（应用数学专业论文）sierpinski四面体的调和分析.pdf

i 学位论文版权使用授权书 i ii ir liii1 1 1 11 | l l rii ii y 18 9 4 6 7 1 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密团。 学位论文作者签名： 宋革色而 助f 7 年6 月5 日 指导教师签名： 伊“年b 月【哆日 姓 2 0 11 年6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 本论文的研究目的是将调和分析的有关概念和方法推广到三维空 间中一类新的分形集合( s i e r p i n s k i 四面体集) 上对这些新的分形集上 的结构、法向导数、l a p l a c e 算子等问题进行讨论，能得到一些有意义 的性质这种思想和方法在数学研究中有着重要的理论意义，丰富和 完善了分形分析这门新兴学科的理论体系同时，由于自然界中存在 着大量的具有分形结构的事物，因此研究分形集上的调和分析也具有 广阔的应用前景 本文中，我们把具有良好结构的自相似集s i e r p i n s k i 垫片由二维平 面推广到三维空间，得到一个充满孔洞的四面体，称为s i e r p i n s l d 四面 体集通过对s i e r p i n s l d 四面体集结构的分析，可知它是一个后置临界 有限( p c ) 自相似结构在此基础上，我们研究了s i e r p i n s k i 四面体 集上函数的调和扩张问题，给出了调和扩张的具体方法最 后讨论了该四面体边界点处的连续函数，尤其是调和函数的 法向导数和l a p l a c e 算子，并给出了法向导数的具体计算方 法 关键词：s i e r p i n s k i 四面体，自相似集，调和函数，p c f 自相似 结构，调和扩张，法向导数，l a p l a c e 算子 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep u 甲o mo ft h i sp a p e ri st oe x t e n dt h er e l a t e dc o n c e p t sa n dm e t h o d so f h a r m o n i ca n a l y s i st oan e wf r a c t a ls e t ( s i e r p i n s k it e t r a h e d r o n ) ，w h i c hi si nt h e t h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c e w ed i s c u s st h ef f a c t a ls t r u c t u r e ，n o r m a ld e r i v a t i v e ，l a p l a c e o p e r a t o r , a n de t c o nt h en e w f r a c t a ls e t ，a n dt h e ng e ts o m es i g n i f i c a n tp r o p e r t i e s t h i s i d e aa n dt h em e t h o dh a v ei m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei ns t u d y i n gt h et h e o r yo fm a t h e m a t i c t h e ye n r i c h a n d p e r f e c t t h et h e o r yo fan e ws u b j e c tn a m e df r a c t a l a n a l y s i s c o n t e m p o r a r y , f o rp l e n t yo ft h i n g st h a th a v ef r a c t a ls t r u c t u r ee x i s ti nn a t u r e ，r e s e a r c h i n g t h eh a r m o n i ca n a l y s i so ft h ef r a c t a ls e t sa l s oh a sb r o a dp r o s p e c t si na p p l i c a t i o n i nt h i sp a p e r , w ee x t e n dt h ew e l l - s t r u c t u r e ds e l f - s i m i l a rs e ts i e r p i n s k ig a s k e t ， w h i c hi si nt h ep l a n a r , t oah i g h e rd i m e n s i o ns p a c e ，a n dg e tat e t r a h e d r o nf i l l e dw i m h o l e s t h i st e t r a h e d r o ni sc a l l e ds i e r p i n s k it e t r a h e d r o n b ya n a l y z i n gt h es t r u c t u r eo ft h e s i e r p i n s k it e t r a h e d r o n ，w ek n o wi ti sap o s tc r i t i c a l l yf i n i t es e l f - s i m i l a rs t r u c t u r e t h e n w es t u d yt h ei s s u e so fh a r m o n i ce x t e n s i o no naf u n c t i o na n dg i v eam e t h o do fg e t t i n g h a r m o n i ce x t e n s i o no nt h es i e r p i n s k it e t r a h e d r o n f i n a l l yw ed i s c u s st h en o r m a l d e r i v a t i v ea n dl a p l a c eo p e r a t o ro fs o m ec o n t i n u o u s f u n c t i o n s ，e s p e c i a l l yo ft h e h a r m o n i cn m c ：t i o n s as p e c i f i cm e t h o do fc o m p u t i n gt h en o r m a ld e r i v a t i v ei sg i v e n k e y w o rd s ：s i e r p i n s k it e t r a h e d r o n ，s e l f - s i m i l a rs e t ，h a r m o n i cf u n c t i o n ，p o s tc r i t i c a l l y f i n i t es e l f - s i m i l a rs t r u c t u r e ，h a r m o n i c e x t e n s i o n ，n o r m a ld e r i v a t i v e ， l a p l a c eo p e r a t o r s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 i v l ”1 3 4 1 4 本文研究的主要内容5 第二章分形基本理论与基础知识“一一一一一一一”一。6 2 1 相关符号6 2 2 概念与定理7 2 2 1 迭代函数系7 2 2 2自相似集与自相似结构7 2 2 3 d i r i c h l e t 型与l a p l a c e 算子9 第三章s i e r p i n s k i 四面体的结构 3 1 引言1 2 3 2s i e r p i n s k i 四面体的构造1 2 3 3 后置临界自相似结构1 4 3 4 调和结构的正则性1 5 第四章s i e r p i n s k i 四面体的调和扩张1 7 4 1 调和扩张1 7 4 2 本章小结2 0 第五章法向导数与l a p l a c e 算子 5 1 法向导数2 2 5 2l a p l a c e 算子2 4 5 3 函数的局部性2 5 5 4 本章小结2 7 结束语一一一一一一”一”“一一”。2 9 参考文南定一一0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ”一一”一m 一。3 0 致 谢”0 0 0 0 0 0 0 0 0 一”一一”一一一”一”。3 3 v s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 在校期间发表论文 以后分形概念和分形理论的产生奠定了基础 m a n d e l b r o t 创立了分形几何这门学科它萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，正式成为 一门独立的学科则是在2 0 世纪7 0 、8 0 年代其研究对象为自然界和社会活动中广 为存在的复杂无序，而又具有某种规律的系统客观自然界中的许多事物具有自 相似的“层次结构在理想情况下，具有无穷层次，适当的放大或缩小几何尺 寸，整个结构并不改变人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可 以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学以及社会科学等众多 的学科中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍 的表现形式，即是自然界的普遍规律之一但是科学工作者真正把自相似性作为 自然界的本质特性来进行研究还是近一、二十年的事 自相似性表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性由自相 似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归分形形体中的自相似性可以是 完全相同，也可以是统计意义上的相似标准的自相似分形是数学上的抽象，迭 代生成无限精细的结构，如k o c h 雪花曲线、s i e r p i n s k i 地毯曲线等这种有规分 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形 分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供了新的方法，使 人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动，湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻 地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等多个学科中被广泛应用，解决了 欧氏几何范畴内解决不了的一些难题 作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的几何学，近年来，分 形几何不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展英国的肯尼思法尔科内 对分形几何作了详细的研究，在其著作f 1 ，2 1 中详细介绍了在研究分形的数学理论 中行之有效的各种新技巧另外，他和f a l c o n e r l 3 , 4 1 等人对分形的结构，比如迭代 函数系、开集条件、强分离条件等问题进行了研究，对各种分形的h a u s d o r f f 维数、 填充维数、计盒维数和测度进行了估计近来，测度的重分形分析发展非常迅速， e d g a r l 5 ，6 】和文志英【7 】的有关文章中得到了很多有意义的结果 分形几何自提出以来在各个领域得到了迅速的发展，描述了分形上的一些现 象，解决了欧氏几何范畴内解决不了的一些难题，取得了非常丰富的成果特别 是在自相似集性质的研究、自仿集的维数估计、2 阶密度、自相似测度的傅里叶分 析、分形的李普希茨等价、一些特殊集的分形结构以及测度的分形理论等方面， 成果更为丰硕但它解决不了如何在分形上建立l a p l a c e 算子和d i r i c h l e t 型等问题 我们上面介绍的诸如维数、测度等是对分形集的静态性质的研究对分形的 动态性质，发生在分形集上的现象，如热扩散和分形结构材料的振动等问题的描 述，就需要分形集上特有的分析的理论热扩散需要有热方程的建立，这就涉及 到拉普拉斯变换等诸多在分形集上定义的概念这些问题的研究都推动着分形集 上数学分析的研究2 0 世纪7 0 年代和8 0 年代之间，物理学家试图研究不规则介质 上的扩散现象，成功地计算了描述本征态分布的谱指数【8 ，9 】受到物理学家的启 发，k u s u o k a 1 0 l 和g o l d s t e i n l l l 】分别构造了s i e r p i n s k i 垫上的布朗运动，取得了分形 集上数学发展的第一步他们的方法称为概率方法在这种方法中，将布朗运动 所对应的半群的无穷生成子定义为l a p l a c e 算子b a r l o w 和p e r k i n s 1 2 l 在这种方法 下得到了s i e r p i n s k i 垫上与布朗运动相关的a r o n s o n 型的热核估计l i n d s t r o m l l 3 l 引入了分形套，将这种概率方法推广到嵌套式分形上，并构造了分形套上的布朗 运动有关概率方法的进展，可以参考b a r l o w 的综述性文章 1 4 2 0 1 2 江苏大学硕士学位论文 与此同时，同本京都大学的j u nk i g a m i 2 1 ，2 2 】在s i e r p i n s k i 垫上直接给出了一个 l a p l a c e 变换的定义在这个定义下，人们可以描述调和结构，格林函数和泊松方 程的解等问题，这种方法称为分析的方法k u s u o k a 2 3 1 和k i g a m i t 2 4 1 3 l 将这种构造 l a p l a c e 算子的方法推广到了一类有限分叉分形上 随后，k i g a m i 从基本的自相似集的几何原理开始，逐步对新近的研究成果加 以讨论，在分形的自相似基础上创立了分形分析这一数学分支它是用分析的方 法研究分形中的问题，主要研究了分形的动态特性，如分形的热扩散及分形结构 材料的振动等问题相关内容，可参见其著作 2 5 ，2 6 1 另外，r o b e r t r s t r i c h a r t z 2 6 ，冽从自相似集的测度、能量和度量出发，讨论了 自相似结构的调和结构、弱公式化、g a u s s g r e e n 公式、l a p l a c e 算子和它的谱等问 题，并且分别在区间【0 ，1 】和s i e r p i n s k i 垫上讨论了l a p l a c e 算子和d i r i c h l e t 型的关 系 近来，人们在对分形集上的函数空间理论【勿、微分方程等方面的分析理论进 行研究时得到了很多有意义的结果，可以直接给出调和函数、格林函数、d i r i c h l e t 型和l a p l a c e 算子的表达式另外，把概率方法应用至某些无限分叉分形上，可以 得到热核的精细的估计 随着分形分析的发展，用于研究分形集的数学理论与方法有了巨大的发展， 给出了分形研究中新的的数学理论与方法，且实际应用迅速发展，优秀成果不断 出现，分形分析成为了数学中的一个非常活跃的分支 1 2 本文的研究背景及现状 分形分析的研究对象主要是复杂的不规则几何形态它们在自然界处处可 见我们现阶段主要是在自相似集上讨论分形分析的一些性质 自相似集是分形中一类特殊的集合，我们现阶段在分形中研究的大多是自相 似集自然界中没有其自相似集有精确结构的物体在分形的定理中，自相似集 是最简单、最基础的结构 最近对分形分析的研究主要涉及到分形空间上的解析函数问题，且用分析的 的方法建立了l a p l a c e 算子和d i r i c h l e t 型 3 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 k i g a m i 于1 9 8 9 年在ah a r m o n i cc a l c u l u so nt h es i e r p i n s k is p a c e s ) ) 【2 8 】一文中， 用分析的方法在s i e r p i n s k i 垫上建立了l a p l a c e 算子 s t r i c h a r t z 和k i g a m i 给出了分形上的p d f 的一些新的论述，用到的工具主要 有：d i r i c h l e t 型、自相似测度、分形集上的调和函数等，并且得到了很多的结论 k i g a m i 在【2 5 】一书中详细介绍了自己在分形结构上的一系列研究成果： 解释 了自相似集的几何性方面的基础知识； 在有限集上定义了d i r i c h l e t 型和l a p l a c e 算子；论述了如何在后置临界自相似集上建构d i r i c h l e t 型，l a p l a c e 算子，调和函 数，格林函数；研究了后置临界有限自相似集上l a p l a c e 算子的特征值和特征函数 的性质；介绍了l a p l a c e 算子的热核等这些为以后研究分形结构提供了依据基 于k i g a m i 和s t r i c h a r t z 等人的工作，t e p l y a e v 在【3 0 】中详细地讨论了s i e r p i n s k i 垫 上的能量和l a p l a c e 算子 目前，对分形分析的研究还在不断进行之中，已出现了一系列的研究成果这 些研究逐步显示出欧氏空问与局部域上调和分析的本质区别，以及在分形分析中 两者所具有的优越性，以提供人们在研究过程中选择合适工具的依据 1 3 本文研究的目的及意义 现阶段对分形分析的研究取得了很多进展，得到了很多有意义的结论，但是 我们仍然处在该领域的初始阶段，需要不断地探索研究另外，分形分析在其他 领域也发展迅速，例如在物理、地质、材料、生命科学和工程技术等学科中有着 广泛的应用最近，分形分析的理论与方法在计算机与股票中有极大地应用它 们与计算机相结合，可以制作出各种的植物图形，如羊齿叶、松针等在股票交 易中，应用分形分析可以分析股票的波动、走向等问题这些都说明分形分析有 极大的应用价值 分形分析作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局 部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分 形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三 是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景自相似性是分形分析的 重要原则 我们已知一维、二维空间上的分形集具有的一些性质与定理，若把分形中一 4 江苏大学硕士学位论文 些分形集，尤其是具有良好结构的自相似集向高维空间推广，可以得到一些新的 理论与方法这有助于加快分形分析理论的完善 1 4 本文研究的主要内容 分形分析研究的一个重要问题是把分形的一些具有良好结构的自相似集推广 到高维上面，从而讨论其相应的自相似集的一些性质本文把s i e r p i n s k i 垫片由二 维推广到三维空间，得到一个充满孔洞的s i e r p i n s k i 四面体在s i e r p i n s k i 四面体 上可就调和扩张的方法，边界点上法向导数的概念，调和函数法向导数的计算方 法，函数的l a p l a c e 算子等问题进行讨论 在本文中，我们主要研究了以下几个方面的内容： 1 如何构造s i e r p i n s k i 四面体，了解该四面体的分形结构 2 在s i e r p i n s k i 四面体上进行调和扩张的方法 3 调和函数法向导数的具体的计算方法 4 函数的l a p l a c e 算子 5 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 第二章分形基本理论与基础知识 随着s t r i c h a r t z 及k i g a m i 等人对分析分析研究的逐步深入，分形分析的内容也 越来越丰富他们提出了很多重要的概念，定理和研究方法下面我们先来介绍 本课题需要用到的一些分形分析中的基本内容 2 1相关符号 设为自然数，对任意m 1 ，定义( 1 9 畔= n 2 ，r = q 哆： q 凸2 ， 缈称为与符号凸2 ， 有关的长度为m 的字段另外定义 皑= 办，i v = u 。卸畔，矽是空字段 记s = 仉2 ， 职= s ”是长度为m 的字的集合对缈，定义 巴：k k ，巴= 气。o 吃且屹= 气岱) ，这里h = m 特殊地，w o = 好， 只是恒等映射另外，定义取= u m 卸r e , = n2 ，r = q 哆鸭：q n 2 ， ，i 研表示长为n 的符号序列的 集合，其是与符号s 有关的单边移位空间记为 符号x y 表示在结构细分后的m 层中与点y 连通的点为石 j 靠 令y 是一有限集子集u y 的特征函数彤定义为： 舶，= $ 嚣 在不易混淆的情况下，记彤为筋若对点p y 有u = p ) ，则用乙代替五p 对pe v ( 圪是细分为m 层后所有的边界点集) ，定义修是有边界值砟的 研一调和函数，则任意m 一调和函数甜是 修) 的线性组合 注：m 一调和函数是指结构细分后在m 层上的调和函数 6 迭代函数系( 简记为i f s ) 的概念是由美国数学家b a m s l e y l 3 1 删提出的它是 一种构造分形集的有效方法，可用它来得到一些新的分形集对迭代函数系的研 究已经很多，当前大多数迭代函数系的理论是在完备度量空间中转化而来的 设x 是有界闭集，体，d ) 是完备距离空间，用日( x ) 表示由x 的非空紧子集的 全体组成的空间 定义2 2 1 ( 压缩映射) 设，是距离空间上的一个自身映射，即，：石_ 石， 如果存在某常数c ，0 c 1 ，使得对一切五y x 有 d ( ，( 力，厂( y ”c d ( x ，y ) ， 则称厂为压缩映射，c 为，的压缩因子 在压缩映射的基础上给出迭代函数系的定义 定义2 2 2 【3 5 1 若五o = 1 2 ，) 是完备度量空间，d ) 上的压缩映射，则称 ( 石，厶，厂) 构成一个双曲迭代函数系常用 x ；l ，厅= 1 2 ，n ) 来表示该迭代函 数系 可知，一个迭代函数系( i f s ) 是由一族x 上的压缩映射 五，厶) 组成的， 这里n 2 如果存在非空紧集，满足 e = u z 但) ， 则称集e 为i f s 五， 的吸引子或不变集 2 2 2 自相似集与自相似结构 设映射，：对任意五yer d 满足 7 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 i f ( x ) - f ( y ) l = cx - y i ， 其中0 - 0 ，f s 对 国。q ， 乞= ，i 么，在蛾) 上定义对称双线性型 占肘 ，d = 嘁乞一1 。巴，y 。巴) ，则存在以三眠) ，满足占( “k 定义2 2 i i ( 1 ) 令k ，k 是有限集且皿形) ，i = l 2 以，q ) 以，日：) 当 且仅当k k 时，对任意以粤化) ，有 s o ) ( u ，“) = n l i n s 2 、v ，d ：，粤o 乞) ，v l v , = “) ( 2 ) 令k 是一有限集，i = 0 ，1 , 2 又对任意f 0 ，4 - , 三形) ， s = ( 吒，h 。) 艉卸称为相容序列当且仅当对任意胁0 ，( 吒，巩) 眠h ，以h ) 1 0 列另外， 1 1 s i c r p i n s k i 四面体的调和分析 3 1引言 第三章s i e r p i n s k i 四面体的结构 分形分析研究的一个重要问题是把分形的一些具有良好结构的自相似集推广 到高维上面，从而讨论其相应的自相似集的一些性质如：把f o ，1 1 区间推广到二 维s i e r p i n s k i 垫片上，s i e r p i n s k i 垫片也是分形集，具有严格的自相似性，可讨论它 的调和函数，格林函数，法向导数等问题k i g a m i 和s t r i c h a r t z 对这些问题进行了 详细的讨论把s i e r p i n s k i 垫片由二维推广到三维空间就可以得到一个充满孔洞的 四面体，称为s i e r p i n s k i 四面体 3 2 s i e r p i n s k i 四面体的构造 在构造s i e r p i n s k i 四面体之前，我们先来回顾下s i e r p i n s k i 垫的结构先贪绍 一下s i e r p i n s k i 挚的迭代生成过程：从一个等边三角形开始，在第一个迭代步，连 接等边三角形的各边中点，从而将原三角形分成四个小三角形，接着移走中间的一 个小三角形在第二个迭代步，将剩下的三个小三角形按上面同样的方法继续分 割，并舍弃中间的三角形然后如此不断地重复“分割”与“舍弃 的过程如 果用，表示迭代的次数，则t = 0 对应于初始的等边三角形，而当，寸0 0 时，便得到 s i e r p i n s k i 垫( 图1 ) 图1s i e r p i n s k i 垫 f i g 1s i e r p i n s k ig a s k e t 江苏大学硕士学位论文 令 n ，p 2 ，仍 是等边三角形的顶点集定义映射= 寺( z p ，) + p ，其中 j = l 2 ，3 与s 五，疋，厶) 有关的自相似集k 称为s i e 印i n s k i 挚 s i e r p i n s k i 挚是r 2 上的唯一非空紧集k ，其满足k = u 五) ( f = l 2 , 3 ) ，且 v o = p 1 ，p ：，见 是该三角形的顶点集( 称k 是k 的边界) 与二维类似，可以构造三维的s i e r p i n s k i 垫我们称三维的s i e r p i n s k i 垫为 s i e r p i n s k i 四面体，它是s i e r p i n s k i 垫在空间的推广，其迭代生成过程如下：初始状 态( t = 0 ) 为一个标准的正四面体，在第一个迭代步( t = 1 ) ，对于初始i f 四面体 的每个面，将其每条棱的中点用线段两两相连，这样原来的正四面体被分成四个 小的正四面体，并在中问形成了一个正八面体，然后移走这个正八面体得到的 图记为在第二个迭代步( t = 2 ) ，将上个迭代步形成的每个小正四面体按上述 方法继续分割，得图f 2 如此下去，在第m 个迭代步( t = m ) 后，得图r 册这样， 当m o o 时，便得到s i e r p i n s k i 四面体 p 2 p l p 3 p 图2 正四面体 f i g 2e q u i l a t e r a lt e t r a h e d r o n 从正四面体( 图2 ) 出发，令 a ，p 2 ，岛，鼽) 是该四面体的顶点集定义尺3j r 3 的映射c ：e = 五1 ( z p j ) + 马，其中j = 1 ，2 ，3 ，4 对这个四面体进行一次迭代 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 ( t = 1 ) 后，取e ( k ) n f 2 ( k ) = 口1 ) ，e ( k ) n e ( k ) = q ：) ，g ( k ) n 只( k ) = q 3 ) ， 中 只悸) n e 岱) = 忆) ，墨岱) n e 悸) = 地) ，最晖) n 只晖) = 慨 ，则有( 图3 ) p l p o 图3r 1 f i g 3f 1 r 由于映射t ( j = 1 ，2 3 ，4 ) 都是压缩的，所以存在唯一紧子集k c r 3 使得 k = e 悸) u e 岱) u e 岱) u 只) ，这里的k 是一个满足定义2 2 3 的严格的自相 似集，其称为s i e r p i n s k i 四面体 易知三= ( k ，s ， 巧) j 鹤) 是自相似结构，这里s = 扎2 ，3 ，4 ) 3 3 后置临界自相似结构 定义3 3 1 令三= ( k ，s ， ) j 苍) 是自相似结构定义q j 【= u “舀州 ( e 岱) n e 噬) ) ，临界集c = 万- 1 旺，足) 和后置临界集p = u 。丑盯- 1 ( c ) 这里万：一k 是连续满射( 其中= s ) ，使得e 。万= 万。q ，仃是从专的映射： 仃( q 哆) = 哆鸭同时定义) = 石( p ) 显然，由定义3 3 1 知万( 夕) = p ，其中j = l ，2 ，3 ，4 在s i e r p i n s k i 四面体上， 江苏大学硕士学位论文 有q ，x - - u 诳s 卢( 鼻( k ) n c ( k ) ) 。 吼，q 2 ，q 3 ，q 4 ，9 5 ，q 6 ) ；l 的临界集为： c = 万。( q ，r ) = 1 2 , 2 i , 3 2 ，2 ，3 , i ，4 3 , 1 , i , ，4 i , 1 ，3 1 , 2 4 ，4 2 ；l 的后置临界集为： e = u 。丑盯1 ( c ) = 位绣4 ) 定义3 3 2 令三= ( 足，s ， ，舔) 是自相似结构l 是后置临界有限的当且仅当 后置临界集p 是有限集 在s i e r p i n s k i 四面体上，由于后置临界集p 是有限集，故l = i k ，s ， c 1 是 t 、 o ，t e - s ， 后置临界自相似结构在这种条件下，可分析该结构的调和函数、格林函数、 d i r i c h l e t 型、l a p l a c e 算子等问题 若l = ik ，s ， c i 是后置临界有限的，则边界点集圪对所有m 都是有限 、 、jji e si 集一般情况下，对任意w 1 ，k wn k 是一有限集 定义3 3 3 哺1 令k ) = 万死j m 1 ，令匕= u ；岱点4 ，k = 望圪 历己i 易知，圪c h ，且k 是k 的闭包 在构造s i e r p i n s k i 四面体的过程中，初始的边界点集为= a ，p ：，见，p 4 ) ，压 缩迭代一次后的边界点集变为k = v o u 口l ，吼，吼，吼，吼，吼对结构继续细分，压 缩迭代加次时，在新生成的m 层中，边界点集屹是与其新生成的点集的并记 在m 层中与点x 相邻的点的个数为舞k 一，则撑一= 信二三递+ 1 3 4 调和结构的正则性 调和结构是分形分析的基础，p ，呻) 是调和结构当且仅当 以，饥) k 卸是相容 序列，这里，= ( ，r 2 ，) ，若对所有的f ，有o 1 ，则p ，乃是不正则的 s i e r p i n s k i 四面体的调和分析 调和结构的正则性和非正则性问题是分形分析的重要问题令q = v ，可在 调和结构上建构二次型( ，f ) 和非负自相邻算子日这时由电阻度量r 给出的旷 的拓扑性与k 的拓扑性可能不会相同，在这种情况下，q 与k 不相等若调和结 构正则，那么y 为k ，即q = k 我们可以通过研究调和结构的正则性问题直接得出一些性质和定理是存在 的，从而避免了对这些性质、定理的证明，如证明是紧集、集合相等、有界等问 题另外，d i r i c h l e t 型、l a p l a c e 算子、g r e e n 函数等问题与调和结构是否正则有 关 在s i e r p i n s k i 四面体上，要研究其是否正则的，则需要考虑在下一章的调 和扩张中，我们恰好可以算出的值，这可以判断s i e r p i n s k i 四面体的正则性 1 6 若在k 上给定实值函数u ，可定义能量 瓦( “) = ( 力一h ( y ”2 工二y 这个能量是二次型，它的双线性形式定义为： ( 4 1 1 ) 瓦 ，力= ( ) ，) 一“( 功) ( ，( y ) 一 ， ) ) ( 4 1 2 ) j 、v - 由式( 4 1 1 ) 、( 4 1 2 ) 显然有， ，u ) = 巳 ) 根据极化恒等式我们可以得到 e ( ”， ，) = ( 已( 甜+ ，) 一匕( 材一v ) ) 4 3 因此我们只需研究二次型形式( 4 1 1 ) 但 这种形式不能把不同的m 层联系起来，即不能表示不同的m 层上的能量之间的关 系下讨论l h ) 与已 ) 之间的关系 定义4 1 1 设u 是y 上的一个函数，对于y ( v ) 上的一个函数u ，若 “i v = 比，则称比是“在y 。上的一个扩张设历是甜在y 上的一个扩张，若对于材在 v 上的任一扩张m ，都有邑( 厅) 玩( “) ，即所有材在y 上的扩张中，历具有最小 能量，则称历是u 在y 上的调和扩张 设函数u 在k 上有比( a ) = a ，u ( p 2 ) = b ，“( 见) = c ，u ( p 。) = d 现在要把 甜调和扩张到k 上，设纽k ( f - - 1 , ，6 ) ，根据能量最小化的要求，新生成点的 函数值是与该点相邻的所有点的函数平均值，故有： 1 7 甜c g s ，2 口+ 6 + c + d c 口。，= 吾口+ 易+ c + d 且“妇) + “( 吼) + + “( 吼) = 号 + 6 + c + d ) 故k 中的点的函数值满足“一1 一1 ， 一 jo 法则特别地， 当口= 6 ，b = c = d = 0 时， 有“( 绣) = “( 吼) ：“( 9 5 ) ：2 ， u ( q o = 翻( 岛) = 口( 吼) = 1 ， 从而岛( 材) = ( a ) 一甜( 仍) ) 2 + ( 崩) 一甜( 岛) ) z + + ( a ) 一比( 段) ) 2 = 1 0 8 ，骂( 甜) = ( 吼) 一口) 2 + ( 9 1 ) 一6 ) 2 + + ( 吼) 一d ) z ) ：7 2 ，故 器= 罴= ；棚：啪，= 知， 用同样的方法可把甜由k 扩张到k ，故k k 中的点的函数值也满足“一1 一1 ， jo 法则， 得乜( “) = 詈e ( 甜) = ( 詈) 2 毛( 甜) 再把甜由k 扩张到k ， 得