（概率论与数理统计专业论文）扩散过程的统计推断.pdf

华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 3 j a b s t r a c t 4 t h i st h e s i si sd e v o t e dt oas t u d yo fs t a t i s t i c a li n f e r e n c ef o rd i f f u s i o np r o c e s s e s a n ds o m ea p p l i c a t i o n si nf i n a n c e t h r e ea s p e c t so fw o r ka r ec o n s i d e r e d ： t h ef i r s t a s p e c t ：w ec o n s i d e r e dt h ee r r o rb o u n do ft h em a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o ne s t i m a t o rf o rac l a s so fn o n s t a t i o n a r yd i f f u s i o np r o c e s s e sw i t hp a r a m e t e r s i nb o t hd r i f ta n dd i f f u s i o np a r t s b 5 t r a n s f o r m a t i o nf o ro n ed i m e n s i o n a lc a s e ，t h e d i f f u s i o np r o c e s sc a nb et r a n s f e r r e di n t ot h ec a s et h a tt h ep a r a m e t e ri so n l yi nt h e d r i f tp a r t af u n d a m e n t a li n e q u a l i t yb a s e do nt h eb o u n d sf o rt r a n s i t i o n a ld e n s i t i e so f r e c e n tw o r ki so b t a i n e d a n dt h e na n o t h e ri m p o r t a n ti n e q u a l i t y , w h i c hi si m p o r t a n t t op r o v et h em a i nt h e o r e m ，i ss h o w e db yt h es o m et e c h n i q u e si ns t o c h a s t i cp r o c e s s i nt h em a i nt h e o r e m ，w eo b t a i n e dt h ee r r o rb o u n db e t w e e nt h em a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t o ra n dt h et r u ep a r a m e t e r t h ei n t e r e s t i n gt h i n gi st h a tt h eb o u n di sp r e c i s e w i t h o u ta n yu n k n o w nc o n s t a n t s ，w h i c hi sv e r yi m p o r t a n tf o rs t a t i s t i c a li n f e r e n c e t h es e c o n da s p e c t ：w ec o n s i d e r e dt h el o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t i o nf o rt i m e h o m o g e n o u sd i f f u s i o np r o c e s s e s l o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t i o nm e t h o di sak i n do f an o n p a r a m e t r i ee s t i m a t i o nm e t h o d sw h i c ha r eb a s e do nd a t a - a n a l y t i ca p p r o a c h e s w e p r o p o s el o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t i o nm e t h o d sf o rd r i f ta n dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t s i nt i m eh o m o g e n o u sd i f f u s i o np r o c e s sf o rs i m p l i c i t ya n df r o mt h e p r o p e r t i e so f l o c a lf i t t i n g ，w eo n l ys h o wt h ea s y m p t o t i ct h e o r yo ft h el o c a ll i n e a re s t i m a t i o n sf o r t h ed r i f ta n dd i f f u s i o nf u n c t i o n s r e s p e c t i v e l y a n da c r i t e r i at oc h o o s et h e s m o o t h i n g p a r a m e t e ro ft h eb a n d w i d t h i ss u g g e s t e d t h et h i r da s p e c t ：w ec o n s i d e r e dr i s km e a s u r e si nf i n a n c e t w ok i n d so fr i s k m e a s u r e sa r ec o n s i d e r e d ，v o l a t i l i t ya n dv a l u ea tr i s k ( v a r ) s o m e m e t h o d sb a s e do n o u rl o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t o ra n ds o m eo t h e rr e c e n tw o r kt oc a l c u l a t et h e v o l a t i l i t y b a s e do nd i s c r e t eo b s e r v a t i o n sa r eg i v e n at i m ed e p e n d e n tv a l u ea tr i s k ( t v a r ) b a s e do ns t o c h a s t i cp r o c e s s e si sd e f i n e d s o m ee x a m p l e so ft v a rf o rd i f f u s i o n 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 3 ) 5 p r o c e s s e sa r eg i v e n w eo b t a i ns o m eb o u n d so ft v a r b yr e c e n ti m p r o v e m e n t so n t h ei n e q u a l i t i e so ft r a n s i t i o n a ld e n s i t yo fd i f f u s i o np r o c e s s e si no u rm a i nt h e o r e m s t h e i n t e r e s t i n gt h i n g i st h a tt h e r eh a v en or a n d o mp a r t sa n dn ou n k n o w nc o n s t a n t s i nt h e s eb o u n d s + m o r e o v e r ，t h e s eb o u n d sc a nb eu s e d t o p r e d i c a t et h er a n g eo f f u t u r er i s ki fw ek n o wn o ws t a t eo ft h ed i f f u s i o np r o c e s s a n dt h eo t h e rp a r ti s as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o re x i s t e n c eo fg r o w t ho p t i m a lp o r t f o l i oi nag e n e r a lm a r k e t d e f i n e db ym u l t ij u m p sa n dm u l t ir i s k ya s s e t s k e yw o r d sd i f f u s i o np r o c e s s ，j u m pd i f f u s i o np r o c e s s ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，g i r s a _ n o vt h e o r y ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r ，l o c a lp o l y n o m i a le s t i m a o t i o n ，m a r t i n g a l e ，s e m i m a r t i n g a l e ，l o c a lt i m e ，t i m ed e p e n d e n tv a r ( t v a r ) ，o p t i o n p r i c i n g 第一章背景介绍 1 1研究动机 设( q ，p ) 是一个给定的完备概率空间，( 五) o o 。是( q ，f ) 上的流，假设 该流满足通常条件广义地将，扩散过程x t = x ，五，0sz 0 ， 1 h l i _ m o i p | 五+ 一五 五= z ) = 0 ( 1 1 1 ) 事实上，( 1 1 1 ) 表明扩散过程五的路径关于时间t 几乎处处连续 在大多数情况下，一个扩散过程可以通过( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 式来刻画， 后两个公式描述了均值和方差的无穷小变化率即对任意的z 口有 枷l i mi e 阻+ 一x t x - z 】= p ( z ，t ) ( 1 1 2 ) 和 脚i e 五+ 一五) 2 五= z 】= 0 - 2 ( 。，t ) ( 1 1 3 ) 成立称p 扛，t ) 和0 - 2 ( 。，t ) 为五的漂移项和扩散项如果u ( z ，t ) 和口2 ( z ，t ) 满足 p ( 。，t ) = 卢( z ) 和盯( 。，t ) = 盯( z ) ，即漂移项和扩散项中没有时间变量，则称该过程 称为时齐的扩散过程；反之，称之为非齐次的扩散过程 伊藤清( i t 5 ) 将扩散过程x t 通过如下的随机微分方程来表示， d x t = ( x ，t ) d t + o ( x ，t ) d m ，0 t 五= z ) = 0 ( 1 1 1 ) 事实上，( 1 1 1 ) 表明扩散过程五的路径关于时间t 几乎处处连续 在大多数情况下，一个扩散过程可以通过( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 式来刻画， 后两个公式描述了均值和方差的无穷小变化率即对任意的z 口有 枷l i mi e 阻+ 一x t x - z 】= p ( z ，t ) ( 1 1 2 ) 和 脚i e 五+ 一五) 2 五= z 】= 0 - 2 ( 。，t ) ( 1 1 3 ) 成立称p 扛，t ) 和0 - 2 ( 。，t ) 为五的漂移项和扩散项如果u ( z ，t ) 和口2 ( z ，t ) 满足 p ( 。，t ) = 卢( z ) 和盯( 。，t ) = 盯( z ) ，即漂移项和扩散项中没有时间变量，则称该过程 称为时齐的扩散过程；反之，称之为非齐次的扩散过程 伊藤清( i t 5 ) 将扩散过程x t 通过如下的随机微分方程来表示， d x t = ( x ，t ) d t + o ( x ，t ) d m ，0 t 0 ，考虑极大似然估计6 t 和真实参数8 的概率界 p i o r 一引a ( 1 3 1 3 ) 事实上( 1 g 1 3 ) 度量了极大似然估计的精度无论从理论上还是从实际应用上来 看，这个误差界的研究都是很重要的 但是，研究参数的极大似然估计的精度的文献并不多，其中b i s h w a l ( 1 9 9 9 ) 考 虑了遍历的平稳扩散过程中的极大似然估计的误差界然而，如注2 2 所叙述的， b i s h w a l ( 1 9 9 9 ) 所考虑的的扩散过程要求具有平稳性，而且其主要定理的第三个条 件除了0 一u 过程满足外，其他的过程很难满足 基于此，我们考虑了一类非平稳扩散过程中的参数的极大似然估计，其中漂移 项和扩散项中均含有未知参数首先，通过一个变换，将该扩散项变换成的新的扩 散过程，其中扩散项系数为1 ，这样，扩散项中没有要估计的参数 由q i a n 和z h e n g ( 2 0 0 2 a ) 最近的扩散过程转移密度的严格上下界，我们得到了 一个重要的不等式，参见引理27 然后考虑 一 1，r 碟【e x p 一；，n 眦( x t ，t ，e + u t 一 ) 一p ( x c ，t ，o ) 2 d t ) 】 ( 1 3 1 4 ) 的界参见引理2 8 ，这个不等式对于探讨( 1 3 1 3 ) 的界是非常重要的 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 3 ) 1 3 了扩散项的形式，然后基于离散观察给出了二者的非参数估计基于函数的泰勒展 开，s t a n t o n ( 1 9 9 7 ) 给出了漂移项和扩散项几种不同的收敛阶数的非参数估计 j a c o d ( 2 0 0 0 ) 给出了一类非齐次的扩散过程的非参数估计，h o f f m a n n ( 2 0 0 1 ) 将核 方法，小波等非参数方法与和参数方法进行了比较b a n d i 和p h i l l i p s ( 2 0 0 2 ) 提出 了漂移项和扩散项的核估计基于半鞅的各阶变差的研究，w o e r n e r ( 2 0 0 2 ) 给出了 l 6 v y 过程的非参数估计 1 3 本文的主要工作 第一部分：研究了一类非平稳扩散过程中的参数的极大似然估计，得到了极大 似然估计的一个不含有任何未知常数的误差界 记钟为真实参数目的极大似然估，丁为观察的时间，详细的定义请看2 1 节 对任意的 0 ，考虑极大似然估计6 t 和真实参数8 的概率界 p i o r 一引a ( 1 3 1 3 ) 事实上( 1 g 1 3 ) 度量了极大似然估计的精度无论从理论上还是从实际应用上来 看，这个误差界的研究都是很重要的 但是，研究参数的极大似然估计的精度的文献并不多，其中b i s h w a l ( 1 9 9 9 ) 考 虑了遍历的平稳扩散过程中的极大似然估计的误差界然而，如注2 2 所叙述的， b i s h w a l ( 1 9 9 9 ) 所考虑的的扩散过程要求具有平稳性，而且其主要定理的第三个条 件除了0 一u 过程满足外，其他的过程很难满足 基于此，我们考虑了一类非平稳扩散过程中的参数的极大似然估计，其中漂移 项和扩散项中均含有未知参数首先，通过一个变换，将该扩散项变换成的新的扩 散过程，其中扩散项系数为1 ，这样，扩散项中没有要估计的参数 由q i a n 和z h e n g ( 2 0 0 2 a ) 最近的扩散过程转移密度的严格上下界，我们得到了 一个重要的不等式，参见引理27 然后考虑 一 1，r 碟【e x p 一；，n 眦( x t ，t ，e + u t 一 ) 一p ( x c ，t ，o ) 2 d t ) 】 ( 1 3 1 4 ) 的界参见引理2 8 ，这个不等式对于探讨( 1 3 1 3 ) 的界是非常重要的 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 3 ) 1 4 2 2 节给出了主要定理，即定理2 3 在这个定理里，得到了( 1 3 1 3 ) 的不含有 任何未知常数的一个误差界有意义的是，该定理结果中不含任何未知参数，这对 统计推断是非常重要的 第二部分：研究了一类时齐的扩散过程的局部多项式估计，提出了时齐的扩散 过程漂移项和扩散项的局部多项式估计，给出了局部线性估计的相合性和渐进正态 性的证明，并给出了的光滑参数的选取方法 局部多项式方法是一类重要的基于数据分析的非参数回归方法，这个方法不需 要对扩散项和漂移项函数作具体的假设我们考虑了如下的扩散过程： d x t = 肛( x ) d t + o ( x t ) d w t ，弱= 3 7 0 其中肛( ) 和仃( ) 为朱知函数，为标准布朗运动 我们提出了漂移项函数p ( ) 和扩散项函数仃( ) 的局部多项式估计，由于局部 多项式估计本身的特点，见f a n ( 1 9 9 6 ) ，并且为了简单起见，我们仅考虑局部线性估 计的性质首先证明了一个基本的定理，即定理3 1 l ，得到了z 点加权的i 阶变差 的几乎处处收敛的极限然后给出了局部线性估计的相合性和渐近正态性的证明 b a n d i 和p h i l l i p s ( 2 0 0 2 ) 考虑了类似问题的函数估计，但与b a n d i 和p h i l l i p sf 2 0 0 2 1 不同的是我们的估计是基于局部多项式的思想而提出的，并且我们的主要结果是基 于局部线性估计 第三部分：研究风险的度量，以及在广义市场下整体最优投资策略存在的充分 条件事实上，风险度量的一部分研究为扩散过程统计推断的应用 在金融市场中，风险管理的第一步是要度量风险的大小波动率和在险值是度 量市场风险的主要的两种方法假设标的资产价格服从一个扩散过程时，在离散观 察下，我们给出了计算波动率的一些方法，如有扩散过程二阶变差的定义直接得到 的非参数估计，s t o n t o n ( 1 9 9 7 ) 所给出的基于t a l y o r 展开的非参数估计，第二部分 给出的局部线性估计，以及f a n ( 2 0 0 3 ) 给出的非齐次扩散过程下的局部多项式估计 等 华东师范大学博士学位论文( 2 0 0 3 ) 1 5 如前一节提到的，在险值度量在一定的置信水平下，在给定的一段时间内，某 种金融资产可能遭受的最大损失传统的在险值假设标的资产的分布是一个正态分 布，然而，就金融数据的特点来看，大多数金融数据是高峰厚尾的，并不满足正态 性的假设传统的在险值的另外一个缺点是静态的，是对历史数据的一个回顾性研 究，不能够用来预测未来的风险假设标的资产价格服从一个扩散过程时，我们定 义了一个基于随机过程的在险值，称之为时变在险值，记为t v a r 我们给出了简 单的扩散过程的时变在险值得一些例子，如布朗运动，几何布朗运动，广义o u 过 程等，这些扩散过程在数理金融中都有很强的应用背景 若已知扩散过程五的转移密度，由m a r k o v 性，如果已知现在时刻8 的状态 x ，= z ，由t v a r 的定义，我们可以求得未来时间t 的在险值当然，有些并没有显 示解，但可以使用模拟等计算方法求解该积分方程从而求得分位数，即在险值 但是由于扩散过程的转移密度几乎没有显示的表达式，求解在险值仍然有很大的挑 战性但幸运的是，由q i a n 和z h e n g ( 2 0 0 2 a ，2 0 0 2 b ) 关于扩散过程转移密度的精确 上下界的结果，我们发现了扩散过程的在险值的上下界，并且这些界里没有未知的 参数这在金融的风险管理上是很有意义的，看定理4 1 2 ，定理41 3 和注4 1 4 y a h 等( 2 0 0 0 ) 考虑了标的资产的价格服从于一个带跳的扩散过程或l v v 过 程的整体最有投资策略本文的第五章将这一结果推广到了广义市场下：有2 个风 险资产，其价格分别服从于风险源为2 维的标准布朗运动w ( t ) = ( w 1 ( t ) ，w f ( t ) ) 和d 维的p o i s s o n 过程的带跳扩散过程我们给出了这个广义市场的整体最优资策 略存在的充分条件 堡壅竖堇本学博士学位论文( 2 0 0 3 ) 1 4 进一步的讨论 1 6 对离散观察，考虑极大似然估计的精确的误差界 当观察值有误差时，考虑极大似然估计，以及离散化的步长和测量误差之间的 关系； 考虑非时齐的扩散过程漂移项和扩散项函数的局部多项式估计以及模拟计算； 考虑时变在险值进一步理论研究和的实际应用 本文的结构：第一章介绍问题的背景，介绍已有的扩散过程的统计推断的研究 工作，介绍本文的主要工作等；第二章研究了一类非平稳扩散过程参数的极大似然 估计的误差界；第三章研究了一类齐次扩散过程的局部多项式估计；第四章讨论了 风险度量；第五章给出了广义市场下的整体最优策略存在性的充分条件；第六章附 录，给出了经典鞅轮，随机积分和扩散过程的基本定义和结果，以及扩散过程转移 密度的界 第二章扩散过程的极大似然估计 2 1 引言 考虑d 维的扩散过程x 。，满足如下的随机微分方程 d x t = 芦( x t ，t ；o ) d t + 盯( x ，；口) d 鹏，x o = x 0 ，( 2 1 1 ) 其中目o r p 是参数，矾是r 一维标准布朗运动，u ( x ，t ；p ) ： 0 ，o o ) r 4 副 和口( z ，t ；0 ) ： 0 ，。o ) r dhm d x 7 为已知函数，m d 为d r 的矩阵空间， 如果a 中含有参数，对任意t 0 ，丁 ，由于咒的轨道分布会因为参数0 的不 同而不同，这样参数0 是不可识别的但是，正如下面的讨论，可以将带有参数0 的扩散项的扩散过程变换成为扩散项是常数1 的扩散过程 通常假设a 为一个常数或者一个没有未知参数的已知函数若盯是一个常数 矩阵，则盯可以由扩散过程的性质来估计记 0 ，t 的分割为 t ， ；n 。，记该分割最大 的区间长度为a ( ) = m a x i ：o ，。一l ( t 一t i ) 由五的二阶变差的定义知 a = i x , x c 2 ( 3 0 - t 三舭l i m m 薹( 一酬一x “) 丁，n s 其中a t 为矩阵a 的转置则可以给出盯的一个估计 若a ( x t ，；0 ) = 盯( 五，) ，即：扩散项函数中没有未知参数记p 品为c o ，t 上 的w i e n e r 测度对给定的0 ，记呀为过程 x t o t _ t 所生成的概率测度另外， 假设参数0 是可识别的，即：对任意的0 1 ，0 2 0 ，磁壤 由g i r s a n o v 定理， 器一， “球，旷慨圹1 蜗一；肌跚矿口( 驯( x t , t , o ) ( 2 1 2 ) 其中a - 1 为矩阵a 的逆 记t r ( o ) = l o g 碲d p t 记0 的极大似然估计为岛，定义珏为 f i 二t = - - a r g 。m a ! x 舻磊= a r g 。m a | x 。乱 ( 2 1 3 ) 第二章扩散过程的极大似然估计 2 1 引言 考虑d 维的扩散过程x 。，满足如下的随机微分方程 d x t = 芦( x t ，t ；o ) d t + 盯( x ，；口) d 鹏，x o = x 0 ，( 2 1 1 ) 其中目o r p 是参数，矾是r 一维标准布朗运动，u ( x ，t ；p ) ： 0 ，o o ) r 4 副 和口( z ，t ；0 ) ： 0 ，。o ) r dhm d x 7 为已知函数，m d 为d r 的矩阵空间， 如果a 中含有参数，对任意t 0 ，丁 ，由于咒的轨道分布会因为参数0 的不 同而不同，这样参数0 是不可识别的但是，正如下面的讨论，可以将带有参数0 的扩散项的扩散过程变换成为扩散项是常数1 的扩散过程 通常假设a 为一个常数或者一个没有未知参数的已知函数若盯是一个常数 矩阵，则盯可以由扩散过程的性质来估计记 0 ，t 的分割为 t ， ；n 。，记该分割最大 的区间长度为a ( ) = m a x i ：o ，。一l ( t 一t i ) 由五的二阶变差的定义知 a = i x , x c 2 ( 3 0 - t 三舭l i m m 薹( 一酬一x “) 丁，n s 其中a t 为矩阵a 的转置则可以给出盯的一个估计 若a ( x t ，；0 ) = 盯( 五，) ，即：扩散项函数中没有未知参数记p 品为c o ，t 上 的w i e n e r 测度对给定的0 ，记呀为过程 x t o o ， s u p 尸f i 岛一o l o 芝e 5be x p ( - c t ) ( 2 2 3 0 ) 0 日 其中b ，e 是正常数， 本章将考虑一类非平稳扩散过程极大似然估计的误差界，该扩散过程的参数同 时出现在漂移项和扩散项内我们得到了极大似然估计的一个不含有任何未知参数 的误差界 2 2 2 主要结果 考虑含有未知参数的扩散过程 d y , = 仃( m ，t ，o ) a w , + 6 ( m ，t ，o ) d t ，k = y o ，( 2 2 3 1 ) 其中0 是未知参数，是标准布朗运动设0 e ，不失一般性，令e 是一个有 界的区间，不妨取其界为1 ，并且设存在一个常数0 c 。满足c 盯( ，) 0 2 t ，日、 7。 口) l k 2 i z l 一 ( 2 2 3 6 ) ( 22 3 7 ) 华东师范大学博士学位论文f 2 0 0 3 j 在岛假设下，这个条件和要求p 是关于0 单调的差不多下面这个平凡的例子满 足r b 彩但不满足似剀j 肛( z ，0 ) = 0s i n z ，如取k 3 = t 蒜，k 4 = 1 0 和蚝= 1 我们有如下的主要定理，尽管定理的结论比b i