（计算数学专业论文）子空间迭代法的加速与预处理技术.pdf

摘要 本文研究求解大型对称矩阵特征值问题的子空间迭代法。为了加速子空间迭代法 的收敛性，我们应用c h e b y s h e v 多项式与预处理技术，得到了两个新的改进算法。 第一个改进算法是用c h e b y s h e v 多项式加速的子空间迭代法，它是用c h e b y s h e v 多项式作用初始向量使其更接近所要求的特征向量。第二个改进算法是对每次迭代 所得的残余矩阵直接进行预处理以改善矩阵特征值的分布。 本文分析了这两个改进算法的收敛性，给出了数值试验的结果，并将新方法与原 始子空间迭代法进行了比较。数值试验结果表明用c h e b y s h e v 多项式与预处理技术加 速的子空间迭代法比原始子空间迭代法优越。 关键词：对称矩阵，特征值，特征向量，子空间迭代法，c h e b y s h e v 多项式，预处理 技术。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h es u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o df o rs o l v i n gl a r g es y m m e t r i c e i g e n p r o b l e m s i no r d e r t oa c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n c er a t e ，w ei m p r o v et h eo r i g i n a l m e t h o dw i t hc h e b y s h e v p o l y n o m i a l sa n dp r e c o n d i t i o n i n gt e c h n i q u e s ，a n dp r e s e n t t w on e w a l g o r i t h m s 。 t h ef i r s to n eo ft h en e wa l g o r i t h m si st h ea c c e l e r a t e ds u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o db y u s i n gc h e b y s h e vp o l y n o m i a l s t h em a i np a r to ft h i sh y b r i da l g o r i t h m i sac h e b y s h e v i t c m t i o nw h i c ha p p l i e sc h e b y s h e vp o l y n o m i a l st oa c to ni n i t i a lv e c t o r sa n dm a k e st h e o b t a i n e dv e c t o r sc l o s et ot h ew a n t e de i g e n v e c t o r s ；t h es e c o n do n ei st h ep r e c o n d i t i o n i n g s u b s p a c e i t e r a t i o nm e t h o dw h i c hu s e sap r e c o n d i t i o n i n gm a t r i xt oi m p a c tt h er e s i d u a l m a t r i xo b t a i n e df r o mt h ei t e r a t i o n p r o c e d u r e ，s o t h ed i s t r i b u t i o no fe i g e n v a l u e s i s i m p r o v e d w e a n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo f t h en e wm e t h o d sa n dg i v es o h er e s u l t so fn u m e r i c a l e x p e r i m e n t si nw h i c hw ec o m p a r et h en e w m e t h o d sw i t ht h eo r i g i n a ls u b s p a c ei t e r a t i o n m e t h o d o u rn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ea c c e l e r a t e ds u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o db y u s i n gc h e b y s h e vp o l y n o m i a l sa n dt h ep r e c o n d i t i o n i n gs u b s p a c e i t e r a t i o nm e t h o da r e s u p e r i o rt ot h eo r i g i n a ls u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：s y m m e t r i cm a t r i x ，e i g e n v a l u e ，e i g e n v e c t o r , s u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o d ， c h e b y s h e vp o l y n o m i a l ，p r e c o n d i t i o n i n gt e c h n i q u e 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 矩阵特征值和特征向量的计算是数值线性代数的基本问题之一其研究具有重要 的理论意义和巨大的应用价值。对求解中、小型矩阵特征值问题已有一些经过理论分 析和实践检验的有效数值方法例如j a c o b i 方法和q r 方法等。随着科学研究和工 程技术的不断发展，人们需要对诸如飞机、航天飞机、空间站、海洋石油钻井平台等 大型复杂结构进行动力分析和稳定性分析一个复杂结构的动力分析和稳定性分析可 转化为大型稀疏矩阵的特征值问题。求解大型矩阵特征值问题在许多科学研究、工程 技术等实际问题中有着举足轻重的作用。最近二十多年，大型矩阵特征值问题的数值 计算已取得了许多重要进展。九十年代后期以来，大型矩阵特征值问题的加速技术和 预处理技术已成为数值代数领域的热门研究课题。 对求解大型对称矩阵的特征值问题，目前，最常用的方法有子空间迭代法、l a n c z o s 方法、d a v i d s o n 方法等。人们己对d a y i d s o n 方法和l a n c z o s 方法的收敛性和稳定性 作了深入细致的研究并给出了一些变形，例如，广义d a y i d s o n 方法、j a c o b i d a v i d s o n 方法、d a v i d s o n - - l a n c z o s 方法以及用c h e b y s h e v 多项式进行加速的l a n c z o s 方法等。这些新方法在一定程度上加速了算法的收敛性，优越于原始的方法。 子空间迭代法是求解大型对称矩阵特征值问题的有效方法之一它的优点是可靠 性高。但当要求的特征值与不要求的特征值之间的间隔很小时，子空间迭代法的收敛 速度很慢，从而运算量很大。因此有必要对子空间迭代法作进一步的研究，加速它的 收敛性，提高算法的有效性。 因为子空间迭代法的收敛速度依赖于特征值的分布和初始向量的选取，我们从两 方面考虑加速子空间迭代法的收敛性。一方面，根据c h e b y s h e v 多项式的性质，用 c h e b y s h e v 多项式作用于每次迭代所得的r i t z 向量，使它们更接近于要求的特征向 量，从而加速子空间迭代法的收敛性；另一方面，根据求解大型线性方程组迭代法的 预处理思想，利用预处理矩阵作用于每次迭代所得的残余矩阵，从而改变矩阵特征值 的分布以加速收敛。 本文提出了用c h e b y s h e v 多项式加速的子空间迭代法( c h e b y s h e v - 子空间迭代 法) 和用预处理技术加速的子空间迭代法( 预处理子空间迭代法) ，并对新方法进行 了理论分析和数值试验。 本文的主要工作如下： ( 1 ) 对求解大型稀疏对称矩阵特征值问题的子空间迭代法，提出了求解大型稀 疏对称矩阵特征值问题的c h e b y s h e v 多项式加速的子空间迭代法( c h e b y s h e v 一子空 间迭代法) ，讨论了c h e b y s h e v 迭代在c h e b y s h e v - 子空间迭代法中迭代次数的选取问 题，并研究了c h e b y s h e v 一子空间迭代法的收敛性问题。 ( 2 ) 研究了求解大型对称矩阵特征值问题的预处理技术及其对子空间迭代法的 子空问迭代法的加速与预处理技术 应用，提出了预处理子空间迭代法，讨论了预处理矩阵的选择问题，给出了预处理子 空间迭代法的收敛分析。 ( 3 ) 对c h e b y s h e v 多项式加速的子空间迭代法和预处理子空间迭代法进行了数值 试验，并将数值结果与原始子空间迭代法进行了比较。数值结果表明，即使对要求的 特征值与不要求的特征值分离很小的问题，c h e b y s h e v 多项式加速的子空间迭代法和 预处理子空问迭代法都优于原始子空间迭代法。 2 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章r a y l e i g h - r i t z 逼近的相关理论 在本文中所有算法的执行过程中，都应用r a y l e i g h - - r i t z 过程求大型对称矩阵的 近似特征值和近似特征向量，所以我们在本章中先给出r a y l e i g h - - r i t z 逼近的有关 理论。 2 i 记号和约定 在这一节，我们给出本文所涉及到的记号和约定。 我们用尺“表示实数域上维向量空间r 脚”表示所有n x m 实矩阵的全体。大 写的字母表示矩阵或线性算子，小写字母表示向量，小写希腊字母表示数。 x 7 和7 分别表示向量石和矩阵x 的转置。 对阶矩阵a = ( 口。) ，i f 5 d i a g ( a ) = d i a g ( a a 2 2 ，m ) 。 设a 是n n 实对称矩阵， 表示a 的第i 个特征值，a 的特征值排列次序为 i 如- ， 任何对称矩阵的特征向量均取为规范化的正交特征向量。特别地取a 对应于特 征值 如“的规范化正交特征向量为而，x ：，工， i l ：表示向量2 - - 范数或矩阵2 一范数，怕忙表示矩阵a 的f m b e n i u s 范数。对 4 = ( 呀) 尺“，怕】l = 。要替。j 嘞j 是一种特殊的矩阵范数 ，表示阶单位矩阵。在不产生混淆时，用，表示单位矩阵。 m g s 表示m o d i f i e d g r a ms c h m i d t 正交化过程。 列正交规范矩阵口r ”是指满足性质q 7 q = ，。的矩阵。 x 上y 表示向量x 与j ，正交，而工上u r “表示向量工和u 的各列及各列所张成 的子空间正交。 如果而，x - 2 ，x 。是m 个维向量，则z = ( 而，x 2 ，x 。) 是一个n x m 矩阵，其中 工，表示z 的第，列。类似地，如果z ，盖2 ，k 是小个。p 矩阵，则 3 子空间迭代法的加速与预处理技术 z = ( i ，2 ，x 。) 是一个n ( p 加) 矩阵， 如果z = ( 工i ，石2 ，工。) ，则s p a n ( x l ，工2 ， 空问。 三的前p 列是x 。 ，r ，) 或s p a n ( z ) 表示z 的列所张成的子 2 2r a y l e i g h - - r i t z 逼近的相关理论 a 是r “”中的一个实对称矩阵，它将r “映射成月”。 定义2 2 1 设s 是月”中的一个m 维子空间_ v ) ，a 对s 的限制是算子 a ：s 斗s ，其定义为：对任何z s ，2 x = 石，a x ，其中石，是对s 的正交投影。 设q 是n m 列正交规范矩阵，其列形成s 的一组规范正交基则 石。= q q ， 因此，对任何工s ，有石，x = 工。故 a x = 石，a x = 丌，a x ，x = q q r a q q 7 x = q h v 其中h = q 7 a q ，v = q 7 x 。 若q 是n x m 列正交规范矩阵，s = s p a n ( q ) ，则r a y l e i g h 商矩阵 p ( q ) = 0 7 一q = h 是在由q 所确定的s 的基下限制j 的矩阵表示。 定义2 2 2 设a 是j v 阶实对称矩阵q 是n m 列正交规范矩阵，令 h = q 7 彳q 设为h 的特征值，为相应的特征向量，称为a 在子空间s = s p a n ( q ) 中的r i t z 值，q = 9 ，为相应的r i t z 向量。u 和q 对a 的特征值和特征向量的逼近，称为r a y l e i g h r i t z 逼近。 定理2 2 1 。1 子空间s = s p a n ( q ) 中的r i t z 值肼和r i t z 向量g 巾= l ，珊) 是j 的 特征值和特征向量。 如果s 是a 的一个m 维不变子空间，o g z m s 的正交规范基为列所构成的矩阵， 4 南京航空航天大学硕士学位论文 则必有m m 矩阵h ，使 只= a q 一叫= 0 显然矩阵片是爿对s 的限制算子j 的矩阵表示，| e ，的特征值都是a 的特征值 j 的特征值和特征向量都是a 的特征值和特征向量。 若s 不是a 的不变子空间，q 仍已为其正交规范基为列所构成的矩阵，对任何 m x m 矩阵b ，相应的剩余为 r ( b ) = a q q 口 一股说来- r ( b ) 的范数不再为零。显然，若8 r ( b ) l i ：越小，说明s 越接近于a 的不变 子空间，万的特征对越接近于a 的特征对；反之，若i i r ( b ) i i ：很大，况明s 远离a 的 不变子空间，从而j 的特征对一般不是a 的特征对的较好近似。 关于剩余忙( 口) 忆有如下结论。 定理2 2 2 州对上述n x m 列正交规范矩阵q ，则对任何棚m 矩阵b ，有 j l r w ) l l ：l i r ( b ) i i ： 其中h = q 7 a q 。 定理2 2 2 说明当h = 0 7 a q 时，剩余范数忙( 占) 0 ：达到最小。因此r a y l e i g h - - r i t z 逼近是一种最佳逼近。 定理2 2 3 设a 是n 阶对称矩阵，其特征值为 ，五：，2 。，q 是n m 列正交 规范矩阵b 是n , i 阶对称矩阵其特征值为“，段，“。如果 r ( b ) = a q q b 则可咀找到册个不同的自然数i ，i ：，使得 i 九、一h ki - ，+ l 。a 相应的标准正交特征向量为x ix 2 ，x ，。设p 是正整数，且， p 丑p + 1 _ 。z 若对所有的月o ，只( ) 0 ( f = 1 , 2 ，p ) ，且对所有 【扎， ，+ - 】， 烛陋( ) 只( ，) 1 = 0 ( f - 1 2 一，p ) 则称多项式序列 只( ) ) 是a 一强一致收敛的。 初始矩阵z 。可表示为 z 。= 立。c + 童2 d ( 3 2 2 ) 其中j 。= i x 。，x ：，x 。】，j 2 = x p + l ，z 2 ，h 】，c 是p 阶矩阵，d 是( 一p ) 。p 矩阵则 z = p , ( a ) z o ；j l a l c + j 2 a 2 d ( 3 2 3 ) 其中a 【= d i a g ( & ( ) ，只( 五，) ) ，a l = 硪昭( 只( a 川) ，只( 卫”。 鼻 南京航空航天大学硕士学位论文 定理3 2 1 设h 是n 阶实对称矩阵，矩阵序列 z 。) 由( 3 2 1 ) 定义初始 矩阵z o 由( 3 2 2 ) 式表示且f 非奇异。若 只( 丑) 是a - 强一致收敛的多项式序列， 则 z 。( a l c ) = 譬l + r ( n ) 2 2 人2 d c l a i l r 一1 ( 门) ( 3 2 4 ) 且 ! i mj z 。( a 。c ) 一一刘：= o ( 3 2 5 ) 其州俨m 。a 洲x m a x l 器卜 假定有实数a ，6 使得 z p b 丑p + 1 _ 亢d ( 3 2 6 ) 定义线陛函数f ( 2 ) = ( 2 2 一口一b ) ( b a ) ，则特征值问题f ( a ) x = 矿x 有特征值 痧= f ( ) ，( f = 1 ，) ( 3 2 7 ) 并且识九 l 庐。“2 一l ，相应的特征向量与a 的特征向量相同。 设瓦( 五) 是第一类k 次c h e b y s h e v 多项式，令 只( ) = 瓦( f ( 五) ) 瓦( f ( 兄。) ) ( 3 2 8 ) 序列 只( ) 是舟强致收敛的，并且 r ( n ) 1 p + l 九- 1 ( 3 3 1 ) 设瓦( ) 是第一类k 次c h e b y s h e v 多项式，则特征值问题 耳( f ( 一) ) x = f x( 3 3 2 ) 的特征值为f f = 瓦( 谚) o = 1 ，) ，而相应特征向量的保持不变。 1 n 南京航空航天大学硕士学位论文 令 只( 一) = 瓦( f ( 一) ) ，瓦( ，( 。) ) ( 3 3 3 ) 作块c h e b y s h e v 迭代法 x t = 只( 一) x o ( 3 3 d ) 其中并。为初始矩阵。 初始矩阵x o 可表示为 x o = j c + k ：d ( 3 3 5 ) 其中j 。= h ，z ：，一，x ，】，j ：= 【z ，x ：，x 。】，f 是p 阶矩阵，口是( j v p ) p 矩 阵a 假定c = c 。】( f ，j = 1 , 2 ，p ) 非奇异，则( 3 3 5 ) 可变形为 牙1 = x o c 一一卫2 d c 一 ( 3 3 6 ) 定义 = 童+ j ：d c 一 则五，满足关系式 j 。= w o c ( 3 3 7 ) 如果选取初始矩阵o 使8 d f f ：很小，贝q s p a n ( x 。) 很接近印删( 膏) 。由定理3 2 1 和定理3 2 2 知，块c h e b y s h e v 迭代法( 3 3 4 ) 产生的x i 会使# 阳h ( j 女) 更接近 s p a n ( k , ) 。 下面我们考虑块c h e b y s h e v 迭代法的收敛情况。 令 x 。= 只( 一) 以 ( 3 3 8 ) 吼= p a a ) w o ( 3 3 9 ) 记 t = 【工 x 致，x 】，吼= 【w f “，硝“，哕】，e = d c = ( 气) 子空间迭代法的加速与预处理技术 则 从而 则 记 甲= d i a g ( r l 【“，f 器，】) f 萝，瑶ld i a g ( r ，( ) l ，- ，f # ) f 畋= j 巧+ j 2 碍e 以= 暇c ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) 暇( 正1 ) 一= p 。+ j 2 砖e ( 正1 ) 一1 ( 3 3 1 2 ) r 性= 霹”e ( i ”) 一= ( 0 ) i = 1 ，一p ，j = 1 ，p 由c h e b y s h e v 多项式的性质，得 lf 嚣i 62 五p + i 丑2 0 我们要求a 的，( 通常， _ ，) 个标准正交向量x ：o 0 = 1 , 2 ，m ) ，令x o = 【x f “，x 】； 2 ) 对k = 0 , 1 ，2 ，执行如下计算 2 1 ) 计算4 = ( 工) 7 a x ”，并求m 阶矩阵4 的特征值群卵和 相应的特征向量，p ，y ，计算r i t z 向量g 尹= z j ，p ，如果 肛g r 一嘭”g 少j l ：s 则停止；否则，i a y , = 【j ，一* e ”1 j ，进行下 一步； 2 2 ) 取对称正定矩阵 以为一一纠”，的近似，并计算c h o l e s k y 分解 m i = l k 茸 2 3 ) 构成矩阵 南京航空航天大学硕士学位论文 n k = 三：1 ( 一一口! ，) 上：7 ( 4 2 1 1 ) 2 4 ) 取初始矩阵誓x 丘，应用子空间迭代法求矩阵m 的m 个最小特征 值卢茎0 1 和相应的特征向量z p ，z 竺，令t = 【z r ，z 2 ； 2 5 ) 令x “1 = m g s ( l - - 7 五) 。 关于算法4 2 2 ，作如下说明： 1 【2 8 中关于预处理矩阵的选取策略完全适用于算法4 2 2 。 2 如果要求对称矩阵a 的，个最小特征值和相应的特征向量，只需将算法4 2 2 中，从1 到，执行，次。 4 3 数值例子 本节给出应用预处理子空间迭代法计算对称矩阵a 的若干个最小特征对的一些数 值例子。在以下例子中，m 表示初始矩阵的列数，占表示r i t z 值口：和相应的r i t z 向 l q l 作为一的特征对时其残量范数的误差界。预处理子空间迭代法的f o r t r a n 计 算程序名用y u s u b 表示。数表中i t n 表示迭代的次数，m v n 表示矩阵和向量的乘 积次数，c p u 表示运行程序所用的时间( 单位秒) 。 为了将本节的数值结果和第三章的数值结果相比较，我们计算矩阵一的最大特征 对。如果要求矩阵一的最小特征对，只需在计算程序中将矩阵2 , 1 替换成一a 即可。 例4 3 1a 是1 1 0 阶的对称矩阵 a = 4一l 一141o l4 1 014 1 14 取州= 8 ，s = 1 0 ，用算法4 2 2 计算a 的4 个最大特征对，其结果见表4 3 1 。 子空间迭代法的加速与预处理技术 表4 3 1 例4 3 1 的计算结果 程序名特征值残量范数 i t nm v n c p u ( s ) “= 5 9 9 9 1 9 9 0 1 4 2 1 8 1 5 9 8 4 e 一0 5 t2 = 5 9 9 6 7 9 6 6 9 8 4 4 2 3 1 2 4 4 e 一0 6 y u s u b 87 2o 6 6 3 = 5 9 9 2 7 9 4 9 7 7 1 2 4 5 5 1 8 2 e 0 6 。= 5 9 8 7 1 9 7 0 5 5 17 1 7 4 2 4 9 e 0 6 i = 5 9 9 9 1 9 8 8 4 9 9 9 8 9 8 2 6 e 0 5 2 = 5 9 9 6 7 9 6 6 9 8 7 9 2 2 9 4 5 占一0 6 s u b s p 1 1 7 l8 3 4 72 4 7 t 3 = 5 9 9 2 7 9 4 9 7 5 9 9 1 0 0 2 6 e 一0 6 p 。= 5 9 8 7 1 9 7 0 5 4 9 9 9 2 5 1 6 e 0 6 例4 3 2a 是1 0 2 4 阶矩阵 a = 1 61 56一l 一1 52 2一1 661 2 2 一1 661 对称2 2 1 6 6 2 2 一1 5 1 6 取聊= 1 2 占= i e 一0 6 ，用算法4 2 2 计算6 个最大特征对，结果见表4 _ 3 2 。 表4 3 2例4 3 2 的计算结果 程序名特征值残量范数nm 、僵i c p u ( s ) ，= 6 7 9 9 9 5 3 9 6 9 3 9 2 7 7 3 3 2 0 占一0 7 u ，= 6 7 9 9 8 1 5 8 7 9 2 55 3 0 0 8 0 1 e 一0 7 ，= 6 7 9 9 5 8 5 7 3 4 7 16 2 3 1 5 7 3 占一0 7 y u s u b8 41 0 2 01 1 9 6 3 t 。= 6 7 9 9 2 6 3 5 4 4 2 63 5 1 3 0 6 0 e 一0 7 。= 6 7 9 8 8 4 9 3 1 9 8 48 9 7 6 0 1 0 e 一0 7 。= 6 7 9 8 3 4 3 0 7 6 7 6 7 0 4 8 0 0 2 e 一0 7 t ，= 6 7 9 9 9 5 3 9 8 29 9 9 8 9 1 5 e 一0 7 t ，= 6 7 9 9 8 1 5 8 9 69 9 9 9 0 8 7 e 一0 7 “，= 6 7 9 9 5 8 5 7 7 8 9 9 9 7 9 6 7 e 一0 7 s u b s p2 4 6 7 8 1 9 4 5 6 31 3 4 2 4 3 肌= 6 7 9 9 2 6 3 6 0 6 9 9 9 9 1 0 3 e 0 7 。= 6 7 9 8 8 4 9 4 1 59 9 9 9 2 6 1 e 一0 7 t 6 = 6 7 9 8 3 4 3 2 0 4 9 9 9 9 3 2 3 e 0 7 南京航空航天大学硕士学位论文 例4 3 3 a 是1 2 0 0 阶的对称矩阵 a = 10 50 5 0 520 5 0 530 5 0 5 o 5 刀一10 5 o 5拧 取m = 8 ，s = 1 e 一0 5 ，用算法4 2 2 计算4 的4 个最大特征对，其结果见表4 _ 3 | 3 。 表4 3 3例4 3 3 的计算结果比较 程序名 特征值残量范数i t n n 仆j c p u ( s ) i = 1 2 0 0 2 2 5 6 0 7 1 2 8 6 9 5 0 3 9 0 e 一0 7 p 2 = 1 1 9 9 0 2 3 5 0 11 0 7 3 9 5 7 9 4 7 e 一0 6 y u s u b4 94 0 03 0 7 5 , u 3 = 1 1 9 8 0 0 1 0 7 6 1 9 5 3 3 0 9 5 7 3 e 一0 6 u 4 = 1 1 9 7 0 0 0 0 2 3 7 6 83 1 9 2 7 0 8 e 一0 6 一1 = 1 2 0 0 2 2 5 6 0 7 1 9 9 9 8 8 4 6 e 一0 6 2 = 1 1 9 9 0 2 3 5 0 1 1 1 4 2 8 8 6 6 e 一0 6 s u b s p2 8 8 52 0 8 1 01 0 9 2 5 ，= 11 9 8 0 0 1 0 7 6 2 9 9 0 0 7 0 8 e 一0 6 肌= 1 1 9 7 0 0 0 0 2 3 89 9 6 1 5 1 9 e 一0 6 由第三章和第四章中的数值例子的结果相比较可见，当要求的特征值比较密集，而 不要求的特征值分离较好时，c h e b y s h e v - 子空间迭代法和预处理子空间方法都比子空 间迭代法收敛得快，并且减少了计算量和c p u 时间，特别是当矩阵的阶数较高时，效 果更明显。因此，c h e b y s h e v - 子空间迭代法和预处理子空间迭代法都改进了原始的子 空间迭代法，都是求解大型稀疏对称矩阵特征值问题的有效方法。 子空间迭代法的加速与预处理技术 结束语 子空间迭代法是求解大型对称矩阵特征值问题的重要方法。对某些大型对称矩阵， 当要求的特征值与不要求的特征值分离较差时，子空间迭代法的收敛速度会很慢。为 了加速子空间迭代法的收敛性，本文研究子空间迭代法的加速技术和预处理技术。 本文在第三章中利用c h e b y r s h e v 多项式的性质，将块c h e b y s h e v 迭代法应用于子 空间迭代法，给出了c h e b y s h e v - 子空间迭代法，即先进行若干步块c h e b y s h e v 迭代法， 再用所得的结果进行子空间迭代法，以加速子空间迭代法的收敛性。这种方法也就是 利用c h e b y s h e v 多项式对初始向量进行预处理使所得的向量更接近于所要求的特征 向量，从而达到加速收敛的目的。 第四章在特征值问题已有预处理技术的基础上，并根据子空间迭代法的计算过程， 研究了子空间迭代法的预处理技术。对矩阵进行预处理，改变矩阵特征值的分布，以 加速子空间迭代法的收敛性，从而得到了预处理子空间迭代法，并从理论上分析了子 空间迭代法的预处理技术是有效的。 本文对c h e b y s h e v 子空间迭代法和预处理子空间迭代法进行了大量的数值试验， 结果表明，子空间迭代法的c h e b y s h e v 多项式加速技术和预处理技术都能加速子空间 迭代法的收敛性，并且减少了计算量和计算时间。 本文对求解大型对称特征值问题子空间迭代法的加速技术和预处理技术进行了较 深入的研究，但仍有许多问题值得进一步研究和探讨，例如，如何最佳地选取预处理 矩阵，如何将标准对称特征值问题子空间迭代法的加速技术和预处理技术推广到广义 对称特征值问题，如何将对称特征值问题子空间迭代法的加速技术和预处理技术推广 到非对称特征值问题。今后，作者将对这些问题作进一步研究。 南京航空航天大学硕士学位论文 参考文献 【1 】b a u e rfl d a sv e r f a h r e nd e rt r e p p e n i t e r a t i o nu n dv e r w a n d t ev e r f a h r e nz u rl o s u n g a l g e b r a i s c h e re i g e n w e r t p r o b l e m e j z a m p , 1 9 5 7 ，8 ：2 1 4 - 2 3 5 【2 】j e r m i n g s a ad i r e c ti t e r a t i o nm e t h o do fo b t a i n i n gl a t e n tr o o t sa n dv e c t o r so fa s y m m e t r i cm a t r i x j p r o c c a m b p h i l s o c ，19 6 7 ，6 3 ：7 5 5 7 6 5 【3 c l i n t ma n dj e n n i n g sa t h ee v a l u a t i o no fe i g e n v a l u e sa n d e i g e n v e c t o r s o fr e a l s y m m e t r i cm a t r i c e sb ys i m u l t a n e o u si t e r a t i o n j c o m p j ，1 9 7 0 ，1 3 ：7 6 8 0 【4 r u t i s h a u s e rh c o m p u t a t i o n a la s p e c t so f el b a u e r ss i m u l t a n e o u si t e r a t i o nm e t h o d j n u m e r m a t h ，1 9 6 9 ，1 3 ：4 1 3 5 】r u t i s h a u s e rh s i m u l t a n e o u si t e r a t i o nm e t h o df o rs y m m e t r i cm a t r i c e s ( j 】n u m e r m a t h ，1 9 7 0 ，1 6 ：2 0 5 2 2 3 6 周树荃，戴华求解大型对称矩阵特征值问题的块c h e b y s h e v l a n c z o s 方法 j 南京航空学院学报，1 9 8 9 ，2 1 ( 4 ) ：2 2 - 2 8 7 王岩青求解大型对称特征值问题的迭代块j a c o b i d a v i d s o n 方法 d ： 学位论 文 南京：南京航空航天大学，1 9 9 8 8 杜玉越求解大型对称矩阵特征值问题的迭代块d a v i d s o n - l