（理论物理专业论文）对两分量玻色爱因斯坦凝聚中的解析研究.pdf

摘要 玻色爱因斯坦凝聚是近几十年来被广泛关注的课题。它不仅提供了 一个研究量子力学基本问题的宏观系统，而且在原子激光，量子计算等 领域有着光明的应用前景。本文在平均场理论的框架下以g r o s s p i t a u e v s 蛐 方程为主要模型，对两分量玻色一爱因斯坦凝聚作了解析研究我们的 研究内容主要有两个，一个是关于由不同质量的原子组成的两分量玻色 爱因斯坦凝聚的精确非定态精确解；另一个是关于两分量玻色爱因斯 坦凝聚中的暗孤子的相互作用。 全文共分为四章。第一章为绪论，主要内容有五点：一是介绍了玻 色一爱因斯坦凝聚的提出背景及基本理论；二是介绍了玻色一爱因斯坦 凝聚的实验实现原理及研究进展；三是对两分量玻色一爱因斯坦凝聚作 了介绍；四是对处理玻色爱因斯坦凝聚的一个有效而简便的方法，即 g r o 睁p i t a e v s l 【i i 近似或者说平均场近似作了简明的推导；五是对本文的主 要工作作了简单的概括。 第二章中，我们主要做了两个方面的工作：一是得到了一系列由不同 质量的原子组成的两分量玻色爱因斯坦凝聚的非定态精确解，并对解 进行了明确的分类二是利用所得的精确解，探讨了原子速度和原子流 密度的有趣行为我们发现若调节两个激光驻波满足一定条件，当其一 个分量的原子速度总是周期而有限的时候，另一个分量的原子速度可以 趋于无穷。另外我们还发现这两个分量的凝聚体总是以激光驻波的频率 作周期振荡，并且可以通过调节实验参数来控制b e c 原子的运动 在第三章中，我们研究了两分量玻色爱因斯坦凝聚中的暗孤子的相 互作用。首先我们利用试探法找到了一个处于平衡态的两分量玻色一爱 因斯坦凝聚的精确暗孤子解。接着我们在孤子处于平衡态的精确解基础 上对处于微扰态下的孤子运动方程作了合理的拟设，并利用最小作用量 原理得出了一系列确定拟设参数的微分方程最后，我们利用有效势探 讨了暗孤子间的相互作用，我们发现当9 。 o 时，这两个暗孤子相互排 斥；而当仇。 o ，t h et w os o l i t o 璐 r e p u l s ee a u c ho t h e r ；w h i l ew h e n9 1 2 p 这就是说，理想气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量 低能级为能量的零点即印= o ，则( 1 2 ) 可以表为 化学势由公式 吾万嘉呵= 苦一y 年e ( 矗一p ) 口t 一1y 。 ( 1 2 ) 如果取最 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 硕士学位论文 确定为温度t 及粒子数密度n = y 的函数。注意毛与温度无关，在粒子 数密谋y 给定的情况下，温度愈低由式( 1 4 ) 确定的p 值必然越高( 川 愈小) 如果将式( 1 4 ) 的求和用积分代替，可将之表达为 紊( 2 m ) 3 2 2 0 0 斋一 ( 1 5 ) 其中用到了热力学统计物理中的结论【3 ：在体积y 内，在e 到5 + 如的 能量范围内，自由粒子可能的状态数为 酢) 如= 等( 2 扩l 2 如 ( 1 6 ) d ( e ) 表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度 化学势既随温度的降低而升高，当温度降到一临界温度时，p 将 趋于一o 这时e p b 殆趋于1 临界温度殆由下式定出： 紊c 2 仇) 3 2 z 菇禹一 令z = b 殆，式( 1 7 ) 可表示为 紊( 2 讹科，2 z 等一 积分 。0 等= 孚地6 2 j 一= 一x z n lz ，o 矿一1 2 因此对于给定的粒子数密度佗，临界温度您为 殆= 蓑( 盎) 2 3 c2 了一l i i 磊j m 托bz o l z ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 温度低于您时会出现什么现象呢? 前面的讨论指出，温度愈低时肛 值愈高，但在任何温度下p 值必是负的由此可知在t o 在第二项中已取极限p _ 一o 首先计算式( 1 1 1 ) 的第二项。令z = b t ，并将式( 1 8 ) 代入得 啦 。= 斋c 2 m ，3 ，2z 否嘉鲁窆1 = 斋c 2 扩z 。菇 m = n ( 鲁) 3 2 ( 1 1 2 ) c 将式( 1 1 2 ) 代入式( 1 1 1 ) 可得，温度为t 时处在最低能级e = o 的粒子数为 仃o ( t ) = 礼【1 一( ；一) 3 2 】 ( 1 1 3 ) g 用o 表示处于最低能级( 。= o ) 的粒子数，用l 表示处于较高能级中的 粒子数则可知，当体系的温度低于临界温度砀时，0 与1 在数量上可 以比拟如果t = o ，则o = 1 ，这时全部粒子都转移到最低能级，如图 1 1 所示这个现象就是玻色爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。殆称为凝 聚温度凝聚在o 的粒子集合称为凝聚体。 当t 时，理想量子气体退化为经典理想气体，气体粒子遵守经 典统计力学规律，粒子间作弹性碰撞。当温度降低后，但还未达到临界 温度，这时占据最低能级的粒子数可忽略，此时与粒子相联系的德布罗 意波长 厶2 a 如= ( 晶) 1 7 2 ( 1 1 4 ) 小于粒子间的平均距离，理想玻色气体的性质将偏离理想经典理想气体。 当t = 殆时，粒子的德布罗意波长如与粒子间的平均距离可以比拟，粒 子的德布罗意波彼此重叠，粒子向最低能级迅速聚集，玻色爱因斯坦凝 3 硕士学位论文 图1 1 粒子数布局与温度的关系 聚开始当t = o k 时，就会形成比较纯的玻色爱因斯坦凝聚体，所有 粒子处在统一的量子态，具有相同的相位，体系可用一个宏观波函数描 述。玻色子分别在高温、低温、临界温度、绝对零度时的状态比较可参见 图1 2 玻色爱因斯坦凝聚是在t 时，大量粒子凝聚在动量、能量为 零的基态，即b e c 是在动量空间的“凝结”，它和水蒸汽的凝结为液滴不 同，水蒸汽的凝结是在坐标空间的凝结。玻色一爱因斯坦凝聚只在玻色体 系才能发生，对于费米体系，不会发生所有粒子全部占据基态的现象， 它违背泡利不相容原理，如果费米子形成分子或结成费米原子对，体系 变成玻色体系就可以形成色爱因斯坦凝聚。玻色一爱因斯坦凝聚是一种 相变，乃是转变温度，在t o 时，这两个暗孤子相互排斥；而当9 - 。 1 8 1 ( 蚓 i d | ) ，总可以得到r 2 ( z ，) o ( 燧( z ，t ) o ) ，所以此时 u l ( z ，t ) 沁( z ，t ) ) 总是周期而有限的； ( 2 ) 当l a i = i b l ( 1 c i = l d i ) ，会有c 0 8 ( z 幻) = 士1o = 1 ，2 ) ，因此s i n ( 尼z 巧) = o ， 这会导致( z ，) = o ； ( 3 ) 当 吲( i c i i b i ，必须满足埒 i d i ，场必须满足曙 ( 2 2 克9 ) 2 ( 3 丌) 2 所以，对于e2 这种精确解情况，如果我们调节和为砰 ( 2 1 9 ) 2 ( 3 丌) 2 ，曙( 2 惫9 ) 2 ( 2 丌2 ) ，分量2 的原子速度总是有限的而分量l 的 原子速度可以趋于无穷；对于e3 这种精确解情况，如果我们调节 和满足旰( 1 忌9 ) 2 ( 2 丌2 ) ，曙 o 时，这两个暗孤子相互排斥； 而当蚰 o 时，孤子间的相互作用是一个短程吸引力，它使这两个暗孤 子在平衡态附近相互穿越并作微小的震荡。 3 2 理论模型 众所周知，在非常低的温度，两分量玻色爱因斯坦凝聚的演化由两 个耦合的g p 方程描述现在，我们从一维耦全非线性s 出州i n g e r ( n l s ) 方 程出发 陋晏+ 罴暑- ，1 1 协圳2 - ，1 2 佻圳2 m 归。， 陋妄+ 蒹暴吨圳2 唰眯1 2 】眯- o ( 3 3 ) ( 3 4 ) 这里m 指原子质量；乃七= 2 鼬吩七o ，七= 1 ，2 ) ，其中毗分量t 和分量j 间的 散射长度，u 为囚禁势的角频率。 2 7 硕士学位论文 设r = 幻2 ，z = 伽，= 析硝，其中肋= 、佤趸而，可以将方程( 3 3 ) 和 ( 3 4 ) 化为无量纲化形式： 【t 导+ 昙- 9 l 。i x l l 2 。脚】x 1 r ) - 0 喏+ 昙咄。| x 1 1 2 一勉| x 2 1 2 】x 2 丁) = 。， 这里夕j 七= 乃七2 孚鼬= 4 q 七加，o ，七= 1 ，2 ) 很容易验证下面的暗孤子解精确满足方程( 3 5 ) 和( 3 6 ) ， x 叮= 哂t a n h 【6 ( z z 0 ) 1 e z p ( 一i 2 6 2 丁) ，j = 1 ，2 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 这里嘶0 = 1 ，2 ) ，b ，2 j 0 都是实常数，它们分别代表孤子的幅度、宽度的倒 数和初始位置，并且 0 2 l = 裂，弘裂 ( 3 8 ) 在这个工作中，我们考虑m 。= m z 且蚰= 勉这种情况这就是说， 我们得到的结果适用由相同原子的不同超精细态构成的两分量玻色一爱 因斯坦凝聚，或者近似地适用于由同种元素的不同同位素的原子所构成 的两分量玻色爱因斯坦凝聚。根据p g k e v r e l 【i 豳e n f 的研究，两分量 玻色一爱因斯坦凝聚中存在稳定的暗孤子的条件是如和夕2 。都是正数， 且9 恐 蛐勉【4 8 】这个条件可以满足方程( 3 8 ) ，因此我们的拟设( 3 7 ) 式是 合理的 式( 3 7 ) 表示的两个暗孤子是完全重叠且保持静止，我们称这种状态 为平衡态现在我们假设当某种微扰出现，导致这两个暗孤子偏离平衡 态。这时，孤子的参数会随着时间或空间变化。为了减少数学计算的复 杂程度，我们假设孤子的宽度保持不变【4 7 】并采用下面的拟设作为暗一暗 矢量孤子解： 骼( z ，7 - ) = 叼( 7 - ) t a n h 6 ( z 一勺( 7 - ) ) 】e x p 瞳( 7 - ) ( z 一刁( 7 - ) ) + i 脚( r ) 一t 2 6 2 7 - 】u = 1 ，2 ) ，( 3 9 ) 设，勺，a n d 心为无量纲化时间下的函数。如果我们选择平衡态( 3 7 ) 为 初始态，这时参数满足下面的初始条件： ( o ) = 坳( o ) = o ，乃( o ) = 2 j d ，( o ) = 呦 2 8 对两分量玻色一爱因斯坦凝聚的解析研究 3 3 演化方程和守衡量 方程( 3 5 ) 和( 3 6 ) 可以利用最小作用量原理从下面的拉格朗日密度推 导出； c 2 娶( 描犷苟卜蚶一鼽h 刊矧2 | x 2 | 2 ( 3 1 1 ) 两分量玻色爱因斯坦凝聚的长度由实验条件决定，我们设其为1 0 将方程( 3 9 ) 代入拉格朗日密度表达式( 3 1 1 ) ，并对z 从一f o 2 到f o 2 进行积 分，我们得到 l = 塾* 褂廊+ 碍一弦细埘( 珏知鸯 一鳓+ 2 6 2 一碍一三乃j 霹) 】一9 - 2 n 。；【( z 。一昙) + 昙f ( 记一2 - ) 】， 这里的点号代表对时间丁求导，且 ，= 堕丞蔗氅产一面晶 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 作用量的定义是j = ，打我们可以通过最小作用量原理6 ，= o 得到 一系列确定参数的微分方程： 黑一昙黑：o 一西= 0 ； a f a 7 ia 也f 一j ” 黑一导婺：o 一易：( 2 - 6 z 。) ； 瓦一万瓦刮一乃2 【“- 优o ) ； 鸶一鲁鸶= 。一承均脚；奄蜊沈哪 联合方程( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) ，我们得到 屏( o ；矗+ 遥磊) = 2 ( 2 6 l o ) 9 1 2 a ( 况。+ 如) f ( 忽一2 1 ) = o ； n ；苟= 2 ( 2 6 7 0 ) 夕1 2 d ；0 1 f ( 沈一z 1 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 。1 7 ) ( 3 1 8 ) 硕士学位论文 0 1 0 0 0 才一2 0 0 0 净3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 - 0 40 2oo 20 4 图3 5 ：有效势y ( ) 与的关系图实线的参数为夕1 1 = 5 ，夕2 2 = 5 ，9 1 2 = 一3 ， 6 = 4 ，z o = 3 ；虚线的参数为夕1 1 = 5 ，夕2 2 = 5 ，a n d 夕1 2 = 3 6 = 4 ，z o = 3 很容易从方程( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 分别得到： n ；之l + o ；乞= p 三n ；三 + 丢口；鼋+ 2 ( 6 l o 一2 ) 9 1 2 口i n ；f ( 勿一z 1 ) ：e ，去n ；三 + 去口；鼋+ 2 ( 6 l o 一2 ) 9 1 2 口i n ；f ( 勿一z 1 ) = e ， ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 这里p 和e 为积分常数如果我们把砰和d 1 分别看作这两个孤子的质 量，则方程( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 分别代表了两孤子系统的守恒动量和能量因 此在方程( 3 2 0 ) 中，我们定义有效势y ( ) 为： y ( ) = 2 ( 6 f o 一2 ) 9 1 2 n ；n ；f ( ) ， 这里：勿一z 。代表这两孤子的质心距离它意味着每个孤子像粒子一 样运动在势场y ( ) 中因为6 2 0 表示b e c 的长度与暗孤子的宽度之比， 它应该要大于2 图1 显示了y ( ) 与之间的关系可以看出，当夕- 2 o 时，这两个暗孤子相互排斥 3 4 两暗孤子间的相互作用 现在我们来进一步探讨当g ，。 o 时，这两个暗孤子相互排斥； 而当9 1 2 o 时，这两个暗孤子相互排斥； 而当g 。2 o 时，孤子间的相互作用是一个短程吸引力，它使这两个暗孤 子在平衡态附近相互穿越并作微小的震荡。 本文对于两分量玻色爱因斯坦凝聚的解析研究还只是一个初步的 工作，接下来还将会有更多的问题有待我们深一步的研究与讨论。基于 本文的工作和两分量玻色爱因斯坦凝聚的最新研究进展，今后我们将 尝试开展以下几方面的工作： ( 1 ) 两分量玻色爱因斯