（应用数学专业论文）具有非线性边界条件的椭圆方程解的存在性和多重性.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 具有非线性边界条件的椭圆方程解的存在性 和多重性木 学科专业。应用数学 指导教师：吴行平教授 摘要 研究方向：非线 生分析 研究生：李虎( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 6 ) 本论文主要研究带有非线性边界条件的椭圆方程用变分法和一些分析技巧 得到了其解的存在性和多重性首先我们讨论了下面椭圆系统解的存在性和多重 性 l - a u + t = 凡( “， ) ， z q ， - - a v + 钉= r ( t t ，u ) ， z q ，( 1 ) 【爱= a g 。( 也，t ，) ，努= a g 。( u ，t ，) z a q ， 这里q 是r ( 3 ) 中的有解区域，具有光滑边界a q 我们定义r 手= 【0 ，) 0 ，。o ) f ：财一r 和g ：耐一r 满足： ( 9 1 ) 只g c 1 ( 财) ；对所有( y ，彳) r 手，f ( 耖，z ) 20 和a ( y ，z ) 0 ；f ( y ，z ) 0 和g ( 可，z ) 0 ( 9 2 ) 存在2 口 2 + = 素邕和1 声 0 ，使得对所有0 a 等， 系统例至少有两个正解 基金项目：国家自然科学基金资助项目( m 7 7 1 1 1 3 ) 西南大学硕士学位论文中文摘要 接下来本文讨论了如下椭圆方程 l 一u + t 一p 许= l u l p 2 t z q 0 ， 、舅刮卵q z 帆 ( 2 ) 这里0 qcr 是一个带有光滑边界的有界区域，0 p 万= 螋4，1 q 2 0 主要结果是下面的定理： 定理2 假设l q 2 p 2 + ，0 p 0 使得对所有o a 入。 方程例有一个解序列毗c 日1 ( q ) ，满足i ( u k ) 0 ，i ( u k ) 一0 当一o o 定理3 假设1 q 2 p 2 + ，0 p 0 使得对所有0 a 0 ，( 缸) 一。当k o o 关键词半线性椭圆方程；非线性边界条件；n e h a r i 流形；临界指数；喷泉 定理；对偶喷泉定理 i i 西南大学硕士学位论文 英文摘要 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s f o re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o n 1 m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t yl n o n l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f w ux i n g - p i n g a u t h o r ：l ih u ( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 6 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa r es t u d i e db yt h ev a r i a t i o n a lm e t h - o d sa n ds o m ea n a l y s i st e c h n i q u e s f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m s i nq i nq o na q ( 1 ) w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni nr w i t hs m o o t hb o u n d a r ya qa n dt h ep a r a m e t e r a ( 0 ，。) w cd e f i n e 财= 【0 ：。o ) f 0 ，。) f ：财一ra n dg ：财一rs a t i s f y ： ( 夕1 ) eg c 1 ( 砑) ；f ( y ，：) 0a n dg ( v ，：) 0f o ra l l ( y ，z ) 砑；f ( v ：石) 0a n d g ( v ，石) 0 ( 夕2 ) t h e r ee x i s t2 q 2 = 鹃a n dl p 0s u c h t h a t ，f o r0 a 等，s y s t e m ( 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 11 1 3 ) i i i 0 g i i n 吐c 巷万 似 l 蹦戤 训 i | = 小 u 妙 g + 十 a u u = 让一 一 一 a a 西南大学硕士学位论文 英文摘要 s e c o n d l y , t h ef o l l o w i n gs i n g u l a rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mw a ss t u d i e d ： = p 一2 t i nq o ， o na q w h e r e0 qcr i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y , 0 p 瓦= 型业4，1 q 2 0 ：王，d e n o r e st h eu n i to u t w a r dn o m 出v e c t o r t ob o u n d a r y0 q t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m2 a s s u m et h a t1 q 2 p 2 + ，0 p 0 s u c ht h a tf o ra n y0 a a ot h e np r o b l e m ( 2 ) h a sas e q u e n c eo fs o l u t i o n su kc h 1 ( q ) ， s u c ht h a tl ( u k ) 0 ，i ( u k ) 一0a sk 一。o t h e o r e m3 a s s u m et h a t1 g 2 p 2 ，0 p 0 s u c ht h a tf o ra n y0 a 0 ，i ( u k ) _ o 。a sk _ 。o k e y w o r d s s e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ；n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n ；n e h a r i m a n i f o l d ，c r i t i c a le x p o n e n t ；f o u n t a i nt h e o r e m ；d u a lf o u n t a i nt h e o r e m 寺 u p c ：i 一 口 u 卜 卜 a u l i 越c 蔷一如 ，ij、l【 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：枣愚 签字日期： 寥曲；年多月j ) 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：坼保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：杏虎 导师签名：滚彳孑f 签字日期： 众呻年岁月侈日签字日期：叼年y - 月3 日 7 西南大学硕士学位论文第1 章前言与文献综述 第一章、前言 变分法是一种将自然界中的大量问题归结为某个泛函在一定条件下的极值 问题或临界点问题的方法，其中极值问题是变分原理中最简单又最基本的问题 临界点问题是极值问题的进一步发展，它主要研究泛函临界点的存在性和多重性 以及临界点附近的拓扑性质 近几十年来，近代变分法逐渐完善并蓬勃的发展起来，近代变分法主要包括 极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠拓扑方法，研究一般的、未必 是极值点的临界点 1 9 7 3 年，a a m b r o s e t t i 和p r a b i n o w i t z 的山路引理( m o u n t a i np a s sl e m m a ) 可 以说是临界点理论发展史上的一个里程碑，随后的鞍点定理( s a d d l ep o i n tt h e o - r e i n ) 和环绕定理( l i n k i n gt h e o r e m ) 是对山路引理的进一步推广1 9 9 2 年，b a r t s h 的喷泉定理( f o u n t a i nt h e o r e m ) 和1 9 9 5 年，b a r t s h - w i l l e m 的对偶喷泉定理( d u a l f o u n t a i nt h e o r e m ) 对我们研究方程的多解提供了有力的工具。这些抽象的定理对 于我们寻求椭圆问题的非平凡解的存在性和多重性有很大的帮助 第二章、文献综述 我们考虑如下椭圆方程问题解的存在性和多重性 f 一t 正+ u = f u ( u ，口) ， z q ： 一a v + 口= r ( ，”) ， z q ； ( 1 ) 【雾= a g 。( 蚺= a g 加) z 锄， 这里q 是r ( 3 ) 中的有解区域，具有光滑边界a q 。我们定义p , 4 = f 0 ，) f 0 ，。) f ：p 4 一r 和g ：砑一r 满足； ( 9 1 ) f ，g c 1 ( 砑) ；对所有( y ，石) r 手，f ( y ，z ) 0 和a ( y ，z ) 0 ；f ( y ，；) 0 和a ( y ，z ) 0 渤) 存在2 q 2 + = 青岛和l 卢 0 ，使得对所有0 1 ，2 q 1 + o t 2 2 ， 1 0 使得如果参数( a l ，a 2 ) 【0 ：。) 【0 ，。c ) 满足 0 a ；叫+ a ；1 c ：系统( 3 ) 至少有两个正解 在【2 】，作者研究了系统( 3 ) 的非平凡非负解的存在性在【9 】，作者研究了 p l a p l a c i a n 方程弱解的存在性在【1 4 】，通过“喷泉定理”和对偶喷泉定理”， 作者对一个带有非线性边界条件的p l a p l a c i a n 方程得到了无穷多个弱解 在第二部分中，我们研究如下方程 j ，一u + 乱一p 静= 2 “ 1 瓦3 u = 冰| q - 2 u o q o ) ， x a q 这里0 qcr 是一个带有光滑边界的有界区域，0 p 面= 螋4，1 q 2 0 近几年，人们对涉及具有s o b o l e v 临界指数的算子一一芒访( o p 万) 的奇 性问题解的存在性越来越关注( 见【1 5 】， 1 6 ，( 17 j ) 对于带有非线性边界条件的问 题( 2 ) ，当p = 0 ，在 1 8 | 证明了下面的定理 定理b p 和q 满足1 q 2 p ，1 q q + = 瑚掣和1 p 0 使得如果0 0 在本文， 我们记x = h 1 ( q ) 取kc 日1 ( q ) 是一个k 维子空间使得u l o n 0 对所有的 u k ，乱0 定义1 ( 1 9 1 ) 丁c 1 ( x ：r ) 和c r 泛函，满足( p s ) ：条件，如果对每一个 ( ) cx 使得 u 哪，j ( ) 一c ，l t 。( t ) 一0 在x + 中，当n j o 。 有一个收敛子列 定义2 ( 【19 】) 对j c 1 ( x ：r ) 和c r 泛函j r 满足( p s ) 。条件，如果对任何 序列( n ) cx 使得 j ( 乱。) 一c ，j 7 ( u 。) 一0 当竹一o o 有一个收敛的子序列 对偶喷泉定理( 2 0 1 ) ，c 1 ( x ，冗) 是一个偶泛函如果对每一个k k o ：存在 p k 7 砖 0 使得： ( a 1 ) 。r 。景恸i ( 乱) o ， ( a 2 ) 6 r 。嘏筒：饥i ( t ) 1 k 0 使得： 3 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 ( b 1 ) 口奄会。k i ，n i j 。f l i ：mj ( t 正) o ( b 2 ) b k 全 m 。a , xj ( 乱) 一o 。，k 一。， u e z k i l u l l = t k 、7 ( b 3 ) ，满足( p s ) 。条件对c 0 ， 那么，有个解序列，其对应的临界值是无界的 4 西南大学硕士学位论文 主要结果 第四章主要结果 4 1 一类带有非线性边界条件的半线性椭圆方程正解的存在性 本节考虑如下椭圆系统 f 一乱+ 让= 凡( ”，掣) ， z q ， i - a v + u = r ( “，u ) ， z q ，( 1 ) 【赛= a g 。( “，t 7 ) ，舄= a g 。( 牡，u ) z a q ， 这里q 是r ( 3 ) 中的有解区域，具有光滑边界a q 我们定义磁= 【0 ，i x ) ) 0 o o ) f ：砑一r 和g ：磅一r 满足： ( 9 1 ) eg c 1 ( 对) ；对所有( y ，名) 财，f c y ，z ) 2o 和g ( 萝，z ) 0 ；f ( y ，z ) 0 和c ( y ，z ) 0 ( 9 2 ) 存在2 q 2 + = 鹊和1 p 0 ，使得对所有0 1 ，a 3 1 ，0 1 4 1 ，2 n l + 0 ：2 2 。，2 q 3 + q 4 2 + ，l 卢 2 ， ( y ，z ) 砑 4 2 一类带有非线性边界条件和h a r d y 项的凸凹非线性问题 本节考虑下面半线性椭圆问题 | - - a a 。”| ：驴m p 以锄吣： ( 2 ) 1 嘉刮卵。2 似 z a r t ， 西南大学硕士学位论文 主要结果 这里0 qcr 是一个带有光滑边界的有界区域，0 肛 瓦= 咄4 ，1 口 2 o 我们有下面的结果： 定理2 假设1 口 2 p 2 ，0 p 0 使得对所有 0 a a o 方程( 2 ) 有一个解序列牡南ch 1 ( q ) ，满足i ( u a ) 0 7i ( u k ) 一0 当 七_ o o 注2 显然我们的结论包含了p 彰中定理1 的结论 定理3 假设1 q 2 p o ，； n o = ( t ，砌) i ( 圣7 ( u ，口) ，( u ：u ) ) = o ) ； n 一= ( u ，口) i ( 圣7 ( ，口) ，( u ：口) ) 0 使得n o = 仍 当0 入 0 成立如果( 乱，_ t ，) n o ：由( 4 ) ，( 6 ) 和( 7 ) ， 我们有 意南札，洲= 厶g ( 一如 sm ( i u l 2 + ) 譬d s m ( 小s ) 学( 小。制如) 譬 m ( 厶墙) 下州叩川卢 这表明 u 川l l 。 ， 取 肛( 焉) ( 茄每) 器赤地 ， 由( 1 0 ) 和( 1 2 ) ，我们得到，如果( u ，口) n o ，那么a a 因此，如果0 a 0 ( u ，v ) e n 一 证明如果( u ，口) n ，我们有 m m = 等1 1 ( 删) 1 1 2 _ 定- af o r t g ( u + 矿) d s 百& - 2 | i ( 刚) 1 1 2 一宰a m 舻( z n l d s ) 彳i i ( 邺) l | p ( 1 4 ) ( i ) 取( 仳，t ，) n + ，由( 4 ) 我们有 不2 - 丽3 u 川1 1 2 上fi t ，v + ) 如 ( 1 5 ) 由( 1 5 ) ，我们可以得到 m 川= ( 互1 一万1 ) 叭u m1 1 2 + ( 茜一，) 互m + 矿) 如 ( ( 三一去) + ( 茜一，) ( 筠) ) i i ( u , v ) 1 1 2 ：一坠趔)ilz2 = 一一l i i ，t ，i 一 a 3 “、一。7 ” 那么， ( 即i 缈n f j ( 钍，口) or 因比 i n f j ( u ， ) i n f + 地t ，) ( 赫) 南( m 以邶m 卢( 掣) f o el d s ) 彳a m ) ( 茄) 南( m 属邺卢( 孚) ( z n 如) 彳等m ) =一1瓣2-f12m a ( a) 雨( 譬) ( 1 - 争 = 一一i i i l 一一i 一p ) s n q、 p 7 0 ( 1 8 ) 对a ( 。：等) 成立，这里k ( q ，p ，m , s ) ：( 喾) ( 碌转) 喾那么，如果 a ( o ，等) 存在d 0 o 使得hj 一j ( 札，u ) d o 成立口 引理4 假定f 和g 满足( 9 1 ) ，( 9 2 ) 和( 夕3 ) a ( o ，等) 和( 1 1 , ， ) h 如果 厶f ( u + ，矿) 如 0 ，那么存在唯一的t 2 0 使得( t 2 1 t ，t 2 v ) n 一并且j ( t 2 u ，t 2 v ) = s u pj ( t u ，t v ) 证明取( 仳， ) h 并且满足如f ( u + ，矿) 出 0 取 o ( ) = 2 一p1 1 ( 札，u ) 1 1 2 一a 尸一p f ( u + ，t ，+ ) 如 这里t 0 显然有，n ( o ) = 0 ，n ( ) 一一o o 当t 一。c 由于 n ，( z ) = ( 2 一p ) z 1 一pi i ( u ，们) 1 1 2 一q ( n 一) 口一卢一1 f ( u + ：u + ) 如 对t 0 我们有。他) = 0 当t = t ，( t ) 0 当t 【0 ，t + ) 和n 他) 0 ( 1 9 ) 望壹查兰丝坚耋垒篁兰兰二：= ：= ：= ：= ：耋尘墅童塑 由( 9 ) ，( 1 3 ) 和( 1 9 ) ，我们获得 0 入芦g ( u 十：v + ) d s ，刮2 s 砌( 口d s ) 彳s p i i ( u 问垆 等舯j ( 厶d s ) 平s 卢1 1 ( 叩圳卢 s 去i i ( , v ) 1 1 口( 骞) ( 硒2 - , 3 ) 耩 口( t + ) ， 即， ， a p g ( 让+ ，口+ ) d s n ( t + ) 对a ( 0 ，入+ ) 因此，存在唯一的t l 和t 2 使得0 t l 0 ，( t 2 ) 由 ( j 7 ( t 2 u ，t 2 v ) ，( t 2 u ，t 2 v ) ) = t ；i i ( 乱，u ) 1 1 2 一q t 呈zf ( u 十，口+ ) 如一t g 帮j 毛ng ( 矿，矿) 幽 ，q a 2 = 芎k ) 一即z n 卿十矿) 叫= 。 ( 2 一p ) t 2i i ( 让) 1 1 2 一q ( a f 1 ) t 口f ( “+ ，口+ ) 如= z 卢+ 1 口7 ( t ) 0 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 引理5 假定f 和g 满足( 9 1 ) ，( 9 2 ) 和( 9 3 ) 取a ( 0 ， ) 和( u ， ) 日，如果 k g ( u + ， + ) d s 0 ，那么存在唯一的 。 0 取 6 ( t ) = t 2 一。i i ( u ，u ) 1 1 2 一a 犀p 一。g ( t + ，t ，+ ) d s 这里t o 显然，6 ( z ) 一一0 0 当t 一0 + ，b ( t ) 一0 当t 一。因为 6 ，( ) = ( 2 一q ) z 1 一ai i ( “，u ) 1 1 2 一a p ( p q ) t 卢一。一1 g ( t t + ，u 十) d s ， 我们有6 ，( z ) = 0 当t = t 。，u ( t ) 0 当t ( 0 ，t 。) 和6 ，( ) ( 一释p 赫( z ng ( 乱+ 矿) 如) 骞( 箬) 留( 拦) ”圳瞥 ：m 业2 - a ( 刍) 料( 厶l d s ) 孚( 厶毗d s ) 骞刚川料 q 铲ml | ( u ，可) 2a f ( 乱+ ，u + ) d x ， 即， 0 q f ( u + ，u + ) d z b ( t 。) 因此，有唯一的一个t l 使得0 o ， ，a n 我f f 有( t l 牡，t l v ) 十由 旦d t j ( 地纫) = 圳( 乱，口) 俨一俨。q z f ( “+ ，u + ) 如a 护qz q g ( 乱+ ， 十) d s = r 1 ( 吣) 一n z m + ，如) 丢j ( 地幻) = 俨。1 ( 琊) 一q 上fi t , v + ) 如) 。 当t ( t l ，以) ，我们获得j ( t l u ，t l v ) = ! n f i ( t u ，t v ) 这就结束了证明口 u 定理4 假设( 9 1 ) 一( 9 4 ) 满足和参数a ( 0 ，a ) ，那么j 在+ 中有一个极小值点 ( i t o ，v o ) 并且它满足 ( i ) ju o , v o ) 2m ，i 。n j f j ( 乱，口) 。( 。，。i ) n f + j ( u ， ) ； ( i i ) ( 牡o ， 2 0 ) 是系统以) 的一个正解 证明设 ( “。，t ，。) ) 是，在+ 上的一个极小化序列由( 1 4 ) 我们可以得到 f ( ，) ) 是一个有解序列由于h 是个h i l b c r t 空间，那么存在( 伽，功) h ， 使得( 乱n ，) 一( 扎o ，v o ) 由嵌入的紧性，我们有 锄一咖，。t f 0 在日1 ( q ) 中弱收敛， _ 蜘，_ 铷 在胪( a q ) 和在l 。( q ) 中强收敛这表明 正g ( 砖，对) d s 一g ( 对，对) 如当船一o o ； ，a n j a n 上f ( 乱去，晴) 出一z f ( u 吉： 手) 如当孔一。( 2 。) 由于 ，( ， n ) = 百a - 21 1 ( 乱n ，) i i 2 _ a aq - o n g ( “者，u 毒) d s ， 1 3 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 由引理7 ( i ) l i m 了( ，) 0 下面我们证明 u n _ u o v n _ v o 在日1 ( q ) 中强收敛假设结论不成立，那么我们有：或者 “。1 1 日 l i 。m 。i 。n fi l “nf i 日- 或者i i 伽i | 日 0 ，那么存在唯一的0 q 五f ( 札者，晴) 如 1 4 ( 2 4 ) 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 b y ( 4 ) ：我们可以得到 厶g 砌5 蛀群独( 2 5 a 9 ) ，a nl q p j 由( 2 5 ) ，引理5 和( 乱。，v n ) n 十，我们有，( ，) 1 更进一步，我们可以得到 6 ( 。，) ( 1 ) = l i ( t 他，) 1 1 2 一郑g ( u ：，v + ) d s = q f m ，瞄) 如 ( 2 6 ) 和6 ( 。) ( ) 在t ( o ：z 。( u 。，u 。) ) 中是增函数这表明 6 ( 。) ( ) o f ( “：，咭) 如对所有的t ( 0 ，1 成立 ( 2 7 ) ，n 当挖充分大时，由( 2 4 ) 和( 2 7 ) 我们有 由( 2 2 ) 和( 2 8 ) ，我们获得 1 t l 如( 伽，v 0 ) ( 2 8 ) j ( m a 如) 揣| | ( 删n ) i | 2 由( 1 7 ) 和( 2 9 ) 存在一个正常数d 使得 f ( u 妄，咭) 如 d 这表明 f ( 乱j ，u ，) 出d 0 下面我们证明 ( 2 9 ) ( 3 0 ) 在目1 ( q ) 中强收敛假设结论不成立，我们得到或者 jju i i h - 0 ( 3 1 ) ，q“l u j 由( 3 1 ) 和引理4 ，我们得到j ( ，v n ) j ( t u n ，t v 。) 对所有的t 0 因此， j ( 。2 u + 也仉) 熙了( 2 u n t 2 y n ) 。l 。i m 。j ( 牡n ，) 。躲一j ( t ，口) ， n 一 n _ h 小f 一 这是一个矛盾因此 乱n i t , ，1 2 n 仉， 在日1 ( q ) 中强收敛这表明 j ( u n , v n ) 一j ( u ：仉) 2 ( 。，j 舀一j ( u ：v ) 当n _ 。【u ，vj t f v 一 由 ( 圣n + ，仇) ，( u + ，仉) ) 2 溉( 西7 ( ，) ，( ，口n ) ) o 和引理2 ，我们有 ( 圣7 ( 。，u 。) ，( 让+ ，t ，。) ) 0 使得 i i - - - a ( 厂i u 严如) ；1 ，地日1 ( q ) ， ( 3 4 ) 和 | | 乱| i m ( i u i 。d s ) 百1 ，v u 日1 ( q ) ( 3 5 ) j a q 成立 下面我们证明( p s ) ：条件，它在我们定理2 的证明中起着重要的作用 引理6 假定1 口 2 p 2 ，0 p 矿如果 一。 c 0 ， 那么j 满足( p s ) ：条件 ( 3 6 ) 证明：假定 乱q ，是h 1 ( q ) 中的一个( p s ) c 序列由( 3 3 ) 和( 3 5 ) j 我们有 c + 1 + 。( 1 ) i ho j ( u n j ) 一1 ( u 唧) ，) = ( 互1 一；1 ) i i 乱，巧1 1 2 - a ( 吉一刍) z n i 乱1 4 d s ( 秭11 ) 唧 1 2 - a ( 昙一刍) 翱札讲 因此，我们得到 札孔j ) 是日1 ( q ) 中的一个有界序列由日1 ( n ) 是一个h i l b c r t 空 间，s o b o l e v 嵌入定理和s o b o l e v 迹嵌入定理，如果必要我们可以取子列，我们 1 8 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 u n j _ t | u n j _ 札 在日1 ( q ) 弱收敛， 在l 7 ( q ) ：1 a 2 ( 厶l | p 妇) ；对于所有的勖4 ，那么 。曰 一 叶 一 唧 笠叫 删彬孑 ， 到得 以 可 u “ i 虮 扣 2 ， 。， 砰 d 如 “ 如汁小如如 如 护研h 2 2 - c d舡喾 一如七：奠巾q备矗 l i 、 ： 卜 如| i = 如 j z z n 女i 乱 “ b v 晚砰锄 n 融盯如如如 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 b 之a p ”- 2 ，结合( 3 8 ) ，( 4 0 ) ( 4 1 ) 和( 3 5 ) 表明 c = m ，+ ( 主一刍) 6 = ( 互1 一言) ( 酬2 ) + a ( 刍一吉) 小 ( 互1 一；1 ) ( a 啬+ i i u1 1 2 ) + a ( 刍一吉) 翱ui i a ( 互1 一刍) a 各+ ( 互1 一；1 ) i 2 + a ( 三一言) 扣圳。 取，( t ) = ( 一i 1 ) 2 一入( ；一i 1 ) 一，我们可以得到磐o n f ( t ) = 一危入巧2 ，这里k = 七( p ，q ) 是一个正常数因此， c ( ；一石1 ) a 墨一从南选择入。 o 使得当 o 入 a 。：( 一；) a 墨一从南o ，这与( 3 6 ) 矛盾 口 为了证明帝理2 糍们环需喜下面的弓f 弹 引理7 如果1 q 2 ，那么我们有 舻。罴忙。( “) ；一o - 当七一 证明 显然0 觑+ 1 伉，因此存在p 0 使得傀一p 当k 一。o 由仇的定 义，对每个k 0 ，存在u 七磊使得l l 乱ki i = 1 ，0 p 一( l u q d s ) q 0 使得 i l ui i 0 取饥= 譬由于l 0 ，七 k 2 ，条件( a 2 ) 被满足 由( 4 2 ) ：对于k k l ，乱z k ，i i 1 1 临p k ，我们有 讹) 一i a 刚i 札1 1 9 一言缳p 2 - 由0 z k 和i ( 0 ) = 0 ，我们有 一昙联醒d k 全。么i n 圳fs p 女i ( 乱) ，( o ) = o 因为反一0 和p k 一0 ，当k 0 0 ，条件( a 3 ) 也被满足了 取k o = m a x k 1 ，乜) 由引理6 ，满足( p s ) ：条件对每一个c 【d k o ，o ) 因 此，条件( a 4 ) 也被满足了由对偶喷泉定理，我们完成了定理2 的证明 为了证明定理3 我们需要下面引理 引理8 假定1 q 2 p 2 + ，0 p 0 ， ( 4 4 ) 那么j 满足( p s ) 。条件 证明：假定 ) 是在h 1 ( q ) 中的一个( p s ) 。序列由( 3 3 ) 和( 3 5 ) ，我们有 c + 1 + 。( 1 ) i iu , , i i ，( ) 一y 1 ( 札。) ，) = ( 互1 一；1 ) i i , kl 1 2 一入( 丢一刍) z n l 乱。1 9 d s 2 ( 荟1 一石1 ) 1 u nj | 2 一a ( 昙一刍) 劫训卜 因此我们得到 t 。 是日1 ( q ) 中的一个有界序列由日1 ( q ) 是h i l b e r t 空间， s o b o t e v 嵌入定理和s o b o l c v 迹嵌入定理，如果必要我们可以取子列，我们可以得 2 1 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 f u 。一札， 弱收敛在日1 ( q ) ，