（计算数学专业论文）二元向量值stieltjes型有理插值的迭代算法及其性质.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 根据二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值( b g l r i ) 的定义及递推公式，本文建立 了计算b g i r i 系数的两个有效的迭代算法按照算法的步骤对两个实例进行计算， 所得到的结果与递推公式得到的结果完全相同同时，迭代算法2 也给出了b g i r i 系数b l ( z ，y ) 与系数矩阵中元素的关系：系数矩阵第z 行的第z ，z + 1 ，死列元素 和第z 列的第f ，z + 1 ，礼行元素就是b g i r i 的b t ( x ，y ) 的系数 在迭代算法2 的基础上，本文推导证明了二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值 ( b g i r i ) 的存在性定理在证明过程中，给出了插值公式r 1 ，o ( z ，可) ，嘞，o ( z ，可) ， 风，o ( z ，y ) 的具体表达式，存在条件和特征条件为了保持论述的完整性，给出并证 明了唯一性定理 在文章的最后部分，由p a 成逼近的定义，本文推导得到p a d 6 逼近中分子和分 母多项式系数与函数，( z ) 的形式幂级数展开式的系数之间的关系，将它表示成向 量表达式在此基础上，本文通过单点p a d 6 逼近方法、多点p a d 6 逼近方法和混合 p a d 6 逼近方法得到求解p a d 6 逼近系数的矩阵方程，最后求解线性方程组，得到了 p a d 6 逼近的表达式 关键诃s t i e l t j e s 型连分式；向量值有理插值；迭代算法；p a d 6 逼近 第1 页 a b s t r a c t 上海大学硕士学位论文 o nt h eb a s i so ft h ed e f i n i t i o na n dr e c u r r e n c ef o r m u l a so fb i v a r i a t ev e c t o rv a l u e d s t i e l t j e s - t y p ec o n t i n u e df r a c t i o ni n t e r p o l a n t s ( b g i r i ) ，t w oe f f e c t i v ei t e r a t i v ea l g o r i t h m s f o rc o e f l i c i e n t so fb g i r ia r ee s t a b l i s h e dt h i sp a p e r t w oe x a m p l e sa r ec o m p u t e db y u s i n gt h e ，i t e r a t i v ea l g o r i t h m s ，a n di ti sf o u n dt h a tt h er e s u l t si st h es a m ea st h er e s u l t s g i v e nb yt h er e c u r r e n c ef o r m u l a s a tt h es a m et i m e ，t h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m2c l a r i f yt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h ec o e f f i c i e n t so fb g i r ia n dt h ee l e m e n t so fc o e f f i c i e n tm a t r i xi nt h e a l g o r i t h m i nt e r m so ft h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m2 ，t h ee x i s t e n c et h e o r e mo fb g i r ii sp r e s e n t e d i n t h ep r o o f ，t h ee x p r e s s i o n s ，e x i s t e n c ec o n d i t i o n sa n dc h a r a c t e r i s a t i o n so fr l ，o ( z ，耖) ，诧，0 ( x ，秽) ， ，风，o ( z ，y ) a r er e s p e c t i v e l yd e s c r i b e d t h eu n i q u e n e s st h e o r e m i sa l s op r o v e dw i t hi n - t e g r a l i t y a tl a s t ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec o e f f i c i e n t so fd e n o m i n a t o ra n dn u m e r a t o rp o l y - n o m i a l si np a d 6a p p r o x i m a t i o na n dt h ec o e f f i c i e n t so ff o r m a lp o w e rs e r i e sf o rf ( x ) i s i l l u s t r a t e db yu s i n gt h ed e f i n i t i o no fp a d 6a p p r o x i m a t i o n ，t h e n ，i ti se x p r e s s e di nt h ef o r m o f t h ev e c t o re q u a t i o n o nt h eb a s i so ft h er e s u l t ，w i t hs i n g l e - p o i n t ，m u l t i p l e - p o i n ta n d m i x e d - p o i n tp a d 6m e t h o d t h el i n e a re q u a t i o no ft h ec o e f f i c i e n t sf o rp a d 吾a p p r o x i m a n t si s f o r m e dr e s p e c t i v e l y t h e n ，t h ee x p r e s s i o no ft h ep a d 6a p p r o x i m a n ti so b t a i n e db ys o l v i n g t h eg i v e nl i n e a re q u a t i o n k e y w o r d s ：s t i e l t j e s - t y p ec o n t i n u e df r a c t i o n ；v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t s ； i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；p a d 6a p p r o x i m a t i o n ； 第1 i 页 论文独创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名：陈亮日期：2 0 0 8 5 2 2 + 论文使用授权声明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：陈亮导师签名：顾传青日期：2 0 0 8 5 2 2 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 有理插值的研究背景 在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题，它们已成 为科学技术研究的热点和主攻方向之一 诚如英国著名哲学家与数学家b e r t r a n dr u s s e l l 所说：”所有精确的科学都受 到逼近的思想所支配”确实，所有的非线性科学也受到、并将继续受到非线性逼 近的思想的渗透和影响多年来作为非线性逼近的典型之一的有理函数逼近，愈来 愈引起人们的关注因为有理函数仍然属于简单函数类，它虽然比多项式要复杂， 但用它来近似表示函数时，却比用多项式更灵活、有效，且能反映函数的一些固有 特性，如奇性等所以近年来人们在数值与函数逼近，计算机辅助几何设计中常常 偏爱有理函数随着科学技术的发展，作为非线性数学重要分支之一的有理逼近方 法，已以实际应用中显示出巨大优势和开发潜力 向量值函数有理插值问题最早是由p w y n n 于1 9 6 3 年在一篇文章【4 3 】中提出 来的 g r a v e s m o r i e s 【4 4 ，4 5 和g r a v e s - m o r i e s ，j e n k i n s 4 6 】从机械振动中有关”振动 模”这一实际问题出发，借助于一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换，提供了一 种向量有理插值的t h i e l e 型分解方法，从而建立了一元向量连分式插值的理论，证 明了这种向量有理插值函数的特征定理和唯一性定理在此基础上他们也对有关的 算法问题、有向向量的有理插值、向量有理逼近等问题作了开拓性的研究 在国内，朱功勤、顾传青等人从1 9 9 0 年开始，在国家自然科学基金的资助下， 较系统地研究了多元向量值函数有理插值与逼近问题，并取得了一系列有价值的研 究成果 顾传青教授在【1 】中把数量连分式的思想引入到向量连分式中，给出了向量的 s a l z e r 定理及t h i e l e 型向量连分式的收敛性定理，并将著名的p r i n g s h e i m 定理推广 到向量的情形并在 2 ，8 】中利用向量s a m e l s o n 逆。引入了向量的偏倒差商，首次 将一元t h i e l e 型向量有理插值推广到二元的情形，建立了二元t h i e l e 型向量有理插 值的概念，并证明了相关的性质，给出了二元t h i e l e 型向量连分式和有理插值的误 差公式【9 ，1 0 ，并对二元t h i e l e 型向量连分式展开式及其逼近性质进行了研究【1 3 】， 初步探讨了向量切触连分式插值 随后的几年中，顾传青教授等人又探讨了二元对称型向量有理插值【3 】 n e w t o n 第1 页 上海大学硕士学位论文 一t h i e l e 型二元有理插值【4 2 ，l a g r a n g e 型二元有理插值【x 2 ，n e v i l l e 型向量有理插值 【3 9 】以及它们的性质和相互关系，其中二元l a g r a n g e 型向量有理插值不同于以前的 由二元向量连分式定义的t h i e l e 型二元向量有理插值，它是利用某种行列式直接定 义二元向量有理插值的分子和分母；此外，插值节点也由以前的实平面上的实数 对，改为复平面上的复数对，进一步扩展了研究的范围 矩阵理论不论在自然科学，还是在工程技术中都是重要的基础理论，研究矩阵 函数的插值与逼近无疑具有重要意义而研究矩阵连分式必须要引入矩阵逆运算， 于是顾传青教授等人在【1 6 】中定义了矩阵的s a m e l s o n 逆，将一元t h i e l e 型向量有理 插值的思想和方法运用到矩阵有理插值的研究中，建立了基于矩阵s a m e l s o n 逆的一 元矩阵有理插值，得到了一系列类似于向量值有理插值的结果顾传青在【1 7 】中又将 一元矩阵有理插值推广到二元的情形，建立了二元矩阵有理插值【2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，25 】 在随后的研究中，将二元矩阵s a m e l s o n 逆情形推广到了多元矩阵广义逆的情形1 2 6 1 ， 研究了基于广义逆矩阵有理插值的算法【2 8 ，2 9 】，并推广到复矩阵的情形【2 7 】 1 2向量值有理插值问题 设由n + 1 个不同点组成的点集为 h = 视悼= o j l ，n ；x i r ) 和相应的有限值向量集为 v = v o ) l i = 0 ，1 ，n ；v a ) = v ( z t ) = ( v l ( z i ) ，u 2 ( z 1 ) ，v d ( x t ) ) d d ) 令 r ) = n ( x ) d ( x ) ( 1 1 ) 其中n ( x ) 是d 维向量多项式，即n ( z ) = ( 1 ( z ) ，舰( 。) ) ，屿( z ) ( 1 j d ) 是x 的多项式，d ( x ) 是实系数代数多项式 r ( z ) = ( 冗1 ( z ) ，r 2 ( z ) ，月幺( 茁) ) 所谓向量值函数有理插值问题，就是寻求形如( 1 1 ) 的向量值有理分式函数 r ( z ) ，使之满足如下插值条件： r j ( 瑚= 锱= 蚺t = 0 ”一一歹- 1 2 ，d ( 1 2 ) 第2 页 上海大学硕士学位论文 这里马( 茹) 是r ( 霉) 的第j 个分量，即 r ( z ) = ( r l ( z ) ，r 2 ( z ) ，月台( z ) ) u 是v ( 0 的第j 个分量，即v ( 0 = ( 移；) ，毋) 从向量值函数有理插值的提法可以看出，对向量的各分量而言就是数量有理插 值，所以说向量值有理插值是数量有理插值的推广，基于此 4 6 】中作了如下基本假 设： ( 1 ) 若v ( ) 中的第k 个分量为唯一非零分量，即口= 0 ，j = 1 ，七一1 ，k + 1 ，d ，则向量值有理插值问题即为相应的有理分式函数插值； ( 2 ) 向量值有理插值问题的解不依赖于插值节点的排序； ( 3 ) 在某种意义下。插值问题的解是唯一的； ( 4 ) 插值问题的d 个分量的极点产生于同一平面上的公共点 1 3 本文所做的工作 本文主要是在顾传青教授的指导下，讨论了二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值 的迭代算法及其性质 第二章，在向量值s t i e l t j e s 型连分式插值递推公式的基础上，建立了计算s t i e l t j e s 型连分式插值系数的两个有效的迭代算法，并通过两个实例按照算法的步骤进行计 算，所得到的结果与递推公式得到的结果完全相同，而且还给第三章中的存在性的 证明奠定了理论基础同时算法2 也给出了向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的系数 b z ( z ，9 ) 与系数矩阵中元素的关系：系数矩阵第z 行的第z ，z + 1 ，礼列元素和第z 列的第z ，z + 1 ，n 行元素就是马( z ，y ) 的系数 第三章，在第二章给出的二元向量值s t i e l t j e s 型连分式的定义及得出的迭代算 法的基础上，推导证明出了二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的存在性定理，在证 明过程中，给出了插值公式r t 。o ( z ，y ) ，恐，o ( z ，可) ，冗七，o ( x ，y ) 的具体表达式，存在 条件和特征条件为了保持论述的完整性，给出了特征定理和唯一性定理，并证明 了唯一性定理 第四章，由p a d 6 逼近的定义，得到p a d 6 逼近的向量表达式，并通过三种方法 得到p a d 6 逼近的矩阵方程，随后对p a d 6 逼近的算法进行了初步的探讨，为提高求 解p a d 6 逼近的精度打下基础 第3 页 上海大学硕士学位论文 第二章二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的迭代算法 在s t i e l t j e s 型连分式插值递推公式的基础上，本章建立了计算s t i e l t j e s 型连分式 插值系数的两个有效的迭代算法，给出了两个实例与1 1 4 】上的实例进行了比较，结 果完全相同给出的迭代算法为连分式插值的存在性定理证明( 由第三章给出) 奠定 了基础同时算法2 也给出了向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的系数b l ( x ，y ) 与系数矩 阵中元素的关系：系数矩阵第f 行的第z ，l + l ，n 列元素和第z 列的第z ，1 + 1 ，礼 行元素就是b l ( x ，y ) 的系数 2 1 二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的递推公式 记插值节点集为z n = ( 玩，鲫) r 2 ：( i ，j ) j ) ，相应的有限值插值向量集为 v n = 仇j i 眈j = v ( x i ，y j ) c d ：( z i ，鲫) z , d 这里指标集 n = 【钆l 钿，j o ；i t ，歹l ；l 住，a ) j = u ( 地庇) ll k 射u ( 惫，1 ) lz k 订) ，l = 0 定义二元向量的s a m e l s o n 逆变换为 。 f 矿伽1 2 ，口0 可- 1 = 1 口= o 。 ，口= 0 ( 2 1 ) i o ，口：o o 其中口+ 表示v 的共轭向量，m 2 表示向量口的模 对于向量口= ( 1 ，0 ，1 ) ，模为川= 以，其s a m e l s o n 逆 ， 移一l = t ，i 砂1 2 = ( 丢，o ，互1 ) 设二元向量值有理函数为 r ( x ，y ) = 渊= 蛙幽 其中p ( 。，y ) c d 是二元d 维向量多项式，q ( z ，y ) 是二元实多项式为了求满足插 值条件 r k ( z i ，协) = r ( 戤，协) q ( 抚，协) = ( ，y j ) ，( 钇，协) 磊 第4 页 上海大学硕士学位论文 k = 1 ，2 ，d 的二兀有理捕僵函数r ( x ，耖) ，将r ( x ，箩) 表不为 ( 训) = 玩( 训) + _ ( z - 耵x o ) ( u - y o ) + + 虻芸萨( 2 2 ) 其中 b t ( 训) = c ( 蜀+ 丽- - x l + + 綦赫 + 揣+ + 砸y - - 而y j l - 1 ( 2 3 ) c ( 置；m + 1 ) + + c ( 五；巧。) p 7 且c ( 五；巧) = c ( x o z l x i ；y o y x 协) 表示二元倒差商，2 = 0 ，1 ，n 当七 歹 时，定义c ( 置；巧) 的递推公式为t c ( z o ；y o ) = 钞( z o ，i o ) ( 2 4 ) c ( x o x l x k ；y o y l 协) = ( z 七一x k 一1 ) ( c ( z o z 七一2 x k ；y o y l 协) 一c ( x o x k 一1 ；y o y l 珊) ) o ( x o x l 吻；y o y l 锹) = ( y k y k 一1 ) ( c ( x o x l ；珈y k 一2 瓤) 一c ( x o x l 巧；珈y k 一1 ) ) c ( x o x , x j ；y o y l 协) = ( x j x j 一1 ) ( 协一阮一1 ) 【d ( z o 巧一2 x j ；y o 珊一2 协) 一 、 一 、 一u ( x o 一吻一1 ；y o 协一2 彩j u ( x o 巧一2 吻；珈协一1 j + c ( x o 一a ；y o 协一1 ) 】 2 2 二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的定义 定理2 1 1 4 1 设t o i 1 i n ，如歹l 矗，向量o ( x i ；y j ) c d ，( x i ，协) z n 如果对( 2 2 ) 中的连分式，o ，可) 从末项起利用向量s a m e s o n 逆( 2 1 ) 逐项向前有理化，则存在d 维向量多项式p ( z ，) 和实多项式q ( x ，y ) 满足； ( 1 ) j k ，o ( x ，) = p ( z ，可) q ( 茹，! ) ； ( 2 ) q ( x ，y ) o ； ( 3 ) q ( x ，y ) l i p ( x ，u ) 1 2 证明当z = 佗时，由阻】知，存在向量多项式1 ( z ) ，y 2 ( x ) 和实多项式d l ( x ) ，d 2 ( x ) ， 使得 嘶m = 器+ 器 第5 页 黔 回 力 q 但 上海大学硕士学位论文 ：d ：( x ) n 2 ( x ) + d 2 ( x ) n i ( x ) ：墨鱼! 尘= 一；。= ? _ d i ( x ) d 2 ( z ) q 钆( z ，y ) 其中 d l l i 1 1 2 ，d 1 0 ，d 2 n 2 2 ，d 2 0 q n ( z ，y ) = d i ( x ) d 2 扛) 0 为实多项式且 i p 1 2 = i 1 1 2 d ；+ i 2 1 2 d + 2 d 1 d 2 1 ：t e ( n i 孵) 则由( 2 8 ) 和( 2 1 0 ) 有q n i i r p 当z = n ，n 一1 ，1 时，假设 ( 舢) = b l ( x , v ) + 黎铲+ + 生篙 对( 2 1 1 ) 从末项起利用s a m e l s o n 逆( 2 1 ) 逐项向前有理化得到 ，z ( z ，y ) = 蜀( z ，v ) q t ( z ，可) ，q l ( z ，) 0 ，( 了f | | 蜀1 2 引入实多项式n ( x ，y ) l 冠( z ，v ) 1 2 = q l ( x ，v ) h ( x ，) 贝9 由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 得 “删) = b f - 1 ( 删) + 生瓷氍产 而一l ( x ，y ) ( z o z 一1 ) ( 秒一y t 一1 ) 冠( z ，y ) d l 一1 ( 写，) 。h ( x ，y ) n z 一1 ( z ，秒) 日( z ，y ) + ( z z z 一1 ) ( 可一y l 一1 ) d l x ( x ，秒) 冠( z ，y ) 一 d f 一1 ( z ，y ) h ( x ，y ) ：墨= ! 鱼! 尘 f 2 1 4 ) q z i ( x ，矽) 、 其中锄一1 ( z ，y ) = d ( z ，可) 日( z ，) 0 为实多项式而从上面b 竹( z ，y ) 的推导过程 知，d l i ( x ，y ) 为一实多项式且 从而由( 2 1 4 ) 得到 d l 一1 ( z ，) 0 ，d z 一1 ( 茹，v ) l l n z l ( x ，v ) 1 2 ( 2 1 5 ) 毋一1 1 2 = i 她一1 1 2 h 2 + 0 一锄一1 ) 2 一们一1 ) 2 d 1 1 l 最1 2 第6 页 动 吣 d 力 却 2 幺。 j j n = ： c c 2 2 2 2 ，k，l，l，l 上海大学硕士学位论文 + ( 。一觋一1 ) ( 3 ，一耿一1 ) h d t 一1 8 2 ( 她一1 j 彳)( 2 1 6 ) 将式( 2 1 3 ) ，( 2 1 5 ) 代人到( 2 1 6 ) 中，得到q f 一1 日一1 i 当z = 1 时，由( 2 1 4 ) 得，o ( x ，y ) = p ( x ，y ) l q ( x ，! ，) 定义2 2 1 4 1 设”( 甄，协) v n 为有限值向量，q ( z ，可) 为二元实多项式， 为平面点集z n 上的二元向量多项式，向量值有理函数 沪渊 = b 。( z ，筝) + 鱼三帮+ + 垒三! 篆杀 p ( x ，y ) ( 2 1 7 ) 其中 b t ( 删) = c ( 西；m ) + 丽x - - x l + + 綦赫+ 丽y - - y l + + 蒹器 2 = 0 ，1 ，n 若，o ( z ，y ) 满足： ( 1 ) q ( x ，y ) i i p ( 。，y ) 1 2 ； ( 2 ) q ( x ，y ) o ； ( 3 ) i l k ( z i ，协) = 最( x i ，y j ) q ( x i ，协) = 口七( 砚，耽) ，( x i ，协) 磊 则称凰，o ( x ，y ) 为基于广义逆( 2 1 ) 的二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值，简记为 b g i r i 由定义2 2 ，显然可以得到 q ( x 。，纨) 0 当且仅当( z 。，玑) z n 。( 2 1 8 ) 且有如下定理 定理2 3 若硪( 瓤，玩) = 1 ( x i ，协) q ( 甄，观) 为二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插 值，则 钉忌( z l ，y j ) q ( x i ，协) 一j k ( z l ，鲫) = 0 ，( z i ，助) z 矗 ( 2 1 9 ) 证明由定义2 2 显然 例2 4 令n = 扎= 1 1 i o = j o = l ；i l = j l = 1 ，插值点及其对应的向量值如下表 瓴，歹 x 0 = 1 x l = 2 y 0 = 1( 0 ，0 ) ( 1 2 ，1 2 ) y l = 2( 0 ，1 )( 1 ，2 ) 第7 页 上海大学硕士学位论文 求冗1 ，o ( 霉，箩) 解记 c ( x o ；y o ) = 如，0 = ( 0 ，0 ) c ( x l ；y o ) = 钞1 ，0 = ( 0 ，1 ) c ( x o ；y 1 ) = v o ，1 = ( 1 2 ，1 2 ) c ( x l ；y 1 ) = 口1 ，1 = ( 1 ，2 ) 由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 知，要求二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值r 1 ，o ( x ，可) ，就必须首先求出 b l ( x ，y ) 的系数； c ( x o ；y o ) = c ( z o ；珈) = 伽0 = ( o ，o ) ， c ( x l ；y o ) = c ( x o x l ；珈) 。而而2 万：1 - - 虿；g o 鬲而2 ( 1 ，1 ) c ( x o ；m ) = c ( 。；珈y 1 ) 。丽而y f l - 碉y o = ( 0 1 ) c ( x ；h ) = c 。z i ；珈暑，) = 虿石i 元f j 灭( x 磊, 石- 西x o = ) ( 刁y , 石- i y o 磊) f f 西而 = ( 1 ，1 ) 得到 。 磊幽= c ( 凰；y o ) + 赤罱+ 砸y - 丽y o = ( 互1 ( z 一1 ) ，丢x + y - 互3 ) b l ( x ，y ) = c ( 托；h ) = ( 1 ，1 ) ， 从而得到二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的1 阶渐近分式 r l , o ( 训) = 坼+ 掣= l ( x y - y , x y + y - 2 ：) ( 2 2 。) 容易验证r 1 ，o ( z 。，y t ) = v ( x 。，玑) ，( ，y t ) z z 一 例2 5 已知数据如下表 求r 2 ，o ( z ，可) t 0 x o20z 121x 2 = 2 y o = 0( 0 ，0 ，0 ) ( 0 ，1 ，1 )( 0 ，- 1 ，1 ) y l = 1( 1 ，0 ，1 ) ( - 1 ，1 ，0 ) ( 1 ，0 ，- 1 ) y 2 = 2( 1 ，1 ，0 ) ( - 1 ，0 ，1 ) ( 1 ，- 1 ，0 ) 第8 页 上海大学硕士学位论文 解由题意知n = 礼= 2j i o = j o = 2 ；i i = j 1 = 2 ；i 2 = j 2 = 2 ) 记 c ( z o ；y o ) 2v 0 ，02 ( 0 ，0 ，0 ) c ( x o ；y 1 ) 2v 0 ，12 ( 1 ，o ，1 )c ( z o ；y 2 ) 5 如，22 【l ，l ，o ) c ( x l ；y o ) = v l ，0 = ( 0 ，1 ，1 )c ( x l ；y 1 ) = t ) 1 ，1 = ( - 1 ，1 ，0 ) c ( z l ；y 2 ) = v l ，2 = ( 一1 ，0 ，1 ) c ( z 2 ；y o ) = 睨，o = ( o ，一1 ，1 ) c ( z 2 ；y x ) = 也，1 = ( 1 ，0 ，一1 ) c ( z 2 ；y 2 ) = v 2 ，22 ( 1 ，一1 ，o ) 分别求2 阶向量值s t i e l t j e s 型连分式插值各阶系数的系数首先求b o ( x ，) 的系数： c ( 凰；y o ) = c ( z o ；y o ) = v o ，0 = ( 0 ，0 ，0 ) 。c ( x - ；y o ) = c ( z 。z t ；珈) 否百i 五暑 褊2 三( o ，1 ，1 ) c ( x 2 ；殇) = c ( x o x l x 2 ；y o ) = 而面丙x 2 j - - x 碉l = 吉( o y - - 3 1 ) c ( x o ；y 1 ) = c ( 砌珈y 1 ) 2 币而y f l - - 碉y o = 扣o ，1 ) c ( x o ；y 2 ) = c ( 孤y o y l 妙2 ) 2 而丽丽y 2 j - - y 碉l 2 扣2 ，一1 ) 其次求b 1 ( z 们的系数。 c ( x ，；m ) = g ( 跏z ，；加可) = 万石i 页f j 夏( x 磊l 瓦- - 万x o = ) ( 刁y l 石- - i y o 磊) f 函灭而 = 扣0 一1 ) c ( 施；m ) = c ( x o x ( x 2 ；蜘夥) = 而面丽再x 2 - - 面x l 面丽万= 弘2 4 ，一7 ) c ( x ；配) = c ( z 。z z ；粤- 抛) = 虿瓦磊磊五面y 万2 = - - 刁y l 丽磊i 而= 吾2 ( 一1 ，2 ，1 ) 最后求b 2 ( x ，y ) 的系数： c ( x 2 ；蚝) = c ( x o x l z 2 ；y o y l y 2 ) ( x 2 一零1 ) ( 耽一y 1 ) ：2 。c ( x o x 2 ；。y 0 4 y 。2 ) 。- c 。( x o x 2 ；y o y l ) 。- c ( x o x 。l ；y 。o y 2 ) + 。c ( x 。o x l ；y 。o y l 。一) ；互2 2 7 、5 ，一3 4 ，一3 3 ) 从而得到 聊剐邛，o ，卅南+ 意南+ 南+ 意南 b ( z ，们= 主( 一1 ，。，一1 ) + 吾蠢南十亨若写南 第9 页 上海大学硕士学位论文 b 2 ( 2 7 ，y ) = 纛( 5 ，- 3 4 ，- 3 3 ) 因而可以解出2 阶向量值s t i e l t j e s 型连分式插值 鼢( 刚) = b o ( 2 7 , y ) + 丽x y + 与怒产( 2 2 1 ) 易验证r 2 ，o ( x 。，y t ) = y ( ，y t ) = ，t ，其中( z 。，y t ) z 2 一 由例2 4 ，例2 5 的求解过程知道，求解二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值j k ，0 ( 2 7 ，y ) 的系数b t ( z ，y ) 的系数c ( 五，巧) 的运算过程比较麻烦，各种倒差商繁琐且不利于记 忆下面的迭代算法解决了这个问题 2 3二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的迭代算法1 构造二元向量值s t i e l t j 鹪型连分式插值的关键是通过递推公式( 2 4 ) ( 2 7 ) 计算 二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的系数，下面介绍一下二元向量值s t i e l t j e s 型连 分式插值系数的迭代算法1 设 n = 如i z o ，j o ；i x ，j r ；i n ，a ) ，i k = 靠，k = 0 ，1 ，n r 2 中的点集n ：茗n 由下表给出： ， ( z o ，珈) ( z o ，1 ) ：( x o ，y n ) ( x l ，y 0 ) ( x l ，y 1 ) 0 1 ，) ( z n ，y o ) ( z n ，y 1 ) ( ，) 称之为矩形网格对n ：i x 竹中的每个点( 2 7 1 ，y j ) 给定d 维向量r i d = v ( x i ，y j ) c d ，并 按上述方式排成向量网格，记为v 似n ： 记c t ( i , j ) 为网格运算后的元素，其中l 表示对变量z 的偏反差商运算次数，m 表示对变量y 的偏反差商运算次数，i 表示变量z 的下标，j 表示变量y 的下标 此时有c ( i , j ) = v i , j 第1 0 页 上海大学硕士学位论文 。 迭代算法1 第一步对任意( 戤，协) l - i ：，掣，令 = 虢j ，i ，歹= 0 ，1 ，2 ，佗 第二步对i = 0 ，1 ，佗；j f = 0 ，1 ，i 一1 ；i j ；t = 1 ，2 ，i 令 当t = j 时，转第四步 c - ( 口i , j k 硒x 丽i - - x t - 1 第三步对j = 0 ，1 ，礼；i = 0 ，1 ，j 一1 ；i 歹，t = 1 ，2 ： c 叫( 1 , 0 = 忑丽x l - - 习2 ：0 丽 c ( 2 ，。, o = 忑丽x 2 - 孤x o 两 c 叫( 2 , 0 2 礤2 叼：2 - - z 1 噶1 = 蕊t 研, 2 - - t , 1 = 丽01蒜1 000 = 三2 ( o ，1 1 1 ) ( ，) 一( ，) p ”7 n 2丙巧雨2(0,-i,1)0-i 1000 ( ，) 一( ，) 2 万0 - 可11 声裔0 万丽。5 ( 0 - 3 ，1 )( ，) 一( ，l 2 ，1 2 ) r 1 = 丽i # 莉2 吾( 5 , 4 , - 7 ) 其中q ，皤j 1 的运算转到第四步进行 第1 2 页 ( 2 2 7 ) 上海大学硕士学位论文 l l 第三步利用算法公式( 2 2 4 ) 计算c 。( i , j ，i j ，k = 1 ，2 ： 噶”2 瓣y l - - y o 碟2 2 研y 2 - - y o 啦2 2 稀y 2 - y l = 而10 而1 000 = 扣o ，1 ) = 一= 一t 1 u il ( ，) 一( ，) 2 r 7 = 两丽= ( 1 ，1 ，o )2 瓦币f 丽2 l kbu 2 而酉0 辆0 3 ( 1 ，2 。1 ) ( 1 ，1 ，) 一( 1 ，1 ) v ”一7 c 2 ) 2 礤y 巧2 - - y 霄l 2 f 再爿隶丽2 - d 2 ( - 1 , 2 , 1 ) 其中皤1 2 的运算转到第四步进行 第四步利用算法公式( 2 2 s ) 计算窖，k = 1 ，2 ： 2f 币面= 丙币产可万矿丽2 虿1 ( 一1 ，o ，_ 1 ) q i 。硪f 可乒刁万研r ，u o ，0一u o 。ou o ，o下u 0 ，o 2 耳- 1 丽01 f 丽01 而1 气1 玎1 币0 丽0 丽00 。2 ( 。1 ，。，o )(，) 一( ，) 一( ，) + ( ，) 、 11 q 1 2 葡虻谣万弼万研fu 0 ，ol o ，ou o ，0广u o 。o 2 面0 f - 1 正) 酉0i 示瓦可01 f 而00 丽0 - 二5 ( o ，l - 3 )( 1 ，一( ，一l ，1 ) 一( 1 ，) 一( ，) v 吖 。面面=丙看二酉丽再丽丽2(0,-2,-2-1 0- 10000 ) ( 1 ，) 一( o ， ，1 ) 一( 1 ，l ，) + ( ，) 7 门( 2 ，2 ) ( x 2 一x 1 ) ( y 2 一y 1 ) ，r 2 硪虻谣f 刁f 历u 1 ，1一u 1 。1一u 1 ，1 - ru 1 ，1 1 = ： 广r 一 ( 0 ，- 2 ，- 2 ) 一 ( o ，1 ，一3 ) 一( 一1 ，一1 ，0 ) + ( 一1 ，0 ，一1 ) = 翥( 5 ，一3 4 ，一3 3 ) 注：在上面的运算过程中，第二步、第三步中的计算，用到了第四步中计算的 结果，正好也体现了算法1 中的第二步、第三步的转到第四步的结论 这里求解出的局( z ，) ，z = 0 ，1 ，2 的系数嘴 与例2 5 求解出的系数g ( 五，巧) 完全相同，从而可以得到完全相同的b f ( z ，) ，所以计算出来的二元向量值s t i e l t j e s 第1 3 页 遄抄揲 孺赫犁翁p 一味 喇j 皤 上海大学硕士学位论文 型连分式插值的2 阶渐近分式 1 ：1 2 “删) = 眦+ 丽x y + 与尝泸 与( 2 2 0 ) 也完全相同，从而说明迭代算法1 是正确的 2 4 二元向量值s t i e l t j e s 型连分式插值的迭代算法2 ( 2 2 8 ) 为了便于计算，常常希望能通过类似于矩阵的初等变换的运算来计算网格上的 向量，即希望通过差商直接对数表计算下面给出的所谓矩阵算法可以达到这样的 效果 为了叙述方便，我们这里的编号采用与c ( i , j ) 的上标 ，歹相同的编号，即从0 开 始计数，直到n 结束下面的运算过程中提到的第0 行( 列) 就是我们经常所说的第 1 行( 列) 迭代算法2 第0 步令c 叩( i , j = v i , j , i ，j = 0 ，1 ，n ，将给定的向量础排成一个初始矩 阵 嘟o 嘶c o c ，, 2 1 “舅n ( 2 2 9 ) 从第0 步得到连分式系数 味：；o ) ( 2 3 0 ) 第1 步将矩阵( 2 3 0 ) 的第1 ，2 ，扎行( 列) 的第0 列( 行) 元素与第0 行( 列) 的第0 列( 行) 元素相减( 即作一次倒差商运算) c 州( s , o k 礤x 叼s - - x 0 ， c 0 0 ，, 。2 硪y 叼t - - y o ， 8 = 1 ，2 ，n t = 1 ，2 ，钆 其余元素与第0 行、第0 列的元素作递推公式( 2 7 ) 运算，即以该元素与诺o 构成 第1 4 页 嘲 哟 仉p l p 乏归 诺诺“ 刁 m p k p p 诺诺罐 ” d d q p l p 置p 诺诺诺 0 o 0 q 如u 徊幻徊喘咄咄 上海大学硕士学位论文 矩形的四个角上的元素作一次当i = 歹时的倒商差 p ( s ，t ) 一 u 1 1 一 得到如下新矩阵 ( z 。一z o ) ( 玑一珈) 【c 5 譬+ c o ( o ，, o 】一【毹分+ c o ( o ，, l 。】 g u u ( o , o ) 0 叫( 1 , 0 ) c ( 2 ，。, 0 ) 嘴1 8 ，亡= 1 ，2 ，礼 c o n ) j n d n d 名o d 了1 讲3 d 了n 从第0 步和第l 步得到连分式系数 rp ( o o ) i u o ，0 i 一( 1 ，o ) lu 1 。0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 第2 步将得到的新矩阵( 2 3 1 ) 的第2 ，3 ，n 行( 列) 的第0 , 1 列( 行) 元素与 第1 行( 列) 的第0 , 1 列( 行) 对应位置的元素分别相减( 即同样作一次倒差商运算) z s x l c ( s ，厍, k 一c r 玑一y 1 门( 七，t )p ( ，1 ) 。 v 知，1一l 七，1 8 = 2 ，n ，k = 0 ，1 t = 2 ，n ，七= 0 ，1 其余元素与第1 行、第1 列的元素作递推公式( 2 7 ) 运算，即以该元素与讲j 1 构成 矩形的四个角上的元素作一次当i = 歹时的倒商差 p ( 8 ，t ) 一 u 2 2 一 得到如下新矩阵 ( z 。一z 1 ) ( 犰一可1 ) 叫譬+ d 1 1 】_ 叫1 1 + d x 。】 诺o d 之o 7 2 ( o ) 噬o c u ，( o , 2 ) c 5 2 之2 乏2 维3 d 3 ) 嘎之3 d 乏3 s ，t = 2 ，n p ( o ，n ) 。o