（计算数学专业论文）色散方程的并行差分方法研究.pdf

摘要计算工具对计算方法有决定作用，随着并行计算机的出现和发展，并行算法研究已经成为迅速崛起的新兴学术领域。许多大型科学计算问题都归结为求解复杂的偏微分方程或方程组，因此并行求解偏微分方程具有重要的实际意义。一直以来，差分方法是求解偏微分方程极具竞争力的方法之一，然而传统的差分方法( 显格式除外) 不能直接在并行机上实施，e v a n s 教授于1 9 8 3 年【1 】提出了分组显式的思想，从而开启了并行差分方法的研究乐章。二十几年来，人们从事并行差分方法的研究，多针对古典的抛物型方程进行，鲜见对其他类型方程的研究。色散方程是k d v 方程的线性部分，它作为近代数学物理的模型方程，与古典抛物型方程相比，在数学性质方面与后者有着本质的区别。因此本文对色散方程进行并行差分方法研究又具有重要的理论意义。本文的主要工作为：首先，给出了二维色散方程的交替分组显式格式，证明了格式的无条件稳定性。其次，对一维色散方程构造了高精度的交替分组显格式与交替分段显隐格式，并证明了他们的无条件稳定性。上述三个格式均是具有并行本性的差分格式，能够在并行计算机上直接运用。在“南开之星”超级计算机上分别应用上述三个格式进行了数值实验。数值结果表明了上述三种方法的可行性及与理论分析的一致性。关键词：一维色散方程，二维色散方程，并行差分方法，周期边界条件，交替分组显格式( a g e ) ，交替分段显隐格式( a s e i ) ，高精度并行格式a b s t r a c tn o w a d a y s ，而t ht h ed e v d o p m e n to fp a r a l l e lc o m p u t e r s ，t h er e s e a r c ho np 缸a l l da l g o r i t h i n sh a sb e c o m ean e wg r o v eo fa c a d e m i c m a n yl a r g es c a j es c i e n t m cc o m p u t 舢t i o n a lp r o b l e m sa l m o s te n dt os o l v ec o m p l i c a t e dp a r t i a ld 越b r e n t i a le q u a t i o so rs y s t e mo fe q u a t i o 璐，s oi th a si m p o r t a n ts c i e n t m cm e a n i n g st og e tn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ep a r t i a ld i 任b r e n t i a le q u a t i o 璐o np a r a l l e lc o m p u t e r s f b ral o n gt i m e ，t h e6 n i t ed i 髓r -e n c em e t h o df o rp a r t i a ld i f f 毛r e n t i a le q u a t i o n si so n eo ft h em o s t m p e t i t i 、，em e t h o d s h o w e v e r ，t r a d i t i o n a ld i 任e r e n c em e t h o d s ( e x c e p te x p l i c i ts c h e i n e s ) c a n t b ed i r e c t l yl l s e do np a r m l e lc o m p u t e r s i n1 9 8 3 ，p r o f 醅s o re v a n sp r 鹤e n t e dt h eg r o u pe x p l i c i t8 t r a t e g y w l l i c ho p e n st h er e s e a r c hp i e c eo nt h ep a r a l l e ld i 髓r e n c ei n e t h o d s t h e s et w e r 蚵”a r s ，p e o p l e9 0i nf o rt h er e s e a r c l lo nt h ep a r a l l e ld i 髓r e n c em e t h -o d sw h i c hi sm a i n l ya i m e da tc l a s s i c a lp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a n dl e s sa t t e n t i o ni st oo t h e re q u a t i o n s t h ed i s p e r s i v ee q u a t i o nw l l i c hi st h el j n e a rp a r to ft h ek d ve q u a t i o n ，m e a n w h i l ea st h em o d e le q u a t i o no fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c se q u a t i o 璐i nm o d e r nt i m e s ，c o m p a r e dw i t ht h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ，h a sa ne s s e n t i a ld i s t i n c t i o ni nm a t h e -m a t i c sp r o p e r t i e s ，s ot h er e s e a r c ho t h ed i s p e r s i 、吧e q u a t i o nh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a lm e a i n g s t h e m a i n w o r k i n t h i s t h e s i s i sa s f 0 u o w ：f i r s t ，a na l t e m a t i n gg r o u pe x p u c i ts c h e m ef o rt h et w o - d i m e 璐i o n a ld i s p e r s i v ee q u a t i o ni sp r e s e i l t e d ，t h el l i l c o n d i t i o n a ls t a b n i t yo ft h e l l s t r u c t e ds c h e m ei sp r o v e d s e c o n d l y a na l t e m a t i n gg r o u pe x p l i c i ts c h e m ea n da na l t e m 8 t i n gs e g m e n te x p l i c i t i m p l i c i ts 出e m e 研t hh i g hp r e c i s i o nf o rt h eo n e _ d i m e i l s i o n a le q u a t i o na r ed e r i v e d t h et w os c h e m e sa r ea b s o l u t es t a b l e t h ea f o r e m e n t i o n e dt 1 1 r e es c h e m e sa r ea l lt h ed i 丘b f e n c es c h e m e sw i t hi n t r i n s i cp a r a u e l i s m ，a b l et ob ed i r e c t l y1 1 s e do np a r a l l e l m p u t e r t h en u i n e r i c a ls i m l l l a t i o n si sc a r r i e do nt h en k s t 盯ss u p e rc o m p u t e r t h en 砌e r i c a lr e s l l l t 8o b t a i n e da r ei ns a t i s f a c t o r ya g r e e m e n tw i t h 址i et h e o r e t i c a la n 出y s i s k e y w o r d s ：o n e - d i m e 璐i o n a ld i s p e r s i v ee q u a t i o n ，t w o _ d i m e i l s i o n a ld i s p e r s i v ee q u a -t i o n ，p a r a l l e ld i f f e r e n c em e t h o d ，p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n ，d t e m a t i n gf o u pe x p l i c i tm e t h o d ( a g e ) ，a l t e r n a t i n gs e g m e n te x p u d t i m p l i c i ts c h e m e ( a s e - i ) ，h i g hp r e c i s i o np a 卜a l l e ls c h e m e i i南开大学学位论文版权使用授权书本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版：在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名：怕泰如5 年。明；o 日经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。指导教师签名：学位论文作者签名：解密时间：年月日各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： i i 赢i i 画；- _ _ 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年)，机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年)南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：栖房沙、6 年略月j o 日第一章绪论计算工具对计算方法有决定作用，随着并行计算机的出现和发展，并行算法研究已经成为迅速崛起的新兴学术领域。许多大型科学计算问题都归结为求解复杂的偏微分方程或方程组，因此并行求解偏微分方程具有重要的实际意义。直以来，差分方法是求解偏微分方程极具竞争力的方法之一，然而传统的差分方法( 显格式除外) 不能直接在并行机上实施，e v a n s 教授于1 9 8 3 年【1 】提出了分组显式的思想，从而开启了并行差分方法的研究乐章。1 1研究现状与研究意义并行差分方法的研究历史自1 9 8 3 年至今只有短短的二十三年。在这二十几年中，人们多针对古典的抛物型方程进行研究，对其他类型方程的研究较少。如针对抛物型方程，e v a n s 教授于1 9 8 3 年【1 】提出了分组显式的思想，并于1 9 8 5 年【2 】中提出了交替分组显格式( a g e l 。张宝琳教授于1 9 9 1 年【3 1 提出了交替分段显一隐格式( a s e i ) ，又于1 9 9 4 年【4 】提出了交替分段c r a k - n i c l o s o n 格式。此后，交替型并行格式进入深入研究阶段，不断向二维问题、变系数、变时间步长以及非线性等问题推广( 见【5 】一【1 2 】) 。除了上述交替型并行格式以外，人们还提出了区域分裂型并行格式( 见【1 3 】【1 4 】) 。两种并行格式相比各有优势与不足。一般地，区域分裂型格式有较好的加速比，但往往是条件稳定的，而交替型格式尽管加速比稍逊于区域分裂格式，但他们是无条件稳定的。然而无论哪种类型的并行格式，至今还没有出现高于二阶精度的格式。k d v 方程作为近代物理学出现的典型方程一度引起很大的研究热潮。高维k d v方程或k d v 方程与其他类型方程的耦合方程组往往计算量巨大，寻求并行解法是十分必要的。色散方程u 严u 。是k d v 方程饥+ u + m 。= o 的线性部分。对k d v 方程来说，其并行格式的建立，在某种程度上是色散方程与毗+ u = o 的叠加，所以讨论色散方程的并行格式具有前瞻性的实际意义。另一方面，色散方程与抛物型方程相比，数学性质极为不理想。如抛物型方程的纯显式中心格式是条件稳定的，但色散方程的纯显式中心格式是绝对不稳定的，对色散方程而言，偏心显格式可以条件稳定，但这是以牺牲精度为代价的。从另外角度观察，尽管已有许多文章对色散方程的差分格式进行研究( 如【2 4 】一【4 0 】) ，其中不乏高精度格式，但多是串行格式，进行并行差分格式的研究还不多见，仅能查到【1 5 】一【1 8 】。【1 5 】对一维色散方程提出了一个区域分裂型的并行格式，【1 6 】【1 8 】对一维色散方程分别提出了a g e 格式与a s e i 格式。这四个格式均不超过二阶精度。所以，本文j 2 本文的主要工作第一章绪论研究二维色散方程的并行格式与一维色散方程的高精度并行格式是具有重要的数学理论意义与实际应用意义的。1 2本文的主要工作研究高维色散方程的并行格式更具有实际意义，本文首先将一维色散方程每组四个节点的a g e 方法【1 6 】推广到了如下二维问题：i 缸t + 口( u z z + u 踟) = o ， u ( z + o ，) = u ( z ，可，。) ，( 1 1 )iu ( z ，可+ f ，t ) = u ( z ，掣，t ) ，、i “( z ，掣，o ) = l p ( z ，v ) 构造了每组1 6 个节点的a g e 格式，证明了格式的无条件稳定性。该方法在“南开之星”超级计算机上进行了实际运用，数值结果表明了方法的可行性及与理论分析结果的一致性。这部分工作在第二章中给出。其次，对如下一维色散方程：f “+ n t 正z z z = o ， + f ，t ) = u ( z ，t ) ，( 1 2 )l “( z ，o ) = 妒( z ) 进行高精度并行格式的研究。首先构造了六个基本的不对称差分格式，应用这六个格式进一步构造了具有三阶精度的交替分组显格式( a g e ) 与交替分段显隐格式( a s e i ) ，并分别证明了高精度a g e 格式和a s e i 格式的无条件稳定性。在“南开之星”超级计算机上进行了实际计算。数值结果显示出实际精度基本上达到了理论的三阶精度，并且具有较良好的加速比。这一部分的工作分别在第三章与第四章中进行。1 3 预备知识在本论文中，有关差分方法的稳定性讨论需用到下面的两个重要引理【2 3 】，引理的证明是对实矩阵c 作出的。引理2 1 若( g + 口) 是非负定，则对任何参数日 0 ，( 口j + c ) 一1 存在且l l ( p j + g ) 1 1 2 口一，其中i 表示单位矩阵。证明：由于( 目j + g ) 的特征值大于等于目 o ，故( 口j + g ) 一1 存在。2l 3 预备知识第一章绪论另一方面，作变换则删- 1 | | ；= ，。鼢。嫂堕瓮等业，( 1 3 )妒= ( 日，+ c ) 一1 p( 1 4 )忡，+ g ) _ 1 旧= ，。鼢。丽d 器( 1 5 )= ，。鼢，2 删错+ 铲】_ 11驴故j i ( 口+ g ) 1 1 2 日，引理得证引理2 2 在引理一的条件下，有i i ( 口卜一g ) ( p j + g ) 一1 1 1 2 1证明：注意到变换( 1 4 ) ，有( 口，一g ) ( p j + g ) _ 1 旧p 舻，p 0( ( 口j g ) ，( p j + g ) 一1 p ，( 口j g ) ，( 口j + g ) 一1 妒)( i p ，妒)= ，。糍。黯蒜器秽m 。，= ，。群。鬻筹桨揣书渊 1引理得证。3第二章二维色散方程的交替分组显式方法本章考虑区域q 1 = ( osz 茎i ，os 蔓l ，t o ) 上具有周期边界条件的如下二维色散方程的初边值问题：l 毗+ o ( t b z ：十u 啪) = o ，ju ( z + 2 ，掣，t ) = u ( z ，可，t ) ，iu ( z ，”+ 2 ，t ) = u ( z ，可，t ) ，lu ( z ，可，o ) = 妒( 霉，掣) ( 2 1 )2 1基本格式的构造首先将区域n 1 以空问步长缸，曲，时间步长6 戎0 分为网格，设u i f 表示在点( 1 ，曩)j ( 饿b ，j 曲，6 t ) ， ，j = o ，l ，2 ，m ；m 阮= m 曲= ，k = o ，1 ，。为简单起见，假设妇= 曲= 考虑在任一时间层，每1 6 个点为一组，设每组点为( t ，j ，) ，0 +1 ， 忌) ，0 + 2 ，j ，七) ，0 + 3 ，j ，后) ，( ，j + 1 ，七) ，o + l ，j + 1 ，七) ，0 + 2 ，j + 1 ，七) ，0 + 3 ，j +1 ，七) ，( t ，j + 2 ，南) ，0 + 1 ，j + 2 ，七) ，0 + 2 ，j + 2 ，克) ，0 + 3 ，j + 2 ，七) ，( t ，j + 3 ，七) ，a + 1 ，j +3 ，七) ，0 + 2 ，j + 3 ，七) ，0 + 3 ，j + 3 ，七) ；牮：篓翅羞兰：。仁z ，2 6 廿o42 i 基本格式的构造第二章二维色散方程的交替分组显式方法嗡1 - 吧瞄1 _ 喝u 学1 _ u 瞄1 _ 喝tu 对1 一u 乙滢釜攀：。s ，邃釜攀：。眨t ，+=0( 2 5 )：篓攀：。仁e ，：篓瑟美宝协z ，+ o 1 湎r 一2 ”滢盏攀：。仁勘：羞攀：。偿。，：菱一_ o ( 。，5华监垫攀2 i 基本格式的构造第二章二维色散方程的交替分组显式方法：茎一_ 0 ( ，牮：萎一- 0 ( z ，牮：著筹糕：。蔓坐堕溪也塑垒：。u 孑1 _ u 易t( 2 1 3 )：篓攀_ 0 ( 柚a ，牮：篓攀：。仁嘲牮二：薹摹：。仁峋垡堇! 二兰塾+ 。兰塾! ：! 二! 竖! ! ! 兰兰! i 兰互! 二兰岜!二：堂堡罐匦：。( 2 1 7 )在如图( a ) 所示的一个单元块上对点1 1 6 依次使用上述格式( 2 2 ) 一( 2 1 7 ) ，经过整理可以得到如下的方程组。图( c ) 表示了一个单元块中的1 6 个点分别用上述6华2 1 基本格式的构造第二章二维色散方程的交替分组显式方法差分格式所涉及的格点关系。f 0 r m u l a ( 2 - 1 4 )f 0 珊u l a ( 2 1 5 ) f b 珊u l a ( 2 1 6 )f o r m u l a ( 2 1 7 )( c )72 1 基本格式的构造第二章二维色散方程的交替分组显式方法u 对1“躐ju 毙岛“搿1u 战u 曦什1“鑫岛+ tu 搿。u 战mu ：乩+ 2t 群mu ：并。u 搿柙u 葛+ 3u 葛+ 3+ r t 0 舌0 一r “：矗l j + r u 茗 。一r u 嚣 = 屹+ r t 正n + 1 j 一2 r 嵋一1 j + r u 0 2 j + r u 0 + 1 2 r u 0 1 + r u 0 2+ r u 端一2 r u ：芝【j + r 瞄1 + r u 群z j + 2 一r 牟z j + l= r 噜1 j + 1 2 r 略1 j l + r 吧+ r 噜1 j 一2 + r 喀l j + 噜1 jr u 群叠j + 2 r 弘牟z j r 寸1 + r “牟毛+ 2 一r u 翰+ 1= 钍苒2 j r 略4 j + r 缸苒3 j + r u 苒2 j + 1 2 r t 苒2 j 一1 + r u 苒2 j 一2+ r 嵋毫b r q 罕屯+ r u 群如+ z r u 群主j + = r t 苒3 ，j + 1 2 r t 群3 ，j 一1 + r 壮肄3 j 一2 + 札苒3 j n 聋5 j + 2 r 钍酝j r t 正苒2 j+ r 群+ 1 一r u 穿 + 1 + r “拳3 2 r t 搿：2 + r 苕1= + 1 + r 札各1 ，j + l 一2 r 札0 l ，j + 1 + r 让0 2 ，j + l r u 如+ r 乱一l+ r u 瑶j + 1 2 r u 蹴j + 1 + r 搿1 + r u 赋棚一2 r n 战坤+ r u 躐j= 让锋l j + 1 一r 易+ 1 + r “n - 1 j + 1 一r u 苒l ，j + r u 锋l ，j - 1一r u 芸翟什l + 2 r u 冀王j + 1 一r u 搿芊1 + r u ：盏【j + 3 2 r “跣+ 2 + r u ：芝【j + 1= 一r “苒2 j + r u 苒2 ，一1 + u 肄2 ，j + 1 一r t 辟4 j + 1 + r t 弭3 ，j + l+ r 哨易+ 1 一r u + 1 + r u ：恐+ 3 2 r u 群j + 2 + r u ：蔓b= t e 3 j + 1 一r “n 十5 j + 1 + 2 r 曙3 j + 1 一r u 2 j 十1 一r t 上磐3 j + r u 肄3 j 一1+ r “：罕玉+ 2 一r u 牟己十2 一r u 寸1 + 2 r u 搿 1 一r “搿 3= u + 2 + r u 苒1 j + 2 2 r u o l j + 2 + r u n - 2 j + 2 + r 札+ 3 一r t 正+ 4+ r u 罐m 一2 r 喀易+ 2 + r u 搿2 一r u 战j + 2 r u ：扎+ 1 一r u 巩+ 3= u 髯l j + 2 一r 乃+ 2 + r 啦! j + 2 + r u 苒1 ，j + 3 一r t 1 j + 4一n 。群未j + 2 + 2 r u 群 + 2 一r “搿；2 一r u ：罕毛+ 2 r u 耸毛+ 1 一r u ：罕毛+ 3= t 啦 2 j + 2 一r t 正苒4 j + 2 + r t 苒3 j + 2 + r u 苒2 j + 3 一r u n + 2 j + 4+ r 吼+ 2 一r t 群t j + 2 一r t 端+ 2 r t l 端+ l r t ：嚣j + 3= 乱群3 ，j + 2 一r u 苒5 j + 2 + 2 r 钍苒4 ，抖2 一r u 苒2 j + 2 + r u 髯3 ，j + 3 一r u 苒3 j + 4+ r u ：矗【j + 3 一r u ：矗l j + 3 + r “习；2 一r t 并l= 唱+ 3 + r 略1 ，j + 3 2 r 啦! ，j + 3 + r 咄2 ，j + 3 一r 谨j + 5 + 2 r q j + 4 一r 喝+ 2+ r u 躐邶一2 r u 珑邶+ r “搿3 + 嗽嚣一r u 战= 略1 ，j + 3 一r “：j + 3 + r u n - 1 j + 3 一r t 上n + l ，j + 5 + 2 r “苒1 j + 4 一r u 苒1 ，j + 2一r u 群主j + 3 + 2 r u 筹t j + 3 一r “搿 3 + r “：蔫b + 2 一r u ：蔓b + 1= 咯2 j + 3 一r 让n + 4 j + 3 + r u 算3 j + 3 一r u n + 2 j + 3 + 2 r 略2 j + 3 一r q 2 j + 2+ r 嵋龙j + 3 一r u 掣 j + 3 + r u 地+ 2 一r 乱z 托+ 1= 略3 j + 3 一r u n + 5 j + 3 + 2 r u 苒4 ，j + 3 一r u n + 2 j + 3 一r 略3 j + 5 + 2 r u 髯3 ，什4一r 喝3 j + 282 2 交替分组显式格式第二章二维色散方程的交替分组显式方法设u 1 = ( 瞄1 ，吼，“踹，u 瑞，u 搿1 】一，蹦j + 3 ) 上述方程组可用矩阵形式表示为：a u “+ 1 = ，n若o 一110 一一1201111110 1l1o 一212o0 一l1222110 1111011一l2110 11021o 一110则其中系数矩阵a = ，+ r a o ，厶为方程组等式右边的定义，a 显然可逆，于是可以显式的求解扩+ 1 ，即：u “+ 1 = a 一1 ( 2 1 8 )由此可知，由层上的4 8 个点可以计算+ 1 层上的1 6 个点，a 是1 6 阶方阵，容易求逆，故可以分组计算各层上的网点，于是可以构造a g e 格式。2 2交替分组显式格式现在构造我们求解方程( 2 1 ) 的a g e 格式，为简单起见，假设将z 一区域划分9一llli一1 l一120110一一12l201一一121o21一一一12o110一一1o1102一一01101120112 2 交替分组显式格式第二章二维色散方程的交替分组显式方法为偶数方块，不妨设z ，方向的点数都为j = 4 ，是正整数，故在一周期内的网点( z 1 ，。2 ，。j ) ，( 9 l ，2 ，) 被划分为2 组( 见图d ) 。在奇数层对每个方块分别使用格式( 2 1 8 ) ，对于偶数层，由于是周期边界，在区域边界上的单元可以按规律组合成一组来使用上述格式：对于在边界上的点，左边界单元和对应位置右边界单元可以组合。上边界和下边界对应位置的单元组合，四个角上的小单元组合便都可利用公式( 2 1 8 ) ，如此，所有点已经安排完毕。对于每个单元块的节点我们按照图( n ) 的方式编号，每个单元按照从下到上从左到右的原则编号，则上述格式用矩阵的形式可以写成：其中u “= ( u 王1 ，“n 2 ，t 正z 1 6 ，u z l ，u z l 6 ，u 冬1 6 ) g 1 =o ( i = 1 ，2 ，2 ) 是1 6 阶方阵，岔= a o1 0a 驴j 2 j 2( 2 1 9 )nnu钍0dggrr一一uuq= 一122时叶仉mmi lggorr+ +口口，(l2 2 交替分组显式格式第二章二维色散方程的交替分组显式方法其中，a 1 =c 4 =g 2 =c 1d一d 一d c 2dd fc 3ddd c 一1dd c ka 1b一b 一b a lbb 7a 1bb0 11101b a 1bb a 10 111o一110 一llo01101 1k kj 2 j 2 = 1 2 惫0 一l一110111o一111010 1100 1101 6 1 62 3稳定性与截断误差分析第二章二维色散方程的交替分组显式方法b = ( 兰b 1d - (巩，。一22耻2 3稳定性与截断误差分析一22d 驰t = 1 2 一4 七考虑交替分组显式方法的稳定性。由前面所述，可得到如下定理定理2 1 ：上述( 2 1 9 ) 定义的a g e 格式是绝对稳定的。证明：由公式( 2 1 9 ) 可以得到：“+ 2 = t 札n = t 2 钍n = = p 珏o1 2墨缈葺性与截断误差分析第二章二维色散方程的交替分组显式方法其中t 是a g e 方法的增长矩阵且? = ( ，+ r g 2 ) 一1 ( ，一r g l ) ( ，+ r g l ) 一1 ( ，一r 6 ，2 ) 由于g 1 和g 2 都是反对称矩阵，由前所述k e 2 f 叼引理，对任意的实数，：| | t “1 1 2 0 ( j + r g 2 ) 一1 | j 2 l l ( j r g l ) ( f + r g l ) 一1 1 1 2一r g 2 ) ( ，+ r g 2 ) _ 1 i f 2_ l i ( j r r g l ) ( j + r g l ) 一1 i 2 i l ( j r g 2 ) 1 1 2si l ( j r g 2 ) 1 1 2s1 + 6 r这表明上述a g e 格式是绝对稳定的。接下来讨论格式的截断误差，将上述格式在点( ，蜥，俨) 泰勒展开，可得到各格式的截断误差：锄= 州是+ 鑫，+ 孤嘉+ 皋，+ 却象+ 骞，+ o ( 丁+ 3 )她，一州袅+ 翥，新皂+ 采，+ 却恚+ 鬻，+ o 一+ 胪)撕一r 袅枷黠+ 新纛+ 畚，+ 却象+ 象，+ o ( r + 胪)舢，= 地急埘蛊一新嘉+ 皋，+ 拟象+ 骞，+ o ( r + 九3 )瓢，一r 患协蛊一扣嘉+ 扣蛊+ 却象十象，+ o ( r + 胪)枷，= r 患埘蛊+ 耖患耖暴+ 却裳+ 鬻，+ o ( r + 胪)= 州患+ 蒜，一扣皂+ 扣暴+ 却囊+ 象，+ o ( 丁+ h 3 )如，一州患+ 暴，+ 涉急一抄券+ 却褰+ 崭，+ o + 3 )砸砷= r 嚆；埘鑫+ 却急+ 暴，+ 拟象+ 象，+ o ( r + 舻)2 4 数值算例第二章二维色散方程的交替分组显式方法舢，= 枷患蛊一翔急+ 皋，+ 却意+ 筹，= m c 患+ 蛊，十新嘉+ 泰，+ 拟意+ 鬻，= 州患+ 鑫，一新嘉+ 皋，+ 却龛+ 鬻，也= m c 意+ 蛊，一扣淼+ 暴+ 却裳+ 鬻，= 似袅+ 蛊，+ 耖皂一耖皋+ 新意+ 鬻，= 眈意埘暴一耖急+ 皋+ 却象+ 鬻，枷，= m 患m 蛊+ 涉皂一扣皋+ 却裳+ 鬻，对于a g e 方法，由于成组的1 6 个点的每一个点上，总有2 个格式在奇偶时间层上是交替使用( 见图d ) ，如( 2 2 ) 与( 2 1 2 ) 交替，( 2 3 ) 与( 2 1 3 ) 交替等等，故除舻项外，误差的其他项都可以相互抵消，故方法的截断误差为o ( r + 2 ) 。2 4数值算例考虑如下简单的例子：0，掣，t ) ，可，t ) ，+ 7 r 可)( 2 2 0 )其精确解为：u ( z ，t ) = c o s ( 7 r z + 7 r y + 2 ”3 t ) 。表2 1 给出了该格式对于r = 0 1 ， = l 1 0 0 ，经过1 0 0 0 次时间步后的数值解和绝对误差。表2 2 给出了该格式对于r = o 5 ， = 1 1 0 0 ，经过1 0 0 0 次时间步后的数值解和绝对误差。数值结果显示了数值解的真实可用性。1 4= z锄一嘶+ j =一轴钳叭弘 y 玑+扩e钍珏u，_lii，、-_-_l2 4 数值算例第二章二维色散方程的交替分组显式方法室! ：! ：垒三! ! ! ! ! ! 三! ! 壁三! ：! ! ! ! ! ! 竺盟塑生( z ，”)真解，近似解u 误差ie ( 1 0 一5 ) = l 1 0 0 ，r = 0 1 ，1 0 0 0 蚺，t h e 矗g i l r eo f t h ee 丌o r1 52 4 数值算例第二章二维色散方程的交替分组显式方法塞! ：! ：垒三! ! 塑! ! 三二! 壁三! ：! ! ! ! ! ! 兰堕囹垄( z ，)真解，p近似解，”误差i 岛，”( 1 0 - 4 ) = 1 1 0 0 ，r = o5 ，1 0 0 0 饥，t h e 矗g u r eo f t h ee r r o r2 4 数值算例第二章二维色散方程的交替分组显式方法最后，考虑r = o 1 ，t = o 0 0 0 3 时，对于3 个不同的网格划分的误差及收敛性。结果显示该格式数值解的收敛性及误差阶大致为o ( r + 2 ) 。麦! ：墨：垒堡曼整盛竖的蝗筮丝!垒竺：! ! ：亟8 00 0 2 5 02 8 9 60 4 6 31 6 03 2 00 0 1 2 50 0 0 6 31 0 2 60 3 6 3o 6 5 7o 9 2 8上述数值结果显示了本文的二维a g e 格式在实际中是适用的，并且数值结果具有良好的精度及稳定性。1 7第三章一维色散方程的高精度a g e 方法本章研究区域q 2 = o z z ，t o 上的一维色散方程的周期边界问题髓鬻一的高精度交替分组显式方法( a g e ) ，分四节进行。3 1六个新的非对称格式首先以空间步长妇= h 和时间步长= r 将定解区域q 2 划分成网格，格点为( q ，t 。) 。其中q = j ，j = o ，1 ，一，正j h = f ；如= 礼r ，n = o ，1 ，点( ，k ) 简记为0 ，n ) 。以嵋表示问题( 3 1 ) 在离散点0 ，n ) 的数值解。先构造六个非对称格式，考虑逼近方程( 3 1 ) 的高精度对称显格式为：嵋+ 1 一叼+ r ( j 孕。一2 孕。+ 萼孕。一等咏，+ 2 咯。一j 略。) = o此格式是绝对不稳定的，改变此格式的某些项，可以构造非对称格式。将一等r 嗡- + 2 r 喀+ 。一；呼 3 改写为：可得到一i r 嘣一等吩，+ r 哼嚣+ 略。一扣霜= 一扣 ：+ z r 呼。一竽r 享。+ 哼+ 萼r 略。一r 略。将萼r 呼。一萼r 咯，+ 2 r 略。一：r 咏。改写为：i r 嘣+ 等哗，一萼r 嘣一i r 嗡。蛐嘣一；r 哼嚣；r 嘣+ 矿1 一等r 哼嚣+ 2 r 嘣一；r 哼嚣：二：r 呼。+ z r 孕。= - 等r 孕。+ 哼+ ；i 嘎。( 3 2 )( 3 3 )3 i 六个新的非对称格式第三章一维色散方程的高精度a g e 方法将一2 r 呼。+ 萼r 呼。一萼r u 苒，+ 2 r 嚷。一：r 峨。改写为：一r 喇一雌。+ 等r 删+ i 哗。一萼r 哼嚣抽嘣一；r 嘣可得到：一：嘣+ 等r 嘣专哼+ 1 一萼r 嘣+ 2 r 哼嚣一扣嚣( 。)= 一；r 孕。+ i 呼。一；r 呼，+ 动1p 4 将；r 啦。一2 r 孕。+ 萼r 呼。一萼r 略。+ 2 r 嗡。改写为：；r 瞒砌嘣+ 萼r 嘣一罢r 嘴一i r 略，+ r 嘣+ r 咯。可得到：乏碍i ，z r 嘣+ 萼r 产+ 矿一萼r 硝+ r 嘣( 3 。)= 哆+ ；r 略，一r 曝。+ ；r 略a一将；r 呼s 一2 r 呼。+ 萼r 呼。一萼r 曝。改写为：；r 瞒曲嘣+ 萼r 蚪+ ；r 孕，一；r 吩嚣一荨呜。；掣砌端高等r 蚪+ 矿1 - 】；r 哼嚣( 3 。)= 二；r 喙。+ 哼+ 萼r 泌。一。r 咏：+ ；i 嗡。p 6 将j r 呼。一2 r 呼。+ 萼r 呼。改写为：r 瞄一r 嘣一啤2 + i r 嘣+ 等眸。：磐蒜：群o 揪。 z ，其中r = o r 2 3 。生壹堑壁垒! ! 堕生堑三主二丝鱼墼查堡箜壹茔壁垒! ! 堕鎏 叫阳t h ed i a g r a mo ff o m l l l a ( 3 2 )掩驸 叫珍弘t h ed i a f a mo ff o r m u l a ( 3 3 )9 固们电哐h 囝卜分勺啪t h ed i a g r 蛐o ff o r i n u l a ( 3 4 )t h ed i a 酽岫o ff 0 r m l l l a ( 3 6 )t h ed i a g r a mo ff 0 r m u l a ( 3 5 )t h ed i a g r a mo ff b r m u i a ( 3 ”考虑上述公式( 3 2 ) 一( 3 7 ) 在( q ，t 。) 的泰勒展式，则可得到截断误差分别为：由此可见上述格式都是逼近方程( 3 1 ) 的。3 2高精度a g e 方法现在考虑每六个点一组，即( q ，t 。+ 1 ) ，( q + 1 ，t 。+ 1 ) ，( 巧+ 2 t 。+ 1 ) ，( + 3 ，。+ 1 ) ，( j 4 ，t 。+ 1 )2 0蚰母拳伊砷钟砩钟砷孤e孚( q + 5 ，t 。+ 1 ) ，分别在这六点使用公式( 3 2 ) 一( 3 7 ) ，在点( q ，t 。十1 ) 依次使用公式( 3 2 ) ，顺次往下，则上述公式用矩阵可表示为：1一；rr一 rooi r1一半rr警r12 ”一等r r 一2 r警r1一訾rro扣00一i r1一 r t 乒3 + 2 r 呼2 一譬r u n _ 1 + 叼+ 辈r “并1 一r t 甄2一 r 呼3 + 2 r 呼2 一等r 毕，+ 嵋+ i r 曝-一；r t 璺3 + r t 哆- 2 一i r t 乒1 + 哼叼+ i r 略1 一r 嗡2 + r 嗡3一i r 哆l + 喈+ 竽r 曙1 2 r 咯2 + j r 略3r 呼2 一等r 呼1 + 哆+ 警r 略1 2 r 曙2 + ；r 嗡3若设，a =则上述6 6 阶系数矩阵可表示为，+ r a ，矩阵a 是反对称矩阵，( ，+ r 4 ) 可逆，所以上述方程可以显式的求解为：哼“t 嚣喇蹦蹦嵋嚣= ( j + r a ) - 1一 r 呼3 + 2 r u 2 一萼r u 1 + 嵋+ 訾r u 并1 一r 呼+ 2一 r 嗥。+ 2 r 毕z 一警r 呼。+ 哼+ i r 嗡，一 r t 莹3 + r t 乒2 一i r t 乒1 + 畸吁+ i r 嚷1 一r 略2 + r 嗡3一；r 孕1 + 喈+ 等r 嗡1 2 r 曙2 + r 嗡3r 毕2 一等r 呼l + 哼+ 警r 曙l 一2 r 吼2 十 r 咏3这就给出了在每一时间层每相邻六点的求解公式，整个区域上的点就可以分组的显式求解了。2 l01 4寺打和钞哳扣oo 13 1oo 。一42加可。墨。嘈。警。，加可。堕。以三。o墨4以三4003 2 高精度a g e 方法第三章一维色散方程的高精度a g e 方法具体的a g e 格式安排如下：设，= 6 ，女是正整数，故在一个周期内的网点被划分为组，为了方便起见，我们也可以用下图来表示在交替时间层的分组情况和格式使用情况，在第一层对于点1 ，7 ，1 3 ，使用公式，在第二层，在点4 ，1 1 ，使用公式。i2 3 4 s6 ，8el oi l 琏一j 哪叫- 3 卜幺j - ljt h ea l t e r n a t i n gg r o u pe x p u c i tm e t h o d上述方法用矩阵具体表述为n 坞n 2口i裂：警：蒜：+ ，s ，【( j + r g 2 ) u n + 2 = ( j r g l ) u n + 1p 7札= o ，2 ，4 ，6 ，其中u ”= ( u ? ，u ；，u 3 ) 。g 1 =oi1io一警一1警o一2萼o一200一oo2一o一譬2一o一訾1等。一；一1iooi1；o一萼一1等o一2譬o一2oooo。o。等。；。等。警。3 3 稳定性与截断误差分析第三章一维色散方程的高精度a g e 方法g 2 =o一等1警。一i一1；oioo2一o一警2一3 3稳定性与截断误差分析笪42三4o一2 12o一等一1訾。由公式( 3 8 ) 知u “+ 2 = t u “，其中t = ( j + r g 2 ) 一1 ( ，一r g l ) ( j + r g l ) 一1 ( f r g 2 ) 。由于g l ，g 2 均是反对称的( 或零定的) ，故应用k d l o g 引理可得到i 【p l 【2 有界，敌有如下定理。定理3 1 ：a g e 方法( 3 8 ) 绝对稳定。对于a g e 方法，由于公式( 3 2 ) 与( 3 5 ) 、( 3 3 ) 与( 3 6 ) 、( 3 4 ) 与( 3 7 ) 总是在奇偶层中交替使用，比照3 1 中给出的这几个公式的截断误差表达式，可以发现每两层中的 、 2 、危4 项均能互相抵消。所以得到每两层下方法的截断误差为。一+ 3 ) 阶。3 4数值算例对一维色散方程考虑如下数值算例fu t + 一= o ， u ( 。+ 2 ，t ) = t 正( z ，t ) ，( 3 9 )iu ( z ，o ) = c o s ( 7 r z ) 其精确解为：u ( z ，t ) = c o s ( 7 r z + 7 r 3 ) 。为同本文的格式表示区别，本节中用a g f ，a s e i + 表示【1 6 】【1 7 】中提出的两种格式。首先检验高精度a g e 格式的收敛速度，用e = 一圳l 。表示l z 模的误差。对此格式考虑r = o 5 ，t = o 0 0 2 5 时，对于4 个不同的网格划分的误差及收敛阶，正像上节分析的那样，尽管非对称格式的截断误差的阶并不高，由于这些格式的艺羔4o1 4 u03 4 数值算例第三章一维色散方程的高精度a g f 坊法交替和对称使用，使得截断误差的某些项相互抵消，从而使数值解保持了高的精度。在下表3 1 中，显示了解的收敛性并且可知误差阶大致为。一+ 驴)jhe h 1 0 一6器9 60 0 2 2& 9 7 608 4 31 9 20 0 1 11 2 0 30 9 0 43 8 40 0 0 5 1o 1 2 40 9 3 37 6 80 0 0 2 60 0 1 41 1 4 9接下来，我们比较一下在同种网格剖分的情形时，本文提出的高精度a g e 格式和【1 6 】【1 7 】中给出的两种格式的解的情况。其中，在表3 2 3 5 显示了对于不同的r 这三种方法的绝对误差( a e ) 和相对误差( p e ) 。我们的数值结果显示本章的a g e 格式比a g f ，a s e i + 这两种格式有更高的精确解。os c e m e s0 20 61 01 41 8a g e +n e3 2 0 1 0 44 5 7 1 0 43 8 2 1 0 54 8 1 1 0 42 5 8 1 0 4p e4 1 1 1 0 41 2 8 1 0 43 8 3 1 0 41 8 4 1 0 43 0 9 1 0 一4a s e i + n e3 1 1 1 0 44 6 0 1 0 一42 9 7 1 0 44 6 9 1 0 42 7 1 1 0 4p e3 9 9 1 0 21 2 9 1 0 一12 9 7 1 0 31 7 9 1 0 13 2 4 1 0 2a g ea e2 2 0 1 0 一o3 0 1 1 0 71 4 5 1 0 73 1 6 1 0 一o1