（地球探测与信息技术专业论文）工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究.pdf

工程地震资料特征分析的 高阶统计量方法研究 捅芰 工程地震勘探主要服务于城市工程建筑的场地安全性评价，为其提供建筑 场区的地质构造以及地下基岩界面的分布情况。随着城市建设的飞速发展，工 程地震勘探的重要性也得以不断提升。地震映像是工程地震施工时最主要的方 法之一，该方法近自激自收，对地下界面直接成像，具有较好的运用效果。但 是工程地震映像方法目前面临着两大困难，一是地震映像资料受外界干扰和地 表因素等的影响较大；二是地震映像资料的处理没有比较好的方法。这两点导 致的后果就是降低了资料解释的准确性，因此需要分析总结典型异常现象在工 程地震剖面中的特征，对其进行分析提取，为资料的解释提供依据。 本文研究以提高工程地震资料解释的准确性为目标，在对工程地震资料数 据进行特征提取时，引入了高阶统计量方法，从高阶统计量的角度分析各种特 殊地震道数据所具有的高阶统计量特征。通过对比、分析得到各种现象之间以 及它们与标准地震道数据之间商阶统计量的差异，可以在解释时利用各自的特 点来帮助区分识别这些现象。其中在对剖面高阶谱特征分析的前提下，提出了 利用双谱能量曲线确定可能存在的构造异常地震道范围的方法；另外在研究时， 发现有的高阶统计量特征和异常现象之间的对应关系存在多解性，因此提出了 各种高阶统计量联合来分析识别地震异常的基本原则，这两点是工程地震资料 特征分析中高阶统计量方法研究的创新。 通过实际资料的应用表明，本文所研究的高阶统计量方法作为一种辅助手 段，在特征分析时体现出了各种常见异常现象之间的差异，使得在资料解释时 能够对其进行识别，减少了人为的感性判断，从而提高资料解释的准确性。 关键词：工程地震；地震映像；高阶统计量；双谱能量；特征分析 h i g h e r - o r d e r s t a t i s t i c sm e t h o dr e s e a r c hi ne n g i n e e r i n g s e i s m i cd a t a sc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i s a b s t r a c t 1 1 l ee n g i n e e r i n gs e i s m i cs u r v e ym a i n l ys e r v e sf o rl o c a t i o ns e c u r i t ya p p r a i s a lo f t h ec i t ye n g i n e e r i n gc o n s t r u c t i o n , p r o v i d e st h ec o n s t r u c t i o na r e af o rt h eg e o l o g i c s t r u c t u r ea n dt h eu n d e r g r o u n db e d r o c ks n r f a e ed i s t f i b u t e ds i t u a t i o n a l o n gw i t ht h e u r b a nr a p i dd e v e l o p m e n t , t h ee n g i n e e r i n gs e i s m i cs u r v e y si m p o r t a n c ea l s oc a n u n c e a s i n g l yp r o m o t e t h es e i s m i ci m a g ei so n eo f m o s tm a i nm e t h o d si ne n g i n e e r i n g s e i s m i cs u r v e y j 玎蚯sm e t t h o di sa p p r o x i m a t e l ye x p l o d e da n di n e e p t e di t s e 琏t dm a k e t h es u b s u r f a c ed i r e c ti m a g e i th a st h eb 渤u t i l i z a t i o ne f f e c t b u tt h ee n g i n e e r i n g s e i s m i ci m a g em e t h o di sf a c i n gt w od i f f i c n l ta tp r e s e n t , o n ei st h a tt h es e i s m i ci m a g e d a t ai n f l u e n c e db i g g e rb yt h ee x t e r n a li n t e r f 部e n c ea n dt h es u r f a g e 丘略t o r t w oi st h e s e i s m i oi n l a g ed a m sp r o c e s s i n gh a sn o tq m t eg o o dm e t h o d t h e s et w op o i n t se a l k t h el o wi n t e r p r e t a t i o na c c u r a c y , t h e r e f o r ew en e e dt oa n a l y z ea n ds u m m a r ya b n o r m a l p h e n o m e n o nc h a r a c t e r i s t i c si nt h ee n g i n e e r i n gs e i s m i cs e c t i o n , a s s i s t se l l h a n c e $ t h e a c c u r a c yo f e x p l a n a t i o n t b i sa r t i c l et a k e se n h a n c i n gt h ea c c u r a c yo ft h ee n g i n e e r i n gs e i s m i cd a t a i n t e r p r e t a t i o n 鹊ag o a l w h e nc a r r i e so nt h ec h a m e t e r i s t i cw i t h d r a w so ft h e e n g i n e e r i n gs e i s m i cd a t a , h a si n t r o d u c e dt h eh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c sm e t h o d ，a n a l y z e s t h eh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i e sc h a r a c t e r i s t i cf r o mt h eh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c sa n g l e t h r o u g hc o n t r a s ta n da n a l y s i st oo b t a i nt h ed i f f e r e n c e so ft h eh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c s b e t w e e ne a c hk i n do fp h e n o m e n o na sw e l la st h es t a n d a r ds e i s m i cd a t a , t h e s e c h a r a c t e r i s t i c sc a l lb eu s e dt oh e l pd i s t i n g u i s ht h e s ep h e n o m e n a u n d e rp r e m i s eo f t h eh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c sc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i si ns e c t i o n , p r o p o s e dt h eb i s p c c t r u m e n e r g ym e t h o dt od e t e r m i n ep o s s i b l ys t r u c t u r ee x c e p t i o n a l l ys e i s m i cd a t as c o p e ； m o r e o v e rw h e nr e s e a r c h ，d i s c o v e r e dt h a tc o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n sb e t w e e nt h e h i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c sc h a r a c t e r i s t i ca n dt h ea b n o r m a ld h e n o m e n o nh a st h em u l t i p o s s i b i l i t y , t h e r e f o r ep r o p o s e de a c hk i n do fh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c s u n i t e sa n a l y z e a n dd i s t i n g u i s hs e i s m i cp h e n o m e n aa st h eb a s i cp r i n c i p l e , t h e s et w op o i n t sa r et h e h i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c sm e t h o dr e s e a r c hi n n o v a t i o ni nt h ee n g i n e e r i n gs e i s m i cd a t a s c h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i s i n d i c a t e dt h r o u 面t h ea c t u a ld a t aa p p l i c a t i o n ，t h eh i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c sm e t h o d w h i c hs t u d i e di nt h ea r t i c l et o o ka so n ea u x i l i a r ym e t h o d ，w h e nc h a r a c t e r i s t i c a n a l y s i si tm a n i r e s t e dd i f f e r e n c e sb e t w e e ne a c hk i n do fa b n o r m a lp h e n o m e n o n , t o m a k es u r ed i s t i n g u i s ht h e s e ，r e d u c e dt h ea r t i f i c i a lp e r c e p t u a le x p l a n a t i o n ，t h u s e n h a n c e dt h ea c c u r a c yo fd a t ai n t e r p r e t a t i o n k e y w o r d s ：e n g i n e e r i n gs e i s m i c ；s e i s m i ci m a g e ；h i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c s ； b i s p e c t r u me n e r g y ；c h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i s i 】 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 1 前言 随着国家经济建设和社会可持续发展，城市现代化、国际化步伐加快，高 层建筑、重型厂房、地铁、桥梁、隧道、机场以及水坝、核电站和港口码头等 高标准大型工程建设项目日益增多。这不仅对各种工程基础的地质条件提出了 更高的要求，对各种资源的需求量不断增大，并且要求用较少的人力和投资， 快速可靠准确地完成工程物探任务。因此作为工程勘察手段之一的地球物理学 方法得到了广泛的运用，其中工程地震勘探作为主要的施工方法得到了非常广 泛的推广应用，并且在各类地基基础勘察、环境与灾害地质调查以及水资源调 查等工程领域中取得了令人瞩目的成效“1 。 工程地震勘探，属于浅层地震勘探，是一种极其重要的工程物探手段，尽 管它与石油物探领域的地震勘探方法在原理、野外工作方法、室内资料处理以 及解释方法等方面有相似之处，但是两者所研究的目的层位不同，工程地震勘 探主要探测地面以下l o o m 范围内的地质构造情况，有时则以地下几十米范围内 的地质构造、岩土结构、力学性质为目的“。工程地震方法的勘察对象广、探 测精度高，对解决工程地质勘查中的关键性地质问题起着十分重要的作用。 工程地震勘探施工区域一般在城市或近郊，主要服务于工程建筑的场地安 全性评价，为其提供建筑场区的断裂构造以及地下基岩界面的分布”1 。工程地 震勘探根据地震波的传播特点可以分为折射波法、反射波法和透射波法。根据 波的类型不同又可以分为纵波法、横波和面波，在场地安全性评价中这些方法 都运用较多。 城市建筑场地的面积一般较小，如果采取多次覆盖的反射波方法，往往由 于测线长度太短使得采集的数据中满覆盖的道数少、覆盖次数不够等，如果采 用折射波探测时，又会因为测线长度不能满足折射波盲区的要求使得采集的资 料中直达波道数占优，影响折射解释；另外对于反射波法而言，由于工程地震 的施工区域限制，在施工时一般采用人工激发地震波的方式，在沉积岩地区能 够获得较好的多次覆盖资料，但是当研究区域为花岗岩地区或者复杂的人工回 填区域，由于人工激发地震波的能量有限，多次覆盖和折射波法数据中有效信 号的能量一般较弱，而面波、声波等则能量突出，剖面的分辨率非常低；另外 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 由于这些研究区域具有地层横向不均匀性严重、地下设施较多、地表激发条件 差等特点，会降低得到的多次覆盖资料分辨率，为了解决浅层地震勘探在实际 施工中遇到的这些问题，人们提出了高分辨率浅层单道地震勘探技术，即通常 所说的地震映像方法。 地震映像技术实际上是一种高密度单道小偏移距地震反射直接成像技术， 它是近几年出现的用于浅层工程与环境地质探测中的新型工程物探技术，具有 配置灵活、施工便捷且经济的优点，比较适合于较复杂区域的探测阻1 0 1 。它能用 近自激自收直接成像方式快速探查地下基岩面起伏形态与构造分布特征，并对 地下基岩面以上覆盖层进行较细致的地质分层以及探查地下的异常地质体与障 碍物等目标。由于工程物探的施工区域多处于较复杂的城镇区域，地震映像法 的出现较好地解决了复杂地区与城市区域的工程地震探测问题，但是地震映像 方法因为其单道接收、人工激发、近似零偏移距等特点，使得地震映像资料容 易受到外界人为的以及地表情况等因素造成的影响，导致剖面同相轴连续性差， 使得资料在解释时容易出现错误，而本文的研究也是以青岛市范围内地震映像 资料为主，通过对其中常见异常的高阶统计量特征进行分析、对比、总结，发 现相应的规律，在实际的运用中取得了较好的效果，辅助提高了资料解释的准 确性。 1 1 研究的目的和意义 工程地震勘察的施工区域多为城镇及其周边地区，主要是浅部的地层地质 构造的探测和研究，而浅层地质条件比较复杂，其风化程度不一，横向和纵向 岩石均一性差。影响浅层工程地震勘察效果的地址条件和因素主要有以下几方 面： ( 1 ) 地表的低速特征 地表附近的岩石和土层由于长期受到风吹、日晒、雨淋等风化作用，变得 密度低岩性疏松。人工激发的地震波在地表传播的速度会比疏松层以下致密的 地层速度低很多。在青岛地区的地层表面多为风化较为严重的崂山花岗岩和第 四纪土层。 ( 2 ) 浅层的强吸收特征 2 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 工程地震探测的目的层多为几十米深的浅部底层，由于浅层的低速特征， 当地震波信号通过地层时，因为低速介质的强吸收作用，会造成地震波能量的 迅速衰减，高频成分严重损失，使有效波信号产生畸变，同时造成资料的分辨 率降低。 ( 3 ) 横向不均匀性特征 浅部地层横向不均匀性是影响浅层地震勘探的主要因素，会导致地震波信 号的传播时间发生无规律的滞后，使得资料解释出现错误的结论。 ( 4 ) 干扰特征 由于工程地震作业环境的特殊性，在资料采集时干扰的影响会比深部地震 要大得多。比如地表因素、城市噪声、人为影响等，在资料采集时会使得信号 延时、畸形、失真，甚至导致信号成为废道。 由于以上因素的影响，使得工程地震资料的分辨率降低，尤其是在花岗岩 地区，即使是高分辨率地震映像剖面，也不能准确的反映地下断裂构造现象。 为了增加解释的准确性，需要分析总结典型地质现象在工程地震剖面中各种属 性的特征，本文研究的目的就是从高阶统计量的角度总结出各种特殊地震道数 据具有的高阶统计量特征。 对于工程地震勘探常用方法现在都有比较适和的数据处理和解释方法。折 射波解释方法有等“时距曲线法、时间场法、交点法等“2 1 ；面波数据的解释主 要是利用其频散特性，进行速度分层得到地下地层的分部情况；反射波法主要 借用深部地震勘探的数据处理方法，解释时则主要对多次覆盖数据进行解释“。 地震映像资料的处理和解释目前没有较好的与之配套的专用映像处理软 件，因为其自身探测精度较高特点，一般采取人工拾取时间数据，利用已经获 得的速度资料进行反演，得到地层深度剖面，而剖面上出现的地质构造现象主要 是通过波形或者同相轴的变化来人为识别，其解释准确性主要取决于解释人员 的经验，这样会对工程安全性评价带来影响，比如当剖面干扰严重时，常常会 出现假的地质构造现象，导致解释不准确。 对于工程地震资料中的典型的干扰、地质构造现象等只是研究了其在剖面 上波形或者同相轴的表现特征。本文针对以上映像资料解释中所存在的问题， 将高阶统计量方法引入地震映像资料中，针对映像剖面异常对应的高阶统计量 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 特征进行了详细的分析对比研究，取得了较好的应用效果，通过实际应用表明 方法可行，在进一步研究了大量映像地震资料的高阶统计量特征之后，可以利 用这些相应的高阶统计量特征来指导解释工作，作为地震映像解释的辅助手段， 这样就使得最终的解释能够更加准确，减少了人为经验判断的失误，这就是本 文研究的意义。 1 2 高阶统计量研究的现状 长期以来，人们常常习惯于假设信号或噪声服从高斯分部。这样就能够在 二阶统计量或基于二阶统计量的功率谱分析的基础上提取所需要的信息，并做 进一步的处理。然而在许多实际问题中研究过程产生的信号往往是非高斯分布 的，因此非高斯分布信号是一种更为普遍的信号，而二阶统计量所包含的信息 只是非高斯信号的一部分，在许多问题上都显得无能为力“”。因此以往人们 在处理实际问题时只能将这些信号近似假定为高斯信号进行处理。随着人们在 信息科学领域研究的不断发展进步，对高阶统计量技术研究的不断深入，人们 掌握了有关高阶统计量的许多重要性质。例如：高斯噪声的三阶或三阶以上的 累积量或谱为零；高阶统计量包含了比自相关或功率谱函数更多的信息，可以 用来进行相位恢复；高阶谱估计可以自动抑制高斯有色噪声对非高斯信号的影 响，还可以辨识非因果、非最小相位系统或重构非最小相位信号，检测和表征 系统的非线性“”。 高阶统计量的研究最早开始于二十世纪五六十年代。主要研究领域有数学、 统计学、光学、工程学、流体力学、信号处理等。在五十年代末至七十年代初， b r i l l i n g e r 和a k a i k e 等人对高阶统计量理论做了系统的阐述，之后，h i n i c h 、 l i i 和r o s e n b l a t t 对线性非高斯过程及其高阶谱进行了分析，到了七十年代末， n a g a t a 、l o h m a n n 和w i m i t i z e r 又给出了确定信号的三阶相关函数和双谱的概 念，但是由于高阶谱的计算量较大，结构复杂，而且物理意义不明显，导致了 高阶统计量研究的困境。到了八十年代后期，n i k i a s 和r a g h u v e e r 的研究才又 引起了人们对商阶统计量的关注“”。随着计算机技术的不断发展，现代功率谱 估计的新技术使更多的有效算法得以实现，这些估计算法的原理也被人们相应 的用于高阶谱的估计，而且提高了高阶谱估计的效果。 4 = r = 程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 在国内，高阶统计量的研究起步于8 0 年代中后期，目前已经广泛应用于信 号检测、参数估计、特征提取及分类识别等。高阶统计量在地震方面的应用， 有利用高阶统计量方法进行时延估计；利用高阶统计量方法进行地震子波估计； 利用地震信号的高阶谱特征( 一种新的地震属性参数) 进行油气检测和识别 陋”1 ；高阶谱时频分析识别弱信号；以及利用高阶统计量方法进行地震信号的 相位和振幅恢复，从而进行信号的重构等等。其中研究较多的是高阶统计量的 地震子波提取，它主要是利用高阶谱中所含有的地震信号的相位信息，通过子 波相位和振幅的重构来恢复子波，该方法不受地震子波最小相位的假设限制。 这些方法都是利用高阶统计量的性质，对地震信号进行处理，从而得到需要的 结果。 高阶谱特征分析除了上面提到的在油气检测和识别中的研究外，在其它领 域的研究目前还有：( 1 ) 邓继雄等基于高阶统计量的舰船分类研究，主要是通 过对舰船产生的辐射噪声特征分析，提取出同类舰船相似的特征信息，将不同 类的舰船区分开；( 2 )尚万峰、关慧玲、李志军等研究了基于三阶累积量的 r l s 自适应算法和基于累积量的l m s 自适应算法在轴承故障信号的特征提取的 应用；姬中华等高阶统计量对机械故障的识别，对设备监测过程中的噪声利用 时间平均三阶累积量切片技术来分析故障信号的特征；( 3 ) 马君国、赵宏钟、 张军等针对低分辨率雷达下的空间目标识别问题，提出了基于高阶统计量的空 间目标识别算法：万小磊等常规雷达目标双谱特征分析的研究，提出了目标双 谱特征提取和模版构造法“”1 。 高阶统计量方法已经成为现代信号处理的一个重要分支，并且已经被人们 应用在雷达、层析成像、气象、生物医学、通信、机械故障诊断和振动分析等 领域方面，取得了很多具有突破性的研究成果。1 。”。 1 3 研究的技术路线和内容 本文研究的技术路线如下： 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 l输入地震数据 上 i 计算数据的各类高阶统计量 i l 结合地震剖面分析异常道的 i高阶统计特征 j l总结高阶统计量特征 上 l 运用高阶统计量特征指导实 际资料解释 图1 1 研究技术路线图 本文研究的主要内容是提取地震资料的高阶统计量数据以及二阶统计量功 率谱和频谱数据，其中高阶统计量的求取基于m a t l a b 平台，编写程序来实现。 利用现有工程地震资料，这些地震剖面上的地质现象或干扰假象都已经在工程 旌工开挖中得到证实，基于这一前提，可以有针对性地分析已知的断层、空洞、 水泥路面等现象的各种统计量的特征，加以比较分析。这些统计量中又主要分 析整个剖面高阶谱的能量曲线，分析规律，同时提取异常道数据的不同阶统计 量重点分析，在基础理论的指导下总结出相应特征，最后验证地震资料的高阶 统计量特征提取在实际解释中的运用效果。 6 丁程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 2 高阶统计量基本理论 高阶统计量指的是二阶以上的统计量，通常包括有高阶矩、高阶累积量以 及他们的谱，即高阶矩谱和高阶累积量谱，此外还有倒多谱等。现阶段对于高 阶谱的研究主要为三阶、四阶累积量及其相应的高阶谱，在直接辨识系统的冲 激响应、恢复信号方面主要研究的是倒多谱。 下面首先由单个随机变量的特征函数引出随机过程以及随机向量的高阶 矩、高阶累计量及它们的谱的定义、性质。 2 1 高阶统计量的定义 随机信号的统计特性可以用它在时域的数字特征：数学期望、相关函数以及 方差进行描述。数学期望反映所有样本函数的统计平均，称为一阶原点矩。方 差用来描述随机变量的可能值对平均值的偏离程度。相关函数用来表征随机变 量在任意两个不同时刻取值之间的关联程度，它的方差是二阶中心矩，相关函 数是二阶原点矩。 定义单个随机变量x 的特征函数为： 中( ) = e p “ = fs ( x k “d x ( 2 1 1 ) 其中，f ( x ) 为随机变量x 的概率密度函数“。 上式中若令v = 一国，则o ( - v ) 即为f ( x ) 的f o u r i e r 变换。因为s ( x ) 0 ， 所以中( 国) 在零点的最大值存在，即： i o ( 口) i ( o ) ( 2 1 2 ) 若函( 功的k 阶导数在零点的值存在，可将( 2 1 1 ) 式展开成泰勒级数： 小喜挚彩广+ 。白”) ( 2 ) 上式中的为下面将要引出的k 阶矩。 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 随机变量x 的k 阶原点矩函数，简称为矩函数，其定义为： m k = e 纠= 厂g ( 2 1 4 ) 若k = i ，则称为工的均值，即： 啊= e m ( 2 1 5 ) 若k = 2 ，则称m ：为工的方差函数，即 m ：= e b 2 】 ( 2 i 6 ) 当m 。0 时，即信号为非零均值信号，可以定义戈的各阶中心矩函数： 以= e 虹一rj ( 2 1 7 ) 随机变量的矩函数和第一特征函数的关系由式( 2 1 3 ) 可得： 他= ( - 秽砉。p ) k 。，( k - n ) ( 2 1 8 ) 可见( ) 在零点的k 阶导数等于随机变数x 的k 阶矩仇，所以m ) 也称 为矩生成函数，又称为第一特征函数。 定义随机变量x 的累积量生成函数为： 甲) = i n 中( r o ) ( 2 1 9 ) 该函数又称为第二特征函数。 将掣) 按照泰勒级数展开： 甲p ) 乩嘞) = 砉弘y + 出”) ( 2 i 1 0 ) 其中q 定义为随机变量x 的k 阶累积量，c 。与、王j 0 ) 的关系为： q = ( - _ t d k 。i ：- 0 甲白) i 。 即q 为累积量生成函数甲) 的k 阶导数在零点的值。 将上面随机变量的矩和累积量生成函数定义推广，考虑更为一般的随机向 量的矩和累积量生成函数，随机向量对应的第一和第二特征函数分别为： 8 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 中0 。，：，珊。) = e 芒，( m m t 一一 甲如，( - 0 2 ，吼) = l n m ( c o , ，9 0 2 ，( - 0 n ) 下面给出随机过程的高阶矩和高阶累积量的定义。设扛o ) 为零均值的k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶矩和k 阶累积量分别是具有k - 1 个独立随机 变量的函数，其k 阶矩定义为随机变量缸o l x 0 + q x ，如+ 以一。) ) 的k 阶联合 矩，即： 所h o l ，“，f h ) = 脚。聊g 0 ) ，x 0 + q ) ，x ( n + r h ) ) ( 2 1 - 1 4 ) 该过程k 阶累积量定义为随机变量扛0 ) x o + q ) ，x o + f 。) 的k 阶联合 累积量，即： ( f l ，一，靠。) = c 姗g 0 ) ，x 0 + q ) ，x 0 + f h ) ) ( 2 1 1 5 ) 在实际运用中通常用m o m 来表示高阶矩，用c u m 来表示高阶累积量。 比较以上两式可知，平稳随机过程扛o ) 的k 阶矩和k 阶累积量实质上是取 而= x 如) ，x ：= x 0 + q ) ， ， 以= 工0 + 靠一，) 之后的随机向量 扛o l 如+ 1 ) ，工o + 一。) 的k 阶矩和k 阶累积量。由于扛o ) 是k 阶平稳的， 故其k 阶矩和k 阶累计量都仅是滞后，f 。的函数，而与时间n 无关，它们 仅为( k 一1 ) 个独立变元函数。 当f 。= f 2 = f 3 = 0 时，特别定义以下几个参数： 方差c 2 ，( 0 ) = 盯2 = 屹， ( 2 1 1 6 ) 斜度白；( o ，o ) = ( 2 1 1 7 ) 峭度 c 4 ，( o ，0 ，o ) = ( 2 1 1 8 ) 对于一个零均值的平稳随机过程扛o ) ) ，其高阶累积量也可以定义为： ( 1 ，t 。) = e 0 0 l z o + q l ，x 如+ t k - ! ) ) 一e ( y o l y o + t l l ，y ( n + r 。) ) 其中，七3 ， y 如) 是一个与缸g ) 具有功率谱密度的高斯过程。这个定义 9 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 显不了随机过程的高阶相关程度，而且还提供了该过程的偏离高斯或正态分布 的程度， 对于零均值平稳随机信号工o ) ，常用的累积量为： 二阶累积量c ：，( f ) = e 仁( r b o + f ) ) = 疋( ) ( 2 1 1 9 ) 三阶累积量c 3 ，( f ) = e 缸o 扛o + f 。h ( f + f ：) ( 2 1 2 0 ) 四阶累积量 可以看出，二阶累积量c 。( f ) 就是随机信号如) 的自相关，三阶累积量就是 x o ) 的三阶矩。 与互相关类似，定义互三阶累积量为 c 。( f ，p ) = e 扛g 涉0 + f 弦0 + p ) ( 2 1 2 2 ) 在本节最后引入高斯过程的高阶矩和高阶累积量的定义。 考虑零均值的高斯随机过程扛0 ) ，令而= x o ) 吻= 工o + f l l ， 以= x 0 + 靠一。) ，由随机过程高阶累积量的定义式可知，扛o ) 的各阶累积量为 q ，( f ) = e 扛如) = 胄，( 0 ) ( 2 1 2 3 ) c ：，( ) = e 扛o b 0 + r ) = ，( f ) ( 2 1 2 4 ) c h ( 1 ，“一1 ) = o ，七3 ( 2 1 2 5 ) 高斯过程的高阶矩为 所h “，k i ) = o ，若k 3 且为奇数 ( 2 1 2 6 ) m h ( f l ， 一1 ) o ，若k 4 且为偶数 ( 2 1 2 7 ) 由上面的结论可知，高阶累积量在理论上可以完全抑制高斯噪声的影响， 而高阶矩不具有这种性质。高阶累积量对高斯过程不敏感的性质在后面高阶统 计量的性质中还会有进一步的延伸。 信号的功率谱定义为自相关函数的傅式变换，考察零均值的线性平稳随机 l o h吒扭啪 啾一 扛凡搭 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 过程扛o ) ，类似的定义其高阶矩和高阶累积量的谱。 设高阶矩肼。“，i k 一。) 是绝对可和的： er m 。k ， 一l 】 。鲁破 其中，m = 0 , 1 2 n 一1 能量谱 双谱 只o ) = 专x o 扭+ o ) 只o 。，缈：) = 专x h p 慨归+ h + 吐) ( 2 1 4 0 ) 三谱 瓦h ，国z ，q ) = 专x h 弦k 弦o ，弦+ h + 国z + 吃) ( 2 1 4 3 ) 为什么使用累积量的傅式变换来定义高阶谱，而不使用高阶矩来定义高阶 谱，其原应有以下几点陋删： ( 1 ) 高阶累积量在理论上可以消除高斯有色噪声的影响，但是高阶矩却 不具有这一性质。 ( 2 ) 两个统计独立的随机过程之和的累积量等于各个随机过程的累积量 志和，这样在实际处理加性信号时将带来运算上的方便，而高阶矩却不满足这 一点。 ( 3 ) 独立同分布过程的高阶累积量为盯函数，因而其傅式变换是多维平 坦的，这样可以使建立非高斯信号与线性系统传递函数之间的关系，独立同分 布的高阶矩不能做到这一点。 1 2 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 2 2 高阶累积量和高阶谱的性质 2 2 1 高阶累积量的- 性质 高阶累积量有以f 几点重要的性质，这些性质是高阶累积量运算的基础。 性质1 设丑，i = 1 , 2 ，七为常数，则有 蝴“w 一以) = i 兀丑l c u m ( x k 1 ，”，) ( 2 2 1 ) ，、 扭1 性质2 对于变量而言具有对称性 姗“，x k ) = c z l m ( x ， ) ( 2 2 2 ) 其中工“，x t k 茭j x l , x k 的一个排列，即变量的累积量与变量的排列顺序无 关。 性质3 对于变量具有可加性 c u m ( x l + y l ，x k ) = c u m ( x l ，一，以) + 删m ( y l ，坼) ( 2 2 3 ) 性质4 半不变性( s e m i i n v a r i a n t ) ，即当扛，) 与 ) ，) 独立时，存在以下 关系式 c u m ( x l + y 1 一x i + y 女) = c u m ( x 1 ，一，扎+ c u m ( y l ，y i ) ( 2 2 4 ) 在这一性质的关系式中若扛， 为一个非高斯信号，其中混入是高斯噪声 ， ，由式( 2 1 1 7 ) 可知移，) 的高阶累积量( 三阶及更高阶) 为零，那么最 后得到观测数据的高阶累积量就是原非高斯过程扛， 的累积量，即去除了噪声 ) ， 的影响。 性质5 当扛， 的一个子集与其它部分独立，则 c l l m ( x i , ) = 0 ( 2 2 5 ) 性质6 设n 为一常数，则 c u m ( x l t - c r ，) = c u m ( x l ，x i ) ( 2 2 6 ) 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 基于高斯信号在高阶统计量研究的重要性，这里单独给出高斯分布的随机 变量x 的高阶累积量的几个重要性质： ( 1 ) 高斯分布的随机变量x ，当k 3 时，其高阶累积量q 恒为零，这正 是高阶累积量作为数学工具在理论上可以完全抑制高斯噪声的基础。 ( 2 ) 高斯分布的随机变量x ，其高阶矩m 。只取决于二阶矩盯2 ，也就是 说m 。不提供任何比盯2 更多的信息，因此聊。是冗余的。 ( 3 ) 任意随机变量如果与某一高斯随机变量具有相同的二阶矩，则其 k 3 的高阶累积量是衡量该任意随机变量偏离高斯分布的主要度量依据。 2 2 2 高阶谱的性质 高阶谱具有以f 重要的性质： ( 1 ) 累积量对于变量具有的对称性也导致了高阶谱的对称性，对于功率 谱存在 只p ) = 只( - ) ( 2 2 7 ) 对于双谱，有 毋哆，国：) 2 & o z ，q ) 2 最h ，- q 一国z ) = b ( _ q 一吐，缈：) ( 2 2 8 ) = 联【- q ，咖：) 对于三谱，有 ：舷未麓：盎r h x ( 0 7 2 一, 0 7 , , ( 0 , ) ( 7 0 1 ( 0 2 - - ( 0 3 ， 汜z 川 = t 【_ q ，国2 一，鸭一q ) = 巧【- q ，一) ( 2 ) 根据频域的周期性，由二维离散傅式变换的定义可以得到： e 白i + 2 石，国2 + 2 万) = b x 0 2 ，0 ) 1 ) ( 2 2 1 0 ) ( 3 ) 如果扛如) 是一零均值平稳高斯过程，则其三阶自相关为零，对所 有的q 、f ：有g 瓴，f ：) = 0 ，所以三阶谱在整个1f ：平面上为零，这一性质可 以用来检测过程的高斯性。 ( 4 ) 高阶谱一般是复数 1 4 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 ( 。，n k i ) = i s k ( 。，d 一。) l e “h 4 一l ( 2 2 1 1 ) 在上式中l s 。l 是的幅值函数，而妒k 为相位函数，也称为相位谱，它反映 了信号的相位信息。这一性质体现了高阶谱与功率谱两者之间的重要区别，即 高阶谱能够提供相位信息，而功率谱不含相位的任何信息。1 。 根据对称性和周期性可知，只要得到了在( - 0 1 0 ，0 ) 1 = 哆，o ) l + 2 = 万和这 个三角范围内的e ，吐) 值，便可以得到整个q o ：平面内各点的e h ，吐) 值。 2 3 高阶统计量的求取 高阶统计量中高阶累积量和高阶谱的应用比较广泛，本章主要介绍高阶累 积量和高阶谱的求取方法。 在时间序列分析时，使用的高阶统计量主要是高阶累积量，而不是高阶矩 来处理非高斯信号”，其主要原因有以下几点： ( 1 ) 在理论上高斯有色噪声的高阶累积量等于零，而其高阶矩不恒等于 零，即高阶累积量的使用可以消除高斯有色噪声的影响，而高阶矩不具有这一 性质。 ( 2 ) 两个统计量独立的随机过程的累积量等于各个随机过程的累积量之 和，而该结论对于高阶矩却不成立。 在实际应用中最常用的高阶累积量为三阶累积量、四阶累积量，在这里直 接给出信号的互累积量的估计公式，信号的高阶累积量可通过互累积量公式求 取。 假定得到平稳随机信号扛o ) 、抄0 ) 、p g ) 、b 由) ) 的各自n 个观察值， 拴= o ，1 ，一1 ，则x o ) 、y o ) 的二阶互累积量的估计为： 洲2 击争g 协柚 ， x 0 ) 、j ，g ) 、z 0 ) 的三阶互累积量的估计为： 工程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 ，) = 争x + g 涉o + 七k o + ，) ( 3 1 2 ) v3 n = l x g ) 、y 0 ) 、z o ) 的四阶互累积量的估计为： t ，弛，m ) = 争x o 砂o + 七k o + ，) 私+ 埘) ( 3 1 3 ) 3 ”= m 其中，1 、n 2 、3 根据实际的计算选择，l 、n ：的选择要满足使得x 如) 的n 个观察值都在累加的范围。若m = n ，则估计是有偏，若m 等于计算出 来的实际点数，则估计是无偏的。在实际应用中，为了提高数据的平滑程度和 分辨率，采用了类似功率谱估计中的数据分段方法，相应的每段数据之间重迭 一定的点数。 相对于三阶累积量而言，四阶累积量的研究要复杂。因为四阶累积量的时 移坐标即延迟参数有三个，可以认为四阶累积量是三维空间中的变量，因此本 文在研究四阶累积量时采取对其进行切片处理，一般是沿着其中一个延迟为零 得到高阶累积量切片，在后面的论述中用矗= 0 切片来表示。 高阶谱是序列高阶累积量相应维数的傅式变换，将时间序列的高阶累积量 变换到频率域，对信号进行处理。 双谱即序列三阶累积量的二维傅式变换，在求取双谱时可以先求得序列的 三阶累积量，然后对其进行二维傅式变换，也可以先求得序列的一位傅式变换， 然后按照式( 2 1 3 1 ) 对其进行相应的乘加运算。本文中的高阶谱估计方法采 用后一种。 与经典的功率谱估计类似，非参数化双谱估计也有直接法和间接法两种方 法，直接法双谱估计的思想类似于功率谱估计的周期图法，即将观测数据分段， 利用f f t 计算各个数据段的d f t ，进而估计各段矩谱，利用累积量谱与矩谱之 间的关系，求得双谱估计。 非参数法高阶谱估计的优点是简单，易于实现，可以使用快速傅式变换 算法，但是誉功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题： ( 1 ) 在非参数高阶谱估计中通常会假定信号的长度是有限的，这必然会 导致据韩世的估计结果存在截断的问题，会使所估计的高阶谱发生频率失真， 1 6 t 程地震资料特征分析的高阶统计量方法研究 为了，改善高阶谱估计的性能，需要在估计是进行适当的加面处理。 ( 2 ) 因为傅式变换式采取d f t 的方式实现的，最后得到的高阶谱谱线间 的距离必然与所用的样本序列的长度成反比，即用于计算的d f r 的时间序列长 度越长，则所得到的频率分辨率越高。 ( 3 ) 非参数高阶谱估计一般存在较大的估计方差，为减少估计的方差， 可以参用时间域平滑的方法，但是这会降低频率分辨率，因此估计方差和频率 分辨率之间是非参数估计法的固有矛盾。 双谱估计的窗函数最早由s a s a k i 、s a t o 和y a m a s h i t a