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东北大学硕士论文 非线性控制系统解耦及精确线- | 生化 摘要 现代非线性控制理论是线性控制理论的推广，同时随着计算机科学技术的飞速 发展，它在各种实际对象中的应用也会越来越广泛。 自2 0 世纪7 0 年代以来，随着建模技术和仿真技术的发展，人们已经发现许多 实际系统都是非线性系统的形式，诸如经济系统、化工过程、电子网络系统、受限 力学系统等等。特别是受限力学系统中的受限机器人系统，更具有典型的仿射非线 性奇异系统的形式。在未来社会发展中，各种非线性控制系统将起着重要作用。因 此研究作为基本模型的非线性系统具有相当重要的应用价值。 解耦及线性化问题是一个非常古老的问题。多变量系统的解耦设计思想在控制 理论发展的初期就已形成，解耦的目的在于通过选取反馈控制消除干扰对输出的影 响或将一个复杂的控制系统分解为一组简单系统，从而大大方便控制策略的实施。 解耦问题是系统的典型设计问题之一，具有重大的理论意义。本文以非线性控制系 统为研究对象，讨论了解耦和线性化问题。全文安排如下： 第一章对非线性控制系统和奇异系统进行了简单的描述，通过具体实例介绍了 奇异系统的发展背景及在实际工程中的应用价值；系统地总结了关于解耦控制的研 究方法，尤其是占主导地位的微分几何方法和微分代数方法，接着介绍了一些本文 用到的基本符号和基本概念，最后阐述了本文主要解决的问题。 第二章研究了非线性系统通过对角状态反馈变换实现解耦及线性化的充分必 要条件。首先介绍了非线性系统输入输出解耦的定义，给出了向量相对阶以及运算 指标的概念；讨论了在对角状态反馈变换之下，系统解耦及线性化可解的具体实现 的方法，最后用一个具体例子来说明实现具体构造的过程。 第三章研究了通过静态状态反馈控制使得非线性闭环系统的输出与干扰完全 无关，即达到干扰解耦的目的。首先通过选取合适的光滑函数，使其j a c o b i 矩阵是 非奇异的，从而得到一个坐标变换；通过此静态状态反馈变换得到系统干扰解耦控 制的充分必要条件。 第四章讨论了仿射非线性控制系统状态方程反馈精确线性化和无反馈精确线 性化。引入相关的非线性系统( 即伴随系统) ，通过研究仿射非线性系统与其伴随 东北大学硕士论文摘要 系统的关系，利用伴随系统的精确线性化结论，获得非线性系统精确线性化的充分 必要条件。 第五章总结了本文的工作，指出了开展这项工作的意义，并提出了需要解决的 问题和进一步研究的方向。 关键词：非线性系统；向量相对阶；输入输出解耦；干扰解耦；精确线性化 - m 东北大学硕士论文a b s l r a c t d e c o u p l i n ga n de x a c tl i n e a r i z a t i o no fn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m s a b s t r a c t m o d e r nn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e mt h e o r yi se x t e n s i o nl i n e a rs y s t e mt h e o r y w i t ht h e d e v e l o p i n g o f c o m p u t e r s c i e n c e t e c h n o l o g y , i t sa p p l i c a t i o n w o u l db e c o m em o r e e x t e n s i v ei nt h ek i n d so fp r a c t i c a lo b j e c t f r o m1 9 7 0 ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to f m o d e l i n ga n ds i m u l a t i o n ，p e o p l ed i s c o v e rt h a t m a n ys y s t e m sa r em o d e l e db yn o n l i n e a rs y s t e m s ，e v e nn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s ，f o r i n s t a n c e ，e c o n o m i cs y s t e m s ，c h e m i c a ls y s t e m s ，e l e c t r o n i cn e t w o r ks y s t e m s ，p h y s i c a l s y s t e m sa n ds oo n e s p e c i a l l yc o n s t r a i n e dr o b o ts y s t e m st a k e t h et y p i c a lf o r mo f n o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sa n dw i l lp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei ns o c i a ld e v e l o p i n gp r o c e s s i ti so fp r a c t i c a li m p o r t a n tt os t u d yn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s d e c o u p l i n ga n dl i n e a r i z a t i o np r o b l e mi sac l a s s i c a lp r o b l e m d e c o u p l i n gd e s i g n i d e ao fm u l t i v a r i a b l es y s t e m sw a sf o u n d e di nt h ee a r l ys t a g eo fd e v e l o p m e n to fc o n t r o l t h e o r y t h ea i mo fd e c o u p l i n gi se i t h e rt oe l i m i n a t et h ee f f e c to f d i s t u r b a n c eo rt oc h a n g e ac o m p l e xs y s t e mi n t oas e to fs i m p l es y s t e m ，s ot h a tc o n t r o ls t r a t e g yc a nb ec a r r i e do u t e a s i l y d e c o u p l i n ga n dl i n e a r i z a t i o np r o b l e mi so n e o ft h et y p i c a ld e s i g np r o b l e m ，s oi ti s o ft h e o r e t i c a li m p o r t a n c e i n p u t o u t p u td e c o u p l i n g ，d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n ga n de x a c t l i n e a r i z a t i o np r o b l e mo fa f f i n en o n l i n e a rs y s t e m sa r ed i s c u s s e di nt h et h e s i s t h e o r g a n i z a t i o no ft h et h e s i si sa sf o l l o w ： i nt h ef i r s t c h a p t e r , t h eb a s e sc o n c e p t i o no ft h e n o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e ma n d s i n g u l a rs y s t e ma r es t a r t e df i r s t w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n di m p o r t a n c eo fs t u d y o nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht h es e v e r a lp r a c t i c a le x a m p l e ，a n dd e t a i l e ds u m m a r i z et h e r e s e a r c h i n gm e t h o do fd e c o u p l i n gn o n l i n e a rs y s t e m s ，e s p e c i a l l yt h em o d e r nd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y m e t h o da n dd i f f e r e n t i a l a l g e b r am e t h o d a n dt h e n i n t r o d u c es o m eb a s i c d e f i n e sa n ds i g n a l s l a s t l yw et a l ka b o u tt h ep r o b l e mw h i c hi sd i s c u s s e di nt h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ew o u l ds t u d yt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so f d e e o u p l i n g a n dl i n e a r i z a t i o no fm u l t i v a r i a b l en o n l i n e a rs y s t e m sb yu s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o no fd i a g o n a ls t a t ef e e d b a c k f i r s t l yw ei n t r o d u c et h ed e f i n eo fi n p u t o u t p u t 东北大学硕士论文a b s t r a c t d e c o u p l i n g ，a n dv e c t o rr e l a t i o nd e g r e e a n dt h e nd i s c u s st h em e t h o do fr e l a t i o no f i n p u t - o u t p u td e c o u p l i n gt h r o u g ht h et r a n s f o r m a t i o no fd i a g o n a ls t a t ef e e d b a c k f i n a l l y w ei l l u s t r a t et h ep r o c e s so fc o n s t r u c t i o nb ya ne x a m p l e i nt h et h i r dc h a p t er t h ep r o b l e mo ft h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gf o rac l a s so f n o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e mi sd i s c u s s e d f i r s t l yw es e l e c ta p p r o p r i a t es m o o t hf u n c t i o n s ， w h i c ho fj a c o b im a t r i xi sn o n s i n g u l a r , s ow eg e tat r a n s f o r m a t i o no fs t a t ef e e d b a c k l a s t l yt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nh a sb e e np r o v e du n d e rw h i c ht h en o n l i n e a r s y s t e m sc a nk e e pd e c o u p l i n gw i t haf e e d b a c kc o n t r o l l e rb yr e s e a r c h i n gt h er e g u l a ro f t h e s y s t e m s i nt h ef o u r t h c h a p t e le x a c tl i n e a r i z a t i o np r o b l e mo fa f f i n e n o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e m sw a sd i s c u s s e d ，d i v i d i n gi n t of e e d b a c ke x a c tl i n e a r i z a t i o na n dn of e e d b a c ke x a c t l i n e a r i z a t i o n a tf i r s t ，w ed e f i n e da l la d j o i ns y s t e m sb yi n t r o d u c i n gf i l la f f i n en o n l i n e a r s y s t e m s t h e n ，t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h en o n l i n e a rs y s t e m sa n di t sa d j o i ns y s t e m sw e r e d i s c u s s e d ，f r o mw h i c ht h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s i t yc o n d i t i o n sf o re x a c tl i n e a r i z a t i o no f n o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m sw e r eo b t a i n e d i nt h ef i f t hc h a p t e r , w et a l ka b o u tt h et h e s i sa n dp o i n to u tt h ef u t u r eo ft h ep r o b l e m w h i c hi sd i s c u s s e di ut h et h e s i s k e yw o r d ：n o n l i n e a rs y s t e m ；v e c t o rr e l a t i v ed e g r e e ；i n p u t - o u t p u td e c o u p l i n g ； d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g ；e x a c tl i n e a r i z a t i o n ； v - 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果 除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：凇 日期：形7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定： 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索、交流。 学位论文作者签名：辞菇冬 日期如4 。t 、1 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期 签字日期： 东北大学硕士论文 第一章绪论 第一章绪论1 帚一早三：酉下匕 1 1 非线性控制系统的解耦及线性化的概述 形如 量= 厂( x ) + ( x ) 坼 r 11 、 i * l 、117 y = ( x ) 1 f p 的控制系统称为非线性控制系统。其中z r ”为维状态向量，厂( z ) ：r “_ r ”为力维 向量值函数，一般是x 的非线性函数；晶g ) ：r ”一r ”( f = 1 , 2 ，m ) 为”维向量值函数； r ”为m 维输入向量；啊( x ) ：r “寸r ( i = 1 , 2 ，p ) 为系统的输出向量a 现代非线性控制理论是线性控制理论的推广，经过2 0 多年的发展，非线性系 统的研究在一些重要方面取得了令世人瞩目的成就，已获得了非常丰富的分析结果 和独特的设计方法，例如变结构控制方法、l u r i e 系统的绝对稳定性等。随着现代计 算机和其它硬件技术的飞速发展，今后，非线性控制理论在各种实际对象中的应用 也会越来越广泛。 解耦和线性化是控制理论中历史最悠久的问题之一，它的设计思想几乎与控制 理论学科同时产生。解耦思想最初狭义的提法是不相干控制原则，它是由 b o k s e n h o o m 和h o o d 提出来的【。他们最先将矩阵分析法应用于多变量控制系统分 析中，提出了不相干控制的巧妙思想。他们讨论的是一个关于飞行器控制的问题， 即如何通过分别控制燃料与推进器叶片角度来控制飞行器发动机的速度与功率，并 使这两个控制系统互不相干。解耦控制的研究经历了由线性到非线性、由静态到动 态、由连续系统到离散系统、由非鲁棒解耦到鲁棒解耦的发展过程。 到目前为止，处理非线性控制系统问题最有效的数学工具是微分几何方法以及 微分代数方法，它们在研究非线性控制理论方面获得了巨大的成功，并使非线性系 统解耦和线性化问题也取得了很大的进展。通过利用李括号及微分同胚等基本工具 研究非线性控制系统的输入输出解耦、干扰解耦、全局状态精确线性化和输入输出 精确线性化，以及稳定性，能控能观性等，同时达到了使复杂的非线性系统综合问 题在适当的非线性状态和反馈变换下转化为简单的线性系统综合问题的目的。 东北大学硕士论文 第一章绪论 1 2 非线性奇异系统的概述 1 2 1 非线性奇异系统的描述 非线性奇异系统可用如下的微分代数方程来描述 童= 石( 工1 ，x 2u ) 0 = ( 一，x 2 ，甜) ( 1 2 ) ) ，= ) 奇异系统也被称为流形上的微分方程系统，广义系统，描述系统，广义状态空间系 统或半状态系统等等。 2 0 世纪7 0 年代，r o s e n b r o e k 在讨论复杂的电网系统时最先提出了奇异系统的问 题。后来，l u e n b e r g e r 发现经济领域中有些问题1 2 】也属于此范畴。在七十年代后期， 奇异系统开始得到了广泛研究，迄今为止有三种典型方法用来研究奇异系统：状态 空间法，几何方法和多项式矩阵法。状态空间法是基于奇异系统的状态方程，用于 研究结构性质和设计控制器；几何方法由w o n h a m 针对线性系统提出【3 】，由l e w i s 将 其扩展到解决奇异系统的反馈控制问题；多项式矩阵法是基于传递矩阵的某种分 解，应用到奇异系统的分析和观测器的设计上。 近年来，关于奇异系统的研究，已经取得了较大的进展，特别是线性时不变奇 异系统，包括可解性、稳定性、能控性、能观性、极点配置、观测器设计、解耦、 最优控制、分散控制在内的各种问题已经解决，建立了相当完备的理论。对于线性 时变奇异系统在过去十年也己取得了相当的成就。c a m p b e l l 和t e r r e l 的研究表明通过 解析坐标变换可将线性时变奇异系统转化为标准正则型f 4 5 6 】。 1 2 2 非线性奇异系统的实际应用背景 _ 7 j 随着研究的深入，人们发现非线性奇异系统有着广泛的实际应用背景，包括了 完全和不完全受限机械系统、电路系统、化工系统等等。 特别是在机器人控制中，更涉及到非线性奇异系统。出现在力与位置控制任务 中的运动约束的机器人系统，一个具有末端执行器的机器人，末端执行器必须保持 和一个刚性面接触，在该面上末端执行器的接触力和位置需同时控制；两个操作同 一物体的机器人，该物体的运动以及施加于该物体上的挤压力需同时控制；封闭链 2 东北大学硕士论文第一章绪论 机械臂：行走机器人；利用多手指机器人进行的抓合协调运动等等一般来说，机器 人本身是一个强耦合的多变量控制系统，通常由非线性常微分方程来描述。但是， 当机器人执行任务过程中，常常因终端执行器同对象及环境接触而产生接触力。因 此对机器人施加了某些限制，这些限制通常由非线性代数方程来描述，使机器人的 控制模型成为一个非线性微分代数方程，即非线性奇异系统。在机器人控制问题中， 受限机器人、移动机器人及机器人的协调控制等都需用非线性奇异系统来描述。 ( 1 ) 受限机器人 首先机器人的运动方程的一般形式如下 1 ： m ( g ) 牙+ c ( 叮，口) 口+ g ( g ) 。7 + m ：( g ) 五 ( 1 3 ) o ( q ) = 0 n e eq 是关节坐标，是关节控制力，a 是约束乘子，m ( g ) 是对机器人的约束，若 令_ = q ，工：= 口，u = r 则方程( 1 3 ) 可等价地表示为 量i = z 2 量2 = f ( x ”x 2 ) + g ( x l ，x 2 ) “+ p ( x l ，x 2 ) a ( 1 4 ) 0 2 0 ( z 。) ( 2 ) 机器手地协调控制 考虑双机器手搬运一个质量为m 的重物，其运动方程为2 1 4 娼) 茸+ 马 h + c 1 ) = 墨甜+ 吐。 b + d l ：皿 一： 垓+ b ( 岛) 幺0 g ( 0 0 = r 2 “：+ d ：。( 岛) g ：+ 以：( 岛) e r n i = f 2 一巧 以夕= 芦e + 肛巧一m g 。= 一h 鲁“s i n b ，+ 1 2s i n b ：一鲁 。= 一肿d 。2 + 1 2 1 $ i n 岛，+ 州n 一粤 其中，g 1 = 麒，g ：= 鹏，b = ( 最。，0 1 ：) ，0 2 = ( 0 2 。，岛：) 分别是机器手1 和机器手2 3 东北大学硕士论文 第一章绪论 的关节角，h 和：分别是机器手l 和机器手2 的控制力矩，x 和y 是物体的质心坐 标。 令 t = ( 甜，x ，力7 ，x 2 = 主1 ，五= ( g 1 ，g 2 ，e ，e ) 7 ， 则上述方程可表示为( 1 4 ) 式。 1 3 主要的解耦方法 在解耦问题的研究过程中，出现了许多针对具体线性系统或非线性系统的解耦 方法，各有自己的优缺点，占主导地位的是微分几何方法和微分代数方法。有些方 法虽然不能揭示系统的本质特征，但它们大多具有简单实用、便于操作的优点，有 些方法也已经取得了非常好的控制效果，而且具有很好的实用价值，下面把具有代 表性的解耦方法总结如下： ( 1 ) 微分几何方法【8 微分几何控制理论是近些年来研究非线性控制的主流方法。它的基本思想是通 过研究非线性系统对于状态和输入坐标变换的不变性来揭示非线性系统独立于这 些变换的固有属性。通过变换，非线性系统可以化为线性系统来处理。这种线性化 处理不同于只在某点附近的近似线性化经典理论的方法，运用该方法，有可能实现 非线性系统的大范围分析综合。 微分几何方法在揭示非线性系统的本质方面以及对具体非线性系统设计方面 起了极为重要的作用。它在很大程度上解决了非线性解耦中的许多关键问题，例如， 局部受控不变分布、能控性分布及其计算、解耦控制的可解条件等。虽然微分几何 方法极大地促进了非线性控制理论的发展，不过，它并不是万能的，在涉及到非线 性系统的可逆性质和在动态反馈下的结构性质是会出现病态现象。另外，微分几何 方法也存在着数学工作比较艰深、抽象；计算比较繁难，不利于工作推广；对仿射 系统研究较充分，而对一般系统的研究相对欠缺；局部结论难于推广到全局等问题。 ( 2 ) 微分代数方法 非线性可逆性与动态反馈设计是长期研究却没有解决好的问题。非线性可逆性 的意义和条件已很模糊，动态反馈设计也处于非常初步的阶段。m f l i e s s 把微分代 数成功地应用到控制理论中【9 1 ，极大的促进了对这两大难题的研究。接着，b e n a d e t t o 4 东北大学硕士论文第一章绪论 从更易于接受的线性代数角度出发，进一步得到了关于系统可逆性的较好结果以及 对有关代数秩的进一步深层次揭示【l o 】。 微分代数方法的主要成果包括；对非线性系统的秩和可逆性得出了微分代数 理论下的严格定义。动态解耦，用“动态扩张算法” 1 1 1 ，研究了最小阶m o r g a n 问题 1 3 , 1 4 。重新定义了非线性系统的无穷( 有穷) 零结构，并得到了与线性系统 动态解耦相应的动态解耦条件。 ( 3 ) 输入输出解耦 在控制系统中，输出与输入的联系是实现控制的基础，输入输出解耦又称为“无 交互作用设计”，对线性系统和非线性系统的无交互作用设计是解耦问题研究的主 流。1 9 6 4 年，m o r g a n 在现代控制理论的框架下，正式提出了多输入多输出线性系统 的输入输出解耦问题，即著名的m o r g a i l 问题1 3 , 1 4 】。具体方法将在第二章中作详细的 介绍。 ( 4 ) 干扰解耦 根据状态反馈的不同形式，可将干扰解耦划分为静态干扰解耦和动态干扰解 耦，关于静态干扰解耦将在第三章中作详细的介绍。 文献 1 5 1 讨论了非线性系统的动态干扰解耦，并通过结合代数和微分几何两种 方法给出了在系统可逆的条件下的局部干扰解耦方案。1 9 9 6 年，a n d i a r t i 等人采用几 何方法得到了一般意义上非线性动态干扰解耦的充要条件 1 6 1 ，标志着动态干扰解耦 问题的研究迈出了关键性的一步。 随着研究的深入，人们发现对于非线性系统进行完全精确的动态干扰解耦是极 其困难的，也是不必要的。在实际过程中，绝大多数情况下对非线性系统只需进行 近似的干扰解耦就足够了。因此，近几年来，许多学者对非线性系统的近似干扰解 耦进行了较多的研究。 ( 5 ) 鲁棒解耦 随着对解耦问题研究的深入，许多学者认识到，以前的方法大都以精确的系统 模型为前提条件，并且要求模型本身不存在大的摄动。这样以往的研究忽略了一个 重要的事实，任何实际的系统都具有无法回避的不确定性，并且在环境及其它各种 因素的影响下，模型参数会不断地发生摄动，有时会出现模型严重失配，这样有可 能造成解耦控制器的失灵。因此，随着对控制系统的要求越来越高，研究不确定系 统的解耦问题已成为必然。 5 东北大学项士论文 第一章绪论 目前鲁棒解耦的研究主要使用了以下几种工具：日。方法和结构奇异值理论 ( 理论) ：线性矩阵不等式方法( l m i ) ；代数方法。 近几年来，在系统鲁棒性研究邻域出现了一些新的数学工具和研究方法，再加 上鲁棒解耦具有很强的实用性，对它的研究已成为目前非线性控制邻域的一个热点 课题。 ( 6 ) 其它具有代表性的方法1 7 1 ： 1 ) 模糊解耦 这种方法的突出优点是对系统参数变化不敏感。主要有两大类方法： 直接解耦法利用串联补偿器或者反馈校正对控制对象直接进行解耦，但模 糊解耦控制器的信息，需要通过操作人员对控制对象的归纳及操作经验的总结，在 实际应用中显得困难一些。 间接解耦法通过对多变量模糊控制规则进行子空间的分解，构造出模糊解 耦控制器，该方法易于在计算机上实现。 2 ) 神经网络解耦 由于神经网络有自学习功能以及对参数摄动的不敏感性，因此对某些特殊的非 线性系统，采用神经网络解耦作为补偿器进行输入输出解耦，能够获得较强的鲁棒 性。 3 ) 自校正解耦控制 通过串联自校正控制器，采用自校正解耦控制律，动态地对未建模动态和外部 干扰的估计值进行补偿，从而克服未建模动态和不可测干扰的影响，得到稳定的解 耦控制效果。 4 ) 频域方法解耦 频域方法是最早应用于实际工程的解耦方法。其中应用最为广泛的当属对角矩 阵法，其基本思想是进行适当的设计，使联系多变量控制系统输入与输出变量之间 的系统传递函数矩阵成为一个对角矩阵并加以推广，就得到了对角优势理论。它首 先作出传递函数阵g ( s ) 的逆阵列和行带，判断是否对角优势，然后进行“伪对角化” 计算，计算后又做出逆阵列和行带，如此反复进行下去，直到“伪对角化”约束条 件完全符合要求。这种方法的最大优点就是过于繁琐。此外还有其它一些比较成功 的频域方法，包括相对增益分析法、逆曲线法以及特征曲线分析法等。 6 东北大学硕士论文 第一章绪论 1 4 基本知识 现在列出本文涉及的一些关于微分同胚以及李导数的基本符号和常用运算 ( 1 ) 基本概念及定理 1 8 】 定义1 1 设置】，为拓扑空间，若f ：x _ 十y 为一一映射，并且，和1 都是连 续映射，则称厂为从z 到】，上的同胚映射或同胚变换，也称x 与】，同胚。 定义1 2 一个分布被称作是对合分布，如果任何向量场l ，f ，的李括号 r 。，f ：】还是向量场，且属于分布，即 f 1 a ，r 2 a = ，【f l ，f 2 】a 定理1 1 一个分布是对合的，当且仅当 r a n k f x ，2 厶】= r a n k f 1 兀一】1 i ，j d ( 2 ) 基本符号 等，等j l 积，黜i 毋h ( 砷= ( x ) 0 厅= d h ( x ) f ( x ) 哆1 厅 ) = l ( 鹭 ( 功) k = 1 ，2 ， 工g l ， ( x ) = l g ( 0 厅( x ) ) 三；l 1 而( x ) = 三。( 巧厅 ) ) k = 1 , 2 ， d h 称作h 的微分，l h 称作h 沿，方向的李导数。 ( 3 ) 常用运算 l g h ( x ) = ( 0 ( z ) ) a ( 砷 l i + g ( x ) = 上y ( z ) + l g 矗( 功 l ，d h ( x ) = d l ：h ( x ) 鸣g _ ， g ) = - - 纂f ( 沪鼍舭) 7 东北大学硕士论文 第一章绪论 谢；g ( = g ( x ) a d ；g ( x ) = i f ，a a ) - 1 9 】( x ) = 【厂，l 厂【，g 】 l t ，g j 五( j ) = 三，l g 厅( 工) 一上g l r h ( x ) 1 5 本文的主要工作 本文主要研究了非线性控制系统的输入输出解耦，干扰解耦和精确线性化问 题，全文结构如下： 第一章对非线性控制系统和奇异系统进行了简单的描述，通过具体实例介绍了 奇异系统的发展背景及在实际工程中的应用价值；接着系统地总结了关于解耦控制 的研究方法，最后阐述了本文主要解决的问题。 第二章研究了非线性系统遥过对角状态反馈变换实现解耦及线性化的充分必 要条件。首先介绍了非线性系统输入输出解耦的定义，接着讨论了在对角状态反馈 变换之下，系统解耦及线性化可解的具体实现的方法，最后用一个具体例子来说明 实现具体构造的过程。 第三章研究了通过静态状态反馈控制使得非线性闭环系统的输出与干扰完全 无关，即达到干扰解耦的目的。首先通过选取合适的光滑函数，得到一个坐标变换； 在此坐标变换下，通过静态状态反馈变换得到系统干扰解耦控制的条件。 第四章讨论了仿射非线性控制系统状态方程反馈精确线性化和无反馈精确线 性化的问题。通过研究仿射非线性系统与其伴随系统的关系，利用伴随系统的精确 线性化结论，获得一般非线性系统精确线性化的充分必要条件。 第五章总结了本文所作的工作，指出了讨论解耦性和精确线性化问题的意义所 在，并提出了需要解决的问题和进一步研究的方向。 8 东北大学硕士论文 第二章非线性系统的反馈解耦 第二章非线性系统的输入输出解耦 在控制系统中，输出与输入的联系是实现控制的基础，但过于复杂也会影响系 统的控制，使得一些输出与输入的关系不清楚，系统的控制难以实现。因此，简化 系统输出与输入的关系是控制理论研究的个重要课题，典型的方法就是输出输入 解耦问题。 输入输出解藕又称为“无交互作用设计”，对线性系统和非线性系统的无交互 作用设计是解耦问题研究的主流。1 9 6 4 年，m o r g a n 在现代控制理论的框架下，正式 提出了多输入多输出线性系统的输入输出解耦问题，即著名的m o r g a n l h 题1 3 , 1 4 。 目前采用现代微分几何的理论去研究非线性系统的结构理论，解耦以及线性化 设计算法是国际上相当活跃的研究课题，所得成果在理论上占有重要的位置，在工 程实际中也有广泛的应用价值。关于非线性系统的解耦也有很多研究如文献 【1 9 ，2 0 ，2 1 1 等，但是这些文献中所提供的理论和方法在一定情况下难以应用于实际系 统，本章的目的是分析一类非线性系统可通过较简单的对角状态反馈变换即可实现 解耦和线性化。 2 1 提出问题 对于非线性多输入多输出系统 量= 厂( x ) + z 。g ：x ) “， ( 2 1 ) y = h t ( x ) 1 i p 其中工r “为t 维状态向量，仁) ：胄”一五? 为甩维向量值函数，一般是z 的非线性函 数；g i g ) ：r “斗r ”( f = 1 ，2 ，m ) 为n 维向量值函数；”r ”为肌维输入向量； h i ( x ) ：r ”呻r ( i = 1 , 2 ，p ) 为系统的输出变量。 设系统的平衡点为x 0 = 0 ，考虑一个状态反馈 z ，。= 吒0 ) 十层( 刁v i ( 1 i s 功 ( 2 2 ) 满足a ( 0 ) = o 且p ( x ) 非奇异，对系统( 2 1 ) 施加反馈( 2 2 ) ，得 9 东北大学硕士论文 第二章非线性系统的反馈解耦 m 量= ( 工) + g ；( 工) q ( x ) + e g ，( 工) 屈( x ) v 咒= 吩( x )1 i p ( 2 3 ) 定义2 1 对于非线性系统( 2 1 ) ，如果存在状态反馈( 2 2 ) ，使得闭环系统 ( 2 3 ) 满足： ( 1 ) 微分方程系统 m ，( z ) + g ( 工) ( x ) + 蜀( 曲屈( x ) v 在平衡点x o 处渐近稳定； ( 2 ) 闭环系统( 2 3 ) 在x 。处具有向量相对阶，且每一个输出y 。( 1 i m ) 仅受 输入v ，的影响，而不受v ，( ，f ) 的影响； 则说系统( 2 1 ) 可通过状态反馈实现输入输出解耦。 定义2 2 对于非线性系统( 2 1 ) ，如果 工自三罗鬼( z ) = 0 ， k = o ，1 ，一，p i 一2 ；i = 1 ，2 ，m ， 而且矩阵 。，蛩h ( x ) 1 j 三。矽。( 刈 在而处非奇异，则说系统在x 。具有向量相对阶( a ，p 。) 根据参考文献 2 8 】，如果系统( 2 1 ) 存在向量相对阶( n ，靠) ，则系统( 2 1 ) 通过状态反馈实现输入输出解耦。 下面研究对角状态反馈变换解耦及线性化 定义2 3 称系统( 1 ) 在点通过对角状态反馈变换解耦及线性化可解是指存 在点的一个邻域w 及在 e v 上定义的反馈变换 u ，= 口( x ) + 尼( x ) h ( 1 s i 掰) 及一个局部微分同胚变换z = ( x ) 使闭环路系统 mm 膏= ( z ) + g ，o ) 口 ) + g ，( x ) 屈( 功v f - 1i = l 在z 坐标系下表示成( ，( ) = 0 ) j = d z + b v 1 0 ( 2 4 ) 一 ；一 垮 畛 厶 p，。l 东北大学顽士论文 第二章非线性系统的反馈解耦 的线性形式，其中v = ( v l ，v 2 ，v 。) 7 且 a = a f2 a 1 0 0 a u o 1 0 _ 1 o ，b2 b = b l 0 0 0 0 1 从定义可以看出，非线性多输入多输出系统( 2 1 ) 通过对角反馈变换化成了m 个能 控的彼此独立的线性子系统。 定义2 4设z ，r 是竹上的两个光滑分布，定义分布列为 a ，= s p 册 r ，峨y ，耐罗y k f = 1 ，2 ) ，此处记号a d x y - 表示向量场z ，y 的l i e 括号， 亦即a d 。y = 防，y j 定义2 5 如果存在一个自然数k 满足： ( 1 ) 对i k ，分布。在点非奇异； ( 2 ) 存在点的邻域w ，使当i k 时，。 ) = a ( z ) o 忉， 则把k 称为j 关于j r 的l i e 括号运算指标，记为k = 尉( 置y ) 。 2 2 主要结果 对于系统( 2 1 ) ，记= l d ( f ，占) ( 1 茎f 州) 以及分布 a = 印口聆k l ，a d f g l , 唧g l i ，g 。，a d ，g 一，4 力g ，j d i = 印硎 妇，g h( 1 i s 确 引理2 1 如果l = 聍且d t 宅e x 。点非奇异对合，d t m ( a ) ( x 。) = 玎，则存在点 i - 1 附近定义的m 个光滑函数( 仍，仍，) 满足 ( i ) 当i ，时，l g , ，巧仍= 0 ( _ j = 0 , 1 ，2 ) ； ( i i ) 当k 0 时，由于l , , a z s h ( x ) = l f l g ( 砷一工g 三矗( 工) ，假若对任意的x ，有三g ( x ) ；0 ， 则有： l 。a i g ( x ) = 0 l g l f ( 曲i 0 进一步可推出 上“k 厅( 工) = l f l a d y g 厅( x ) 一己畸g l f h ( x ) ：0 工。d ，g 厅( x ) 一l i l g 上， ( z ) + 三g 三； ( x ) 因此，若有l g l ， ) ；0 上口，g ) s 0 ，则可得： 三“k 厅( s 一上咖0 厅( 曲 = 一l f l 2 l ，矗( 功+ 工g 工2 ，矗( 功 从而由l g l ， ( x ) z0 可知： 三耐k 向( 工) 兰0 ： 三g 弓 ( z ) 兰0 即女= 2 时，( 口) ，( 6 ) 等价。 同理可得对任意0 k m ，都有( 口) ，( 6 ) 等价成立。 下面证明( 口) ，( 6 ) 成立时，( c ) 成立。 设对m 时，( c ) 成立，即 乞7 + ，。厅( x ) = ( 一1 ) ”1l g 哆7 ( x ) = ( 一1 ) ”1l 。z “矗( x ) 则当m + 1 时，有 1 2 东北大学硕士论文 第二章非线性系统的反馈解耦 三耐7 * 2 9 厅( x ) ；l x 上耐7 + - g 矗( 石) 一耐7 + - g 三， ( x ) 2 ( 一1 ) 2 l o a t g e ( x ) 一 = ( 一1 ) 2 ( 一1 ) ”三。巧矗( x ) 即对于m + 1 时，( c ) 成立。 对于分布d j ，在砩点附近，有d i m ( d j ( 功) = n - 1 ，又因为分布d f 对合， f r o b e n i u s 定理【6 8 1 ，存在点附近的光滑函数啊，满足： d i = s p a n d h , 1 根据分布口及运算指标l 的定义有 ( f ) 当j j ， = o ，( 忌= 0 , 1 ，一) ( f f ) 当| i l 一1 ， = 0 ， 又因为b ( ) + s p a n a d ，。1 9 ，( ) ) = a ( x 。) ，所以口彬g 。( ) 正s p a n d h ，) 1 ，即 0 ， 最后由( 口) ，( 6 ) 的等价性及( c ) 知引理的结论成立。 引理2 2 在引理1 的条件下， z = m ( 工) = ( 伊i ，上，仍，三厂1 妒l ，p 。，0 ，上，_ 妒。) 7 确定了与z 。= m ( ) 附近的一个局部微分同胚。 证明：由于变换z = 中0 ) 的j a c o b i 矩阵为 罢= ( 嘲皿用，北r ，t _ 1 阶。砌。，以，哟4 ) 7 故仅需证余切向量d 吼，d l ，吼，a z ) - 1 张，d c m ，d l ，吩一在点线性无关。 由于d i m ( a ) ( x o ) = ”，则切向量g l ，畸9 1 ，i 一，哪。1 自，g 。，a d g ，a d ? 1 9 在 点线性无关。 又由引理2 1 有： ( d f o 。，吗”- ，呼1 c , o l ，纸，d l ，咐一，田。1 ) 7 ( 唧g l 付一，耐广鼬一，g 。) = p p = 1 3 o 东北大学硕士论文第二章非线性系统的反馈解耦 其中尸 ( 一1 ) 一l l r ，j - 1 妒 0 每个只都