（控制理论与控制工程专业论文）时滞相关稳定性分析及应用研究.pdf

摘要 摘要 时滞现象普遍存在于各种工程系统中，是影响系统稳定性和性能的主要因素 之一。因此，对时滞系统的稳定性研究具有重要理论意义和广泛的应用前景。目 前，时滞相关稳定性分析问题得到许多学者关注。其核心和难点问题是如何降低 判据保守性和算法复杂性。本论文针对这两个核心问题，研究了若干线性和非线 性系统的时滞相关稳定性分析方法及其在故障检测问题上的应用。主要创新性研 究工作如下： l 、针对变时滞线性系统，通过增广l y a p u n o v 泛函法得到比前人方法具有更小 保守性的时滞相关渐近稳定准则。分别构造了两种新型的增广l y a p u n o v 泛函：第 一种是包含自由权矩阵的增广型l y a p u n o v 泛函，它可以避免广义模型变换法在处 理交叉项过程中使用p a r k 不等式或m o o n 不等式，而且在微分运算过程中采用新型 的放缩技巧，从而降低了判据的保守性。第二种是包含交叉项及时滞区问信息的 增广型l y a p u n o v 泛函，该泛函不包含任何通过牛顿一莱布尼茨公式引入的自由权 矩阵，而是通过引入与交叉项相关的松弛矩阵使获得的l m i 得到更优化的解，从 而也能有效降低结果的保守性。增广l y a p u n o v 泛函法也可以推广到具有线性分式 型不确定时滞系统中，得到相比前人方法具有更小保守性的时滞相关鲁棒稳定性 准则。 2 、针对具有区间变时滞、区问快变时滞、常时滞三种不同时滞类型的线性系 统，分别给出了不包含任何自由权矩阵的简化型时滞相关稳定性准则。这些准则 不仅等价于目前存在的一些通过自由权矩阵法获得的稳定性条件，而且包含的变 量大大减少，算法更简单，更易于控制综合问题的解决。进一步，针对一些基于 神经网络模型的非线性时滞系统，提出了相比自由权矩阵法不失保守性且减少运 算变量的简化稳定性判据。 3 、针对一类具有非单调、非可微型的非线性激励函数的变时滞神经网络模型， 通过构造包含松弛矩阵和激励函数界信息的、更具有一般性的增广型l y a p u n o v 泛 函，得到了比前人结果具有更小保守性的时滞相关渐近稳定性准则。并在此基础 上，进一步研究了具有混合时滞的神经网络的指数稳定及收敛率问题。 4 、将时滞相关稳定性分析方法应用到时滞随机分布系统故障检测问题。通 东南大学博士学位论文 过构造包含松弛矩阵和可调参数的增广型l y 叩岫0 v 泛函，提出了基于输出概率密 度信息的时滞相关型故障检测观测器设计方法，同时通过优化故障评估系统中阈 值，得到了具有更高检测灵敏性的故障检测方法。 关键词变时滞系统，稳定性，保守性，故障检测，线性矩阵不等式 n a b s t r a c t a b s t r a c t t i m ed e l a y sa r cf r e q u e n t l ye n c o u n t e r e di nd y n a m i cs y s t e m s ，a n dm e ya r co f t e n t h es o u r c e so fi n s t a b i l i t ya n dd e g r a d a t i o ni nc o n t r o lp e r f o r m a n c e s t u d yo fd y n a m i c s y s t e m sw i 吐id e l a y si si m p o r t a n tb o t hi nt h e o r ya n di np r a c t i c e ，n l ed e l a y d e p e n d e n t s t a b i l i t yi s s u eo ft i m ed e l a ys y s t e m sh a sb e e no fg r e a ti n t e r e s tt oal a r g en u m b e ro f r e s e a r c h e r s t h em a i np r o b l e m sa r ch o wt or e d u c et h ec o n s e r v a t i s ma n dc o m p l e xa l - g o r i t h mo fc r i t e r i a t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sd e l a y d e p e n d e n tp r o b l e m sf r o mt h r e e a s p e c t s ：c o n s e r v a t i s m ，s i m p l i f i c a t i o na n da p p l i c a t i o n i nf a u l td e t e c t i o n ( f d ) f o rs t o c h a s t i cd i s t r i b u t i o ns y s t e m s ( s d s ) t h em a i nt o p i c si n c l u d e ： 1 f o rl i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ，t w ot y p e so fa u g m e n t e dl y a p u n o vf u n c t i o n a l s ( a l f s ) a r ec o n s t r u c t e da n de m p l o y e dt or e d u c e t h ec o n s e r v a t i s mo f t h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yr e s u l t s ：t h ef i r s to n ec o m b i n e st h ef r e e - w e i g h t i n gm a t r i x m e t h o dw i t han e w i n e q u a l i t yw h e ne s t i m a t i n gt h eu p p e rb o u n do ft h ed e r i v a t i v eo f l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，i nw h i c hp a r k si n e q u a l i t y0 1 7m o o n si n e q u a l i 哆c a nb ea v o i d e d t ou s ef o rs o m ec r o s sp r o d u c tt e r m s n eo t h e ro n ei n v o l v e ss o m en e ws l a c kv a r i - a b l e sa b o u tc r o s st e r m s ，w h i c hc a nm a k et h es o l u t i o no fl m im o r ef l e x i b l e t h en e w m e t h o dd o e s n te m p l o ya n yf r e e w e i g h t i n gm a t r i xt oe x p r e s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h et e r m si nt h el e i b n i z n e w t o nf o r m u l a b yu s i n gt h e s ea l e s ，t h el e s sc o n s e r v a - t i v ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i ac a nb eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h e s er e s u l t sa r c e x t e n d e dt ot h ed e r i v a t i o no fr o b u s ts t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rl i n e a rs y s t e m sw i t hl i n e a r f r a c t i o n a lf o r mu n c e r t a i n t i e s 2 s i m p l i f i e dd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i aa r ei n v e s t i g a t e df o rl i n e a rs y s t e m s w i t ht i m ed e l a y s t h et h r e et y p e so ft i m ed e l a ya r ec o n s i d e r e d ，w h i c ha r ei n t e r v a lt i m e v a r y i n gd e l a y , f a s ti n t e r v a lt i m e v a r y i n gd e l a ya n dc o n s t a n tt i m ed e l a yr e s p e c t i v e l y c o m p a r e d 、) l ，i lt h ep r e v i o u sr e s u l t si nt h i sa r e a ，i ti ss h o w nt h a tt h ep r o p o s e dr e s u l t s a r ee q u i v a l e n tt ot h e mb u ti n c l u d i n gf e w e rv a r i a b l e st ob ed e t e r m i n e d f u r t h e r m o r e ， i ti ss h o w nt h a tt h i sm e t h o dc a nb ee x t e n d e dt os i m p l i f yt h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l - i t yc o n d i t i o n so fn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y w i t ht h ep r e s e n t e ds t a b i l i t y 东南大学博士学位论文 c o n d i t i o n s ，t h ec o m p u t a t i o n a lb u r d e ni sl a r g e l yr e s e e da n dm o r ei m p o r t a n t ，s o m e c o n - t r o lp r o b l e m sc a nb ed e a l tw i t h 3 t h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yp r o b l e mi sc o n s i d e r e df o rn e u r a ln e t w o r k sw i t h t i m e - v a r y i n gd e l a y t h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n sa r ea s s u m e d t ob en e i t h e rm o n o t o n i cn o r d i f f e r e n t i a b l e b yc o n s t r u c t i n ga l fi n c l u d i n gs o m es l a c kv a r i a b l e sa n dt h eb o u n d o f t h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n s ，d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc o n d i t i o n sa l eo b t a i n e d t h e s ec o n - d i f i o n sa r eg e n e r a la n dl e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h ep r e v i o u sr e s u l t si nt h ee a r l i e rr e f e r - e n c e s b a s e do nt h eo b t a i n e da s y m p t o t i cs t a b i l i t yc r i t e r i a ，t h i st h e s i sf u r t h e ri n v e s t i g a t e s t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n gd i s c r e t ea n dd i s t r i b u t e d d e l a y s 4 t h ep r o b l e mo ff a u l td e t e c t i o nf o rg e n e r a ls t o c h a s t i cs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y s i ss t u d i e d t h ea v a i l a b l ei n f o r m a t i o nf o rf di st h em e a s u r e do u t p u tp r o b a b i l i t yd e n s i t y f u n c t i o n so ft h es y s t e mr a t h e rt h a ni t sv a l u e b yc o n s t r u c t i n ga l f sw h i c hi n c l u d e s s l a c kv a r i a b l e sa n dt h et u n i n gp a r a m e t e r , n e wd e l a y d e p e n d e n tf a u l td e t e c t i o no b s e r v e r s a r eo b t a i n e d i no r d e rt oi m p r o v ef a u l td e t e c t i o np e r f o r m a n c e ，t h e 叩t i m a la l g o r i t h m s a r ea p p l i e dt om i n i m i z et h et h r e s h o l d n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t e t h ea p p l i c a b i l i t yo ft h ep r o p o s e da p p r o a c h k e yw o r d st i m e v a r y i n gs y s t e m s ，c o n s e r v a t i s m ，s t a b i l i t y , f a u l td e t e c t i o n ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 东南大学学位论文使用授权声明 l 1 峰 一| 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 第一章绪论 第一章绪论 时滞现象广泛地存在于化工过程、航空航天、电子技术和交通系统中。除了 理想的情形之外，在实际控制系统中，由于执行器、传感器等元器件本身存在滞 后，因此系统方程中不可避免地带有时滞项。通常情况下时滞的存在会使系统的 性能指标下降，也是造成系统的不稳定的重要因素。因此，时滞系统的稳定性问 题一直以来都是自动控制理论研究的热点课题。 对于时滞系统的稳定性研究可以追溯到上一世纪五十年代，当时许多学者开 始试图将非时滞系统中的l y a p u n o v 理论推广至时滞系统，但都没有得到较好的结 论。直到1 9 5 6 年，k r a s o v s k i i 首次提出时滞系统的状态为x ( t d ) 而非z ( ) ，进而给 出判断时滞系统稳定性的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 定理 1 】。但l y a p u n o v k r a s o v s k i i 定 理需要进行大量的泛函运算，于是在运用定理判定系统是否稳定存在一定困难。 为此，r a z u m i k h i n 提出了r a z u m i k h i n 定理，该定理只需对l y a p u n o v 函数进行运算 而非对泛函进行运算，从而克服y l y a p u n o v k r a s o v s k i i 定理的缺点 2 】。然而，由 于没有一般的方法来构j 告l y a p u n o v 泛函或l y a p u n o v 函数，所得到的条件一般也只 是一些存在性条件而且不可能获得一般解。直至上世纪9 0 年代，随着m a t l a b 的发 展，r i c c a f i 方程或线性矩阵不等式( l m i ) 的求解变得非常容易，于是利用它们的解 来构造l y a p u n o v 泛函或l y a p u n o v 函数方法成为研究时滞系统的稳定性问题的新 技术，一大批与此相关的优秀结果相继出现( 见文献【3 _ 1 l 】) 。 1 1 时滞相关稳定存在问题及研究方法回顾 考虑线性时滞系统 0 ，s 0 ，r 0 。对y ( 艺) 沿系统( 1 4 ) 求导数，得到 矿( ) = z r ( ) 【( a + a d ) r t 1 + 只( a + a d ) 十s x ( t ) 一x l 一d ) s x ( t d ) + 啦 + 如r ( t ) a ：r a d 2 ( t ) 一矿( s ) 钙r a a 2 ( s ) d s ( 1 6 ) 其中 m = - 2 x 1 。( t ) p 1 a d 圣( s ) d s ( 1 7 ) 这种模型变换的优点：一方面可以保证变换前后的系统等价，另一方而可以 对交叉项叩1 利用p a r k 不等式一2 a 7 b + m 6 ) r m ( o + m 6 ) + 矿r b + 2 b r m b ，( r 0 ，m 是合适维数的矩阵) 抵消( 1 6 ) 中难以处理的积分项一正d 扩( s ) a 二r a d 2 ( s ) d s 。 然而不足之处是p a r k 不等式具有较强的保守性，并且对于如r ( ) 钙见4 扛( ) 项中圣( 亡) 的处理，该方法不是将新系统( 1 。4 ) 代入，而是将原系统( 1 1 ) 代入，这种代入的不 一致性也将产生保守性。此外，将原系统( 1 1 ) 代入如7 ( t ) a ：r a d 2 ( t ) 项中，会出现 d x r ( ) 印钙r a d a z ( t ) 和d z r ( 亡) a r a 二r a a a a x ( t d ) 项，这些项的存在会增加控制 器求解的难度，因此很难推广到综合问题。 ( 4 ) 广义系统模型变换【1 0 】； 圣( ) = y ( 舌) ， y ( t ) = ( a + a d ) x ( t ) 一也2 ( s ) d s ( 1 8 ) 引入如下广义l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 r 0i ti t v ( t ) = 7 ( 妻) e p ( ) + 掣r ( s ) r y ( s ) d s d o + 2 r ( s ) s z ( s ) d s ( 1 9 ) ，一dj t + e j t - d 其中 e = 舌吕 ，p = 笔墨 ，c t ，= ； 3 对y ( ) 沿系统( 1 8 ) 求导数，得到 矿( z ) = f ( 亡) f ( ) 一z 7 一d ) s x ( t d ) + 啦一 y r ( s ) n y ( s ) d s ( 1 1 0 ) 皿= p a ? 也二 啦一2 ( d 即，p 3 o 识 s 0 p d a ， + 一 a s 0 如 o ， 0r【掣 十1 卜d锄 东南大学博士学位论文 类似变换方法( 3 ) ，该变换可以保证变换前后的系统等价，并且对交叉项7 7 2 可 以采用p a f k 不等式或m o o n 不等式抵消( 1 1 0 ) 中积分项一正d y l ( s ) r y ( s ) d s 。此外， 由于松弛矩阵易，马的引入，可以通过设计岛和b 之间的比例关系求解控制器d o ， 也可以通过文献 9 】中的优化算法求解，从而克服了模型变换( 3 ) 不易求解控制器 的缺点。然而对交叉项现的界定仍然不可避免地产生保守性。 1 1 3 自由权矩阵法 h e 提出了一种处理时滞相关问题的新方法一自由权矩阵方法【6 】。该方法中既 不使用模型变换也不使用p a r k 不等式或m o o n 不等式。基本思想是通过引入自由权 矩阵来表示牛顿一莱布尼茨公式中各项的相互关系，如下式 ，t 2 i x r ( 亡) 1 十z r ( 一d ) n 2 】陆( 亡) 一圣( s ) d s z ( t d ) 】= 0 ( 1 1 2 ) 其中m 0 = 1 ，2 ) 是合适维数的自由权矩阵。然后将( 】1 2 ) 的左边加入到l y a p u n o v 泛函的微分运算中。由于这些自由权矩阵0 = 1 ，2 ) 可以使获得的l 能有更加 优化的解，从而可以提供比模型变换方法具有更小保守性的稳定性判据。但是， 该方法中对自由权矩阵选择没有相关的规则可寻，往往引入很多对降低保守性无 关的自由权矩阵从而增加了算法的复杂性，并且增加了推广到综合问题的难度。 1 1 4 积分不等式法 模型变换思想主要处理l y a p u n o v 泛函导数中的二次型积分项，z h a n g 2 7 ，2 8 】 通过自由权矩阵法，提出直接对这个二次型积分项进行界定的积分不等式法，形 式如下 一5 r , 飞m ( s ) 蜒即瞰) + 删 荔卜 yw ( 1 1 3 t)-d 一7 ( s ) x 圣( s ) d s f ) t ( 亡) + 必r ( 亡) i 去，rl x 一1iyw 7 】( 亡) ( 1 ) ， l ”j 这里 t = y 之y 二w y 二w 黝 ，f ( 右) = x ( ；t 竺d ) i 宰 一一 rl 、r 7 i一) i 其中x 0 ，w 为任意合适维数的矩阵。( 1 1 3 ) 就是利用( 1 1 2 ) 和m o o n 不等式得 到的，因此也存在对交叉项的界定方面的保守性。 1 2 增广型l y a p u n o v 泛函引入及研究现状 上一节中所介绍的各种处理时滞相关稳定性问题的方法具有不同的特点，但 4 第一章绪论 在降低保守性方面还存在不同程度的局限性，为了进一步说明它们的局限性，考 虑如下简单的线性时滞系统 拈 1 2 驯0 ，+ = ：三卜训， n 句 下面的表1 1 列举了采用上述各种方法所能获得的保证系统( 1 1 4 ) 稳定的最大容许 时滞时间。 表1 1 ：保证系统稳定的时滞上界h 2 方法 常时滞d ( t ) 离散l y a p u n o v 泛函法 6 1 5 一阶模型变换0 9 9 中立型模型变换0 9 9 基于p a r k 不等式的模型变换4 3 6 广义模型变换4 4 7 自由权矩阵4 4 7 积分不等式4 4 7 变时滞d ( 亡) ，d ( t ) p = 0 5 n o ta p p l i e d n o ta p p l i e d 1 7 4 2 0 0 2 0 4 2 o o 对于系统( 1 1 4 ) ，当d 是常时滞时，最大容许实际时滞时间为6 1 7 ，通过表1 1 可以 看到离散l y a p u n o v 泛函法最接近实际值，但该法不能处理变时滞类型并且算法复 杂。目前处理较好的方法又易于计算的就是自由权矩阵法，但该法与实际值还相 差较大。越来越多的学者己经意识到仅仅通过牛顿一莱布尼茨公式的形式增加 引入自由权矩阵不可能本质上降低结果的保守性。于是一些学者开始构建增广 型l y a p u n o v 泛函的方法来降低保守性，取得一些研究成果 2 9 - 3 1 。但是构造的这 些增广型l y a p u n o v 泛函普遍与自由权矩阵法相结合使用，所得到的结果虽然比上 述的几种方法有更小的保守性，但尚存在如下不足之处： 没有明确在构造的增广型l y a p l l i l o v 泛函哪些矩阵对降低结果保守性起决定性作 用； 引入了大量的矩阵，增加了算法的复杂性并且很难推广到控制综合问题； 目前增广型l y a p u n o v 泛函法尚只应用于线性系统稳定性分析问题，应用范围有 待于进一步拓宽，尤其在各种复杂的动态系统问题中的应用尚不多见。 总之，增广型l y a p u n o v 泛函法是关于时滞系统性能分析与综合方面的一个新 的研究方法，它的提出为发展了数十年的时滞系统研究注入了新的思路。由于上 述的一些不足之处，仍有许多工作值得进一步研究。 1 3 本论文的主要研究内容及创新点 5 东南大学博士学位论文 1 3 1 主要研究内容 本文从保守性、简化性及应用等方面对时滞相关稳定性分析问题进行了研究， 其组织结构图如下 简化性 第三章线性系统时滞相关稳 定判掘的等价性分析 第五章时滞神经网络的简化 型时滞丰u 关稳定判据 图1 1 ：本论文组织结构图 具体内容是这样安排的： 第二章针对变时滞线性系统，通过构造两种不同形式的增广型l y a p u n o v 泛函 的方法讨论了时滞相关稳定判据的保守性问题。第一种主要利用广义模型变换法 与自由权矩阵法相结合的思想，构造了一个包含自由权矩阵的增广型l y a p u n o v 泛 函，该泛函在求导过程可以避免广义模型变换法在处理交叉项过程中使用m o o n 不 等式，同时，由于在求导中采用新型的放缩技巧从而可以降低结果的保守性；第 二种主要在传统的l y a p u n o v 泛函的基础上通过增加引入交叉项的方法构造增广 型l y a p u n o v 泛函，该泛函虽然不包含任何通过牛顿一莱布尼茨公式形式引入的自 由权矩阵，但引入与交叉项相关的新矩阵可以使获得的l m i 得到更优解，因此也 可以降低现有一些方法的保守性。利用这两种泛函获得的保证系统稳定的时滞相 6 第一章绪论 关判据很容易推广到具有线性分式型不确定性的系统，得到具有更小保守性的时 滞相关鲁棒稳定判据。 第三章针对具有区间变时滞、区间快变时滞、常时滞三种不同时滞类型的线 性系统，分别给出不包含任何自由权矩阵的简化型时滞相关稳定性条件。这些条 件不仅和目前存在的一些包含自由权矩阵的稳定条件是等价的，而且包含的变量 更少，算法也更简单。 。 第四章讨论一类具有非单调、非可微型激励函数的变时滞神经网络模型的时 滞相关渐近稳定性问题。这里的时滞包含两种类型，一种是时滞连续且可微，另 一种是时滞连续但不可微。针对这两种时滞类型，通过构造包含松弛矩阵和激励 函数界信息的增广型l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，获得了更具一般性、保守性更小 的时滞相关渐近稳定性判据。并在此基础上，进一步研究了具有混合时滞的神经 网络的指数稳定性问题。 第五章首先基于一个简单的积分不等式获得了一个不包含任何自由权矩阵的 时滞神经网络模型时滞相关稳定性判据。该条件考虑的是非单调，非可微类型的 激励函数。当激励函数为单调，可微时，也可以通过类似方法获得相应的时滞相 关稳定性条件。所提出的稳定条件与目前一些研究成果相比，一因其没有引入大量 的自由权矩阵，因而可以显著降低在求解l m i 过程中运算量。 第六章将处理时滞相关问题的一些思想，应用到时滞随机系统的故障检测。 这里可以量测信息是系统的在线随机输出分布，而并非输出变量在样本时刻的量 值。于是，首先利用b 样条逼近将输出概率密度函数( p d f ) 转化成动态权系数，进 而建立了带有时滞的非线性不确定性权动态模型；然后，通过构造包含松弛矩阵 和可调参数的增广型l y a p u n o v 泛函，得到了基于p d f 的时滞相关型故障检测方法。 在随后的故障评估中，通过保性能上如算法优化阈值，从而提高了故障检测的灵敏 性。 第七章针对一类同时具有建模误差和时滞的随机分布系统，考虑建模误差和 时滞现象对于故障观测器设计及阈值选取的影响，给出了基于输出概率密度函数 信息时滞相关故障观测器设计方法。该设计能包含现有的一些文献中的方法作为 特例。最后，仿真算例证明了本章方法的有效性。 第八章对增广型l y a p u n o v 泛函方法在区间变时滞线性系统、时滞神经网络的 时滞相关稳定性分析进行了总结，并对在故障检测方面的应用及时滞相关条件研 究的困难进行了展望。 7 东南大学博士学位论文 1 3 2 创新点 本论文针对时变时滞系统稳定性分析的两个核心问题一保守性和简化性问题， 提出了新型的研究工具和技巧，得到了比较前人结果具有更小保守性和计算量的 新判据。本研究工作的创新之处主要有以下几个方面： ( 1 ) 提出了一类新型的增广型l y a p u n o v 泛函，采用该类泛函可以降低现有的一些 时滞相关稳定判据保守性的。其形式主要包括以下两种：一种是包含通过牛顿一莱 布尼茨公式引入的自由权矩阵的增广型l y a p u n o v 泛函，一种通过引入交叉项构造 的增广型l y a p u n o v 泛函。两种形式都可以避免广义模型变换对于交叉项的处理。 此外，第一种形式的增广型l y a p u n o v 泛函可以包含自由权矩阵法，但引入的变量 较少同时采用新型的放缩不等式。第二种形式的增广型l y a p u n o v 泛函由于与交叉 项相关一些松弛矩阵的作用，可以得到具有更小保守性时滞相关稳定判据。 ( 2 ) 对目前存在的一些时滞相关的稳定判据，给出了它们等价的简化型条件。于是 避免一些不能起到降低保守性作用的自由权矩阵的引入，从而简化的算法，提高 了运算速度。 ( 3 ) 将处理时滞相关稳定性问题的一些技巧应用到随机分布时滞系统故障检测问 题，获得了包含时滞信息的具有更高故障检测灵敏性故障检测方法。 8 第二章线性变时滞系统稳定性分析 第二章线性变时滞系统稳定性分析 广泛出现在各种工程、生物和经济等系统中的时滞现象常常是造成系统不稳 定主要因素。因此，对时滞系统的稳定性研究具有重要的理论意义和广泛的应用 前景。根据所获得的稳定条件是否依赖于时滞的大小，在时滞系统分析问题上已 经取得的主要研究成果大体上可以分为时滞无关和时滞相关两类。时滞无关稳定 条件的求解没有考虑系统中时滞的大小，所得结果适用于任意大小时滞的系统。 然而，当实际系统中存在的时滞较小时，应用时滞无关稳定条件解决系统的分析 会不可避免的引入较大的保守性。因而，近年来，越来越多的学者把注意力放在了 时滞相关稳定条件的研究上。例如，文献 1 2 ，1 4 ，1 9 ，3 2 - 3 4 】等考虑了线性定常时 滞系统的时滞相关问题，文献【1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 8 ，2 1 ，2 3 - 2 5 ，2 9 - 3 1 ，3 5 等研究了时变时 滞线性系统的时滞相关问题。对于时滞相关问题，目前所采用的方法主要是广义 模型变换法和自由权矩阵法。但是在使用广义模型变换法时，通常要利用p a r k 不 等式或m o o n 不等式，这样会导致结果有较大的保守性。而自由权矩阵法可以避免 使用这些不等式，相对保守性较小。然而也存在如何有效的选取自由权矩阵的问 题，因此也具有一定的局限性。 另一方面，由于系统建模的误差和工作环境的变化，系统常常存在着不确定 性，许多学者对此进行了研究 2 7 ，3 6 - 3 8 。不过目前普遍研究是范数有界型不确 定性 2 1 - 2 3 ，3 9 - 4 1 】，对于更具有一般性的线性分式型不确定性【4 2 _ 4 5 】研究还相 对较少。此外，现有的一些文献 1 0 ，11 ，1 3 研究的时滞变化范围都是从0 开始，然 而在许多实际的系统，如网络控制系统，时滞变化是在一个区间，而非从0 开始 的。考虑到这种时滞类型潜在的应用前景，许多学者开始关注它 2 3 ，4 6 ，4 7 。 本章针对一类变时滞线性系统，通过构造两种不同形式的增广型l y a p u n o v 泛 函的方法讨论具有区间变时滞系统的时滞相关稳定性问题。第一种主要针对区间 下界为零的情形，通过广义模型变换法与自由权矩阵法相结合的思想，构造了一 个包含自由权矩阵的增广型l y a p u n o v 泛函，该泛函在求导过程中可以避免广义模 型变换法在处理交叉项过程中使用p a r k 不等式或m o o n 不等式。此外由于求导中采 用了新型的放缩不等式从而可以获得比文献 1 9 ，3 0 ，4 6 具有更小保守性的稳定性 判据。第二种主要针对区间下界非零的情形，通过在传统的l y a p u n o v 泛函的基础 9 东南大学博士学位论文 上增加引入交叉项的方法构造新的增广型l y a p u n o v 泛函。该泛函不包含任何通过 牛顿一莱布尼茨公式形式引入的自由权矩阵，而是通过引入与交叉项相关的松弛 矩阵使获得的l m i 得到更优化的解，从而也能有效降低结果的保守性。随后在此 基础上，将所获得的时滞相关的渐近稳定条件推广到具有线性分式型不确定性的 系统，得到完全基于l m i 的时滞相关鲁棒稳定性条件。 2 1 系统描述 首先考虑如下具有区间变时滞的标称系统 粥三髫+ v t 样- h 一2 ，掣 亿， i z ( ) = 西( 亡)【，0 】 p “7 这里z ( t ) 舻是状态变量，矩阵a ，也是具有适合维数的常数矩阵。时滞d ( 亡) 满 足如下条件 h i d ( t ) h 2 ，l d ( ) i p ( 2 2 ) 这里0 h i 0 是常数，并i e ih l 可以不等于0 。初始条件西( ) 表 示t 【一 2 ，0 】上的连续初始向量函数。 其次本章还将讨论如下具有时变分式不确定性和区间变时滞的线性系统 粥三翁从v t 弹- h + 2 ，0 扩龇净 “ ” ( 2 3 ) i - z ( t ) = 圣( t )【，】 p “7 其中，不确定性矩阵a 和九具有如下形式 a a a aa b _ d a ( t ) a 心。】( 2 4 ) 这里d ，n a 和 k 是具有适合维数的常数矩阵，而人( t ) 具有分式型不确定矩阵， 且满足 a ( ) = ，一f ( ) 卅一1 f ) ( 2 5 ) 其c j 是常数矩阵，f ( t ) 具有l e s b e s g u e n - 钡l j 元的不确定矩阵，且满足如下条件 j j 厂 0 ( 2 6 ) 和 f ( ) p ( t ) ， ( 2 7 ) 这里，j 表示适合维数的单位矩阵。 第二章线性变时滞系统稳定性分析 注释2 1 当j = 0 时，本章所讨论的分式型不确定性恰好就是文献 2 1 - 2 3 ，3 9 ， 4 h 中所研究的范数有界型不确定性。也就是说，分式型不确定性可以包含范数 有界型不确定性作为一种特例。此j l - ，条件( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可以保证j f ( t ) j 是可 逆的。 为了处理时滞项和分式型不确定性，需要用到如下的引理。 引理2 1 【1 6 】给定正定矩阵m 舒加。对于标量，y 0 ，向量函数u ：【0 ，r 】一 舻有如下的积分不等式恒成立 ( 小s ，如) 2m ( z 1w d s ) 7z 0 7 0 t 讹幽 引理2 2 对于任意的标量眦0 ，w 2 0 ，如果0 d 。d ( 亡) d m ，那么 有如下不等式成立 志+ 志撕n t 糟，糟， 证明 mw 2 d ( t ) 一如- 4 - d m d ) 一- - - - - - - - - - - - - 一：= m w 2 w x - ! - w 2 阢+ w 2 d ( t ) 一d m d ) d m 一如d m d 去 石w 1 + 忑w 2 + 眦( 南一i 五1 ) + i 一石忑1 ) 啊+ w i ( d m d ( 亡) ) 2 + w 2 ( d ( t ) 一如) 2 2dm-d。+(dm-dm)(d(t)-d,。)(dm-d(t) ，粥手呖手2w v w 丽i w 2 瓦乒i _ 如果m w 2 ，有硒警磊+ 禹啦d m 一业d m ；如果肌w 2 ，：有nd ( w ) 一i d ，i l d m w 一2 丽 面3 w 忑1 + 1 4 = , 2 ，证明完成。 口 引理2 3 假设a ( t ) 满足条件( 2 5 ) 一( 2 7 ) ，m = m r ，s 和是给定具有合适维 数的矩阵，不等式 m + s a ( t ) n + 下( ) 0 ，对于所有满足f ( 亡) p 。( t ) i 的f ( 亡) 有如下不等式 成立 rm s o n r1 i 一叩，7 7 ，i 0 ，使得 厨十 e 嘲嗡 一i 夕7 - l e 0 ，q 0 ( i = 2 ，3 ) 基于l y a p u n o v 泛函( 2 1 2 ) 可以得到如下的定理。 1 3 0 0 岛忍 o r 0 0 只q ：| 恳r 东南大学博士学位论文 定理2 1 给定标量0 0 ，q 0 ( i = 2 ，3 ) ，r 1 0 ，以及任意合适维数的矩阵只( i = 2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ) ，使得如下的l m i s 成立， 1 = h 2 = f i l l岔p 6 + p l 一鼍 幸 一p 8 一露+ h 2 r 1 车木 幸宰 宰幸 | ：木 1 - i l l a , - p 6 + p i 一鼍 幸 一p b 一焉+ h 2 r 1 宰木 木木 木丰 木木 1 3 露凡 3 3 木 宰 幸 一p 乏 一鼍一r 000 一焉一碍一焉 q 2 0 0 木 一盖冗l 0 枣 木 一元1 。r 1 一磁 0 一k q 2 木 宰 一鼍 0 一焉 0 一三日， 圯1 木 则满足时滞约束( 2 2 ) 的标称系统( 2 1 ) 是渐近稳定的。这里 一p 互 0 一焉 0 0 一毒r ， r i l l = 巧a + a r p 2 + 岛+ 露+