（学前教育学专业论文）3—6岁儿童早期分数概念发展的研究.pdf

论文摘要 本研究的目的是考查3 6 岁儿童早期分数概念的发展状况和年龄特点，其中 包括等分、量比( 单位量的比较) 、等值、运算的发展状况和年龄特点。被试为 上海市两所普通幼儿园中的1 2 个班级共1 8 0 名幼儿( 3 6 岁) ，儿童测查的工具 是在亨廷等人( h u n t i n g ，& s h a r p l e y , 1 9 8 8 ) 的等分测查工具和莱文等人( l e v i n e ， m i x ，& h u t t e n l o c h e r , 1 9 9 9 ) 的运算测查工具的基础上改编而成，单位量的比较和 等值部分采用了自行编制的题目。研究用描述性统计的方法分析了3 - 6 岁学前儿 童早期分数概念及其四个组成部分的发展状况；采用多元方差分析的方法分析了 3 - 6 岁学前儿童早期分数概念的年龄和性别差异；同时讨论了3 - 6 岁学前儿童早 期分数概念的发展状况及年龄发展特点所蕴含的教育意义。 结果表明：1 ) 等分。3 - 6 岁儿童等分的得分均数最高的依次是二等分、四等 分，得分均数最低的是五等分，各个班级儿童三等分和六等分得分均数的高低顺 序有所不同；等分部分的五个项目上均存在显著的年龄差异，但性别差异不显著。 随着年龄的增长，幼儿在二等分上的表现水平有较为明显的提高，而与之相比， 各年龄段幼儿在五等分上的得分差异则不大。2 ) 量比。3 - 6 岁儿童在相同单位量 大小比较上的得分均数均高于不同单位量大小比较的得分均数；量比的两个项目 上均存在显著的年龄差异，但性别差异不显著。中班是儿童对单位量大小意识迅 速提高的阶段。3 ) 等值。3 - 6 岁儿童等值得分均数的高低顺序为1 2 = 2 4 、1 2 = 3 6 、 2 4 = 3 6 、1 3 = 2 6 ；等值部分的四个项目上存在显著的年龄差异，但性别差异不 显著。儿童在没有进入小学之前就已经对等值概念具有初步的认识和理解。4 ) 运算。3 - 6 岁儿童运算部分包括加法和减法两个方面，加法方面的得分均数最高 的依次是1 2 + 1 2 、1 4 + 3 4 ：减法方面得分均数最高的依次是1 1 2 、1 2 1 4 、l - 3 4 。 运算各项目上均存在显著的年龄差异，但性别差异不显著。5 ) 早期分数概念。 3 - 6 岁儿童在早期分数概念四个部分上的得分均数的高低顺序均为：量比、等分、 运算、等值；其具有显著的年龄差异，而性别差异不显著。儿童对早期分数概念 的理解在各个年龄段均有较大程度的发展。6 ) 实物与图片两种表征水平。5 - 6 岁 儿童在实物与图片两种表征水平下仅在二等分、五等分上主效应显著，其余所有 项目均没有显著性差异。 关键词：学前儿童早期分数概念等分比较等值运算 a b s t r a c t 1 1 1 ep u r p o s eo ft h i ss t u d yw a st oi n v e s t i g a t et h ed e v e l o p m e n t a lc h a r a c t e r i s t i e si n t h ee a r l yf r a c t i o no f3 - 6y e a ro l dk i d s i n c l u d i n gt h es u b s e c t i o n , a m o u n tr a t i o ( c o m p a r i s o no nt h eu n i t s ) ，e q u i v a l e n c e ，a n dc o m p u t i n g as a m p l eo f18 0c h i l d r e n a g e d3 6f r o m1 2c l a s s e si nt w oo r d i n a r yk i n d e r g a r t e n si ns h a n g h a ip a r t i c i p a t e di nt h e s t u d yt h et e s t st oa s s e s sc h i l d r e n sf r a c t i o na b i l i t yw e r ea d a p t e df r o mh u n t i n ga n d e t c ss t u d y ( h u n t i n g ，& s h a r p l e y , 19 8 8 ；l e v i n e ，m i x ，& h u t t e n l o c h e r , 19 9 9 ) a n dt h e o t h e rt e s t st oe x a n i m a t eu n i tc o m p a r i s o na n de q u i v a l e n e , ew e r ed e v e l o p e db yt h e i n v e s t i g a t o r d e s c r i p t i v es t a t i s t i c sw e r eu s e dt oa n a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i c so f c h i l d r e n sd e v e l o p m e n to fe a r l yf r a c t i o n , i n c l u d i n gi t sf o u rp a r t s ：m n o v aw a su s e d t oe x a m i n et h ea g ea n dg e n d e rd i f f e r e n c e si ne a r l yf r a c t i o n ；t h ee d u c a t i o ns i g n i f i c a n c e i m p l i e di nt h ed e v e l o p m e n t a lc h a r a c t e r i s t i c si ne a r l yf r a c t i o nw a sd i s c u s s e da tt h e s a m et i m e t h er e s u l ti n d i c a t e dt h a t ：l1s u b s e c t i o n t h et o pt w oi nt h ed e v e l o p m e n to f s u b - s e c t i o no fc h i l d r e na g e d3 - 6i nt h r e ea g eg r o u p sa r eh a l v i n ga n ds u b - f o u r t h e o r d e rm e a s u r e db yt h es c o r e so fs u b s i xa n dt r i s e c ti nd i f f e r e n tc l a s s e sw a sd i f f e r e n t s i g n i f i c a n ta g ed i f f e r e n c ew a sf o u n di nt h ef i v es u b p r o j e c t s ，b u tt h e r ew a sn o s i g n i f i c a n tg e n d e rd i f f e r e n c ei nt h e m w i t ht h ea g ei n c r e a s e d ，y o u n gc h i l d r e n p e r f o r m e db e t t e ra n db e t t e ro nt h es u b t w oi t e m s w h i l et h e r ew e r en os i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e sb e t w e e nt h es c o r e so ft h et h r e ea g ep e r i o d so nt h es u b f i v ei t e m s 2 、l c o m p a r i s o n ，t h em e a ns c o r e sa b o u tc o m p a r i s o ni nt h es a m eu n i ta c h i e v e db y c h i l d r e na g e d3 6w e r eb e t t e rt h a nw h i c hw e r ei nd i f f e r e n tu n i t s t h e r ew e r e s i g n i f i c a n ta g ed i f f e r e n c e s b u tn os i g n i f i c a n tg e n d e rd i f f e r e n c e s t h ea g eo f4 - - - 5i sa p e r i o dt h a tc h i l d r e n sc o n s c i o u s n e s so fu n i t si sg r e a t l yi n c r e a s e d 3 1e q u i v a l e n c e t h e m e a ns c o r e so fs u b e q u i v a l e n c eo fc h i l d r e na g e d3 6r a n k e df r o mh i g ht ol o ww a s1 | 2 = 2 | 4 。、| 2 = 3 | 6 。2 | 4 = 3 | 6 、| 3 = 2 | 6 t h e r ew e r es i g n i f i c a n ta g e d i f f e r e n c e s ，b u tn os i g n i f i c a n tg e n d e rd i f f e r e n c e s t h ec h i l d r e nh a v ep o s s e s s e d p r i m a r yc o g n i t i o na n du n d e r s t a n d i n go ft h ee q u i v a l e n c ec o n c e p t i o nb e f o r et h e ye n t e r e l e m e n t a r ys c h 0 0 1 4 ) c o m p u t i n g t h ec o m p u t i n go fc h i l d r e na g e d3 6w a sc o n s i s t e d o fa d d i t i o na n ds u b t r a c t i o n i na d d i t i o n ，t h eh i g h e s ts c o r ew a sa c h i e v e di nl 2 + 1 2 ， 1 4 + 3 4 ：i ns u b t r a c t i o n , t h eh i g h e s ts c o r ew a sa c h i e y e di n l 1 2 、1 2 1 4 、1 - 3 4 ： t h e r ew e r es i g n i f i c a n ta g ed i f f e r e n c e s ，b u tn os i g n i f i c a n tg e n d e rd i f f e r e n c e si n c o m p u t i n g t h ed e v e l o p m e n to fe a r l y f r a c t i o nc o n c e p t i o nu n d e r s t a n d i n gw a s r e l a t i v e l yo b v i o u sa ta l lt h et h r e ea g ep e r i o d s 5 ) e a r l yf r a c t i o nc o n c e p t 1 1 1 em e a n s c o r e sa c h i e v e db yt h ec h i l d r e na g e d3 6i nt h ef o u rc o m p o n e n t so fe a r l yf r a c t i o n c o n c e p tr a n k e df r o mh i g ht o l o wb ec o m p a r i s o n ，s u b - s e c t i o n ，c o m p u t i n ga n d e q u i v a l e n c e t h e r ew e r es i g n i f i c a n ta g ed i f f e r e n c e s ，b u tn os i g n i f i c a n tg e n d e r d i f f e r e n c e s 6 1t h et w oi m a g el e v e lo fm a t e d a lo b j e c ta n dp i c t u r e t h es i g n i f i c a n t m a i ne f f e c tw a sf o u n do n l yi nh a l v i n ga n ds u b f i v ei nt h et w o i m a g el e v e lo fm a t e r i a l o b j e c ta n dp i c t u r eo fc h i l d r e na g e d5 - 6 ，a n dt h e r ew e r en os i g n i f i c a n td i f f e r e n c ei nt h e o t h e rp r o j e c t s k e yw o r d s ：y o u n gc h i l d r e n ，e a r l yf r a c t i o nc o n c e p t ，s u b - s e c t i o n ， c o m p a r i s o n ，e q u i v a l e n c e ，o p e r a t e 图表目录 表3 2 1 研究测查任务1 4 表4 1 13 - 6 岁儿童在等分部分中各项目得分的均数和标准差1 7 表4 1 2 年龄、性别对等分的多元方差分析检验结果”18 表4 1 3 年龄、性别对等分的各个项目得分的多元方差分析“1 9 表4 1 - 43 - 6 岁学前儿童等分部分的各项目班级间平均差的多重比较结果2 0 表4 - 1 5 大班幼儿在实物与图片上等分各项目得分的平均数和标准差一2 0 表4 1 6 材料类型对大班幼儿等分的多元方差分析检验结果”2 l 表4 1 7 材料对大班儿童等分各项目的多元方差分析表”2 1 表4 2 13 - 6 岁学前儿童量比部分的各项目得分的均数和标准差2 2 表4 2 2 年龄、性别对量比的多元方差分析检查结果“2 2 表4 。2 3 年龄、性别对量比的各项目的多元方差分析”2 3 表4 - 2 - 43 - 6 岁学前儿童量比部分的各项目班级间平均差的多重比较结果2 4 表4 2 5 大班幼儿在实物与图片上量比各项目得分的平均数和标准差”2 4 表4 2 6 材料对大班儿童量比的多元方差分析的检验结果2 4 表4 2 7 材料对大班儿童在量比的各项目的多元方差分析2 5 表4 3 13 - 6 岁学前儿童在等值部分中各项目得分的均数和标准差2 5 表4 3 2 年龄、性别对等值的多元方差分析检验结果一2 6 表4 3 3 年龄、性别对等值的各项目的多元方差分析”2 7 表4 3 43 - 6 岁学前儿童等值部分的各项目班级问平均差的多重比较结果2 7 表4 3 5 项目1 3 = 2 6 的简单效应检验2 8 表4 3 6 项目2 4 = 3 6 的简单效应检验2 8 表4 3 7 大班幼儿在实物与图片上等值各项目得分的平均数和标准差”2 8 表4 3 8 材料对大班儿童等值的多元方差分析的检验结果”2 9 表4 3 9 材料对大班儿童在等值的各项目上的多元方差分析”2 9 表4 4 13 - 6 岁学- 自i j j t , 童在运算部分中各项目得分的均数和标准差”3 0 表4 4 2 年龄、性别对加法部分的多元方差分析检验结果一3 l 表4 4 3 年龄、性别对加法部分各项目的多元方差分析”3 1 表4 - 4 43 - 6 岁学前儿童加法部分各项目班级间平均差的多重比较结果3 2 表4 4 5 年龄、性别对减法部分的多元方差分析检验结果”3 3 表4 4 6 年龄、性别对减法部分各项目的多元方差分析”3 3 表4 4 73 - 6 岁学前儿童减法部分各项目班级间平均差的多重比较结果3 4 表4 4 8 大班幼儿在实物与图片上运算各部分得分的平均数和标准差一3 5 表4 4 9 材料对大班儿童运算的多元方差分析的检验结果“3 5 表4 - 4 1 0 表4 5 1 表4 5 2 表4 5 3 表4 5 4 表4 5 4 表4 5 5 表4 5 6 材料对大班儿童在运算各项目上的多元方差分析3 5 3 - 6 岁学前儿童在等分、量比、等值、运算上得分的均数和标准差3 6 年龄、性别对早期分数概念的多元方差分析检查结果“3 6 年龄、性别对早期分数概念发展各部分的多元方差分析”3 7 3 - 6 岁学前儿童早期分数概念各部分班级间平均差的多重比较结果3 8 大班儿童在实物与图片上早期分数概念各部分得分的平均数标准差3 8 材料对大班儿童早期分数概念的多元方差分析检验结果”3 8 材料对大班儿童早期分数概念各部分的多元方差分析”3 9 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：塑塑堡日期：鲨里：兰：至 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：弘新事 导师签名： 日期： 氐z 砂够印日期：兰! ! 第一章绪论 儿童对分数概念的学习是进入学校教育之后才正式开始的，但已有研究表明 儿童在正式学习分数概念之前已对分数概念有了初步的感性的认识。如，儿童在 日常生活中常常会遇到分东西的情境，把一块饼干分给两个人、一块蛋糕分给多 个人等，在这些最初的分物尝试中儿童逐渐积累起了有关分数的经验。但查阅文 献我们发现，当前有关儿童早期分数方面的研究相对薄弱。因此，本研究拟对国 内3 6 岁儿童的早期分数概念的发展状况进行研究，以便为儿童早期分数概念发 展领域的研究提供更多的研究信息和数据。 第一节研究的背景与意义 当前，有关儿童分数概念的研究大部分集中在小学阶段，但一些研究表明， 儿童在没有建立精确的数量概念之前已经形成了部分与整体的具体形象的概念。 儿童对有关“数的部分与整体 的概念的发展始于早期数学发展的“前数量”时 期( r e s n i c k ，1 9 9 2 ，1 9 8 9 ) ，即在儿童还没有形成确切的数量概念以前，他们已 积累了各种有关部分一整体概念的生活经验。他们知道可以把一整块东西切成几 小块，如果把这几块东西再拼在一起又可还原到和原来一样大的整体( 周欣， 2 0 0 4 ) 。鉴于此，为了补充这方面的研究成果，本研究考察了3 - 6 岁学前儿童对 早期分数概念理解的发展状况及其发展特点，并分析了学前儿童早期分数概念的， 年龄差异和性别差异。 国外对学前儿童早期分数概念的研究更多集中在“等分 的研究之上，但对 于有关分数其它方面( 如等值、运算) 的研究较少；而国内的文献大多是有关幼 儿园教学实践层面的研究，基础理论方面的研究较少。本研究通过考察学龄前儿 童对分数概念的初步认识，并探讨了儿童早期分数概念的四个部分( 等分、量比、 等值、运算) 的发展状况与特点，使得我们能更全面地认识和理解儿童早期分数 概念的发展状况，为学龄前儿童早期分数概念的研究提供一个更加广阔的视角。 因此，本研究的目的就是在连续量的情境之下，对学龄前儿童的早期分数概念发 展进行考察，具体分析3 6 岁儿童早期分数概念的发展状况。 研究3 6 岁儿童的早期分数概念的发展状况和发展特点也具有重要的现实 意义：首先，相关研究发现，儿童的对分数的学习比较困难，而且教师的教学效 果也不十分明显，其原因在于教师在教学中通常未考虑n ) l 童早期分数知识的学 习与非正式的分数知识或经验之间的联系之重要性( h a r t ，1 9 8 1 ：h u n t i n g ，1 9 8 3 ： m a c k ，1 9 9 8 ：转引之詹婉华，吕玉琴，2 0 0 4 ) 。因为，儿童对分数符号意义的理 解正是基于他们所获得的早期分数的经验和非正式的分数知识。例如，儿童接触 分蛋糕、切西瓜等日常生活事件对其接受正式分数学习会产生着一定的影响，所 以，为儿童提供非正式的分数知识和早期分数经验的学习机会是至关重要的。尽 管有的幼儿园的课程与教学中可能已经涉及了有关“等分内容的学习，但却缺 乏量比、等值、运算等学习内容。因此，通过本研究我们能更深入地认识学前儿 童早期分数概念的发展状况，这样就能在日常生活中更好的为儿童未来正式的分 数学习提供前期的经验准备。 其次，3 6 岁儿童在生活中已经具有初步的分割经验，如把一块饼干发给两 个小朋友吃，两个半圆拼成一个整的圆形等。国内幼儿园的一些课程活动中虽然 也涉及到有关等分的教学内容，但有关早期分数概念的其他方面内容涉及的较 少。因此，通过本研究，我们能了解3 6 岁儿童在此方面的发展状况，能够更好 地理解儿童的数概念的发展，以便为幼儿园设计相关的教育活动提供依据。另一 方面通过对学前儿童在实物和图片两种表征水平下对早期分数概念理解的研究， 能帮助我们了解学前儿童在实物和图片两种表征水平下早期分数概念的发展状 况，更有利于学前儿童的教育教学。 第三，从整数的学习到分数的学习，对于儿童是个很大的挑战，分数的学习 成了儿童数学发展上的一个大的难点( b e h r ，w a s h s m u t h ，p o s t ，l e s h ，1 9 8 4 ) 。 从整数学习到分数学习的过渡，可以说是小学阶段数学学习上的一个转折之处， 分数的学习在以后的数学概念的学习之中占有重要的地位。而且从幼儿园与小学 课程内容衔接的角度来看，儿童对早期分数概念的前期经验亦是非常重要的。 第二节主要概念与术语界定 对本研究中运用到的主要概念与术语界定如下： 1 、早期分数概念 早期分数概念是立足于儿童早期日常的生活经验，以部分一整体的关系为基 础而形成的一种非符号意义上的分数概念，包括等分、单位量、等值、运算四个 部分。 2 、等分 分数概念的核心部分，指整体平均分成相等的部分。 3 、单位量的比较( 量比) 单位量为原始的整体量，这里包括单位量的辨认、相同分数单位量的大小比 较以及不同分数单位量的大小比较。但是，单位量的指认对于3 6 岁儿童是比较 困难的，故在此仅考查在相同或者不同单位量之下的分数比较，简称量比。 2 4 、等值 等值指在选取相同基准单位量的情境下，虽然分的份数不同，但两分数所代 表的量是相等的。 5 、运算 这里仅指分数的加减，即为部分与部分之间的合并与相减，以及部分与整体 之间的增减关系。 第三节研究问题 本研究是在连续量的状态下从等分量、量比、等值与运算四个方面去考察3 6 岁儿童早期分数概念的发展的情况，此研究拟解决的主要问题有： 1 3 - 6 岁儿童在等分、量比、等值、运算上的发展状况如何? 2 3 - 6 岁儿童在等分、量比、等值、运算上有没有年龄和性别差异? 3 3 - 6 岁儿童早期分数概念发展有没有年龄和性别差异? 4 5 - 6 岁儿童在实物与图片两种表征水平下其早期分数概念发展有无差 异? 第四节论文结构 本论文共分六个部分： 第一部分：绪论：阐述了研究的背景和意义、主要的概念与术语的界定、研 究的主要问题以及论文的结构。 第二部分文献综述：详细概述了国内外对早期分数概念研究的现状，从等 分、单位量、等值、运算四个方面加以归纳，分析了已有研究中存在的不足，进 而提出本研究的着眼点。 第三部分：研究方法：介绍了研究的被试、测查工具、测查方法以及数据的 收集与处理方法。 第四部分：研究结果：对测查数据进行统计分析，了解3 - 6 岁儿童早期分数 概念发展的状况、年龄差异及性别差异。 第五部分：分析与讨论：对研究的结果进行探讨与分析，关于3 6 岁儿童对 早期分数概念发展的四个方面( 等分、量比、等值、运算) 理解的年龄特点的分 析讨论。 第六部分：结论、教育建议及本研究的不足之处：总结本研究的主要结论， 在此基础上提出教育上的建议，并对研究进行反思。 3 第二章文献综述 分数一词来自拉丁文( f a n g e r e ) ，代表的意义是“分开”，用来表示一个被分 开的整体之各部分，整体与部分的关系便成了分数概念学习的基础。从2 0 世纪 6 0 年代开始，已有关于儿童对早期分数概念理解的相关研究，现把这些研究文 献归结为以下四个方面：对早期分数概念内涵的探讨；分数概念的结构与测评： 早期分数概念发展的状况：日常生活中的分数知识的应用等。本综述即从这四个 方面进行具体的介绍。 第一节早期分数概念的内涵 分数针对不同的情境有着不同的解释：基任( k i e r e n , 1 9 8 0 ) 将分数分成五 个概念来探讨：部分一整体、比率、商、度量和运算( 转引之李长灿，2 0 0 4 ) 。 迪克森、布朗与吉布森( d i c k s o n , b r o w n ，g i b s o n , 1 9 8 4 ) 提出对分数的五种解 释：整个区域的子区域( 或部分一整体) ，子集合与全体集合间的比较，坐标轴 上二个整数间的一点，除法运算的结果，两组集合或两个度量的大小比较的结果。 贝尔等( b e h r , & p o s t , 1 9 8 8 ) 解释分数为：“部分全部”的概念；比率：强调两 个数量的关系；比值：用一个量值来代表两个数量的关系：商：两数相除的结 果；操作：强调分数是一种转换；线性坐标i 强调数线的距离长 数线上的一点f 即实数系的子集合。 从以上的几种分数概念的不同解释上来看，其可以分成五种不同的解释：部 分一整体、子集全集、商、比率、比值。然而，在这些对分数概念的解释之中， “部分一整体 是分数概念发展的基础( b e h r , l e s h ，p o s t ，& s i l v e r , 1 9 8 3 ；k i e r e n , 1 9 8 8 ) 。 小学教科书上对分数的定义是这样写的：“分数是指把整体l 平均分成若 干份，表示这样的一份或几份的数”( 转引之刘静和，1 9 8 2 ) ，从这里可以明确 的看出，其实质上是从整体一部分的角度出发做出的界定。福瑞登施( f r e u d e n t h a l ， 1 9 8 3 ) 指出，分数是部分一整体关系的反应，分数从其性质来看，是基于部分与 整体关系之上的。尤西达、萨瓦橘( y o s h i d a , & s a w a n o ，2 0 0 2 ) 指出分数的本质 即是整体与部分的关系。 同时，一些研究表明，3 4 岁的儿童已经表现出对一些相对复杂的整体与 部分的关系的理解能力( h u n t i n g , 1 9 8 3 ) ，犹如分数的原始概念是来自于分东西 的生活经验，分饼干，切西瓜等，分割物体对儿童来说是一个关键的经验来源。 早期的分数概念是建立在这种分割的经验基础之上，萨恩( s a e n z l u d l o w , 1 9 9 4 ) 4 把这种幼儿前期通过分割物体所获得的经验称之为“前分数( p r e f r a c t i o n ) ”。 亨廷( h u n t i n g1 9 9 9 ) 的研究发现，5 岁儿童对“一半”概念已经完全理解； 他把那些与之相关的分割或分开的知识经验称作“前分数知识( p r e f r a c t i o n k n o w l e d g e ) 。赫伽( h e c h t ，1 9 9 8 ) 指出，没有接受正式学校学习之前，儿童的 早期分数概念是指儿童在日常生活经验基础上建立的前期分数经验，这些分数经 验为以后入小学分数概念上的学习建立基础。鉴于此，本研究中把早期分数概念 界定为立足于儿童早期日常的生活经验，以部分一整体的关系为基础而形成的一 种非符号意义上的分数概念。 第二节分数概念的结构与测评 一、分数概念的结构与测评 2 0 世纪7 0 8 0 年代，有研究者通过部分一整体关系来考查儿童对分数概念 的认识。皮亚杰等人( p i a g e t ，i n h e l d e r , & s z e m i n s k a , 1 9 6 0 ) 认为，儿童对分数 概念的理解必须具有以下七个部分：l 、能将整体分割；2 、能决定部份量；3 、 分割量必须穷尽；4 、能决定分割数和全体的关系；5 、所有的被分割量皆相等； 6 、知道部分是来自全体；7 、知道部分总和等于全体，而且全体是不变的。 刘静和等人( 1 9 8 2 ) 提出1 2 项指标来对5 1 0 岁儿童对分数概念的认识进行 了考查：1 、整体可以分为若干相等或不相等的部分：2 、各部分之和等于整体； 3 、整体大于任何二个部分；4 、任何一个部分都小于整体l5 、整体包含部分f6 、 部分构成整体，任何部分都来自于整体；7 、部分变化的位置不影响整体；8 、当 整体分为两个部分时，部分之间存在着消长、增减关系；9 、当整体分为两个部 分时，一部分是另一部分的“补 ，并存在可逆关系；1 0 、整体是一个大的堆或 集合；1 1 、整体可分为部分，部分又可以作为一个整体再分为部分；1 2 、当整体 分为相等部分时，部分的数与每个部分中的单元数是反方向消长关系。刘静和等 人归纳的四种关系：数量关系、包含关系、可逆关系与互补关系，从这些关系出 发，来考查儿童对分数概念的认识与发展。然而，其中的关系可逆与互补关系更 多的表现的是一种哲学的逻辑关系，这些考查中分数的有些特点并没有完全的涉 及到，例如，来自不同整体所得的部分是不同的，即为不同的单位量下，同一分 数所表示的数值是不同的。再有，分数的等值，例如，如1 2 = 2 4 等。 2 0 世纪9 0 年代，研究者对于儿童分数概念发展的研究，是建立在整体与部 分关系的基础上，从分数概念所包含的部分来考查儿童对分数概念的理解。 莱瑞等( l a r r y , j o s e p h ，1 9 8 7 ) 提出儿童在学习分数的初步概念时必需掌握 确定单位量，认知等分的大小，找出等分割数，所取份数与等分割数比较四项要 5 素。我国台湾学者吕玉琴( 2 0 0 4 ) 在制定台湾小学分数能力测量量表时把对分数 概念的理解划分为四个主要的部分：简单分数概念、等分概念、单位量概念、等 值概念。简单分数概念，是指由分东西的经验带入，用生活性“一半的语言； 等分是指将物品( 连续量或离散量) 细分，细分的每个部分的量皆相等；单位量 概念，整体的划分为部分的单位量；等值的特征是部分可以再细分，部分可以再 合并。 詹婉华、吕玉琴( 2 0 0 4 ) 在一份有较高信度的“国小高年级儿童分数概念量 表中以笔试试题为研究工具，以多阶段抽样抽取台湾儿童2 6 1 2 人，经共同因 素分析检验的分数概念量表包含三个分数子概念：等分概念、单位量概念、等值 分数概念。林彦宏( 2 0 0 3 ) 的硕士论文中关于小学五年级儿童的分数概念的考查 中，涉及到了等分概念、单位量的指认、单位分数概念三个主要的方面。 从当前的文献可以看出，分数概念结构包括等分概念( 包括简单分数概念 “1 2 ) 、单位量概念( 包括单位量的指认，以及单位量的比较) 、等值概念三 个基本的方面。从部分一整体的关系来分析不难发现，等分：即把整体分成部分； 单位量：原来的整体视为一个单位量，以及在相同或者不同单位量之下的分数比 较。等值：指在选取相同基准单位量的情境下，两分数所代表的量一样多。但是， 这三个方面缺少了部分与部分的合并或者增补，整体与部分之间的增减关系，即 构成了分数概念中的运算概念。因此，以整体一部分的关系为基础，构成的分数 概念结构主要包括：等分、单位量、等值、运算四个方面。 二、分数的问题情境 在现有的文献研究中对于分数的研究都基于连续量和非连续量两种情境之 下：连续量指物体是一个连续性的整体，如一条绳子、一个西瓜等。其中，布瑞 腾等人( b r i t t o n ，& b a r b a r a l ，2 0 0 7 ) 指出存在三种模式：面积、长度、组合；帕萨 等人( p a s s a n t i n a , & b a i l e y , 1 9 9 7 ) 同样指出存在三种模式：面积模式、线条模式、 复合模式。本研究采用面积模式之下的研究。 非连续量指多个独立分开的个体，例如：一盒铅笔有1 0 支、一堆苹果有8 个。在非连续量的情况之下，与儿童的数数技能有非常大的关系，因此，本研究 只是采用了连续量的情境。 第三节早期分数概念发展的状况 已有研究表明儿童在没有进入小学之前已经会解决与分数有关的问题，4 7 岁儿童能独自分切圆形的蛋糕给不同数量的布娃娃( h u n t i n g ，& s h a r p l e y , 1 9 8 8 ) 。 6 儿童利用连续量分蛋糕的方式，从不同维度的分发从低到高分可以分为五个水平 ( p o t h i e r , & s a w a d a 1 9 8 3 ) 。张梅玲等人( 1 9 8 2 ) 的研究表明，5 1 0 岁儿童对分 数的认识随年龄而发展，以7 8 岁发展最为迅速，到8 岁基本上能掌握。学前儿 童的早期分数是建立在日常的生活经验基础之上的，以部分一整体的关系为依据 非符号意义上的分数概念。下面通过对文献的梳理从早期分数概念的四个部分来 展开说明。 一、等分 等分是日常生活中常见的现象，是指将物品( 连续量或非连续量) 分开，而 分开的每个部分的量均相等。等分是儿童必须具备的基础概念( 林福来，黄敏晃， 1 9 9 3 ：吕玉琴，1 9 9 6 ) 。 皮亚杰等人( p i a g e t ，i n h e l d e r , s z e m i n s k a , 1 9 6 0 ) 研究发现，儿童在处理和 长度、面积等有关的分数问题时，先会处理1 2 ，其次依序是1 4 、1 3 、1 5 、1 6 。 4 4 5 岁的儿童会处理1 2 、1 4 的分数问题，6 7 岁的儿童能处理1 3 的分数问题 ( p i a g e te ta 1 1 9 6 0 ) 。同时，英海尔德等人( i n h e l d e r , & s z e m i n s k a ，1 9 6 0 ) 探讨 儿童在连续量及离散量的分数概念发展，发现儿童在处理长度和面积有关的分数 问题时，其能力与皮亚杰等人的研究结果相同，在处理有关的分数问题时，。先会 处理l 2 ，其次却是1 3 、1 4 、i 5 。 亨廷等人( h u n t i n g , & s h a r p l e y , 1 9 8 8 ) 采用1 9 8 3 年的他自己采用过的量的 研究方法，选取2 2 个3 岁l o 个月到4 岁t o 个月的幼几，幼儿均来自日托中心 低收入家庭。这些儿童在连续量和非连续量的问题上处理分数1 2 、1 3 、1 4 ，六 个问题任务包括方形的布、绳索、圆形蛋糕、容积、纸杯型蛋糕、香肠六个物体， 分别分给二、三、四个布娃娃。研究结果表明，在方形的布上7 名儿童能正确的 平分，但是没有预期的动作，如折叠等。只有1 个能正确地解决三个布娃娃的问 题。在绳索的分割上，所有儿童均没有经过尝试或估计就可分开。圆形蛋糕，1 4 名儿童采取依次分下去的方法，分到最后一个儿童即停止；1 0 名儿童在划分之 前先思考采用何种划分的方法，具有一定的计划性。容积上，没有几童选择正确 的彩色卡片，其中有1 名儿童选择了所有分成两个部分的卡片。在纸杯型蛋糕分 割上，4 名儿童得出正确的结果，1 名儿童非常迅速的完成任务。在香肠的分割 上，6 名儿童采用大约的分割方式，4 名儿童重复分割剩下的部分，1 2 名儿童把 香肠分成小的块数，然后，分完整个香肠。 斯皮尼等人( s p i n i l l o ，& b r y a n t ，1 9 9 1 ) 通过三个实验来考察儿童对“一半 的理解。实验一，8 0 个儿童分为四组4 岁，5 岁，6 岁，7 岁。采用蓝和白相间 的两个2 c m 4 c m 的木块，长与宽不同的分割尺度，分别为1 8 蓝与3 8 蓝，5 8 7 蓝与7 8 蓝。5 1 8 蓝与7 8 蓝表示“一半”以外，1 8 蓝与3 8 蓝表示“一半”以 内，让儿童相互比较3 8 蓝与5 8 蓝。通过相同和不同条件，结果表明，6 岁和7 岁儿童的表现出的成绩相对较好，两种条件下检验不显著。在年龄条件比较 之间的相互作用呈现显著差异，且“一半之外的比较显著好于“一半”之内的 比较。实验二，4 0 名儿童分为两组：6 岁组与7 岁组，材料为4 8 蓝与6 8 蓝， 以及4 8 蓝与2 8 蓝。研究结果表明，“一半 和“一半以内 的比较在不同条件 下存在显著性差异。试验三，6 0 名儿童分为三组：6 岁组、7 岁组、8 岁组，白 色和蓝色相互之间的比较。研究结果表明，年龄上存在显著性差异，任务项目上 不存在显著性差异。 我国台湾学者许惠欣( 1 9 9 8 ) 发现幼儿园大班的幼j i a 平均年龄5 岁7 个月) ， 在分割连续量能力的发展层次方面，有2 1 7 的幼儿无法全部答对分割为二份的 问题；答对全部二份的分割问题，却无法答对全部四份的分割问题的幼儿占7 5 8 ；只有2 5 的幼儿能答对全部二份与四份之分割问题。此外，依分割之份数 而有难易的差别，其中以二份最容易，其次是四份，最困难的是三份。幼儿分割 二份与四份时，折圆形与正方形色纸的答对率高于切球体与立方体黏土；但分割 三份时，切割黏土比折纸容易。 在等分策略的研究方面，林福来、黄敏晃及吕玉琴( 1 9 9 6 ) 指出，儿童分东 西有以下几种策略，1 、约估视觉调整：例如，先用视觉约估每个人分得的量， 分完后，判断其是否等分；若不等分，再调整，重新分配。2 、视觉调整：例如， 依次分割，分到最后一位时冉判断其是杏等分；若不等分，再调整，重新分配。 3 、视觉：例如，分给五人就分成五份，但不考虑其是否等分。许惠欣( 1 9 9 8 ) 研究了幼儿在平分球体与立方体时所运用的策略，最常用的正确二分切割策略是 “垂直线 策略；三分切割策略则依形体不同而异，球体用“放射线”( 几何转 换之旋转) 策略；立方体用“垂直线之并行线 ( 几何转换之移动) 策略；四分 切割策略是“十字形”策略。至于平分圆形、正方形、正三角形、长条形等色纸 方面，最常用的是“水平线或“垂直线”策略( 即对折) ，三分策略是“垂直 线之并行线”( 调整式几何转换之移动) 策略；四分策略则是“十字形 策略。 不同类型的材料下儿童等分的表现水平是不同的，有研究者发现5 7 岁的儿 童分材料给他的两个或者三位朋友，采用三种材料类型：连续、分离、和复合。 复合的材料的成绩是最不好的，他们在解决问题时没有采用数数的策略。我国台 湾学者林福来、黄敏晃( 1 9 9 3 ) 的研究中有一个例子，研究人员拿4 块正方形积 木、2 块长方形积木及2 块三角形积木给一位小学二年级的男同学，要求他拿这 些积木的一半给研究人员，结果这位男同学拿4 块正方形积木，认为这是一半。 显示他只注意到分成的二堆个数要一样多，却忽略这二堆的量也要一样多。儿童 8 在判断分割后的部分是否等分时，也会以视觉的约估及对折或折成三份、四份等 直观的方式来判断是否等分( f r e u d e n t h a l ，1 9 8 3 ) 。大部分儿童在处理分数版的 问题时，只注意到分数版分割成的块数，而没有注意到分割的每一个块是否相等 ( b e r g e r o n ，& h e r s c o v i c s ，19 8 7 ) 。 从以上的文献可以看出，以前对等分的研究中，材料类型涉及到长度、面积、 体积三个纬度，研究结果均表明，儿童最先会解决的是有关1 2 的问题，正如纽 内斯等人( n u n e s ，& b r y a n t ，1 9 9 6 ) 指出，早期的等分例如整体的一半，5 6 岁的 儿童已经获得。另外，苟宛等人( g o s w a n i ，1 9 8 9 ；s p i n i l l o ，& b