9 4 3稳定性分析4 1 4 4控制器设计4 7 4 5数值仿真5 0 4 6小结5 2 第5 章总结与展望5 3 5 1总结5 3 i v 杭州电子科技大学硕士学位论文 5 2展望5 3 致谢5 5 参考文献5 6 附录6 2 v 杭州电子科技大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1时滞系统概述 时滞是客观世界与科学技术领域及工程实际中存在的普遍现象，如系统变量的测量、 网络传输、化学反应等过程都会产生时滞。所以对时滞的处理在物理系统、生物系统、机械 系统、网络控制中等有着广泛的应用背景。然而滞后的存在常常会导致很多不便，如使系统 出现震荡甚至不稳定。在数学上，对这类系统的描述多用泛函微分方程。与常微分方程不同 的是，泛函微分方程突破了欧式空间，在函数空间考虑系统；其生成的是无穷维上的动力系 统，特征方程一般为超越型方程，这为分析和设计时滞系统造成了极大的困难。鉴于时滞系 统的应用领域、自身性质和理论处理上的难度，对时滞系统的研究成为了国际上的热门领 域。 研究时滞系统，最早使用的方法是频域法，通过讨论系统特征方程的根是否具有负实部 来判定系统的稳定性。频域方法主要包括解析法、图解法以及两者相结合的方法来判断系统 的特征根实部的符号，以确定系统的稳定性问题。通过适当的变换，化超越型特征方程为非 超越型形式，再运用劳斯一赫尔维兹判据，即可得到系统稳定性的条件，并且得到的条件是 充分必要的。但是，当系统维数增加时，变换系统超越型方程是非常困难甚至不可能的，当 系统存在时变时滞、参数不确定、随机扰动等，还有中立型系统，判断其特征方程根的实部 的符号问题是非常复杂的。因此，用频域法判断系统稳定性的局限性很大。鉴于这个原因， 时域方法受到了普遍的重视。目前，国内外在处理复杂时滞系统时，主要采用的方法是李雅 普诺夫泛函方法和r a z u m i k h i n 函数方法，这两种方法分别是李雅普诺夫和r a z u m i k h i n 在 上个世纪五十年代提出，是时滞系统稳定性分析的一般方法。其主要思想是构造一个合适的 能量函数，( 这个函数的物理意义类似表示系统的能量) ，根据这个函数的正定性以及其导 数的负定性，得到判断系统稳定性的充分条件。然而这得到的只是充分非必要条件，并且没 有通用的选取系统能量函数的方法。尽管如此，这种方法在处理各类时滞系统时的通用性， 加之m a t l a b 控制工具箱的应用，使这类方法得到了广泛的应用，引起了很多学者的兴趣， 也得到了大量的成果。 本文主要考虑在时域中处理时滞系统，故我们偏重叙述时域法在处理时滞系统的相关 研究。模型变换法是处理时滞系统的重要方法，在一个阶段内，曾是研究时滞系统的主流 方法，主要包括一阶模型变换、中立型模型变换、广义系统模型变换和基于p a r k 和m o o n 不 等式模型变换。模型变换方法可能导致变换后的系统与原来系统的不等价，产生附加特 1 杭州电子科技大学硕士学位论文 征值，因而产生的条件不可避免的具有保守性。本文也用到一些不等式放缩的技巧，故 对p a r k 和m o o n 不等式稍加论述。对不等式 - 2 a t b 0 。这个等式是很保守的，运用这个不等式处理系统时，会产生 不必要的保守性。p a r k 通过引入自由矩阵的方式改进了这个不等式，即为p a r k 不等式。 对任意的a ，b 形，x = x t 0m 舻黼，我们有 式。 - - 2 a t b ( ) 0 表示p 是正定 ( 半正定) 矩阵，a ( ) b 表示a b ( ) 0 。d i a g ) 表示一个对角阵。对给定的矩 阵a = ( a 0 ) m n 和b ，a 和b 的克朗尼克积如下表示： aob = a l l b n l n b n m l b 嘶帆b j 是适当维数的单位阵，i - i 是欧式空间中向量的范数。 2 2问题的提出 考虑如下由i f t h e n 规则描述的基于t - s 模型的非线性中立型时滞系统： 模糊规则i ：i fx l ( t ) 是砰，z n ( 亡) 是砭，则 圣( 亡) 一( 亡一1 ) = a x ( t ) + a i d x ( t r ) 十b , u ( o ，i = 1 ，2 ，8 这里x ( t ) 舻是状态变量，u ( t ) 舻是控制信号7 和r 是给定常数巧，疋是模 糊集，且a ，a d ，c 舻黼，鼠舻p 是己知的矩阵模糊基函数用下式给出 坼( 亡) ) = 夏i - 而i ；_ - x 蜀l , , j ( 丽z j ( t 丽) ) t = 1 ，2 ，s 其中肛, a x a t ) ) 是x a t ) 在巧中的隶属度函数令o z = m a x r , 7 - ) 对这类基于t - s 模糊模型 的非线性中立型时滞系统的更一般的表达方式如下： e ( t ) 一g 老( 亡一7 - ) = a ( x ) x ( t ) + 山( z ) z ( t r ) + b ( x ) u ( t ) z ( o ) = 咖( 口) ，口卜q ，0 】 其中 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 8 ss a ( z ) = h t ( z ( 亡) ) aa d ( x ) = h ( z ( t ) ) a db ( z ) = 氏( z ( t ) ) 鼠 ( 2 2 3 ) i = 1i = 1 i = 1 7 杭州电子科技大学硕士学位论文 我们设计一个如下形式的状态反馈控制器： 札( 亡) = k ( x ) x ( t ) + k d ( z ) z ( 亡一r )( 2 2 4 ) 其中 8s k ( z ) = h t ( z ( 亡) ) k ，耽( z ) = h t ( z ( 亡) k d ( 2 2 5 ) i = 1t = 1 把( 2 2 4 ) 代人( 2 2 1 ) ，则得到闭环控制系统如下： 峦( 亡) = ( a ( x ) + b ( z ) k ( z ) ) z ( 亡) + ( a d ( x ) + b ( z ) k d ( z ) ) z 一r ) + c 2 ( t 一7 )( 2 2 6 ) 为了叙述方便，我们把x ( t ) 和h i ( z ( 亡) ) 简写为z 和鬼( z ) 有模糊基函数的定义可知： 因此，在控制信号u ( t ) = 0 的情况下，( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 描述的系统，就变成了如下形式 圣 ) 一c 2 ( t 一丁) = a ( x ) x ( t ) + a d ( x ) x ( t r ) z ( o ) = ( p ) ，0 一q ，0 】 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 在巴拿赫空间上，令厶= c ( 一q ，o 】，钟) 表示【一q ，0 】到舻的连续可微的映射。我们引 入以下定义和假设： 定义2 1 给定一个常数 0 系统( 2 2 7 ) 是p 一指数稳定的，如果存在一个正数m 0 使得对任意厶，在初始条件( 2 2 8 ) t 的每个解x ( t ，) 满足下面条件： iz ( 亡，) l m e 一肛圻冈巧砥殍vt 矿 这里 l i l i ：= m a x a 。 0i ( s ) i ， l ：= m a x q 。s oi ( s ) l 假设2 1m a x l 一i 0 和一个正整数n ，如果存在矩阵尸 0 ，岛 0 ，岛 0 ，q 0 ，r 0 ，t ：l ，使得下面矩阵不等式成立，则由( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 描述的中立 型时滞系统是卢一指数稳定的。 圣= ( 1 ，1 ) ( 1 ，2 ) - a t ( x ) p c 一2 f l p c 宰 ( 2 ，2 )( 2 ，3 ) 木 木 2 f l c t p c e - 2 f l r 研 木宰 木 木 木木 这里h = n 一1 r ， 【1 ，1 】 【2 ，2 】 3 ，4 】 4 ，4 】 【5 ，5 1 ( 1 ，1 ) ( 1 ，2 ) ( 2 ，2 ) = ( 2 ，3 ) = ( 2 ，5 ) = o 0 0 a r ( x ) ( h 2 e 2 肪墨1 忍+ 岛) ( 2 ，5 ) 0 一e 一2 缈岛c t ( h 2 e 2 肋竺1r + 岛) 一( 九2 e 2 肋竺1 忍+ 岛) a t ( x ) p 十p a ( x ) + q 1 + s 1 + 2 t i p r 1 r 1 ，0 ，0 ，p a d ( x ) 】 【1 ，1 】e - - 2 触岛0 木 【2 ，2 】 0 木 宰 。【3 ，4 1 宰木 ，i c 【4 ，4 】 宰 爿c宰宰 o 0 o e 2 p ( 1 一n ) h r n u 【5 ，5 】 【0 ，0 ，0 ，一c t p a d ( x ) t n 【o 0 0 ，( h 2 e 2 肌霹+ s t ) a d ( x ) i t i = 1 e 一2 肋( q 2 一q 1 ) 一( e - 2 f h r 2 + r 1 ) e 一2 肛h ( q 3 一q 2 ) 一( e 一2 触见+ e - 2 解h r 3 ) 【0 o ，e 筇( 2 一) 礤一1 ) 】t e 一2 p ( 一1 ) ( q 一q 一1 ) 一( e 2 卢( 2 一) 凰一1 + e 2 卢( 1 一 r n ) 一e - 2 p , q 一e 2 卢( 1 一) 鼢 9 0 ，研 0 ，岛 0 ，q 0 ，冠 0 ，i = 1 ，使不等式( 2 3 1 ) 成立，考虑下面的李雅普诺夫一克朗索夫斯基函数： 其中 这里 v ( t ，x t ) = k ( 亡，x t ) + k ( 亡，x t ) + k ( 亡，钆) + k ( 亡，x t ) + k ( 亡，兢)( 2 3 2 ) k ( 亡，兢) = d t ( t ) p d ( t ) 啡忍) = 妻i广_1以咖2触=1 j t - - i h 咖沪娄r m 舻e 2 1 3 ( 车- t + h ) h r i 2 州9 k ( 亡，矾) = ，( ) e 2 p ( “两z ( ) d k ( 亡，貌) = 圣t ( ) e 2 卢( “岛圣( ) d ( t ) ：= x ( t ) 一c x ( t 一7 - ) ，x t ：= x ( t + 口) ，p 一口，0 】 p 0 是一个给定的常数 沿着轨线( 2 2 7 ) ，对选取的李雅普诺夫一克朗索夫斯基函数v ( t ，x t ) 关于t 求导数，可得： 奶( 亡，祝) = d t ( t ) p d ( t ) + d t ( t ) p d t ( 亡) = ( 圣( 亡) 一c 2 ( t 一7 - ) ) t p ( z ( 亡) 一c x ( t 一7 - ) ) + ( z ) 一c x ( t 一丁) ) t p ( 2 ( t ) 一c 2 ( t 一7 ) ) = ( a ( z ) x ( t ) + a d ( x ) x ( t 一7 ) ) t p ( x ( t ) 一c x ( t 一7 - ) ) + ( z ( 亡) 一c x ( t 一7 - ) ) t p ( a ( x ) x ( t ) + a d ( z ) z 一r ) ) ， 诜 ，z t ) = 一2 f l v 2 ( t ，z t ) + e 一2 肛i x t 一( 蕾一1 ) h ) e 印忙一“一1 ) 纠q t x ( t 一0 1 ) 危) 一z t ( t i h ) e 2 a ( 。一h q i z ( t i h ) 】 = 一2 f l v 2 ( t ，玖) + p r 一。一1 ) h ) e - 2 p “一1 ) 九q t x ( t 一( t 一1 ) 危) 一x t ( t i h ) e 一2 历 q i x ( t i 九) 】， 1 0 杭州电子科技大学硕士学位论文 ( 亡，x t ) = - 2 p v 3 ( 亡，兢) + 姜r 冲e 铆t e 2 f l ( h + t ) h r 4 圣 一x t ( t4 - o ) e 2 3 ( + 纠。p ) 危r 宕( t4 - o ) ) d o = - 2 z y 3 ( t ，) + 圣t ( t ) e 2 p h h 2 尼圣( 芒) 一 i = 1 k ( 亡，兢) = 一1 ) i c t ( ) e 2 f l ( h - t 4 - ) 危尼圣( ) d ， 一2 d v 4 ( t ，砚) + e - 2 f l t ( z t e 2 f l 。s , x ( t ) 一x r ( t 一7 - ) e 2 p o r ) s l x ( t 一7 - ) ) = 一2 卢k ( 亡，z t ) + x t ( t ) s l x ( t ) 一x t ( t r ) e 一2 a 7 s l z ( t 一7 ) ， 优( 亡，抚) = 一2 p v s ( t ，兢) 4 - e - 筇( 矿e 2 肛岛圣( 芒) 一圣t ( 一r ) e 2 卢( t r ) s 2 e ( t 一7 - ) ) = 一2 p k ，z t ) + 5 c t ( t ) s 2 5 c ( t ) 一圣丁( t r ) e 一2 所圣 一7 _ ) 根据k ( 亡，兢) ( i = 1 ，5 ) 和( 2 3 2 ) 可知 令 v ( t ，) + 2 d v ( t ，x t ) = 2 p d t ( t ) p d ( t ) 4 - a ( x ) x ( t ) + a d ( x ) x ( t 一7 ) 】t p x ( t ) 一c x ( t 一7 - ) 】 n + 陋( 亡) 一c x ( t 一7 - ) 】t p a ( z ) z ( 亡) 4 - a d ( x ) x ( t r ) 】+ e t x t ( 亡一g 一1 ) 九) i = 1 e 一2 p 一1 q i x ( t g 一1 ) ) 一x t ( t - i h ) e - 2 f l