（地球探测与信息技术专业论文）基于grs80椭球面扇形柱体地形校正的实现.pdf

摘要 布格重力异常的外部校正主要包括地形校正、正常场校正和高度校正。在地形切割 较大地区，各测点周围的地形对各点的重力影响值也各异，如果忽略地形起伏对计算结 果的影响，往往会给解释工作者提供虚假异常或使异常曲线发生明显畸变，这样就会影 响异常的解释精度。由于重力仪的测量精度大幅提高，精确的数字高程数据也可以容易 获得，现在地形校正误差成为影响重力勘探解释效果最主要的因素；所以已有的布格重 力异常外部校正方法技术已经不能满足现有勘探问题对重力异常精度的要求；故必须提 高布格重力异常外部校正方法技术的精度。 地形校正按计算校正值时采用的基准面的不同可以分为平面地形校正、球面地形校 正和椭球面地形校正。平面地形校正适合于观测数据范围较小且地形起伏不大的数据预 处理；椭球面地形校正适合于大范围或地形起伏较大的数据预处理。计算布格重力异常 地形校正时，由于采用基准面和基准椭球的不同，会影响地形校正的计算精度，而g r s 8 0 椭球是国际上通用椭球，采用该基准，可以避免使用高程值给地形校正造成的误差影响； 现在地面重力勘探工作多处于地形起伏较大地区，而航空重力和卫星重力则需要对大范 围的数据进行处理，因此本文研究基于g r s 8 0 椭球面扇形柱体地形校正方法的实现。 关键词：布格重力异常，椭球面，扇形柱体，地形校j 下，实现 a b s t r a c t t h ec o m p l e t eb o u g u e rr e d u c t i o ni n c l u d e s ，i na d d i t i o nt ot h eh e i g h tc o r r e c t i o n ，b o t ht h e l a t i t u d ea n dt e r r a i nc o r r e c t i o n i nm o u n t a i n o u sa r e a s ，t h et o p o g r a p h i c a le f f e c to ft h ea r e a a r o u n dt h ec o m p u t a t i o np o i n ti sd i f f e r e n t i a l i fn e g l e c t i n gt h et o p o g r a p h i c a le f f e c to ft h e t e r r a i nr e d u c t i o n ，t h ei n t e r p r e t e r sm a yb eo b t m nt h ed a t ai n c l u d i n gm u c hf a l s ea n o m a l y ，a n d t h ei m a g eo fa n o m a l yc a nb eo b v i o u s l yd i s t o r t i o n s o ，t h ed e c i s i o no fi n t e r p r e t i n gm a yb e a f f e c t e d w i t ht h ee r r o ro fg r a v i t ym e t e r sb e c o m i n gs m a l l e ra n ds m a l l e r ，t h ea v a i l a b i l i t yo f i m p r o v e dt e r r a i na n dg e o i dd a t a b a s e s ，e n h a n c e dc o m p u t a t i o n a lp o w e r ，a n di n c r e a s i n gu s eo f g l o b a lp o s i t i o n i n gs y s t e m ( g p s ) t e c h n o l o g yt oe s t a b l i s ht h el o c a t i o na n dh e i g h t so fg r a v i t y s t a t i o n s ，i nr u g g e dt o p o g r a p h yt e r r a i nc o r r e c t i o n sa r e t h em o s ti m p o r t a n ts o u r c eo fe r r o ri nt h e r e d u c e db o u g u e ra n o m a l i e st h e r e f o r e ，t h ea v a i l a b l er e d u c t i o np r o c e d u r e sa r en o tb e s a t i s f a c t i o nf o rd e m a n d a sm o r ea c c u r a t eg r a v i t ya n o m a l i e sh a v eb e c o m eo fi n t e r e s t ，t h e m o d i f i c a t i o n st or e d u c t i o np r o c e d u r e sa r ei m p o r t a n t t h et o p o g r a p h i c a lr e d u c t i o np r o c e d u r e sc a nb ed i v i d e di n t op l a n a r ，s p h e r i c a la n d e l l i p s o i d a lt e r r a i nc o r r e c t i o n s w h e nt h et o p o g r a p h i c a ls u r f a c eo ft h ee a r t hi sv e r ys m o o t h ， a n dt h ee x p l o r a t i a la r e a sa r ev e r ys m a l l ，p l a n a rm e t h o d sa r eh i g ha c c u r a c y b u t ，i nr e g i o n so f r u g g e dt o p o g r a p h y ，a n di na r e a so ft h o u s a n d so fk i l o m e t e r so rl o n g e r ，w em u s tb eu s et h e e l l i p s o i d a lr e f e r e n c e b e c a u s eo fu s i n gd i f f e r e n tr e f e r e n c es u r f a c e ，t h et e r r a i nc o r r e c t i o n r e s u l t sm a yb ed i f f e r e n ta n dt h eg e o p h y s i c a li n d i r e c te f f e c tc a nb ep r o d u c t e d u s i n gt h e g r s 8 0e l l i p s o i da st h ev e r t i c a ld a t u m ，i td i r e c t l yu s e sg p sh e i g h t sr e l a t i v et ot h ee l l i p s o i d w i t h o u tt h en e e dt oc o r r e c tf o rg e o i d a ld e v i a t i o n st h a tm a yb ei n a d e q u a t e l yd e t e r m i n e d t h e g r s 8 0e l l i p s o i di so n es i n g l ei n t e r n a t i o n a l l ya c c e p t e dr e f e r e n c ee l l i p s o i d t o d a y ，g r a v i t ye x p l o r a t i o nw o r k e di nm o u n t a i n o u sa r e a s ，b o t ha r e o g r a v i t ys u r v e ya n d s a t e l l i t eg r a v i t ya p p l i c a t i o nn e e dag r e a to fd a t a s ot h i st e x td e v e l o pt h es o f t w a r eo ft h e e l l i p s o i d a l t e r r a i nc o r r e c t i o nm e t h o d su s i n gt h et e s s e r o i dm o d e l l i n g ，a n do b t a i n i n gg o o d r e s u l t k e yw o r d s ：b o u g u e rg r a v i t ya n o m a l i e s ；e l l i p s o i d ；t e s s e r o i d ；t e r r a i nc o r r e c t i o n ；i m p l e m e n t l i 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何 未加明确注明的其他个人或集体己经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：李诲涪瑚罗年莎月。e t 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名： 李增涪 锄巧弘 砌多年月o 日 加释彩月易日 长安大学硕。l ：学位论文 1 1问题的提出 第一章绪论 实际观测到的重力值包括地球和地球外星体的引力影响以及地球自转产生的离心 力的合力。要得出地下物质密度分布不均匀体引起的重力异常就必须对实际观测到的重 力值进行各项校正。布格重力异常外部校正包括地形校正、中间层校正、高度校正和 纬度校正。近二十多年来，随着计算机技术和g p s 技术的发展，已有的布格重力异常 外部校正方法技术已经不能满足现有勘探问题对重力异常精度的要求，故必须提高布格 重力异常外部校正方法技术的精度。 现在重力仪的测量精度大幅提高，可以获得精确的数字高程数据，但是在地形起伏 较大的地区，重力测量结果的精度依然没有大幅提高，究其原因主要是地形校正误差远 大于仪器测量精度。在地形切割较大地区，各测点周围的地形对各点的重力影响值也各 异，如果忽略地形起伏对计算结果的影响，往往会给解释工作者提供虚假异常或使异常 曲线发生明显畸变，这样就会影响异常的解释精度。地形校正的参考面可以是平面、球 面或椭球面。平面参考面地形校正适合于观测数据范围较小且地形起伏不大的数据预处 理；椭球面参考面地形校正适合于大范围或地形起伏较大的数据预处理；而球面参考面 校正则介于二者之间。因此在地形起伏较大或观测数据范围较大时，平面校正就无法满 足数据处理的精度要求。 随着近些年地面勘探工作的重点向地形复杂地区转移，地形校正的精度问题成为制 约重力勘探处理结果精度提高的关键性因素之一；国家颁布的新规范区域重力调查规 范( d z t 0 0 8 2 - - 2 0 0 6 ) ，对其1 ：2 0 万区域重力调查布格重力异常总精度要求提高了一 倍，重力中区地形较正的精度由0 4 4 9 乩提高到o 2 0 9 乩；这些都迫切需要使用新的地 形校正方法和技术。 1 2 研究现状 关于地形校正和中间层校正国内外很多学者做了很多研究工作，取得了很多成果。 地形校j 下按参考面的不同可分为平面、球面、椭球面三种类型。国外的研究工作起步比 较早，1 9 6 7 年h e i s k a n e na n dm o r i t z 就利用斯托克斯理论计算地形校正。从上世纪六七 十年代起到九十年代术，地形校正研究工作主要集中在平面方面，计算方法也比较成熟。 第一章绪论 九十年代以来，地形校正主要向球面和椭球面校正方向发展。t r l a f e h r 于1 9 9 0 年在 发表的重力校正标准一文中指出，通常的重力地形校正方法由于采用平面校正技术， 已经给许多解释工作者造成了误解。并于1 9 9 1 年，提出了精确计算中间层影响的公式， 该公式基于球面模型，是对于平面模型下的中间层公式的修正，该公式的计算结果比平 面校正精度高许多。李雄等人于2 0 0 1 年，对地形校正在地球物理领域与大地测量领域 的差异进行了探讨，并给出了一套基于椭球面的计算地形影响值的完整理论公式。 a a a r d a l a n ( 2 0 0 4 ) 提出了一种基于参考椭球面的多重等效圆柱面投影法计算椭球面 地形校j 下的方法，并给出了椭球表面点从直角坐标转换为大地测量坐标的计算公式。德 国学者e n o v l k e w ( 2 0 0 5 年) 提出了一种基于g r s 8 0 椭球的椭球面地形校正方法， 该方法是对高度进行一维近似计算，并给出了相应的地形校正近似计算公式。至于球面 的计算，其并未考虑。b h e c k k s e i t z ( 2 0 0 7 ) 给出了一套用棱柱体、扇形柱体模型计 算椭球面地形校正的数值计算公式，并对棱柱体、扇形柱校正方法效果进行了比较。李 雄等人2 0 0 5 年提出了一种新的地形校j 下标准，该标准最显著的进步就是采用了国际上 普遍接受的一个简单参考椭球面，即国际大地测量及地球物理联合会( g g ) 推荐的 椭球面，用作重力测点水平及垂直基准面以及计算理论重力值的1 9 8 0 大地测量参考系 统( g r s 8 0 ) ：并于2 0 0 6 年对新标准的优点做了详细解释。a a m a k h l o o f 和k a r l h e i n z 在2 0 0 8 年发表了计算卫星重力的基于椭球面的地形校j 下方法。 国内的研究者于上世纪九十年代，就注意到平面校正的问题，也进行了一些研究。 刘根友( 1 9 9 3 ) 初步概括了重力地形校正的误差来源，对微重力测量地形校正的精度及 高精度实现的方法进行了讨论。孙刚( 1 9 9 3 ) 提出重力近区地形校正理论模型，通过对 典型物理模型的理论计算及一定数量实测值的统计分析，给出了一套参考数据及近区地 形校讵的方法。杨战军等( 2 0 0 5 ) 给出了一套球面地形校正及有限球壳中间层公式。覃 章健等2 0 0 6 年提出了应用数字图像技术计算地形校正的方法。纪连胜等( 2 0 0 7 ) 应用 变密度方法对黄土高原地形影响进行了计算。冯治汉( 2 0 0 7 ) 利用g i s 技术对地形校j 下 方法进行了改进，取得了一些进展。国内基于g r s 8 0 椭球面的地形校正方法，目前很 少见到。 1 3主要成果 本论文将原作者基于球面的扇形柱体地形校正方法推广到椭球面上，称为椭球面扇 形柱体校正方法。在该推广过程中，详细推导了地形校j 下的公式。将棱柱体计算近似展 2 长安人学顾e 学位论文 开式代替，给出了在中远区快速计算公式，使得地形校正的计算速度得以提高。在此基 础上进行了模型试算，并将双线性插值公式应用到非规则网点的地形影响值计算中。 第二章苎主! ! 塑! 塑堡堕堕堑壁竺些堑鳖里查鲨堕些一 _ _ - _ - _ _ 一一 第二章 基于g r s s 0 椭球面扇形柱体地形校正方法原理 2 1 地形校正方法 重力观测资料经过适当的仪器校正、零点校正、潮汐校正后，得到的重力值仍然包 括正常重力值的影响和、地形影响值和地下密度不均匀的影响。为了获得各测点的地下 密度不均匀体的影响值，必须从实际观测到的重力异常中剔除正常重力值的影响( 正常 场校正) 和地形影响值( 地形校正) ，而保留地下密度不均匀体的影响值。正常场校正 一般分为高度校正和纬度校j 下两部分，地形校正分为中间层校j 下和狭义地形校正两个部 分。本文只讨论地形校正的方法技术问题。 由于过去地面勘探工作大多数处于平坦地区，测区的地形起伏程度不大，因此在校 正过程中将地球表面近似成平面，在此基础上进行的校正工作，均称为平面地形校正。 随着勘探工作在山区的开展，以及大地测量技术的高速发展，研究者将地球表面近似成 球面或椭球面，在此基础上进行的校正工作，也相应称为球面地形校正或椭球面地形校 正。因此，研究测点周围地形对测点的重力影响时，按照对地球表面所做的近似假设情 况，可将校正方法分为平面地形校正，球面地形校正和椭球面地形校正三种。 2 1 1 平面地形校正方法 在校正过程中将地球表面近似成平面，在此基础上进行的校正工作，均称为平面地 形校正。地形校正的计算可分为两种类型 进行处理，一种是将地形校j 下分成中间层 校正和狭义地形校正分别计算；另一种是 直接进行地形校正计算，这种计算通常称 为广义地形校正。 地形校f 计算时，通常把测点( 计 算点) 周围地区分为近、中、远区，在这 三个区内，高程值的取数密度可以不同， 即近区的取数点距较小，而中、远区的稍大。 2 1 1 1平面中间层校正和狭义地形校正 ( 】) 平面中白j 层校正 4 a p 7。 猡 如僖，暂。0 ) a 7 i 。， y 。z 图2 1 1 中间层校正剖面示意图 不同的分区可采用不同的模型进行计算。 塑丛塑竺些苎 平面中间层校正的目的就是消除测点彳所在的平面与总基点所在平面之间的物质 层对测点重力值的影响。大部分平面地形校正方法对于中问层的计算，都使用如图2 1 1 所示模型，图中4 为a 在重力总基点平面上的投影，a , 4 的铅垂距离为办。 用圆柱坐标表示，平面中间层影响值g b 一埘的表达式为式( 2 1 1 ) ( 曾华霖，2 0 0 5 ) a b ：g a 霎l 毫惫删 ( 2 1 1 ) 上式表示了半径为尺、。厚度为厅的圆盘对中轴线上彳点引起的引力铅垂分量，积分 后得： ， 一、 g 口一蚴。2 刀g 盯忙+ h 一r 2 + h 2j ( 2 1 2 ) 当r 办时，( 2 1 2 ) 式可简化出一种近似计算公式便与手算，但在计算机技术广 泛应用的今天，这种近似计算的必要性不在，故不再提倡这种近似计算。 计算中间层影响时，由于密度选择的不同，校正结果有较大的差异。虽然利用滑动 窗口技术，依据不同的窗口选择相应的密度值，对中间层校正进行改进( 陈超等，1 9 9 8 ) ， 以及用图解平面法确定中间层密度的选择，对中间层校正值迸一步修正( 杨辉等，2 0 0 0 ) ， 校正精度能有一定的提高，但是由于忽略了地球曲率影响，在地形起伏较大地区以及校 正范围较大时，校正精度依然达不到现代勘探工作标准的要求。 ( 2 ) 狭义平面地形校币 狭义平面地形校正，就是通 常所说的地形校正。根据测点周 围地形分块的形状，可分为扇形 ( 圆域) 域法及方形( 方域) 域 法。对于扇形域法，校j 下中采用 的模型有：扇形柱体模型( 如图 2 1 2 所示) 、扇形锥体模型。对 藤 瀹 嵝岁 图2 1 2 扇形柱体模型示意图 于方形域法，校j 下中采用的模型为棱柱体模型。 1 ) 扇形柱体模型 如图( 2 1 2 ) 所示，扇形柱体是以测点为圆心，以不同的半径r 划圆，再通过测 点a 按照一定角度作射线，则任意两个半径尺，和尺川与两条射线口，和口川所限制的部分 第- 二章基十g r s 8 0 椭球面扇彤柱体地形校正方法原理 都是一个扇面。计算公式为： a g t p - - 了2 , r r g o - 悔百r i + 1 - 属可咄】 式中，z 为方位划分数；r 和尺川分 别为扇形柱体的内半径和扇形柱体的外 半径；h 为扇形柱体平均高程与测点高 程之差。该模型只适合于中区和远区地形 校正，不能用于近区地形校正。 2 ) 扇形锥体模型 ( 如图2 1 。3 所示) 一个扇形锥体 其高度h 和距离r 及地形倾角f 的关系 为：h = r t g i ，计算公式为式( 2 1 4 ) 。 g 卯：2 n g o - r ( 1 一c o s f ) g 卯2 。 一 z j 其中，玎为方位划分数；尺 为扇形的半径；f 为地形倾 角。 3 ) 圆锥台阶模型 ( 如图2 1 4 所示) c 在圆柱坐标系下，圆锥台 阶模型地形校正公式为式 ( 2 1 5 ) 。 ( 2 1 3 ) 图2 1 3 扇形锥体立体示意图 ( 2 1 4 ) 图2 1 4 圆锥台阶模型示意图 等耕2 + 甜+ 倒 m ， 图2 1 5 棱柱体几何形体示意图 鼽j 式中a = 0 , 4 9 0 7 9 ，b = 一0 3 2 8 2 1 ， c = 0 1 3 0 6 4 ) 矩形棱柱体模型，( h e c k ，2 0 0 7 ) ( 如图2 1 5 所示) 其校正计算公式 为： 6 x y 卜 ， 一， z 孑一 卜嘭髟 邑 。 长安人学硕i ：学位论义 姆护一瓦o v 一甄k j 万荸赫删嘶 6 ， 2 1 2 球面地形校i y _ 方法 球面地形校正与平面地形校 正相似，其计算也可分为两种类型 进行处理，一种是将地形校正分成 球壳中间层校正和球面地形校正 分别计算；另一种是直接进行球面 地形校正计算，这种计算称为广义 球面地形校j 下。 2 1 2 1 球壳中间层校正和狭义球 面地形校正 在平面地形校正中，假定地球参 考面为无限大平面，实际上地球表面 是椭球面而不是平面。当地球表面计 算区充分小时可近似用平面进行处 理；当地球表面计算区充分大时，其 不能作为平面处理。因此对地球表面 平面化处理势必造成相当大的误差 s l 椰口抽b o u g o o rl n 幽眦es 括b s u r f a c er l l d t o $ c o i n o d e n tw i t ho t l t l l r a d i o s a ii t a y f o r d b o w i et e r r a i nz o n e sa o 1 髓7 3 5k m 图2 1 6 平面中间层校正和球壳中间层校正差异 zi z - b r 浏 唑上一，霄，划刿1蝻。 l l 、u 1一- i rj 、；x 图2 i 7 球壳中间层儿何模犁示意图 ( 如图2 1 6 所示) ，而这种误差对解释工作将产生很大影响，极有可能造成错误的解 释结果( l a f e h r ，1 9 9 0 ) 。 ( 1 ) 球壳中间层校正 在平面校正基础上，基于球面模型，对平面中间层校正进行修改，便得到球壳中间 层校正计算方法，球壳中间层的几何模型如图2 1 7 所示( l a f e h r ，1 9 9 1 ) ，其计算公 式为： a g 盯= 2 刀g 盯( 肪一艘) ( 2 1 7 ) ( 2 ) 狭义球面地形校正 把地球表面近似为球面，并在此基础上使用矩形棱柱体模型计算球面地形影响值( 杨 战军，2 0 0 5 ) ，几何模型如图2 1 8 所示，计算公式为 第一二章堆于g r s 8 0 椭球面扇形柱体地形校正方法原理 g即=g仃fjfx-ncy+尺，+y-ncy+r，一ztan一1老)i：!二(：|： c 2 8 ， 图2 1 9 三棱锥体模型示意图 太7 。 硅 k 遵 六 ，g 一，t h es p h e r ec r o s s o w ? s p h i 弛 。p a r a 蒯i og e o k i s u r f a c e 广义球面地形校正按照计算时采用 2 1 8 球面矩形棱柱体校正模型示意图 模型的不同，可以分为三棱锥体模型和圆柱体模型两种。 ( 1 ) 三棱锥体模型 将地球视为一个表面起伏不规则的旋转椭球体，对整个地球用三棱锥体元剖分。对 单个体元来说，三棱锥的顶面是用地球表面的3 个已知高程点作为角点( 如图2 1 9 ， a b c 3 点) ，第4 个角点在地心( 如图2 1 9 ，o 点) 。由此四角点构成一个三棱锥( 四 面体) 作为一个剖分体元，整个地球可以由这样若干三棱锥体拟合组成。三棱锥体之间 可以吻合无一点裂隙，三棱锥的顶面是三角面，地表就可由苦干三角面去拟合，三角面 之间是用“线”连接，因而变化是连续的。这种方法随着地表单个三角面的缩小拟合精 度可以不断提高而接近真值。对于地形影响值的计算可以理解为：地表单个三角面与地 心构成的三棱锥与海平面与地心构成的三棱锥之间的差( 刘立言，1 9 9 2 ) ，其计算公式 为： 。厂 3 a g 冲= g 盯l c o s 6 , o ，j j ( i ) l ( 2 1 9 ) t = ll j 2 1 j ( 2 ) 圆柱体模型 以球心为原点，采用上下底面为球面的柱体模型，计算公式为 8 k 安大学顾 ：学位论文 g g 仃 ! ：，+ z 壮- n b + 届丽) + 华n g + 厅虿i ) 7 7 一丢n g 2 垅2 + r 2 + 2 善而) 眨，) 一丝a r c s i n 2 上式中，口= 西r 2 一主，具体推导见杨学祥( 1 9 9 2 ) o 删i 对于球壳中间层校正和狭义球面地形校正方法，正如l a f e h r 文中指出情况一样， 当勘探工作在大面积的测区进行时，考虑到保证球面地形校正方法的计算精度，其有效 校j 下的最大范围为球冠表面半径为1 6 6 7 k m 时。 基于球面模型的地形校正方法，改进的物理意义就在于纠正了平面校正中忽略地球 曲率影响造成的误差。由于实际地球是一个表面不规则的近似椭球，地球的半径在两极 和赤道相差极大，如果把地球表面近似为球面，忽略地球的曲率影响，就会引入相应的 校正误差。而且现在的正常重力公式都是基于椭球模型计算获得的，由于球面地形校正 采用的基准面是球面，其与正常重力值计算采用的基准面不同，如果用球面计算的地形 值拟合基于椭球面的各点的实际地形影响值，就会引入相应的误差。 球壳中间层校正和狭义球面地 形校正方法不仅有效校正范围受到 1 6 6 7 k m 的限制：而且由于其忽略了 地球实际上是一个表面不规则的旋 转近似椭球体，因此会因计算采用基 准面的不同，引入相应的误差。而广 义球面地形校正方法，也会因计算采 用基准面的不同，引入相应的误差。 综上可知球面地形校正方法在处理 大范围测区数据时，校正精度不够， 因而必须对球面地形校正方法作进 n 厂一 。 b 一夕 9 su 图2 1 1 1 正常椭球模型示意图 第| 二章基于g r s 8 0 椭球面扇形柱体地形校正方法原理 一步的修改。 2 1 3 椭球面地形校正方法 正常重力值是基于正常椭球体模型进行计算的。正常椭球体的定义为：正常椭球体 的表面是光滑的，内部的密度分布是均匀的，或者呈层状分布且各层的密度是均匀的， 各层界面都是共焦点的旋转椭球面。基于正常椭球体条件下即可计算得到正常重力位和 正常重力值( 曾华霖，2 0 0 5 ) 。图2 1 1 1 是椭球模型示意图。 椭球面地形校正即是把地球表面近似为椭球面，并在此条件下，计算测点周围地形 起伏对该点的重力影响( 李雄，2 0 0 6 ) 。 一个几何形状为椭球的空间物质体对于其外部任意一点p ( l ，b ，日) 的引力位为 2 z * 2h v ( l ，b ，h ) = g 0 一 2 = o ( 2 1 1 2 ) ( + + f ) + f ) 蟛c o s b d b 扰 其中参数r ( l ，b ，h ，r ，b ，f ) 是积分点q ( r ，b ，f ) 和计算点p ( l ，b ，h ) 之间的几何 距离，+ 为积分点的椭球卯酉圈曲率半径，m + 为积分点的子午圈曲率半径，其计算 公式分别为( 2 1 1 3 ) 式和( 2 1 1 4 ) 式： 蚪砸丢可难) = 岛 泣3 ， ，l ，b ，h ，r ，b ，f ) ：k o ，b ，h ) 一x 乜，b ，f ) + p o ，b ，- ) 一】，口，b ，f ) ( 2 1 1 4 ) + z 化，b ，日) 一z ，b ，f 汗 胆 式( 2 1 1 3 ) 中彳为椭球长半轴，e 为椭球第一偏心率。 将式( 2 1 1 2 ) 写为二重积分形式，即： 啦丑咖g 照名舄岛( + + f ) 扣川螂 5 ) 2 ；rf 2 其中p = ，卜。s b + 徊扰，假定计算点周围地形的密度为常数，即 j0 一x 2 盯( + ，b + ，f ) = 矿，则重力地形影响值( t p g ) 可表示为： l o 长安人学硕上学位论文 唧 班g 仃照陆 对式( 2 1 1 6 ) 中的积分核进行计算， 蜡赢卜 记x x = x ( l ，b ，h ) 一x ( l ，b ，f ) z z = z ( t ，b ，日) 一z g ，j 6 f ，f ) ，则 d 岔s ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ，y 一】，+ = r ( l ，b ，h ) 一】，0 ，曰，f ) ， a1 面币五丽历刁 一1 = 汀_ = 了i i = 弋 ( 2 1 1 8 ) ，3 仁，b ，日，r ，b + ，f ) 、。7 配y x ) c 。s b c 。s 三+ p 一】，) c 。s b s i n + ( z z ) s i nb 】 其中参数伍一x + ) c 。s b c 。s 三，p y ) c 。s b s i n 三，( z z ) s i n 曰可由以下三式得出： 伍一x ) c o s b c o s l = c o s b c 。s 三防一n * c o s b * c o s r + f c 。s b * c o s 三) 】 p 一】，c o s b s i n = c o s b s i n p n * c o s b * s i nr + f c 。sb * s i nr ) 】 ( z z ) s i n b = s i nb z 一( ( 1 一e 2 ) s i n b + f s i nb ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) ( 2 1 2 1 ) 对( 2 1 1 9 ) 式、( 2 1 2 0 ) 式、( 2 1 2 1 ) 式之和整理可得： 伍一x ) c o s b c o s 上+ p y ) c o s b s i n + ( z z ) s i n b = c o s b c o s k 一* c o s b c o s r + c o sb s i n y n * c o s b + s i n f 】 + s i n b z n ( 1 一e 2 ) s i n b + 一彳 c o s b c 。s c 。s b c o s r + c 。s b s i n 上c 。s b * s i n r + s i n b s i n b 】 = 一k 。乜，b ，h ，三+ ，b + ) 一k ：仁，b ，三+ ，b + 膏 ( 2 1 2 2 ) k l0 ，b ，h ，f ，b + ) = c o s b c o sl n * c o s b + c o s l * 一x 】 + c o s b s i nl n * c o s b * s i n r 一】，】+ s i nb + ( 1 一e 2 ) s i n b + 一z 】 k ：伍，b ，r ，b ) = c o s b c 。s 三c 。s b * c o s f + c 。s b s i n 三c 。s 日* s i n r + s i n b s i n b 把( 2 1 2 2 ) 式代入( 2 1 1 8 ) 式，可得： 第二章堆于g r s 8 0 椭球面扇形柱体地形校正方法原理 最仁，b ，h ，r ，b + ，f ) = - 5 a - f i 疋云面) j 尹刁 d f + k 21 n i k ，+ f + ，乜，b ，h ，r ，b ，f 】 ( 2 1 2 7 ) 比蹦眦) 划嘉面南卜 = 等谤器嵩籍+ f 葛箍篇参笋汜坦鼬2 下f 可距五瓦砑瓦f 司晒瓦而巧矿u 蹦 + f 27 砭i 否南+ ( k l - 3 k 2 k 3 ) l n i k ，+ f + ，仁，曰，日，r ，b + ，f 】 把( 2 1 2 4 ) 式、( 2 1 2 7 ) 式和( 2 1 2 8 ) 式代入( 2 1 1 6 ) 式积分核的计算中可得： 枇外驺 = a 2 尚只仁，b ，日，r ，b + ，日) + a 季二冬蚓最g ，曰，日，r ，b ，日) + a 百二i 专澍最怛e 月，r ，b ，月j + 乜，b ，h ，r ，b ，h ) 把( 2 1 2 9 ) 式代入( 2 1 1 6 ) 式中得： t p g ( l ，b ，日) = g 盯，j 仁，b ，h ，r ，b ，h ) d s s 卜 2 2 基于g r s 8 0 的椭球面扇形柱体地形校正方法 2 2 1 扇形柱体模型地形校正方法 ( 2 1 2 9 ) ( 2 1 3 0 ) 扇形柱体概念最早是由a n d e r s o n l 9 7 6 年提出的，( h e c k ，2 0 0 7 ) 。扇形柱体是一个 周围被基于球面或椭球面的地表体单元包围的单位元，其高度基于椭球面或球面是一个 常数。扇形柱体模型( 几何模型如图2 2 1 所示) 的表面边界设定为：1 ) 椭球面高度h = 0 和h = h 。是常值：2 ) 表面平行于参考椭球面，在各自的子午面上经度为常数；3 ) 在 各自的主卯酉圈上纬度为常数。 忽略地球曲率的影响，用球面扇形柱体近似椭球面扇形柱体，( h e c k ，2 0 0 7 ) 。对于 以地心为圆心，高度分别为h = 0 ，h = h 。的两个球面，其半径可分别近似表示为： 1 2 刁 碍万堡巧万 蝎砸穰 一 一矿 巧砭一尻蔬 瓦 长安大学硕 ：学位论文 r 。= r 砌，+ 0 ，r 2 = r 枷，+ h l ，这罩r 。咖表示所选等质圆的半径( 一般是地球的平均半 径) 。则球面扇形柱体的重力位可表示为： y位，b，尺，f，召，尺)=g口i烨如积 式中，为计算点p ( l ，b ，r ) 和积分点 9 仁+ ，b ，r + ) 之间的距离，少为点尸亿，b ，月) 和 点q 仁+ ，b + ，r + ) 之f j 的夹角， 其中 c o s 吵= s i n b s i n b + c o s b c o s b c o s ( l ) x ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 由于椭球积分困难，扇形柱体的重力位 图2 2 l 扇形柱体几何形体示意 不能解析计算，但是可通过数值计算得到近似解，( 2 2 1 ) 式也可以进行级数展开。通 过计算得知，( h e c k ，2 0 0 7 ) ，最有效的展开点是扇形柱体的几何中心点。( 2 2 1 ) 式的 积分核可展开成如下所示形式： k 口，b ，r + ) = r c o sb ， = 南黔 r = j r d b = b o f = 1 - o ( 2 2 3 ) 把式( 2 2 3 ) 代入( 2 2 1 ) 式并展开至2 阶，得到( 2 2 4 ) 式： y 仁，b ，r ，r ，b ，r ) = g o a r 衄a l i k 。+ 去伍：。欲2 + k 0 2 0 衄2 + k 0 0 2 a l ：) + 。( 4 ) q 2 4 ) 式( 2 2 4 ) 中参数r 。= ( r l + 尺：) 2 ，b o = ( b 。+ b 2 ) 2 ，三。= 仁l + 2 ) 2 ， 8 = p ：一b ) ，尺= ( r ：一r ，) = ( h 。一0 ) ，三= ( ：一三。) ，参数k 。0 0 ，k ：o 。，k 。：。，k 。o ：的 计算公式分别为( 2 2 5 ) 式、( 2 2 6 ) 式、( 2 2 7 ) 式和( 2 2 8 ) 式： 1 3 丫 0 己一 “pu _ 、 一 伍kt， o r一 伍肚 k w = 第二章基于g r s 8 0 椭球面扇形柱体地形校正方法原理 k o o o ：r ：c o s b o，= 4 r2 + r ：- 2 r r o c o sc g o c o s o = s i n b s i n b o + c o s b c o s b o c o s ( l o 一三) k ：。= r 2 c 。s b o 2 r 0 2 3 尺；s i n 2 o n2 k 0 2 02 x _ o 百 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) s b o ( r 2 + 尺；敝2 + r ；一r r 。s i nb s i n b o + r 2 尺；c 。s b o s i n 2b 1 - s i n 2b o ) - c o s 2 b ( 2 - s i n 2b o ) c o s 2 ( o - 三) j + r r o c d s b ( 2 2 7 ) 一s i n 2 玩) 【r 2 + r ；一2 r r 。s i 衄s i 衄。】c 。s 0 。三)i k 。：= 鱼竺学i r ；c 。s 乜。一三) - 3 r r o c o sb c o sb o s i n 2 ( 。一) )( 2 2 8 ) 扇形柱体的重力可表示为下式： 卯g 吣盯) ：业岂笋型 ：劬j j 当生瓮笋必业纪扣积 厶b ir i 。 似盟鼍严坦， ( 2 2 9 ) 肌，= ( 呜掣，鸣掣，鸣掣 ， 其中各个分量掣，掣，掣可分别由式( 2 2 1 。) 、式( 2 2 1 1 ) 和式( 2 2 1 2 ) 算出： 型鲨! 垒：墨：) ：三墨：! 墨二墨：! ! ! 竺! ! ! ! 皇：二墨：! ! ! 丝竺! 皇： 觎r 3 + 一3 r + 2 ( 尺一r c o s g ) c o s b ( 尺一r c o s g ) 1 4 ( 2 2 1 0 ) g v ，一 似 以、 长安人学硕l j 学位论文 0 i ( r ，b ，r ) - r “( c o s ) 。c o s b 一r ”( r r c o s ) s i nb 】-上=一 + 尺一( r r c 。s y ) 。s b p 。l ( c 。s 少) ：= 【s i n b s i n b + + c o b c 。s b * c o s ( l * 一三) l = s i n b c 。s 曰一c 。s b s i n b * c o s ( l * 一三) ，、 -3trl 一型塑坐型二坠型坚划 ( 2 2 221 1 ) b 2 了j 一 ( ) 扰( r ，b ，尺+ )r ”c o 妇l s i n 曰c o s b 一c o s b s i n b c o s ( l * 一三) i j-_-o=in 、s 加 r 3 + 丛堕号业 + 墨：延：墨：兰竺! 笙至! 望：坠丝：墅皇竺! 皇：二! 塑：! ! ! 皇墅皇：! ! ! 鲨二墨园 ，。 掣：! 竺粤坚州z ( r - r x c o s 少) c 。妇吼 砚r 3 、7。9 ( c o s v ) c = s i n b s i n b + c 。s b c o s b * c o s ( l * 一) l = s i n b s i n b 一c o s b c o s b s i n p 一三) m ：塑塑雩掣 堡筻! 皇：! 墨：) ：墨：! ! 塑：k 垫皇! 垫垒：二! ! ! 垒! 竺! 堡：! ! 翌尘二墨闭 a r r 3 ( 2 2 1 2 卜- 从( 2 2 1 0 ) 式、( 2 2 1 1 ) 式、( 2 2 1 2 ) 式可得二阶导数， ，：，；，其形式如式( 2 2 1 3 ) 所示， ， ，：2 ，；，的计算公式分别为式( 2 2 1 4 ) 、式( 2 2 1 5 ) 和式( 2 2 1 6 ) ： ， = 掣，乏= 掣，三= 掣 c 2 2 - 3 ， 枷一警= 半 2 等阮一( 2 r + 3 r 0 c o s c t 0 ) c o s 川 + 等s i n 2 巾。地。s 0 ) )j 1 5 ( 2 2 1