（应用数学专业论文）三类生态模型解的渐近性研究及一类时滞logistic模型的hopf分支.pdf

三类生态模型解的渐近性研究及一类 时滞l o g i s t i c 模型的h o p f 分支 黄建科 摘要数学生态模型解的渐近性主要包括解的吸引性、局部与全局稳定性、 周期性、振动性等内容，这些性质刻划了系统局部或大范围的性态通过对种群 动力系统的这些性质的研究可以更好地指导人们利用自然、改造自然，这对于保 护和挽救濒危的珍稀物种、保持生态系统的多样性和生态环境的可持续发展有着 广泛的理论和现实意义本文共分四个部分研究了三类生态模型解的渐近性和一 类时滞l o g i s t i c 模型的h o p f - 分支问题 本文第二章在已有模型的基础上，为了使模型尽可能地符合实际生态背景， 建立了既具有离散时滞又具有连续时滞的l o g i s t i c 模型首先，利用特征值理论给 出了模型无条件稳定性的充分条件，并说明了时滞r 是局部无害时滞；其次，以滞 量r 为参数，应用h o p f - 分支定理给出了该模型产生h o p f - 分支的条件及分支值 标准的l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型均假定捕食者种群的平均捕食率只依赖于食饵 种群的密度近年来，大量的实验和事实表明：当捕食者不得不搜寻食物时，捕 食者的增长率应是食饵密度与捕食者密度比率的函数，即所谓的“比率依赖的功 能性反应函数”同时，由于扩散和时滞在生态环境中常常是相伴随而发生，并且 具有普遍性，扩散可以让濒危物种通过迁徙以改变生存环境而得到保护综合这 些因素考虑，本文第三章提出了具有时滞的非自治l o t k a - v o l t e r r a 型两捕食者食 饵扩散系统，利用重合度理论中延拓定理研究了该系统正周期解的存在性，结论 表明，正周期解的存在性与时滞无关 生态系统正平衡点的全局稳定性能够反映出种群系统最终处于共存状态，不 会导致任一种群的绝灭本文第四章讨论了具有时滞的比率型三种群捕食系统， 通过构造l i a p u n o v 泛函的方法，研究了系统的局部渐近稳定性和全局渐近稳定 性，推广了已有的一些结果 在现实世界中，让濒危物种在不同类型的斑块问扩散( 迁移) ，种群可以有更多 的觅食和繁殖机会。以保护种群免遭捕获，进而维持了生态系统的动态平衡同样 地，实验和观察表明，通过反馈控制的方法也能达到种群的共存本文第五章通 过在竞争系统中引入控制变量，研究了具有反馈控制的两种群竞争系统首先， 利用比较原理证明了系统的一致持久性；然后，应用b r o u w e r 不动点原理和构造 l i a p u n o v 函数的方法讨论了正周期解的存在性、唯一性和全局吸引性，通过与该 系统对应的无反馈控制系统比较，结论表明：反馈控制变量的引入能够扩大种群 的生存空间，有利于整个系统的持续生存 关键词：h o p p 分支周期解l i a p u n o v 泛函渐近稳定性反馈控制 i i a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rt h r e e k i n d so fe c o l 0g i c a l m o d e l sa n dt h eh o p fb i f u r c a t i o nf o r a l o g i s t i cm o d e l h u a n gj i a n k e a b s t r a c ta s y m p t o t i cb e h a v i o ro fm a t h e m a t i c a le c o l o g i c a lm o d e l si sa ni m p o r t ai t c o n c e p t i o nw i t hr i c hc o n n o t a t i o n ，w h i c hm a i n l yi n c l u d e sa t t r a c t i v i t yo ft h es o l u t i o n s ，s t a b i f i t 3 o ft h es o - l u t i o n s ( 1 0 c a la n dg l o b a l ) ，p e r i o d i c i t ya n do s c i l l a t i o na n ds oo n i nt h ep o p u l a t i o nd y n a i li c s ，p e o p l e m a y m a k ef u l lu s eo fn a t u r ea n dr e m o l dn a t u r eb ym e a l l so fs t u d yo ft h e s ep r o p e r t i e st h e s ew i l l h a v e v e r yi m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a lm e a n i n g t op r o t e c ta n ds a v ev a l u a b l ea n dlt r es p e c i e s w h i c hi so nt h ev e r g eo fb e c o m i n ge x t i n c t i o n ，t ok e e pt h ep o p u l a t i o nd i v e r s i t ya n ds u s t ；i n a b l ed e - v e l o p m e n to fe c o s y s t e m i nt h ep a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h r e ee c o l o g i c a l m o d e l sa n dt h eh o p fb i f u r c a t i o nf o rac l a s so fl o g i s t i cm o d e lw i t ht i m ed e l a y s i nt h ec h a p t e r2 w es t u d ya l o g i s t i cm o d e lw i t ht h ed i s c r e t ea n dd i s t r i b u t e dd e l a 3 sw h i c hi s b a s e d0 nt h ek n o w nm o d e l s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya r eo b t a l n e ( 1b yu s i n g t h et h e o r e yo fc h a r a c t e r i s t i cv a l u e a n di ti ss h o w nt h a tt h ed e l a yri sl o c a l l yh a r m l e s s ，n ic t h e r m o r e c o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo ft h eh o p fb i f u r c a t i o na n db i f u c a t i o uv a l u ea r eg o t t e n t h et h e o yo f p r e d a t i o ni sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nm a t h e m a t i c a lb i o l o g y t h es t a n d a r dl o t k a - v o l t e r r at y p ep r e d a t o r - p r e ym o d e la s s n m e st h a tt h ep e rc a p i t ar a t eo fp r e d a t i o nd e p e n d so nt h e p r e yn u m b e r so n l y t h e r ei sg r o w i n ge x p e r i m e n ta n de v i d e n c et h a ti nm a n ys i t u a t i o n s ，e s p e c i a l l y w h e np r e d a t o r sh a v et or e s e r c hf o rf o o d t h ep e rc a p i t ap r e d a t o rg r o w t hr a t es h o u l di ) eaf u n c - t i o no ft h er a t i oo fp r e yt op r e d a t o ra b u n d a n c e ，a n ds os h o u l db et h es o - c a l l e dp r e d a t o r ；u n c t i o n a l r e s p o n s e i nt h en e x tt w oc h a p t e r s ，w ec o n s i d e rp r e d a t o r - p r e ym o d e l s b e c a u s eo ft h ec o l i m o r te x i s - t e n c eo fd e l a ya n dd i s p e r s i o ni nt h ee c o s y s t e m ，d i s p e r s i o nc a l ls a v eb e c o m i n ge x t i n c ts p e c i e st h a t w i l lt r a n s f e rt oc h a n g ei t se x i s t i n ge n v i r o m e n t t h e r e f o r e ，i nt h ec h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t ea d e l a y e d l o t k a - v o l t e r r a t y p en o n a n t o n o m o u sd i f l u s i r em o d e l w i t ht w o - p r e d a t o r sa n d o n e - p r e y t h ；。ti sb a s e d o nt h ea b o v ef a c t o r s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o na r ee s t a l d i s h e db y u s i n gt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , i ti n d i c a t e st h a tt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nh a sn o t h i n gt od ow i t hd e l a y s i ne c o s y s t e m ，g l o b a ls t a b i u t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mc a nr e f l e c te v e n t u a l l yth es y s t e m b e i n gc o e x i s t e n ts t a t e i nt h ec h a p t e r4 ，w es t u d yt h es t a b i l i t i e so ft h r e e - s p e c i e sr a t i o 一, l e p e n d e n t p r e d a t o r ：p r e ys y s t e mw i t ht i m ed e l a y s w ed i c u s st h el o c a la n dg l o b a la s y m p t o t i c a lsa b i l i t yo f t h ee q u i l i b r i u mb ym e a n so fc o n s t r u c t i n gs u i t a b l el i a p u n o vf u n c t i o n a l sa n dt h ec a u ( 1 1v - s c h w i t z i n e q u i l i t y ，a n dg e n e r a l i z es o m ep r e v i o u sc o n c l u s i o n s i i i i nr e a lw o r l d ，d i s p e r s i o nc a nm a i n t a i nt h ed y n a m i cb a l a n c eo ft h ee c o l o g i c a ls y s t e m s i m i l a r l y , i t i ss h o w nb yl o t so fe x p e r i m e n ta n do b s e r v a t i o nt h a tt h ef e e d b a c kc o n t r o lc i m la l s or e a l i z et h ec o - e x i s to ft h es y s t e mi nt h ec h a p t e r5 ，w es t u d yt h ea s y p t o t i cb e h a v i o ro fat w o s p e c i e sc o m p e t i t i v e s y s t e mw i t hf e e d b a c kc o n t r o l s ，c o n d i t i o n so ft h ep e r s i s t e n c ea r eo b t a i n e db ya p p l y i n gt h ec o r n p a r i s i o nt h e o r e m i na d d i t i o n ，b yu s i n gt h eb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dl i a p u n o vf u n c t i o n ，w e o b t a i nt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp e r i o d ks o l u t i o nf o rt h ep e r i o d i cs y s t e m b yc o m p a r i n gw i t hn o n f e e d b a c kc o n t r o ls y s t e m ，t h ei n t r o d u c eo ff e e d b a c kr e g u l a t i o nv a r i a b l e s e n l a r g et h ee x i s t i n gs p a c eo fs p e c i e s t h i sw i l lb e n e f i tk e e p i n gs u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to ft h ew h o l e e c o s y s t e m f i n a l l y , a l le x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ef e a s i b i l i t yo fc o n d i t i o n so ft h o s et h e o r e m s k e yw o r d s ：h o p f b i f u r c a t i o n a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yl i a p u n o vf u n c t i o n a lf e e d b a c k c o n t r o l 学位论文独创性声明 y 7 2 8 5 9 0 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表 示谢意。 一口j 牟 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师萜大学。本 人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大学。学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、i 亮系资料室 被查阅l 有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和 摘要汇编出版 作者签名；到 日期：竖盟 第一章前言 种群生态系统是用数学模型( 微分方程、积分方程或差分方程等) 描述种群与 环境之间的相互关系，然后，通过对数学模型的分析、研究以期达到对人们所关 心的生态问题的解释、预测和控制随着人们对生态系统认识的不断深入，目前 的大多数生态模型不仅考虑了种群间的时变竞争因素，也考虑了种群本身的时变 密度制约因素以及时滞在种群系统中的普遍存在性，因而所建立的模型能更好地 接近实际生态背景这对于保护生物种群的多样性，维持生态环境的可持续发展 有着重要的指导意义通过对这些方程的研究发现，微分方程解的某些局部或大 范围的性态往往要随着方程中某些参数的变亿而交化，从而产生分支现象，h o p f 分支就属于此类问题之一 自然界中，生物种群的密度变化是极其复杂的1 9 3 8 年v e r h u l s t p e a r l ( 见 6 ) 认为种群的实际增长率不是内禀增长率，而是具有密度制约效应随后的实验表 明，大多数实际情况中，时滞对密度制约效应会产生影响，也就是说，在某时刻 种群的增长率不仅与该时刻的种群密度有关，而且与在此之前的某一时刻以及过 去所有时刻的种群密度都有关，因而密度制约项更为复杂，既有离散时滞又有连 续时滞本文第二章研究了具有离散时滞和连续时滞的单种群l o g i s t i c 模型： j ，m一 = 二j 半= ( # ) b 一卢o r ) 一7 k 0 8 ) n ( s ) d s u j 一 的h o p f 分支问题其中卢，7 为正常数，r 为非负时滞参数，k ( t ) = t e 首先， 利用文献【8 3 中无条件稳定性的基本定理和特征值理论给出了系统无条件稳定性 的充分条件；其次，以时滞r 为参数，利用h o p f 分支定理得到了系统h o p f 分支的 存在性条件，以及分支值处平衡态的稳定性 在种群动力系统中，捕食者食饵模型是一个重要的研究课题本文的第三章 和第四章考虑了两个三种群捕食系统对于标准的l o t k a v o l t e r r a 型捕食被捕食 模型已有大量的研究工作( 见【6 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 7 ，1 8 ，3 4 j ) ，其中均假定捕食者种群的平均捕 食率只依赖食饵种群的密度近年来，越来越多的生物学和生理学证据表明，在 许多情况下，特别是食饵不得不搜寻食物( 因此不得不分享或竞争食物) 时，切合 实际且更一般的捕食者食饵模型应基于“比率依赖”理论( 见f 2 0 ，3 7 】) 一般地， 基于比率的捕食者食饵模型可描述为： f 扣州圹倒；) ， l 。= c y 。( d y 其中z ，y 分别表示食饵种群和捕食者种群的密度，p ( z ) 为捕食者的功能性反应函 数，p ( z ) ，g ( ：) 为非负递增函数且p ( o ) = g ( o ) = 0 特别地，基于比率且具有m i c h a e l i s ， m e n t e n 型功能反应的捕食者食饵模型为： f = a x ( 1 一；) 一而c x y 1 口刮讲鼎) 本文第三章考虑到在种群生态环境中，时滞和扩散常常相伴随而发生，提出 了基于比率且具m i c h a e l i s m e n t e n 型功能反应的三种群捕食者一食饵模型： ，=。-(t)净-(t)一a，(t)z(一：i巧!一02(t!)u12q(!t虹)+x2(t)1+。(【。z(f)一z，(d 士2 = z 2 ( t ) 【b ( t ) 一8 2 ( t ) z 2 ( ) 】十d 2 ( t ) k l ( t ) 一z 2 ( t ) 】， 。= ”- o ) 一r ( + i 可瓦：；! ；i 譬踽一d 。( 砷”t ( 】， m = 9 。( 亡) 一r 。) + 面可瓦：；! ；笔譬：i ； 告_ = _ i _ 一d t ( t ) 掣。o ) j 其中。( t ) 和y l ( ) ，y 2 ( t ) 分别表示食饵种群x 和两捕食者种群h ，k 时刻t 时在斑块i 中的密度，z 。( t ) 是食饵种群x 在斑块中的密度，并且食饵种群x 能够在两斑块间 扩散而捕食者种群h ，硷被限制在斑块i 中，d t ( t ) a = 1 ，2 ) 表示食饵种群在两斑块间 的扩散系数，n “= l ，2 ) 为正常数，毗( t ) ，b i ( t ) ，q ( t ) ，n ( f ) ，现( ) “= 1 ，2 ) ，略( t ) 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 均为连续且严格正的u 周期函数利用重合度理论的m a w h i n 连续性定理证明了 系统至少存在一个正的u 。周期解，同时说明了时滞对周期解的存在性不产生影 响 本文第四章考虑了基于比率且具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能反应的自治三种群 捕食者食饵模烈： i ( t ) = z - ( t ) n - 一n ，- z t ( t ) 一再五：；a ；l 巧2 x 厕2 ( t ) 一再i ；a i l 可3 z 万3 丽( t ) 酬= 螂，卜+ 磊孝警卜 训归吲旬卜+ 面柰警卜 的局部和全局渐近稳定性其中蛳( t ) 分别表示食饵种群和捕食者种群托在时刻t 时的密度，a 种“，”日( 1 ，j = 1 ，2 ，3 ) 均为正常数本文通过构造l i a p u n o v 泛函分别得 到了系统正平衡点局部和全局渐近稳定性的充分条件，推广了文献 2 3 】的工作 在自然生态环境中，扩散是常常发生的也就是说，当某种群在一个斑块中 不适宜于居住，它们或避开捕食者，或避开激烈的竞争时，该种群必须迁徙到另 一斑块中去，通过扩散可以挽救濒临灭绝的种群，从而使整个生态系统持续生存 ( 见( 2 7 - 3 0 ，4 2 ，4 3 】) 同样地，也可以寻找控制方案使系统持久生存本文第五章讨论 2 了具有反馈控制的两种群竞争系统 侄 州t ) 卜) _ n 1 1 ( f ) 州旷 吲t ) h ) 咄。吲垆 h i ( t ) 一e l ( t ) u l ( t ) 一q l ( t ) x l e 2 ( f ) 让2 ( t ) + q 2 ( t ) z 2 ( t ) ， 4 - d l ( t ) l ( t ) i d 2 ( t ) 。：( t ) 1 其中系数n ( ) ，a i j ( ) ，出( o ) 心( ) ，吼( t ) ( i ，j = 1 ，2 ) ，h i ( t ) ，。( ) 及h 1 ( t ) 均为连续且严格正的 有界函数，u l ( t ) m ( # ) 是两个控制变量，z ，( t ) 和z 。( t ) 分别表示两个竞争种群墨和 恐在时刻t 时的密度文中利用比较原理给出了系统一致持久性的充分条件；应 用不动点原理和l i a p u n o v 函数方法，对于周期系统得到了正周期解的存在性、唯 一性和全局吸引性通过与该系统对应的无反馈控制系统的比较得到：反馈控制 变量的引入扩大了两竞争种群的生存空间，更有利于整个生态系统的持久生存与 发展最后，给出实例说明了文中定理条件与结论的可实现性 3 ”o一p 型舭m 一卿 吼一十毗一+l 第二章一类具时滞的l o g i s t i c 模型的h o p f 分支 5 2 1 引言 1 9 7 7 年c u s h i n g 在文献【1 中提出了如下模型 掣圳州a z n ( 卜7 ( z 。脚) ( h ) d 8 ) 2 ， 并研究了该模型的h o p f 分支问题，其中g c s ) = ；e x p ( 警) ，r 0 为参数，n ，尾7 为正 常数k g o p l s a m y 在文献【2 】中研究了模型 掣f l _ 掣】 产生h o p f 分支的条件，并给出了分支周期解的近似值其中k ，r 为正常数， 0 为参数鉴于h o p f 分支的重要性，许多学者对此进行了深入研究( 见 3 - 6 ，3 6 ，3 8 ，4 0 1 ) 本章给出了更为一般的l o g i s t i c 模型 百d n ( t ) = ( 。) 陋一b n ( t r ) 一，y 上二耳。一s ) ( s ) 删 ( 2 11 ) 其中卢，7 为正常数，r 为非负时滞参数，kc t ) = t e 在本章中假定所讨论的模 型( 2 1 1 ) 满足如下初值条件： n ( t ) = 圣( t ) ，- - tst 0 ，v ( t ) c ( 一t ，o 】，r + ) ，壬( 0 ) 0 ( 21 2 ) 该模型的密度制约项更为一般化，既有连续时滞又有离散时滞当卢= 0 时，就得 到连续时滞的情形，可选择系数为参数讨论分支问题当7 = 0 时，即为文献 2 l 中的模型 5 2 2 平衡点的无条件稳定性 为了讨论问题方便起见，给出如下已有的结论： 引理2 2 1 ( 见 7 】) 具有时滞的常系数线性系统 掣= 壹 啪) 埔以t 叫 江， 。 无条件稳定的充要条件是： ( i ) 其特征方程( ；r ) = 0 当r = 0 时所有根具负实部； ( i j ) 对任何实数y 及任何实数r 0 ，均有a ( i y ；r ) 0 为了方便讨论，在( 2 1 1 ) 中，令 0 3 ) e 一( 一。) n ( s ) d s e - “一5 ) n ( s ) d s f 掣= ( 州n 一删h 卜1 州啪， 掣一删怕， ( 2 2 1 ) 【掣= 呻) 这时( 2 2 1 ) 有唯一正平衡态e = ( 南，南，南) = ( ，z ：，z ；) 作变换x ( ) = n ( 0 一| ，x - ( t ) = z l ( t ) 一z ；，x 2 ( t ) = z 。( t ) 一。；，则( 2 2 1 ) 化为 f 堕娶堕= 一卢x 。一r ) 一+ 1 x 。( t ) 一声x ( t ) x ( 亡一r ) 一7 x ( t ) x ，( 札 掣一酬+ 瑚) ， ( 2 2 2 ) 【掣叫铲础) ( 2 2 2 ) 对应的线性近似系统为 f 百d x ( t ) = 一+ 卢x ( 亡一r ) 一+ 7 x ，( 巩 掣一酬+ 础) ， ( 2 2 _ 3 ) 【掣叫p 瑚) f 2 2 3 1 的特征方程是 n ；r ) = p + 2 a 2 + a + n + b e 一 7 + 2 b e 1 7 + b e 一1 7 a 2 = 0 ，( 2 2 4 ) 其中n = n 1 ，b = n 卢 当f = 0 时，有( 凡o ) = 妒+ ( 2 + 6 ) + ( 1 + 2 b ) a + 由r o u t h h u t w i t z 判据可知 其解有负实部的充要条件为 得 ( 2 + 6 ) ( 1 + 2 6 ) n 0 当r o 时，则a ( i a ；r ) = 8 2 a 2 + 删一a a i + e - i a r ( 6 一b a 2 + 2 b a i ) ，分离实部与虚部 r 一2 口2 + o + b c o s 仃t + 2 h a s i n 口r 6 d 2c o s 口r = 0 i 口3 + 口6 s i n r + 2 b 盯c 。s r + b 口2s ij l 口r = o ( 225 ) 5 t r2 铲一口= 2 h as i n 盯r + b ( 1 0 - 2 ) c o s 盯r ， i 盯。一盯= 2 6 仃。盯，一6 ( 1 一仃：) 。i 。仃， 22 6 两端平方相加得 ( 2 0 - 2 一n ) 2 十( 盯3 一盯) 2 = 4 b 2 口2 + b 2 ( 1 0 - 2 ) 2 ， 或 盯6 + ( 2 6 2 ) 仃4 + ( 1 4 a 一2 b 2 ) 0 - 2 + a 2 一b 2 = 0 ( 2 27 ) 令u = 0 - 2 ，用日( u ) 表示( 2 2 7 ) 的左端，则 日。( u ) = h ( a 2 ) = u 3 十( 2 一b 2 ) w 2 + ( 1 4 a 一2 b 2 ) u + n 2 一b 2 = 0 ( 2 2 8 ) 根据引理2 2 1 ，要得到( 2 , 1 1 ) 的无条件稳定性，只要对任意的实数一及任意的 r 0 ，a ( i a ；r ) 0 ，而( 协；r ) 0 当且仅当日( u ) 无正零点，为此，取u = t 一2 ， 可得 日( u ) = h 1 ( t ) = t 3 + p t + q ，( 22 9 ) 其中 p ：1 4 一2 铲一掣，( 2 2 1 0 ) 口= 丢( 2 埘) 。一半( 1 - 4 a - 2 哟w 山。( 2 2 1 1 ) 显然日( u ) 无正零点的充要条件是方程h 1 ( 0 = 0 无大于2 的零点，即在区间 ( 2 - r b 2 ，+ o 。) 内无根 为此引入下面引理： 引理2 2 2 方程f ( $ ) = 一+ p x + q = 0 没有任何大于 的实根的充要条件是 f ( a ) 0 ，并且下列的条件至少有一个成立： ( p 1 ) p 0 ； ( p 2 ) p o 且警 a ，有f ( z ) 2 f ( a ) 0 ，故f ( z ) 在 ( a ，+ o 。) 上无根；当p 0 经过整理 可得( g ) 2 + ( ；) 3 0 证毕 6 由引理2 2 2 可得h l ( ) = 0 在( 丁2 - - b 2 ，o 。) 上没有实根的充要条件是：0 2 一b 2 o 即 7 口，并且下列的条件之一成立： ( 1 ) p 0 ； ( 2 ) 2 6 2 且0 1 4 a 一2 b 2 ( 2 一b 2 ) 2 ； ( 3 ) 2 = b 2 ，1 4 a 一2 b 2 o i ( 4 ) 2 a o ； ( h 2 ) 7 卢且下列条件之一成立： i ) p 0 ； i i ) 2 b 2 且0 1 4 a 一2 b 2 ( 2 一b 2 ) 2 ； i i i ) 2 = b 2 ，1 4 a 一2 6 2 o ； i v ) 2 o ) 是特征方程( 2 2 4 ) 的根， 当且仅当何( 口2 ) = 0 且口满足( 2 2 6 ) 式，由( 2 2 6 ) 式可解得 咖驾备特写产 s ”7 2 面万再百之i f 一 【：“i _ 1 ) 令 靠= 击一i n 2 a o ( 2 瓣a 0 2 - 砸a ) + 旷a o ( 1 - c r 0 2 ) 2 + 等，n = 0 1 1 ，2 ，一( 2 3 2 ) 由( 2 3 2 ) 式可知，如果r = ，则方程( 2 2 4 ) 有一对纯虚根a = + i a o 下面说明 a = f l = i o o 是唯一的 若 = i o o 不是( 2 2 ，4 ) 式当r = h = 0 ，1 ，2 ，一) 时的单根，由( 2 2 4 ) 式则有 疗3 i - b , - ；。= 3 a 2 + 4 + 1 - - e - a t ( b t - + 2 6 r a + 6 f 2 2 6 - 2 b a ) i x - - 2 $ 。= o 上式与( 2 2 4 ) 式联立得 f 一3 盯；+ 1 + 4 a o i e 叫o h ( b + 2 b t n a o i h r 碚一2 b 一2 b a “) = 0 【一口缸一2 盯；+ a o i + n + e 喇。n ( 6 + 2 b a o i 一6 口5 ) = 0 由如上方程组可解出 咖a - o t - n = q 拦兰幕务器 这与( 2 3 1 ) 矛盾，故a = i a o 是当r = h = 0 ，1 ，2 ，) 时( 2 2 4 ) 的单根 其次，对予特征方程( 2 2 4 ) ，两端关于时滞r 求导，解得 d a d r 则在a = i a o 处 a e - - a t ( 6 + 2 b a + b a 2 ) 3 a 2 + 4 a + 1 - e - r ( b r + 2 b r a + b r a 2 - 2 b - 2 b a ) 酬等) 一。= 等等， 其中 a = l 一3 砖一轩c o s 印f + 2 b c o s a o r 一2 b 盯o ts i n q o t + 2 b a os i n a o r + 6 靠r c o s 印r = 1 3 砖一e ( i 一靠) c o s g o t + 2 b c o s a o r 一2 b ( z 0 ts i n a o r + 2 b a os i n ( t o r = 1 3 胡+ r ( a 一2 砖) + 2 b c o s a o r + 2 b o os i n t 7 0 t ， b 4 a o + b r s i n a o r 一2 b s i n a o r 一2 b a o r c o s a o r + 2 b a oc 0 8 i f 0 t 一幻0 r s i nc r o r 4 a o + 打( 1 一靠) 咖印r 一2 bs i n a o r 一2 b a o r c o s a o r + 2 b a o c o s d o r = 4 a o + b a o ( 1 一靠) 一2 b m n a o r 十2 b a oc o s 6 0 t ， c = b a o s i n a o r 一2 黼c 0 8 a o t 一嘲s i n a o r = b a o ( 1 一靠) s i n 印r 一2 b 3c o s g o t = 司( 1 一口3 ) ， d = b a o c o s f f o t + 2 6 靠s i n a o r 一6 胡c 0 8 盯0 t = b a o ( 1 一靠) c o s g o r + 2 蜕s i n a o r 鬻印( 2 碚一口) 则有 a c + b d = 1 3 口3 + r 扣一2 口3 ) + 2 bc o s a o r + 2 b a os i n a o r a 0 2 ( 1 一靠) + 4 a o + a 0 t ( 1 一口3 ) 一2 b s i n a o r + 2 b a oc o s g o r 】口o ( 2 酲一n ) = 磅( 1 3 靠) ( 1 一靠) + 4 砖( 2 靠一b ) + 2 k 咭【( 1 一爵) + ( 2 靠一n ) c o s 一0 r + 2 6 印 酲( 1 一靠) 一( 2 口i 2 8 ) 】s i n a o v = 啪_ 3 砌卜靠) + 4 都靠_ 0 ) 十2 卜碚) + ( 2 萌咖) 面辐 鳅卜商_ ( 2 靠) 】掣薪警 嘲卜s 啾卜卅t 稚小卅z 嘲迎絮藉糌雾堂 = 口3 ( 1 3 口0 ) ( 1 一口3 ) + 4 ( 2 口；一o ) 一2 b 2 ( 1 + 口j ) j = 酲f 3 吼j + 2 ( 2 6 2 ) 硝+ l 4 a 一2 b 2 = 9 0 2 - 州- j s ( “- ) i - ； 8 如果u 。= a 3 是日( u ) = 0 的第一个正单根，则有 州勘一。= 磊掣k 硼0 ( 2 s 3 ) 引理2 3 1 方程日( u ) = 0 至少有一个正单根存在，如果下列条件之一成立： ( 1 )7 卢，( ) 2 + ( ) 3 o x 2 一b 2 o 与1 4 a 2 b 2 0 中至少有一个成立 证明( 1 ) 7 卢即就是n 2 一b 2 o ，从而得到h ( 0 ) 0 ，此时，日( u ) = 0 至少有 一个正单根 ( 2 ) 因日一( u ) = 3 w 2 + 2 ( 2 b 2 ) w + 1 4 口一2 护令日协) = o ，可求得日) 的两个驻点 一( 2 一b 2 ) 4 - x ( 2 一b 2 ) 2 3 ( 1 4 a 一2 , 2 ) l 0 1 , 2 一f 一 由于2 一b 2 0 与1 4 a 一2 b 2 0 中至少有一个成立，从而可知两个驻点或一正一 负；或均为正值又由于( ) 2 + ( ) 3 口知方程日( u ) = 0 至少有一个正单根证