（运筹学与控制论专业论文）某类时滞微分方程的振动性.pdf

内容提要 本文主疑内容育三部务：分别对一类牛立型微分方程振动锵零点矩进行了 估计：对含具分段訾数偏麓壹元的时滞微量方程的解振动惶以及对一类泛函微 分方程瓣懿掇凌苣送行了骖究； 弋第一部分：主要研究形东 南( z ( ) + p ( ) z ( t 一) 一q ( t ) z ( ) 一0 ( j ) 中立登皴分方程菝凄努懿零点矩进 亏了链谆。 其中p ( ) o 。p ( f ) 0 麓实值函数，乍，为实常数。 第二部分：主要研究形螺： j上 舞f ( ) + a ( t ) z ( ) + 二。o ) z ( e l a ) = o ( 2 ) 岔多个分段常数偏差变嚣麓元的滞后激鞭分方程解静振动住，蕻中o ( t ) 0 ， “( ) 0 ，( t 1 ：m ) 为实值函数，貔们所得的结果改进了及搬广了“1 的有 荧定理。 量：( ) 。2 “一f + 筘( 鍪一女 ) = 0( 3 旗中p 、g 为常数，k 、7 0 ，l ，2 ， 我们船决了g y 6 r i 等人1 9 9 1 年指出一个公 开问题3 ，给出了方程( 3 ) 的特征方程，殿绘出了方瑕( 3 ) 一切瓣搬动的必要充 分条俘： 玉( z ( ) 十p zo 1 ) ) + g 。( 酉妇) = 0 ( 4 ) 的含多个分段常数变元的中立型微分方程解的振动燃，其中，吼( 1 i m ) 为 突誊数，我嚣】裂廷婀美予慧磐鼗分方黎戆重要定理，把含分段常数交元霹潆方 糕的振动往问题，转化势麓分微分方撵翡簿的振毪闽题，给了一些较蠢实焉 削据。 第三部分：主要研究形如： z ”( ) 岁( ，( g ( ，# ( ) ) ) = ；o ，t t e c o n d i t i o na n d s 毽爨i e i e n tc o n d i t i o no fo s c i t l a t i o r e q u a t i o n ( 3 ) ( 掣( f ) + p 茹( 1 ) ) +口 ；= ； 搿( - t i ) 一0 ( 4 ) w h e r e 尹，露；j = t ，2 ，露i ) a r ec o n s t a m - w em a k eu s eo f i m p o r t a n tt h e o r e mo fd i f f e r e n c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n i n 。“ w ee h a n g et h ep r o b l e mo fo s c i l l a t i o ne q u a t i o n ( 4 ) i n t ot h e f o l l o x i n go n e 坠 x 。，。，：+ 口茹。十。+ b z 十。：- r 5 - i 9 ：z 。一一= = ：0 ， l # 镕1 w h e r e8 力，；( i = 2 ，3 ，搬) a r ec o n s t a n t s a n dt h e nw e g i v es o m eb e t t e rc r i t e r i o n s t l nt h et h i r dp a r t ，w ec o n s i d e ro s c i l l a t i o nt h e o r e m so f s o l u t i o n sf o rac l a s sf u n c t i o n a ld i f f e r n t i a le q u a t i o n 茹”( ) 十，( ，茁( 9 ( z ，茁( f ) ) ) ) 一0 , t # o ( 5 ) w e 譬i v en e c e s s a r yc o n d i t i o na n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fo s _ c i l l a t i o ne q u a t i o n ( 5 ) k e yw o r d s ：d e l a y ；o s c i l l a t i o n ；d i s t a n c eb e t w e e na d j a “ c e n tz e r o e s 1 9 9 1m s c ：3 4 k 1 53 4 k 2 5 某类时滞微分方程的振动性 引言 由于近代科学技术的发展，猩译多科学领域的爵究中，例如力 学、物莲、生物数学、自动控制、通讯理论等等都涉及微分差分方程和 徽分黎舅方程。许多事物翡变讫规律不仅袋戆予当对翦获态，逐痿赖 于过去的状态在自动控制的装戡中，从输入信号到收列反馈信号。 也必然翱差段时间因此，用传统的微分方程去描述系统的状态只 蹙一雾近似，蠢不裁精确缝撰述客戏事物；鬣鼹：1 9 6 3 冬 h h k p x c o b c k u 西在最优控制理论中研究如下的方程缎： i ：t ) 一p ( f ) z 多i t ) 一q ( z ? j 一 一( 、口) 3 ，( 十tr 。 d 。( 、口) j ? ( f + 口) 这里懿积分是黎曼一斯蒂尔吉斯积分。这里撼现了溢量，是不可忽略 的，否则将导致错误。 我幻知道，由c ，s t u r m 于1 8 3 6 年研究热传导方程时，建立的二 除线性齐次微分方程荚予勰静零点分布的分离定理秘比较定理，凳 微分方程撅动理论的研究奠定了基础，一个半世纪来，微分方程振动 的理论的研究已有很大发展，在微分方程定性理论及边值问题研究 都占有很重要鳇笼使n 3 ，泛丞微分方程鳇摄动理论作为泛函微分方 程定性理论的一部分，在最近3 0 年中有了迅速的发展，豳际文献中 这领域的论文已有上千篇，1 9 7 7 年以来连续出版了有关泛函微分方 程振动理论的专著【2 0 - - e s 3 ，广泛戆应震鸯景怒促使这一理论迅速发震 的基础。泛函微分方程振动理论送别于常微分方程的振动理论，它的 重点是揭示微分方程中偏差变元出现引起解的振动性或非振动性， 一酚泛函微分方程解的振动性质酶研究构成泛丞微分方程摄动理论 最吸引人的篇章之一；舄外，开宦l 了中立型时滞檄分方程解的振动性 与非振动性的研究；开创了时滞差分方程振动墨沦的研究；开创了变 元依赖方程宣身酶泛妪徽分方程鳃察的振动兰i 研究；对振动的熬 的零点分布等耋质的研究等还将是重点课题之一孓1 3 ，广大学者都期 待着在这些领域中看到些实质性的进展。 本文的惠窑主要枣兰部分，分别对一类中王受微分方程振动勰 的零点短进行了估计；讨论了其露分段常数偏差变元的滞后型和中 立型时滞微努方程解的振动性；还讨论一类变元依赖方程自身的泛 灏微分方穗解懿摄动憷。 我们所得到的结鬃改进并推广前人的有关定理，解决了g y 6 r i 蒈人1 9 9 1 年提出的一个公开问题，给出了一些方程振动的充要条 俘。为这领域的理论砑宠俸了一些有盏的工作= 对于泛涵微分方程解的振动，我们给出以下定义。 定义1 设x ( ) 怒某一泛函微分方程的解。翅果x ( ) 不是最终 零解，且存程一序列 t l ，l i m t i 一，使得箸娆) = 0 ，雯| l 称z ( ) 是此 方程的一个振动解，或称解z ( ) 是振动的，否则称z ( ) 是此方程的 童基振动解，或稼：1 7 7 ，z ( f ) 存在区间为口，+ 。 ，若存在t 。7 ，使z ( ) 在 ， t ，+ f 上为正的攀调藏函数，翼l 在至闯 f ，+ ，：+ 吾( 芦( s ) o ) 则不等式 1 4 髫，( ) + p ( ) 喾( 一f ) 0 ( o ) 无最终正解。 2 。嚣，( ) + 争( ) 。( 一f ) 0 o ) 无最终受舞。 引理1 3若仃 f 0 ，( z ) o ，p ( ) o ，q ( ) o ，g ( ) 是 3 鲍恩赣函数，且 i i m 一t - = f ，_ 石 a s 吾 剩方程( 1 。2 ) 是振动的 证设z ( ) 是( 1 2 ) 的黎，不妨设z ( ) 0 。 令： z ( f ) 一z ( z ) 十( ) z ( r ) 潮畜： z ( f ) 0 z ( ) = 一q ( f ) z ( 一口) o ， 0 5 ( ) 一z ( + p ( 一玎) z ( 一f ) p ( 一g ) z ( 一f ) ( ) 一p7 ( f g ) z ( 一f ) 一g ( ) z ( 一盯) 0 出( 1 。2 ) 式知 ( z ) 三，p ( ) o ，p ，( ) o ，g ( ) o , q ( ) 是f 的嬲端 e ! ：塑j 一。霸i 毒警j 两s p 詈? f 。 r ：是某常羲 ：、f ) 是( 】。2 ) 的解，( ) 的存在区阉为口，+ o o ) ( t z r 。) 取 ! c 菠p 一! 吾，则存在z 。t ：，使在队一。) 上z ( ) 的棚邻 零点毛蓠小于：f + ( “，一1 ) ( 盯一f ) ，其中 “，一m a x , 4 , 3 + 。f 2 ( - - p - 2 ) ( ( p l - 8 + ) - - 7 ( ( p p - s e ) ) + 便当 ，时， f ， t ( s ) 毒s p o l + f 一8 由条俘2 。，这样的；是存在的。 叉立v ，阻，十o o ) ，为妨设z ( ) 是在 ，- + 2 仃+ ( 社。一1 ) ( 盯 一f ) ：上懂正 记t 。一】+ 2 盯+ ( 诧1 ) ( 一引 则 茹g ) o ，奎，+ 誓，+ 由( 1 1 ) 式有 z ，0 ) 一一垡0 ) 髫0 一盯) ，t 6 l + 仃，t 。 容易验证z ( ) 凑是方程 z ( z ) + ，0 一g ) z ( 善f ) + q ( t ) z ( t 一扩) = 0 ( 1 4 ) 令 则 w ( ) 0 te z l + a 4 。 ”( f ) 一z7 ( f ) + p ( 一z ( 一：) + p ( ( f 一矿) z ( f f ) 由：1 ；) 式可得 w ，( ) 一p7 ( z 一盯) z ( f f ) 一q ( ) z ( f 一盯) 0 盯+ f f ： ( 1 6 ) 由( 1 j ) 式可得。 i f ( ) 1 + p ( f 一仃) z ( 一f ) f ：，+ 口+ f ，t 。 筹习 z ( 卜九i - 盯札f 。- 1 芒粤差z(t一九e，+2e,11+ p ( f + f 一2 盯) 、 。 。1 由( 1 6 ) 式碍 ，( e ) + 丁干了丢弯w ( + f 一2 盯) p7 ( 一) z ( 一f ) 0 且p ( f ) + t ( z ) 阿( 十f 盯) 0 ，得 撑 | ! ) ( w ) + d ( 对一lt ( s ) 芷s ) o ，t - t l + 盯+ f ，t 从而 d ( 挂) = = = w ( 萝一1 ( 嚣) ) 0 ，器 鞋2( 1 。1 2 ) 妇岫“) d o 一，一，“) 。z ( 瘟o 0 ，牡 狂3 蒋由( 1 1 1 ) 式可得 d ( 越) 牡3( 1 1 3 ) 叉由于 r ： f ( 矗s p 一，封 ，( 1 1 4 ) 酲( 1 1 1 ) 、( 1 。1 3 ) 、( 1 。1 4 ) 可褥 肛7 ( “) + d ( h p 一) ) 社；对。 r 斛”叫h 1 t ( 。) d s r 州一”+ ( s ) d s i + 。f 下船。：+ + 2 f ，t ( s ) 症s ( 致一1 ) ( 尹) j ，十2 譬- + - _ 一2 ) f # 一竹 盎- 7 = 缸若；+ ( 嚣；一1 ) ( p 一) ，即 f l ，( 班s r ? ( o 如 o ，且 t i ms u pd 。 1 ( 2 ，2 ) - q b 则方程( 2 1 ) 只有振动解 定理琴1 4 3 设 卜( 。一l + 1 f s ) d t l i m i n f ( e x p l i r ai n f b ( t ) e x p ( g s ) d t l d ( 0 吐0 ) il 口( 0 言 一 j t _ 喇j tj - 1 ( 2 3 则方程( 2 1 ) 只有振动解 我们考虑更一般盼 i ( ) + a ( t ) z ( ) + 6 ( ) z ( i t i ) 一0 ( 2 4 ) 。_ 1 其中a ( f j 6 。( ) ( 1 i m ) ：卜一r 是连续函数打2 2 是整数，我们 令 r - t - 1t t d 。，= = |b 。( t ) e x p ( ( s ) d s ) d t j tj 一1 其中i 为整数，1 i m ，且t t m 我f 门得到： 定理2 1设b 。( ) 0 ，1 i m ，且 - mi n fd 1 i + l i r as u p d 。 t( 2 5 ) 一 ”。 m 】 则方程( ：4 ) 只有振动解 证明：对任意整数k 0 ，方程( 2 4 ) - - j - 化为 ；( z ) + ( ) f ( ) + b ，( z ) z ( t i ) t 0 ，k + 1 一】 上述给出 ：( 女+ 1 ) e x p ( f ：+ 1 a ( s ) g s ) 一z ( ) 一妻( 七一i ) ：( 女+ s ) 一z ( ) 一( 七一i ) r + l 玩( 。) e x p ( f 口( s ) 正s ) d t ( 2 6 ) j j i 设( 2 4 ) 存在最终正解z ) ，则存在t 0 ，使得 毒( z ) 0 , t t 对于整数豫 t 3 + 2 m + 1 ，令 掣：蒜e x p ( r 。( s ) d s ) 掣- 2 ；j j ；= _ j 眄eo j 。一，d 【8 j 4 8 ) 由( 2 6 ) 我们有 + 1 z ( 詹十1 ) e x p ( 卜a ( s ) d 0 z ( ) j 睡魏 y 女1 ，y 。i l ，一，一卅1 。 贝0 有j 。f 。一。- 剪。一。+ 】1 ，即 。u = ) e x p ( | a ( s ) 丞s ) z ( 女一i ) ，1 三i 种i 舍k 一? ， ( n ) e x p ( id ( s ) d s z ( ”t ) ，1 i 研 代入( ：s ，式缮： f ( ”i ：) e x p ( i 口( 8 ) ds ) m ) 一娄嘞蛔( o 瑚胁唧幔a ( s ) d s m 号e x pc 卜 ，一娄卜唧c * 嘲比 鞠：y 州+ d 。1 1 样】 从而有： y 。+ l i r a s u p d “1 ( 2 。7 ) o ：= ， 旗中 y 一l i mi n fy 另一方面，幽( 2 。6 ) 式，令k 一砧有 菩( 张+ 1 ) e x e x p ( r 越窿( s ) 症。譬( 露) 一交z o i ) 。 菩( 张+ 1 i窿( s ) 症一譬( 露) 一芝j zo i ) 。 + 1撑 |b i ( t ) e x p ( | s ( s ) 葚s ) 露l 。 j j 1 1 娄( 一i ) n ( f ) e x p i ：o ) 珐= 北) f ( 站1 ) e x p ( 口( s ) ds ) 由于口。0 ( 2 i 拧) 且：( ”+ 1 ) e x p ( n ( s s ) 0 嚣戴有： z ( # 1 ) 6 】( t ) e x p ( | 8 ( s ) 芷8 ) 三z ( 站) r ，(odsb(t)exp) 著z x p ( n 。 l ( g ( s ) ) 了二再 口( s ) 基s ) 。 j j t l 仲 ，h 即：d l ，。， 因就有： l i r ai n fd h 萝。 注意到( 2 ，7 ) 式，我们有 l i mi n fd 1 ，l i r a s u p dj i 1 a 0 一 这与( 2 5 ) 矛盾，故方程( 2 4 ) 不可能有最终正解；关于最终负篇翁不 存在性，可以麴结为上在阉撵方法来讨论，困憩方程( 2 。4 ) 只有援动 解 推论2 + 1 设玩( ) 0 ( 1 i m ) 且 l i mi n fd 1 ，+ l i ms u pd 1 。 1( 2 8 ) - - 则方程( 2 4 ) 哭有振动解 注：推论2 。1 泼进了定理a ， 推论2 1 给出了( 2 4 ) 的振动只与d 1 有关，与d “) ( 2 i m ) 无关 宠理2 。2 设b a t ) 0 ( 2 i i g t ) 题 l i mi n fd ( 2 9 ) 则方程( 2 。4 ) 只有振动解。 证嗡：设( 2 ) 有最终正解譬( ) ，荽| l 存在 0 。使霉巍 t 时， 恒有x ( f ) 0 令 y 。：蔓皇。x p ( f a 】( , s ) c t s 、) t 。灭i ：西雠o j 一 其中n i t 一m + 1 ， 肖( 2 6 ) 中取k n ，我们有 妻确一i ) f l 朝( 劲( ) e x p ( f 小) 酗菇 _j jo z ( n - - 1 ) e x p ( 1 a ( s ) d 0 = z ( 佗) i。*-ri，。f：a(sds)d十黜(f1n(s)dsb(t)exp(s)dt e x p ) 8 ( s 十寿 ! 赢( 口( s ) ) jt、o ， j ( 8 ) 泛i 二西 从而有 d l 。+ y , y 。+ 1 y 。 ( 2 1 0 ) 内( 2 。9 ) 当站充分太对d ；。 o ，扶嚣有y 。+ t 1 ，由数褥戮 y 一l i r ai n fy 。1 幽( 2 1 0 ) 得 l i r ai n f d l 。爹乏y 。 这与( 2 9 ) 式矛盾，因此( 2 4 ) 不可能有最终正解，( 2 4 ) 缳终负解不 存在的情况可用上面的方法同样来讨论，故方程( 2 4 ) 只有振动解。 注：定理2 2 稚广并改进了定理b 我们下面讨论方褴i i s ? 70 ) + 芦茹( 二- r ) + 弘 百三帚，e 1 q 1 k 一0 文跚3 提三了一个公开问题： ( j ) 寻找方程( 2 1 1 ) 的特征方程，使其当口一0 时，简化为方程 ( 2 1 2 ) 当p 一0 时简化为方程( 2 1 3 ) ， ( i i j 给出方程 z7 ( ) + 尹z ( 一1 ) + q x ( 一1 ) 一0 ( 层1 ) 的一切霹均为振动的必要充分条件，我们对这一公开问题给完整的 解答。 定理2 3 方程( 2 1 1 ) 具有特征方程 ，( 一a l + 毫妄( a 一1 ) + g a “一0 ( 2 1 4 ) 当q c 时方程( 2 1 4 ) 简化为方程( 2 1 2 ) ；当尹一0 时方程( 2 1 4 ) 简 化为方程( 2 1 3 ) 证明：设方程( 2 1 1 ) 的解x 满足初始条件( c - ) 和( c 2 ) ，当， 死+ 1 ) 时有0 一置 一佗一k ，我们有 z7 ( f ) + ，( 一f ) + q a 。_ 一0 ，t 7 l ，靠+ 1 ) ( 2 1 5 a ) ( 犯) = a ，站n( 2 1 5 b ) 从他到t 对方程( 2 1 5 a ) 积分，我们得到 广l z ( f ) 一a + plz ( s f ) 正s + q a 一1 0 一伟) 一o( 曰) j_ 1 5 令一* + 1 ，壶z ) 的连续後产生 a 书l 。一l a 。+ 尹l葶( s f ) 8 + q a 。一i 一0( 2 。1 6 ) 设等( ) 一矿。囊，箨+ 1 ，嫩( 2 。1 6 ) 薅剡 ，( 一矿1 + 车( 矿一1 ) - - fg 矿：o ( 2 + t 7 ) 令矿= 群，则( 2 。1 7 ) 成为 f ( 掣) 一芦一l + 篆( 声一1 ) 七辨。一o ( 2 。1 8 ) 因此，方程( 2 1 8 ) 无征实根的必要充分条件是方程( 2 ，1 7 ) 咒实根。若 方程( 2 1 7 ) 笼实授，粥盖i ，罄= 0 对方程( 2 1 8 ) 筒化为方程 ( 2 1 3 ) ；豢q 一0 时方程( 2 1 7 ) 簿位为方程( 2 1 2 ) ，定理l 证毕。 定瑾2 4 方程( 2 + 1 1 ) 蹩摄韵的必簧充分条件蹩奠特征方程 ( 2 1 8 ) 无正实捏。 证明 设特征方稷( 2 1 8 ) 有正实根芦o ，则硒是方程( 鳓的解， 它是毒撩动懿，霞龀，方程( 2 1 1 ) 是葺摹摄动粒 另一方嚣，设特征方程( 2 1 8 ) 琵正实摄，如果方鼹 0 ，vt b ，矩十1 ) ，椎充分大，则必将产生矛腾，事实上，因在 方程( 2 。1 8 ) 中+ f ( o 。) 一。，故尹弘) 0 鬟毒一凌声 0 成立。毽在下 列淫种情形中均可使 f ( 芦) 0 ： ( i ) 遗爹 0 ，q 0 对， v 牟毯( o ，1 ) ，均有f 妇) 0 ； ( i i ) 濑尹o ，q o 时，若p q ，f 露。则 ￥芦( 0 ，1 ) ，烤骞罗o ) 0 ； ( i i i ) 嫩爹 0 ，q 0 时，若 1 q j 尹l ( 1 一) ，f k ， # 1 s 则 ， f ( 吾) o ，口 吣1 ( 2 1 9 ) 谨葫设方程2 1 l 鸯菲摄动熊，剿靖证方毽( 2 1 8 ) 裔歪实摄芦e ( o ，1 ) ，事实上若p 。1 ，则f ( u o ) 0 ，因此，我们有 f ( 鳓) 一乒。一l + 畿( m 一1 ) + g p 8 “= o p 。( 0 ，1 ) 涮 。一( 圹1 ) 1 + 铄十篙 篝f 有 o = 1 + 铄+ 篙 2 0 ) 注意餮等式 翔 m i n m 0 ( 一f h l 胛= 一詈亡，o 。 珊，( 卜盟笋 e ( o 1 ) l p 戽 1 7 ( 2 2 1 ) 建( 2 。2 0 ) 式我嬲得到 o 1 p e f 。l 半 上式与：2 ，1 9 ) 矛盾 另一万鬣设 彤+ g 盟桀型1 ， o ，g o ，1 ( 2 2 2 ) 我们磬三释 毒形考虑： ( ：) q = 0 。 0 ： 此对， 罗( 声) e 0 ，v 芦( 1 ，o o ) 且 f ( e 一；) 0 ， 剿存在# ， 0 ，使得f ( 牟，) 一0 ，邸特征方程有正实根。崮定理2 蠲， 方知( ：1 1 ) 是非振动的 0 。 韭笔器重 f ( ) 0 ，v ( 1 ，+ o o ) 豆 f ( 南) o ， 故特征方程有正实根，方程( 2 1 1 ) 存在非振动解。 ( 3 ) 爹 0 , q 0 ： 此时利用( 2 2 2 ) ，我们有 r 静- i - q 半l 显然， f ( 芦) o ，v 弘( 1 ，o 。) ， 1 8 凌迂 事实上+ 袭嬲毒 f ( 南) o ，e l f c 南，= 南+ 等c 南一1 ) - r - q ( 字，t ：一雨1 + 掣。一而1 。半，。2 一雨十r 一( 一雨j _ g 下) 搪雨 ，出、， ：一上山2 ：生：4 - 上! ! 1 2 ： k 十1 + 1 ，虫+ 1 0 1k i n ? 一 ：一南+ 南 尹是- 。半 出( 2 2 2 ) 知，若能证明不等式 一i 1 ( 2 2 4 ) 幽( 2 2 4 ) 报知( 2 2 3 ) 成立，因此，方程( 2 1 1 ) 有非振动勰，定理3 诞 肇。 推论2 2 方程( e t ) 是振动的必要充分条件是 l 警 兰掣 2 中立型的情形： 我躬讨论下裂方程： 西d ( f ( ) 一p ( 1 ) ) + g ，f ( i i ) 一o ( f o ) ( 2 2 5 ) 其中，吼( 1 i 瞒) 是实常数， 表示最大整数函数 我们定义方程( 2 2 5 ) 在 一m ，o 。 上的一个解z ( f ) 是指满足下 列三个条件豹蠡数。 i ) z ( ) g ( 一绒，- f 。 ，露) ； 卫) 函数z ( ) 十p z ( z 一1 ) 在点( 祀一1 、2 ，) 存在单边导数， 两在 o 。+ 。 的其斑点处导数枣在； ) z ( ) 在每一个区间 豫，髂+ 1 上满足方程( 2 2 5 ) ，( n 一0 、 l 、2 ) 圭迭代法絮，对每一初始丞数 zo g ( 一侬，0 3 ，r ) 方程( 2 。2 5 ) 有唯一解第( ) ，满足 茹( ) 一ze ( 1 ) 一臻t 0 ，( 2 。2 6 ) 设zo g ( 一m ，0 3 ，r ) ，z ( ) 最方程( 2 2 5 ) 满足初始条件( 2 2 6 ) 的 唯一解，令 ：。一黩)释一一编，一掰1 ，l ，0 ，l ，2 ， 对每一个椎一0 ，1 ，2 ，方程( 2 2 5 ) 可化为 麦( ) + 尹茗。1 ) ) + 嵇鬈。一s = o l b ，露+ 1 ) ( 2 2 7 ) 对上式从绍到。积分得： 2 0 瓦d ( z ( ) + p z ( f 一1 ) ) + g 以一( 一缸) = o ( 2 2 8 ) 注意妥：( ) 的连续性，当t n + 1 时有 z + 】+ p z 。一：。一，z 一1 + q 丸一。= o ( 2 2 9 ) 一l 或者 x a 一+ l + ( p 一1 ) z 。+ 。一( g i 一尹) z 如一】+ q 矗h 一。= 0 l 一2 ( 2 3 0 ) 其中初始值为 2 7 一。= z0 ( 一m ) z 一1 一。0 ( 一1 ) ，2o z ( 0 ) ( 2 3 1 ) 方程( 2 3 0 ) 的特征方程为 ，( - ) 一刀十1 + ( p 1 ) + ( g ；一p ) 一1 + g ，p i = o ；= 2 ( 2 3 2 ) 差分方墨( 2 3 0 ) 的一个解扛 称为振动的，如果z 。不是最定号的， 否则称它是非振动的 引理2 1 1 3 1方程( 2 3 0 ) 的一切解振动的充要条件是方程 ( 2 3 2 ) 无正实根 引理2 2 方程( 2 3 2 ) 无正实根的充要条件是 ，( a ) 0 ，( a o ) 证明：充分性是显然的，现证必要性，若( 2 3 2 ) 无正实根，而 ，( 0 ，( a o ) 不成立，则至少存在一点凡 o ，使 ，( 凡) 0 ， 2 1 丌玎 则必有 又因秀 故必有南 知使 矛燔。 芦( 奄) g ， ，( 凡) 0 都有，( 0 注：这里把含分段常数变元的时滞微分方毽解的振动问题转化 为个代数问题。 我幻把方程 o o ) 的充要条件是 a 一扩一繇 0 ， 2 2 于是我们得到 定理2 ? 对( 2 3 2 ) ，若存在常数6 。( i 一1 2 - - - m 一1 ) 使得 ( 一：) 2 4 ( g 】一声+ b ，) ( 6 j + 1 ) 2 4 ( 9 2 + b 2 ) ( 6 。一：一1 ) 2 4 ( q 。一l + b 。一j ) ，5 ：一l ( 尹+ 1 ) 2 则方程( 2 + 3 5 ) 是振动的。 在方程( 2 3 5 ) 中令= 0 ，我们有 麦茹o ) + q z ( o 1 = 0o o ( 2 3 6 ) 可得下面 推论2 3 方程( 2 3 6 ) 是振动的充要条件是 g 注：推论2 3 和推论2 2 是一致的。 船 例：考虑中王鹜方程 9 0 ) 一窖0 一1 ) 一3 z ( 0 1 3 ) 缸( z i t 一2 3 ) + ( 孓一3 3 ) = 0 ( ：3 7 ) 上式瑟对瘦懿特方程 0 ，“妒( “) 0 ，“0 f 斋 。，：- 器 0 定理3 1 设( h ，) 一( h 。) 成立且 r r l 口( s ) 0 ， 利用( 日。) 由方程( 3 1 ) 产生 z ”( ) 0 ，t t ， 因此z ，( ) 是单调减少，z ( ) 是革调增加，于是存在t 。t ，和常数” 0 使得 z ( ) ，t t 2 因而存在t s t ：，使得不等式 z ( 9 、，z ( ) ) z ( 9 ( ，叩) ) z ( 2 ) 口 ( 3 3 ) 对t ，成立 若记 l l i r az ( z ) ， i + 则l o ，我们分下列两种情况讨论 (i)limz ( f ) 一c 0 ( 说)y u n 善( f ) 一， l 若l i r az ( ) 一c 则由( 日2 ) ，( 3 1 ) 和( 3 3 ) 产生 f - + z 。( ) 一口( ) 烈7 ) ，t t 3 ( 3 4 ) 对( 3 4 ) 积分得 ， l z ( z ) 一议叩) l 口( s ) z s ( 3 5 ) j l 因z ，( ) 单调减，而p ( t ，牡) ，故有，对任何缸，存在t 4 t 3 ，使得 z ( p ( ，牡) ) 驴( 叼) la ( s ) g s ( 3 6 ) j i 一 2 7 以塑簧韭乘( 3 6 ) ，积分产生 ( p ( 嚣) ) 善。( p ( 屯，珏) ) 酬：等等胁跏彳 一叮掣胁踟缸什f 掣胁，d a t f f o o 一畎田) d ( ，“) ia ( s ) d s 一户( 4 ， ) i 口( s ) a s + f ) ：逊掣川s j tz0 f f o or b o 一畎，7 ) p ( ，钍) l 。a ( s ) d s p ( 4 ，“) l 口( s ) d 司 j lj # 一 + lp ( s ，“) 辑( 8 ) 司 武零) 【f 芦( 艿，群) 。( s ) 基s 尹( t 4 , t t ) f ”。( s ) 罐s t ：。? ( 3 1 1 ) 其口 n ) 一f f p ( s ，叼) 一p ( z 。，可) 口( s ) 认z ( p ( s ，7 7 ) ) ) d s 若丁，t ，使得，。，注意到( 日船和( 3 2 ) 以及 c 。( 。岔s 。， 则( 3 1 1 ) ，当叩一c 时，导致矛盾。 若t 。t ，使得尹- p 】= j1 p ( s ，口) 一，9 ( f ；犯) d ( 8 ) 议fc p c s ，目) ) ) 岔s 。 jn 弘：、。( 4 ，簟) ) ) 1 - p ( s 。) p ( z 。”) j 。、s ) d 8 j f t 上式局崔与( 3 ：、矛赠。 对于。( ! ) 0 ，存在常数0 d 1 使得 t m 1 + 励( t ) j d t d j i o 若方程( 1 ) 的每一个解振动，剜有 j “t a 。江口6 t o 窜1 令工表示夏间 丁一 上一切有连续函数构成的b a n a c h 至间具有范 数 她l l 一。曼勰) 考意又自：子集n 符合】中的一切函数满足下列条f 串： 丢2 ( ) $ ，t t ( 3 。l ? ) l z ( ) 一z ( t ) i 声 f t ( 3 1 8 ) 其= 岁= 姜己，常数l 0 使褥 妒( ( - ) ls b ( s ) d s l l f t ( 3 1 9 ) 容易验证对予 v 。( ) 、y ( ) y ，忿( ) + ( 1 一z ) y ( ) y t 嚣s 】。是一个闭凸集，我们定义算子s ：y y 如下， ( s z ) ( ) f | 于( f ，嚣( 箩( f ，茗( 7 ) ) ) ) g 彳，t z z ! ， o 屯 f j 。，( f t ) f ( f ，z ( 9 ( f ，甜( f ) ) ) ) 。f ，t 1 ( 3 。2 0 ) 我们来验证算s 映射橥合y 到蠹身，事实上，由( 3 。2 0 ) 强，当t 时，我们有 ( s x ) ( # ) c ， 注意到( h 。) ，( 珏。) ，( 3 。1 6 ) 和( 3 。1 7 ) ，由( 3 2 0 ) 产生 ( s x ) ( ) c i ( f t 1 ) 6 ( f ) 妒( z ( 9 ( f ，z ( f ) ) ) d f jfl 3 l e 一| _ ( f t l t ) ( f ) 梦( 。) 耋f 。一吾一吾 e 一| ( f 一) ( f ) 梦( 。) 耋f # 一丢一专 昱口 昙( 鼬) ( ) e ，t t 利用( 3 1 6 ) ，( 3 1 9 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) ，煞f t l ，( 3 2 0 ) 产兰 j ( s z ) ( t ) - - ( 8 x ) ( i ) j f 一 一j ) ( f 一) f ( 即( 9 ( 州( f ) ) ) ) 疸f r ( f ) 于( f 2 ( 了( f ，z ( 彳) ) ) ) d 丁 f 三i t tl 一于( f ，( 9 ( f ，( f ) ) ) ) 吐f jt ，i + i t ( 彳。) ，( f ，# ( d ( 彳，。( 善) ) ) d f 一 t ff 妒( c ) ff b ( f ) d f ji ，# | 髓( f ) 妒( e ) 症节 j l 一_r f j 一# l 妒( c ) li 而( d d f + i 曲( f ) 妒( c ) d f # j l ( 导+ c ) l 一il = 声i 一i | 。( 3 2 2 ) 由( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 知算子s 映射y 到自身，下面证明s 也是集合y 上 翳压臻浃魁，鸯魏，设，y y 秘l 毛，注意到( 3 1 8 ) 鹈( 3 2 0 ) 穗定 理条件，我们有 j ( 鼬) ( f ) 一( 嘶) ( ) i ， | 。( 彳一| 歹( f ，鬈( 萝( 室，善( o ) ) ) 岁( 善，爹( 移) ) ) | 疽f j f t o o ；。( f 一) m ( d f 霉( 妒( 粕害( 曲) ) 一2 ( 妒( f ，( 订) ) j 一l ( 9 ( ：，梦( 力) ) 芗 。 _ 翼g 方程 3 1 ) 懿一切解振动当艇仅