（应用数学专业论文）临界点理论中的极小极大及其在hamilton系统中的应用.pdf

摘要 v6 2 5 3 3 6 本文首先讨论了极小极大定理中的一个重要定理山路引理，在 定义了算子的( p s ) 条件和算子的临界点概念之后，将其从泛函形式推 广到一般的算子形式；然后考虑了山路引理的某些推广在二阶哈密顿 系统奇+ 一g + y ( g ) = 0 周期解中的应用，在对上述哈密顿系统周期解的 研究中，现有工作绝大多数考虑的是a = 0 的情形，本文考虑了下述情 形：线性项a 为常数矩阵，位势函数矿( g ) 满足超二次非齐次条件在 上述假设下，利用山路型临界点定理，证明了系统存在一个或无穷多 个给定周期的周期解 关键词：临界点理论，极小极大，h a m i l t o n 系统，周期解 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r st h em o u n t a i np a s st h e o r e mw h i c hi so n e o ft h em o s ti m p o r t a n tt h e o r e m si nm i n i m a xt h e o r y w eg e n e r a l i z e i ti n t oo p e r a t o rf o r mf r o mf u n c t i o n a lf o r m t h e nw ea p p l ys o m e g e n e r a l i z e df o r m so fm o u n t a i np a s st h e o r e mt ot h eh a m i l t o n i a n s y s t e m s 茸+ 爿g + y ( g ) = 0 t h e r e s e a r c hw o r ka b o u th a m i l t o n i a n s y s t e m sa tp r e s e n tm o s t l yc o n s i d e rt h ec a s e 爿= 0 w e a s s u m et h a t t h et e r mo fl i n e a r i t yi sai n v a r i a b l em a t r i xa n dt h ep o t e n t i a l s a t i s f i e ss u p e r q u a d r a t i cn o n h o m o g e n u sc o n d i t i o n s u n d e rt h i s a s s u m p t i o n ，w ep r o v e t h a tt h es y s t e m sp o s s e s sp e r i o d i c s o l u t i o n sw i t hp r e s c r i b ep e r i o d k e y w o r d s ：c r i t i c a lp o i n t t h e o r y ，m i n i m a x ，h a m i l t o n i a n s y s t e m s ，p e r i o d i cs o l u t i o n s 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 第一章引言 在科学、技术领域里，周期是一个相当普遍的现象，在微分方程的研究中， 研究其周期解的存在性和解的个数一直是个热门且重要的课题 h a m i l t o n 系统是非线性科学研究中的一个重要领域，由于这类系统广泛存在 于数理科学，生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学，等离子物理， 航天科学以及生物工程中的很多模型都以h a m i l t o n 系统( 或它的扰动系统) 的 形式出现，因此，该领域的研究多年来长盛不衰经过科学家们近两个世纪的努 力，h a m i l t o n 系统已经成为现在非线性科学中一个非常有生机的研究方向而对 h a m i l t o n 系统周期解的研究，历史上因受天体力学中三体问题的刺激，曾经引起 人们的广泛兴趣h p o i n c a r 6 ，g d b i r k h o f f , m m o r s e 等都在研究这个问题中提 出过好几个数学分支里的崭新思想，创造出许多有效的方法和技巧1 1 但是，由于非线性问题的研究十分困难，对高维问题的研究更是如此，而 h a m i l t o n 方程组就属于高维问题因此，古典的方法逐渐走入低潮例如古典的 极小化序列方法要求方程所对应的泛函有下界，而我们现在所面对的泛函在给定 的函数空间中可能既无上界，也无下界，古典的方法将无法解决此类问题 自7 0 年代以来，在对h a m i l t o n 系统的研究中，人们引入了非线性泛函分析 和代数拓扑的方法，特别是将一个既无上界也无下界的泛函的临界点理论应用于 这个问题后，使得研究工作取得了很大的进展我们的工作正是沿着这个方向进 行的，本文的主要工作就是将临界点理论应用到h a m i l t o n 系统的周期解上 所谓泛函的临界点，即其导映射为零的点，我们来简要介绍一下它的定义 假设：g ：r “_ r ，若g 的f r e c h 6 t 导数g ( 善) = 0 ，则称孝为g 的临界点如 下图，g 的极大、极小值所对应的点x l ，耽是g 的临界点 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 我们在下面所提到的临界点是将以上情况推广到无限维情形 设e 是实b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) ，若存在连续线性映射 l = l ( u ) ：e 斗r ，使得v 0 ，j 占= j ( s ，“) ，对所有的v e ，且l iv 临万，都有 lj ( “+ v ) 一，( ”) 一l v 峰1 iv | | ， 则称，在“点f r e c h 6 t 可微，三通常称为在“点f r e c h 6 t 导数，表示成，( “) 若 ，( “) = 0 ，则称“为，的临界点，即对所有妒e ， ， ) 妒= 0 ， ，( 却) 称为临界值 临界点理论是研究微分方程的重要工具由于泛函的临界点对应相应微分方 程的弱解，在线性方程情形，其弱解使相应泛函取极小值，在非线性方程情形， 其相应泛函可能既没有上界，也没有下界，因此，为了研究非线性方程边值问题 解的存在性，我们来介绍临界点存在的极小极大定理，极小极大定理不仅给出泛 函的临界点，而且对相应的临界值做了估计，从而成为研究非线性微分方程解的 存在性的重要技巧 2 硕士论文 临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t d n 系统中的应用 1 形变引理 第二章准备知识 通常用形变引理、e k e l a n d 变分原理讨论临界点理论我们在这里介绍前者， 其证明过程比较复杂，我们在这里只给出它的一般结果，详细的证明可参考文献 8 】 形变引理设e 是一实b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) 且满足( 雕) 条件，如果 c r ，吾 o ，q 是k 。= 伽e l ， ) = o ，i ( u ) = e ) 的任一邻域，那么存在一个 占( 0 ，三) 和刁c ( o 1 】e d ，使得 r 卵( 0 ，“) = u ，对所有的“e ； 2 。 叩( r ，“) = u ，对所有的f e 【o ，1 ，如果i ( u ) p 一手，c + 司； 3 。 r l ( t ，u ) 是占上的一个同胚，对每个t o ，l 】； 4 。 0 叩o ，“) - - l g i i 1 ，对所有t 【0 ，1 ，”e ； 5 。l ( r l ( t ，甜) ) i ( u ) ，对所有t 0 ，1 ，u e ； 6 。叩( 1 ，a 、q ) c a 一； 7 。血口果k ：= ，叩( 1 ，a 。+ 。) c a 一； 8 。 如果j ( “) 对于“是偶的，那么，7 ( f ，“) 对于“是奇的 形变引理形象的表明：当泛函，在两个水平集之间没有临界点时，个水平 集一定可以形变收缩到另一个水平集因此，当两个水平集的拓扑结构不一样时， 两个水平集之间必然存在临界点 2 二阶h a m i i t o n 系统 假设p ，q r i , i ，h ec 1 ( r ”，r ) ，方程组 i 声= 一h 。( p ，q ) l 亩= h ，( b q ) 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t a n 系统中的应用 称为二惭rh a m i l t o n 糸统 特别如果h a m i l t o n 函数h ( p ，q ) 具有如下形式： h ( p ，g ) = i 1 + l b q g + 矿( q ) ， 其中b 为拧阶矩阵，则( 1 ) 变成 奇+ 4 9 + 矿( g ) = 0 ， 其中一= 姜7 + 口) 事实上， 令q ，( q ) a b q q ，对v e ， 认啪= _ d a s 嘶+ 啪b = 罢鼬瑚) ( g 瑚) l ，= o邯 = d ( b q - g + 媚7 9 + s b q h + s 2 b h h ) l ，：。 = r b 7 + g ) q h 妒( g ) = ( 占+ b ) q 由方程组( 1 ) ， 尊= h ( p ，g ) = 昙( j 7 + 1 ) p = p ， 口= p h q 一哇( 丑7 + 功( g ) 】 即得( 2 1 3 ( p s ) 条件 设e 是实b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r ) ，如果 x 。 ce ，l ( x 。) 有界，7 ( x 。) _ 0 蕴含( x 。) 有收敛子列，则称泛函满足p a l a i s - s m a l e 条件，简称( p s ) 条件 硕士论文 临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 第三章山路引理的推广 1 泛函形式的山路引理及其证明 极小极大方法，它是临界点理论的重要内容之一何谓极小极大? 简单的说 就是把泛函，的临界值c 表示成某个适当的集合类s 上的极小极大值 c = i n 。5 f m 。；a x i ( u ) 1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 得到了一个非常重要的极小极大定理 一山路引理近三十年来，大量文献讨论了与此相关的问题，围绕这定理进行 了各种变形和推广，从而使山路引理的形式不断完善，应用也更加广泛然而这 些结论都是针对泛函情形进行讨论的下面我们将山路定理从泛函形式推广到一 般的算子形式 我们首先给出山路引理及其简要的证明 山路引理【5 0 】设e 是一实b a n a c h 空间，若i c 1 ( e ，月) 满足( p s ) 条件， i ( 0 ) = 0 并且有 r 存在常数p ，a 0 ，使得1 睥口 0 ， 2 。存在p e b ，使得，o ) 0 ，其中b ，= 缸e x 临办，衄，为b ，之 边界， 则，至少有一个临界值c d ，且 。2 辫。黑】) ，( “) ， 这里1 7 = g c ( 0 ，1 ，e ) l g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) 山路引理形象地表明了：从盆地中心出发到盆地外部，必有一条道路从周围 山脉的最低点越过，这个最低点就是一个临界点 下面我们来看如何通过形变引理来证明这个结论 证明 8 1 由c 的定义可知c o ，对所有x b ，f ( x ) = 5 + y y 。，其中萝r ( f ( o ) ) ， 石占 0 ： ( e ) j g x b 。，使得f ( 8 ) = 歹+ 面。，其中歹r p ( o ) ) ，z 0 ， 即伊满足( ) 7 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t o n 系统中的应用 由( e ) ， 即矿满足( 厶) 妒( e ) = y + p 0 ) ) = y + p ( x ) ) = y + ( 歹+ 互。) = 彳 0 ，可知x o 0 假设f ( x ) 0 ，则由( 只) ，j y x ，使得 f ( x 。) y 仨r ( f ( o ) ) 于是 伊7 ( x o ) v = y p ( x 。) p 0 与尹o 。) v = o 相矛盾，则 f ( x o 妒= 0 所以x 。为f 的l 临界点，定理得证 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 第四章超二次二阶h a m i l t o n 系统的周期解 1 有关h a m ii t o n 系统周期解的研究概况 关于山路引理，有许多的变形和推广，本节我们来讨论其中的某些推广定理 在研究h a m i l t o n 系统周期解中的应用 我们来考虑下述二阶h a m i l t o n 系统周期解问题对于二阶h a m i l t o n 系统的 研究已经有很长的历史，考虑如下二阶h a m i l t o n 系统h 1 1 篡浅嬲篙u ( t 男 l “( o ) = “( r ) ，打( o ) = ) 其中t 0 ，f ： 0 ，t r ”r 早在1 8 9 2 年，p o i n c a r 6 就开始用变分法研究二阶h 籼i l t o n 系统，他考虑了 n = 1 且f 自治( 即f 与t 无关) 的情况 1 9 1 5 年l i c h t e n s t e i n 考虑t 疗= lj g _ f 非自治( 即f 与f 有关) 的情况 用变分法研究二阶h a l i l i l t o n 系统的周期解就是将求方程( 1 ) 的解的问题转化 为求泛函 砌) = 三o 圳2 + 即，协 在h i l b e r t 空间h ：上有临界点的问题，其中 h ；= 伽：【o ，刀一r ”i “绝对连续，“( o ) = “( r ) 且打r ( o ，t ；r ”) 具有范数 = ( n “( ，) 门出) i - 对于超二次凸一阶h a m i l t o n 系统 打( r ) = 月f ( “( r ) ) ( 2 ) 的研究也是一个热门问题综合应用共轭最小作用原理与山路定理，可以证明其 非常数周期解的存在性： 如果f c 1 ( r 2 n ，r ) 是严格凸的，( 0 ) = 0 ，v h ( 0 ) = 0 且存在口 0 , q 2 ， 9 硕士论文 临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 使得对每个u r 2 ”有 q f ( u ) ( v f ) ，2 ) 与 f ( u ) a lu i q ， 则对每个t 0 ，( 2 ) 存在非常数的t n 期解 1 9 7 8 年，p h ，r a b i n o w i t z 在其用变分法研究h a m i l t o n 系统周期解的开拓性论 文中，不假设f 具有凸性，得到了以下超二次h a m i l t o n 系统周期解的存在定理 定理if 1 2 l 假设f c 1 ( r 2 n ，r ) 满足以下条件 1 。f ( u ) f ( o ) = 0 ，对一切“0 ； 2 。等训瑚咖0 时； 3 。存在d o ，q 2 ，使得当i “障口时， 目f ( ”) 茎( 盯( “) ，“) ， 则对一切t 0 ，系统( 2 ) 有一个非常数的t 周期解 r a b i n o w i t z 猜测在定理的条件下，对一切t 0 ，( 2 ) 存在一个以r 为极小周 期的非常数解 1 9 8 1 年，a m b r o s e t t i 与m a n c i n i 用约束共轭原理证明了系统( 2 ) 存在极小周期 解的以下定理 定理i i 【5 1 】设f c 2 ( r 2 nr ) 且存在c l 、c 2 、q 0 ，q 2 ，使得 1 。对一切“r “， c 。i “1 9 f ( u ) c 2i “卜 并且对一切善r “，l 善l = l ， ( f ( 善) ，善) c 3iu 1 9 2 ： 2 6 对切“r2 ”，q f ( “) ( v f ( “) ，“) ； 3 。存在( 0 ，1 ) ，使得对一切v r “，v 0 ，有 ( v 2 f + ( v ) v ，v ) k t ( v 2 f + ( v ) ，v ) ； 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 则对一切t 0 ，系统( 2 ) 有一个以丁为极小周期的非常数周期解 1 9 8 3 年，g i r a r d i 与m a t z e u 证明了下面定理 定理4 8 1 设f c 1 ( 胄2 n ，r ) 满足 1 。对一切“r “，f ( u ) 0 ，f ( u ) = 0 当且仅当u = 0 2 。存在q 2 ，使得 q f ( u ) ( v f ) ，“) ； 3 。存在c 。 0 ，使得 c f “1 9 f ( u ) ； 4 。存在c ， 0 ，使得 i v f ( u ) 喀c 2 iu r ； 则对一切t 0 ，系统( 2 ) 有一个以r 为极小周期的非常数周期解 又若 5 。生 0 ，系统( 2 ) 至少存在n 个不同的以r 为极小周期的周期轨道 1 9 8 4 年，e l e l a n d 与h o f e r 合作，通过对山路型临界点拓扑性质的精细分析， 利用e k e l a n d 的指标理论，在f c 2 ( 五2 n ，月) 严格凸情形下，解决了r a b i n o w i t z 关于极小周期解的猜测对于h a m i l t o n 周期解的研究还有很多其它结果，具体 见 7 】及其所列的参考文献 2 主要结果 本文考虑如下h a m i l t o n 系统的周期解问题 j 4 - a x + v f “) = 0 ，文o ) = 了c d ，o ) = j ( ，)( 3 ) 其中爿为 n 实对称矩阵，且f 卜a ( t ，x ) 是r 周期的对于二阶h a m i l t o n 系统的 研究，大多是关于a = 0 的情形，见 7 1 2 乏其所列的参考文献在这种情况下，虽 然方程所对应的泛函是上下无界的，但是j 的主要部分 1 1 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t o n 系统中的应用 m ) = r 扣1 2 d f 是非负的，且与空间的范数有一定联系而当a 是非零非正定的对称矩阵时，系 统所对应的泛函不仅是上下无界的，而且，的主要部分 m ) = r 扣2 一i 1 ( 缸洲f 在x ：0 附近是不定号的，这给研究增加了困难目前关于这类问题的研究还不 是很多， 1 】考虑了g ( t ，z ) 关于x 是超二次齐次的情形，本文取消了对g ( f ，r ) 关于x 的齐次性限制 设日= h 2 ( o ，t ；r ”) = x ：【o ，刀 r ”i x 绝对连续，z ( o ) = z ( f ) 且三2 ( o ，t ；r “) ，其 中，i i z i i2 爿l z l l 2 , 2 + l l j 婚) 分别用( 瑚( ) 表示胄”和h 中的内积，表示月”中的欧 氏范数，( “，v ) 垒j 【( ，t ) + ( “，v ) k ，在上述规定下日为一s o b o l e v 空间 假设f 满足 ( 曩) f ( x ) c 1 ( r ”，r ) ，f ( x ) f ( 0 ) = 0 ，v x r ”一 o ) ； ( e )存在常数 2 ，r o ，使得 0 0 ， 2 ，有 0 ，盯( “) ( v 。g ( “) ，“) ，v u ：i 甜障，； ( g ，)“哼g ( u ) 是偶的 证明v u i t “ 又由命题l a ( u ) = f ( c u ) = f ( x ) 0 ，a ( o ) = f ( o ) = 0 ， v 。g ( ”) = c 。1 v 。f ( c u ) 因为c 一1 有界，所以v 。g ) 线性有界则g c 1 三三 当lx i ，时，l “i = tc - l x l = ( c 一1 x ，c 一1 x ) 2 = ( x ，x ) 2 = ix l r ，且 ( v 。g ( “) ， ) = ( c 一1 v ，( x ) ，c 一1 z ) = ( v ，f ( x ) ，x ) 胪1 ( x ) = 肛；( “) o 由命题1 及工卜f ( 工) 是偶的，可知“寸g ( “) 也是偶的命题3 得证 1 4 ( 5 ) 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 定义线性算于k ：h - h ( 砌，v ) = r ( ( l + d ) ) d t ，v u , v e h 其中j 。是n x 玎单位矩阵，于是 ，。) = l r 。j lh2 一丢( d “，“) 一g ) 】d f = 告r 鼢，i ) + ( ”，”) 一( ( ，+ d ) “，“m ，一r g m ) d f = 扣“) 一圭( 胁，“) 一r g ( 珊 = 三( ( ，一世，“) 一r g ( “) d r ，“e h j m a w h i n 和m w i l l 锄已得到了以下结果 命题4 7 】k 是线性紧自伴的，且h 可被分解成关于i k 的不变子空间的 正交直和 日：h + o h o o h 一， 其中h o = k e r ( i k ) = k e r d ，d i m h 一 0 ，使得 f ( z - s ) “+ ，“+ ) - s l l “+ 1 1 2 ， v “+ h + ( ( 1 - s ) u - , u - ) 一j l l 4 - 1 1 2 ，v u 一日一 由( g ：) 可以推得 g ( “) a 1l “l ”一a 2 ，口l ，口2 0 对g ( u ) 作r a b i n o w i t z 截断 g 。( ”) = z ( i “i ) f ( f ，“) + v ( 1 一z ( i “1 ) ) i “1 4 ， 其中y 0 是充分大的待定常数，它依赖于p ，z c 。职+ ，r + ) 且 ，、1 1 0 j p 加卜1 0j p + l 5 【p ，p + 1 】时，z ( j ) 嘭( o ) ：0 ， v u r l o ： ( g ，：) ：对( 五) 中的， o ， 2 ， 0 i 目g j ( “) v 。6 0 ( ) “，v u r “一 o ) ，i “l r ，0 = m i n ( p ，4 ) ； ( g 。) ：“卜g ，( “) 是偶的 证明由命题3 以及z 和q 的定义，( g 。) 显然成立 对于( g ，：) ，因为 ( v g p ( u ) ，“) = ( “，v z ) g + ( 甜，v g ) z y ( “，v x ) l “1 4 + y ( 1 一z ) ( “，v i “1 4 ) ( “，v ) _ 出a _ q “帷。= 旦d s ( 1 + s ) 4 k = 4 ( “，v z ) = 车z 0 甜+ s ”叫，：。z 0 甜j ) i “i o 础 一蚓m 唯a 州x 等刮( 办 贝u 当p 蚓“喀尸+ l 时，y 皇羔娑，即g ( “) l ，1 “i p 所以，当p - p 时 0 ，v q ( “) ) = ( “，v z ) g + ( u ，v g ) z - v ( “，v z ) i “1 4 + 4 v ( 1 一z ) i “1 4 ( 材，v z ) g + u g x l ，( “，v z ) j ”j 4 + 4 v ( 1 - z ) j “j 4 = ”6 访+ 4 v ( 1 一z ) i “1 4 + ( “，v x ) ( g v i “1 4 ) m i n ( m i n ( u ，4 ) 僦材1 4 ) g ( “) + p ( 1 一z 旺“训“门= 粥，( “) ，4 ) k 0 材1 4 j g ( “) + p ( 1 一z ( 【“ ) ) l “1 4j 2 粥，( “) m i n ( a ，4 ) z ( i “1 4 ) g ( “) + p ( 1 一x ( i “i ) ) 1 “r 】= 御p ( “) 当l ”峰p 时，g ，( “) = g ( “) r ( g ，) 显然成立 i “p - p + l 时，g 。( “) = y i “1 4 ，从而 1 6 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t o n 系统中的应用 0 ，v g 。( “) ) = v ( u ，v l “1 4 ) = 4 v u 1 44 g ，( “) m i n ( # ，4 ) 。g ，( “) = 粥p ( “) 总之，v u h ，且l “i 0 时，= f r o 眠( “) v 。g p ( “) “ 由g p ( “) 的定义显然可得，“g 。( “) 是偶的命题5 得证- 令 “班n 丢i 一丢( 跳旷g ) ” 为证明j p 满足( p s ) 条件，下面证明一个预备性命题 命题6 j 。c 1 ( 日，r ) 且 i ，：向却= 。t 【( ，驴) 一( d u ，妒) 一( v 。g ，( “) ，妒) 弦，v 妒h ， 其次，虬：h _ r ， g p ( “) 垒r g ，( “) 出 弱连续且：是紧的 证明我们首先证明i ，。在上有定义的 事实上，设“h ，由h 的定义，矗l 2 ；即 j 。t d t + 。o ， 且“绝对连续，所以 臼“( r ) 1 2 d t t - m 【0 ，a 卅x l “( f ) 1 2 慨 可得“r 又 l r ( d 州弦l r 胁，“) 1 2 d t j 。t d t + 。o ， 以及g 。c 1 ，“在 o ，刀上连续，所以g ，0 ( f ) 准【o ，r 】上连续所以 r g ， ) d r 帆 综上所述，j p 在日上有定义 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t d n 系统中的应用 下证：【( n ，妒) 一( d “，妒) 一( v 。g ，( “) ，妒) a t + m ，v 妒且“h 事实上，因为“、p 日，所以n 、庐l 2 ，则 r ( “，庐渺r ln 怕防( 朋i i ：动；( r l 驴l z 动； 栅 其次，由u 、妒h 可得”、i , o l 2 ，所以 r ( d ，p 砷rj m 防( n 0 “1 2 枷i 1 ( 口妒l 2 j 忡 最后，由g p c 1 得v 。g 。c o , 而“、驴h ，从而“、妒、f h v 。g p 在 o ，卅 上连续，所以 | f ( v g ，( “) ，妒渺l 0 ，盯j “j j 。岛| | “| | ，v u h = h i ，2 对v u h ，及v r 2 = r ) r d t m 地a ，x j i “( f ) 1 7 r 出= r l l “峪t b ：i i u i i ， f 打，v u 髓，2 ， ( 6 ) 又由g p 之定义，当i “怿k + l 时，z c ”，g 。c 1 ，所以 j b 22 占2 ( 七) o ，盯f v q ( “) f 0 ， 贝0 g 。( 村) b 3 + y i “i ，v “r ”， 再由文献 8 可知g 。( “) ：l 4 旺o ，丁】) 斗f 旺o ，丁】) 是连续的 即 虬( “。) 一以( “) ( 疗斗。) 这说明n 。在日中弱连续综上所述，由文献 1 0 知：“卜；( h ) 是紧的 命题7 j p 在日中满足( p s ) 条件 证明因为 以( ) 妒= r 眠，驴) 一( d u , q o 一( v 。g ，( ) ，伊) d t = ( ( ，一s ) 妒) 一r ( v g ，( ) ，妒f 令 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i t o n 系统中的应用 ( ；( ) ，妒) 垒r ( v g ，( “。) ，妒) d f ， 则 以( “。) 妒= ( ( ，一s ) “。，伊) 一( ：( “。) ，伊) ，v 妒h ， 所以 j ：( “。) = ( j s ) “。一n p ( u 。) 由假设知以( “。) 斗o ，而；，s 是紧的为证 “。) 在h 中有收敛子列，只需证 协。) 在h 中有界 若扣。) 中只含有有穷多非零项，则 甜。) 当然是有界序列 若 “。) 中只含有无穷多非零项，不失一般性，设“。0 ，v n n 因为j p 是 可微的，从而以( 。) 是有界线性算子，所以 l 帆) 南侧以( ) l l 而h 自反，j ：0 。) h + = h ，所以以( ) 斗。表示l l 以( ) 1 | 斗0 - 令 肚) = j 地) 丽u n ，f e 州) 2 吒( 七) i t 咄 不失一般性，不妨设i 吒( 七) l 0 ，使得 一f j p ( “。) f ，v n n ， 所以 蹦= n 圭h l 2 一三( 巩以) 乜( 邮 ( 1 0 ) 又 吒( 女) 恢l l = t ( ) = n 慨 2 一( d ，) 一( v 。g ，( ) ，“。) m 即 n n 。1 2 一( d u n , u n ) 降= o - ( k ) i i 恃r ( v g ，( “。) ，) d r 代入( 1 0 ) 得 吒( ) 慨忡r ( v g ，( “。) ，灿一2 r g ，( 冲2 孑， 2 l 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i t o n 系统中的应用 由( g p ，) 得 ( ) 慨i i + 臼r g p ( “。) a t 一2 r g ，( “。灿2 石， ( 1 1 ) 因为0 2 ，且i 盯。( 七) i 0 ，则 d i n g p ( ，v 。) = i 丽1 ( v g ：( “。) ，“。) 2 丽1 v o ：( 甜”) ，“一) =臼志号gpg，= 詈， 。( r v 。) ， ， 当_ 0 充分小时，g 。( ，l v 。) = g ( ，1 。v n ) = g ( u 。) ， 所哒，v r ，1 ，有 。r 石d - n g v 。抄【争， 也就是 1 n 型0 1 n r ， g 。( n v 。)1 进一步有 g 加沪学舢【知1 ) 】 垒6 ，l u 。1 9 6 ，i “。1 9 6 s ， 其中b 5b 。 0 与p 无关所以 j g ，( “。) d r 6 ，j j i “。1 9 d f 一6 。丁 而疗 2 ，从而昙 1 ，所以用硒l d e r 不等式得 扣n 。1 2 d f ( r 2 ；d f ) 一2 ( j 。t 1 d r ) 1 一；：r 1 - 一2 一( ”t 。1 8 d r ) ； 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m u t o n 系统中的应用 丁1 ；去( 6 6 ，+ r g p ) d r ) ； 丁1 i ( 6 6 丁+ b 4 ( 1 + i i “。岍 兰 蔓b ，( 1 + i i “。i i8 ) ， ( 1 3 ) 其中6 0 与p 无关 又由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 得 r ( v g ，( 叱) ，皿2 f + 2 r g ，( 胁一a ( k ) i i i i 2 孑+ 2 f g o ( 灿+ 1 1 i i 2b 4 ( 1 + i i “。i i ) + i i ”。i i2f 蔓b 8 ( 1 + i i “。i i ) ， ( 1 4 ) 其中b 。 0 与p 无关由( 1 4 ) i i 舀。l b = 以 。) + r ( d “。，) d 卜 r r ( v g ，( ) ，“。) d f = a ( k ) i i i i 十t ( d “。，“。) d f + f r ( v g ， 。) ，) d r - o ，s ，当u + x ，且0u + l l = p 时，j p 0 + ) f 0 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 证明先证慷1 1 l 时，g p ( “) i i “1 1 8g 一( 高) 令 妒( j ) = g 。( j “) ，其中0 o 知，掣旦， 妒【5 j 占 所以 f 1 掣物1 纭，i e i n l 9 0 ( ，) 晗弛r l ：， o 5 妒( r ) “r 进一步有 妒( 5 ) j 8 妒( 1 ) g 。( 占“) s a g p ( “) ，0 j 1 所以当0 “临l 时， 耻刮“i i 赢) 2 可知，存在常数f 0 ，使得( “+ ) f 0 命题9 j p ( “) 茎0 ，v u o q ，其中q = 扣。+ “一+ a e l “。h 。，“一h 1 1 “。+ “一临卢，o 口p ，e h + ，忙1 1 = 1 ，卢是充分大的整数) 证明 由( g p ，) 知，0 0 ，使得对v u ：| | u 忙r 时，。( ) 0 证明由于d i i l l y o j p ( ) 1 1 j k i i i i | i2 一1 g ，( “) d f o ，“h ， 取怕| | 充分大，则有 以( 邮扣一k l l 川训2 一i i 圳8r g ，丽u 皿 - 2 可知，存在常数皿 0 ，使得怕忙r 时，t ，。( “) 0 下面我们用两个临界点理论中的已知定理来证明j 。存在一个或无穷多个 临界点 定理a 口o 】设肖。，x 2 为x 的两个闭子空间，且x = 工l o x 2 ，d i m x z ( + o o ， f ：x 胄满足 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t o n 系统中的应用 1 。f c 1 ( z ，r ) ，且满足( p s ) 条件 2 9 存在p o ，- c 0 ，使得扛，0 x 忙p ) j f ( x ) f 3 。存在x l x t ，r p ，使得对，( x ) 0 ，x c v x a q 其中q = ( z 2 + 触，f 2 五i jx 2j j 月，且o 五r ) ， 则，具有一个临界值c f 定理b 【3 0 】：设x 。，x 2 为x 的两个闭子空间，i t x = l o 肖2 ，d i m x z o ，f 0 ，使得 x x ，1 l x l l = p ) j f ( x ) r ； 3 。f 是偶的，j i j _ f ( 0 ) = 0 ； 4 。x c x 的每个有限维子空间，集合f n ，o ) 有界； 则，其有无穷多个相异的非零临界点对 取置= 日+ ，h 0 0 h 一= x ：，= j p ，由命题( 6 ) 一( 9 ) 的讨论知，存在“o h ， 满足j ：( ”o ) = 0 ，0 0 ，使得p p l 时，j ，( ) = j ( u 。) ，其中j p ( u o ) = 0 ， 0 f 兰，p ( ) s u p ，p ( “) u e o 证明v u q ，u = u o + “一+ 韶， 哪丢 ( 卜脚，一圭c ( 卜跏一，“一h 譬c ( 卜印，。 s 争一悭6 1 0 由( g 。) 知 扣，。) 出石兰_ j 永v g ，( ) ， 0 ) 出一两2 j 。t g ，( ) d f 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 = 矗厶( o ) 西2 b l o 缈。， ( 1 7 ) 从( 1 3 ) 知 r 9 d t _ b ，( 1 + b 。) ， 则 慨恰r 1 2 d t g 0 定理1 的证明：由命题6 、7 、8 、9 可知，。满足定理a 的条件，所以ju o h ， 使得圯( ) = o ，又由引理可知，日是，的临界点即日是方程( 3 ) 的 一个丁周期解因为，( 0 ) = 0 ，f 5 j ( u o ) 口 o p f p a u 。0 ，定理1 得证 定理2 的证明：由命题6 、7 、8 、1 0 可知，定理b 的条件满足，所以( 3 ) 存 在无穷多个非零丁周期解 硕士论文 临界点理论中的极小极大及其在h a m i l t o n 系统中的应用 致谢 经过一年多的努力，终于完成了我的硕士学位论文，在此，我首先要感谢 我的导师尹群教授，导师为我提供了宽松与自由的研究环境，使我能够专心于本 文的研究，导师严谨的治学态度，深厚的学术功底，敏锐的洞察力，对事业孜孜 不倦的追求精神，以及平易近人的工作作风，都使我收益非浅，特别是在论文初 期的文献搜集阶段，导师给了我极大的帮助，在论文完成之际，谨向我的导师致 以诚挚的谢意 在此我还要感谢杨孝平教授的关心，在这两年多的学习过程中，杨老师的教 诲使我取得了很大的进步 向所有关心和支持我的亲戚，同学，朋友致以诚挚的谢意 最后，我要感谢我的父亲母亲，他们在物质上和精神上给予另外我全力的支 持和关心，我能够顺利完成学业与他们的无私奉献是分不开的 硕士论文临界点理论中的极小极大及其在h a m ij t o n 系统中的应用 参考文献 1 尹群，洪成诚一类二阶h a m ii t o n 系统的受迫振动数学年刊，1 9 9 4 ，1 5 a ( 6 ) ： 7 0 1 7 0 5 2 刘正荣，李继彬哈密顿系统与时滞微分方程的周期解第1 版北京：科学 出版社，1 9 9 6 3 陆文端微分方程中的变分方法第1 版北京：科学出版社，2 0 0 3 4 郭大钧非线性泛函分析第2 版济南：山东科学技术出版社2 0 0 1 5 陈文塬非线性泛函分析兰州：甘肃人民出版社1 9 8 2 6 m i c h a e ls v a r i a t i o n a lm e t h o d s 2 n de d b e r l i n ：s p r i n g e r v e r l a g ，c 1 9 9 6 7