（无线电物理专业论文）使用广义传输线方程建模微带电路.pdf

摘要 本论文所研究的课题是香港城市大学研究基金项目“利用表面梅方法进行高性能数值计 算解决应用电磁学问题”的一部分。其要求是对一种新型的传输线微分方程的存在进行数值 验证，通过建模微带电路结构，提取出宽频带内可供使用的电路参数，该电路参数中的辐射 系数口，p 能表示出所取样点处能量的辐射或耦合情况。 首先，我们对矩量法和基于矩量法的电磁场仿真软件i e 3 d 的基本原理进行了分析，然 后对新型的广义传输线方程的存在性和唯一性从算子理论和二端口网络h 参数电路矩阵两 方面进行了推导。 在数值验证部分，我们首先对微带线用传统的传输线方程建模，提取出电路参数l ，c 并和广义传输线方程提取的电路参数l ，c 进行比较和分析。由于所提取的电路参数 l c ，口，p 在恢复电流，电压时缺少两个边界条件，所以通过插值两个电流方程实现，然而， 在这样的情况下，依旧不能恢复电路结构上的电流和电压，一般的方法是采用l i u 方程来弥 补，这时我们确实可以恢复电流和电压，然而所提取的电路参数却发生了微小的变化，在此 基础上，我们直接采用h 参数矩阵求解微带线并和广义传输线方程提取的电路参数 厶c ，口，p 进行对比。 使用h 参数建模的最大好处就是无需再通过插值来补充恢复电流电压所需的方程，并且 采用h 参数求解以后，广义传输线方程可以建模微带间隙结构，这样就超越了普通传输线方 程的限制。 由于广义传输线方程的基础是基于矩量法软件i e 3 d 的，所以矩量法软件i e 3 d 的准确性 对提取电路参数l c a ，p 将产生非常重要的影响，我们分析了微带结构的网格划分对电路 参数l ，c a ，p 的影响。 最后，我们得出了如下结论， 采用广义传输线方程提取的厶c 电路参数确实可用。 基于矩量法的广义传输线方程从目前的数值仿真软件上仍然无法证明口，p 的存在， 以及口，p 确切的物理含义依旧有待进一步探讨。 当频率变得非常高时，由于普通传输线方程难以建模微带结构，所以普通传输线方程 还是有需要改进的地方。 关键词：矩量法i e 3 d 广义传输线方程h 参数矩阵计算机电磁仿真辐射系数 a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o ni ss u p p o r t e db yt h er e s e a r c hf o u n d a t i o np r o j e c to ft h ec i t y u n i v e r s i t yo fh o n gk o n g ，i sap a r to f ”h i g h - p e r f o r m a n c ec o m p u t i n gf o ra p p l i e d e l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m sb yu s i n go n - s u r f a c em e a s u r e de q u a t i o n so fi n v a r i a n c e m e t h o d ”t h ea i mi st ot e s t i f yt h ee x i s t e n c eo fan o v e lt r a n s m i s s i o nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf r o mn u m e r i c a lv a l i d a t i o n ，b ym o d e l i n gm i c r o s t r i pc i r e u i ts t r u c t u r e ，a n d e x a c t i n gt h ea p p l i c a b l ec i r c u i tp a r a m e t e r si n 讲d ef r e q u e n c yr a n g e r a d i a t i o ne 伍c i e n t o c8c a n r e p r e s e n tt h el o c a le n e r g yr a d i a t i o na n de m i s s i o na ts a m p l i n gp o i n t i nt h ef i r s tp a r t ，t h em o m e mo f m e t h o d sa n ds o f t w a r ei e 3 db a s e do nm o m e n to f m e t h o d sa r ea n a l y z e d ，t h e nw ed e r i v et h en o v e lg e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n e e q u a t i o n sf r o ma r i t h m e t i co p e r a t o r st h e o r ya n dt w o - p o r tn e t w o r khp a r a m e t e rc i r c u i t m a t r i x i nn u m e r i c a lv a l i d a t i o n ，w ef i r s tu s ec o n v e n t i o n a lt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n st o m o d e lm i c r o s t r i ps t r u c t u r e ，t h e nw eu s eg e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n st o m o d e lm i c r o s t r i ps t r u c t u r ea n dc o m p a r eb o t hc i r c u i tp a r a m e t e r s 三，c w h e nu s i n g t h ee x a c t e dc i r c u i tp a r a m e t e r s l ，c ，口，芦t or e s t o r ev o l t a g ea n dc u r r e n t ，c o n s i d e r i n g l a c ko ft w ob o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w eg e ta n o t h e rt w oe q u a t i o n sb ye x t r a p o l a t i n g c u r r e n td i s t r i b u t i o ne q u a t i o n sa tt h ee x c i t a t i o na n dl o a d i n gp o r t s i nt h i sw a y , w es t i l lc a n tr e s t o r ec u r r e n ta n dv o l t a g ed i s t r i b u t i o nw e l l ，c o m m o n l y , w eu s el i ue q u a t i o n st os o l v et h ep r o b l e m ，b u ta n o t h e rp r o b l e mo c c u r s ，t h a ti st h e e x a c t e dc i r c u i tp a r a m e t e r sh a v es o m es u b t l ec h a n g e s ，w h e nw ed i r e c t l yu s eh p a r a m e t e rm a r xt om o d e lm i c r o s t r i pl i n et og e tc i r c u i tp a r a m e t e r sa n dc o m p a r ew i t h t h o s ee x t r a c t e db yg e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n s t h eg o o d n e s so fu s i n ghp a r a m e t e rm a r xm o d e l i n gi st h a tw h e nr e s t o r i n g c u r r e n ta n dv o l t a g ed i s t r i b u t i o n ，d o n tn e e de x t r a p o l a t i o ne q u a t i o n s ，a n dg e n e r a l i z e d t r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n sc a nm o d e lm i c r o s t r i pg a ps t r u c t u r e ，s u r p a s st h el i m i t so f t h ec o n v e n t i o n a lt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n s d u et oo u rg e n e r a l i z e dl i n ee q u a t i o n si sb a s e do ns o f t w a r ei e 3 d ，t h ep r e c i s i o no f s o f t w a r ei e 3 dw i l lt a k eac r i t i c a le f f e c to no u re x a c t e dc i r c u i tp a r a m e t e r s ，s ot h ee f f e c t o f m e s hd i v i s i o ni sa n a l y z e d ， f i n a l l y , w et a k et h ec o n c l u s i o na sf r i l l o w s 1 l ，cc i r c u i tp a r a m e t e r se x a c t e db yg e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n si s a p p l i c a b l e 2 ，t h ee x i s t e n c eo f0 【8i ss t i l lu n k n o w nf r o mt h en u m e r i c a lv a l i d a t i o na n dd e f i n i t e p h y s i c a lc o m p r e h e n s i o n sn e e dm o r ed i s c u s s i o n 3 w h e nf r e q u e n c yi st o ol f i g h ，d u et oc o n v e n t i o n a lt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o ni s d i f f i c u l tt om o d e lm i c r o s t r i ps l r u c t u r e ，s ot h ec o n v e n t i o n a lt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n s h a v es o m ei m p r o v e m e n tm a y b e k e y w o r d s ：m o m e n t o fm e t h o d s ，i e 3 d ，g e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n e e q u a t i o n s ，h p a r a m e t e r sm a t r i x ，c o m p u t e r - e m s i m u l a t i o n , r a d i a t i o ne f f i c i e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：寸! 塑整日期：跏乒年r 月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：哥弓瞄 导师签名：亟垒皇 e t 期：炒卜年月巧e l 电子科技大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 广义传输线方程的意义 在2 0 世纪4 0 年代雷达技术被广泛应用于军事领域后，微波部件被大量应用 于电子系统中，并且经常采取等效方法，将微波部件由复杂的电磁场问题转化为 相对较为简单的电路问题进行分析。在此基础上各种微波电路的理论和分析方法 如微波电路网络理论、微波非线件电路理论、变参数微波电路理论、微波宽带和 超宽带电路理论和设计方法等纷纷涌现，对微波电路与系统的发展起了推动作 用。由于微波电路系统的复杂化以及微波系统和其他部分的组合化，在过去混合 式微波集成电路和微波单片集成电路的基础上，又出现一些新的电路组装和封装 形式，如微波三维集成电路、微波多芯片组件、微波芯片和其他芯片的混合封装 等，上述形式实际上都是为了实现系统的紧凑组合。在上述的各种组装形式中， 必然存在各个电路部分间的互连线和必要的封装结构( 例如芯片引出线、组件引 出接线脚、多布线层间的通孔等) ，在微波频率下上述部分的寄生参量必然会对 系统特性产生影响。这一部分是原先设计时未预先考虑的，因此对这一部分的寄 生参量进行提取或估值，然后通过电磁仿真确定其对系统特性的影响是非常必要 的，如果影响严重时就必须对内部电路的原设计进行修改 1 2 】。 传统的寄生参量都是从静态场中提取的，而当频率很高以至于静态场中提取 的电路参数失去了它们的有效性时，从事电路设计的技术人员就无能为力了，由 于任何一个电磁场的问题都可以归结为求解麦克斯韦方程在给定边界条件下的 数值解，而采用全波数值方法的电磁场软件，诸如i e 3 d ( 矩量法) ，h f s s ( 有限元 法) ，c s t ( 时域有限差分法) 等都能有效的建模并求解这些复杂的电路结构， 然而如何从全波数值解中提取出有用的电路参数为电路设计者使用始终是一个 问题。 本文所研究的广义传输线方程( g e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n s ) 基于 矩量法。首先通过矩量法得到不同边界及激励条件下的两组电流和电压解，然后 解两个一维差分方程( g t l n ) ，提取出电路参数l c ，口，该电路参数可以模拟所 研究微波集成电路的电磁特性。 电子科技大学硕士学位论文 具体来说：广义传输线方程有如下一些优点： 1 所提取的电路参数l ，c ，口，卢不随负载而变化；基本不随频率而变化，或者随 频率变化缓慢。 2 广义传输线方程具有宽频带特性：即在一个频点下提取的电路参数可以恢复 其它频点下的s 参数。 3 广义传输线方程能直接计算不均匀结构，例如微带直角拐弯，以及阶跃结构， 而无需象普通传输线方程通过级联来完成模拟。 随着频率的增高，广义传输线方程的提出，对于电磁兼容，电磁辐射等领域 似乎指出了一个很好的研究方向，事实上，广义传输线方程成为连接代表电流守 恒的基尔霍夫定理和代表电荷守恒的洛伦兹规范的一个桥梁。 1 2 国内外动态 广义传输线( g t l n ) 方程是k k m e i 教授首先提出的，该方程被证明存在且 具有唯一性，其不仅可以从场的观点来证明，也可以从一般的电路理论推导而得， 相比于普通传输线方程，广义传输线方程多了两项，它们是独立源a v 和凹， 分别表示了该处能量的辐射和耦合。广义传输线方程如今已经成功应用于微带阶 跃结构，微带低通滤波器，并且已经成功预言电磁场在不连续处发生的辐射。 1 3 本论文的主要工作 本论文使用广义传输线方程分析了微带间隙，以及微带辐射扇形阶跃结构。 从数值上研究了矩量法中划分网格对辐射系数口，的影响。 2 电子科技大学硕士学位论文 第二章基本理论 2 1 矩量法及ie 3 d ( 基于矩量法的电磁仿真软件) 2 1 1 矩量法 由于广义传输线方程是基于矩量法来提取电路参数的，所以矩量法的准确性 对电路参数的提取至关重要。下面将详述矩量法。矩量法是统一的矩阵处理方法， 其基本思想是将一个泛函方程化为矩阵方程，然后用人们熟知的方法求解该矩阵 方程。 1 矩量法对微带电路进行电磁仿真的基本原理【8 】，【9 】 一个时谐电磁场满足以下麦克斯韦方程 v e = 一j 国, u h ( 2 - 1 ) v x h = - j r a c e + j ( 2 - 2 ) 对于微带电路来说，在已知外加场e 作用下，导带上将出现电荷密度盯和 电流密度。用滞后位的积分来表示由盯和i ，产生的散射场e3 ，并在导体表面应用 边界条件，可得如下关系式 e 。( r ) = - j c o a ( r ) - r e ( r )( 2 3 ) 4 驴) = _ 日( ri ，。，) 出( 2 - 4 ) ( ，) = = 1 p q pi ，+ ，以陟( 2 - 5 ) 盯= _ 二v j ( 2 - 6 ) 玎e 。= 一”e ( 在s 表面上)( 2 7 ) 式中 g 心力= 石1 警一寄 p s ， g o ( rr , 咖扑删警邶2 棚嘻塑器产卜 七= ( 1 一t ) ( 1 + 占，) ( 2 - 1 0 ) 式中：r 为场点矢径：r 和，j 为源点矢径；k 为传播常数；s ，为介质的相对介电常数。 电子科技大学硕士学位论文 m lmi n + i 图2 1 第m 电流段 导带横向尺寸一般较小，故可假定电流和电荷密度近似为线电流j 及线电荷 密度盯。为了便于求解，将导带图形划分为m 个电流段。第m 电流段由始点m 、 一4 - 中点m 和终点m 组成，如图1 所示。增量，。代表导带段m m ，即电流段m ；a i 。 一+ 和，。称之为电荷段。出。表示矢量m m 。在各自电流段( 或电荷段) 上，视电流 i ( 或电荷g ) 为常数。i ( m ) 的正方向与矢量，的方向相一致。于是，可将式( 2 1 ) 写成仅包含i ( m ) 的m 个方程，描述了一个含有端子对( m ，m ) ( m = 1 ，2 ， m ) 的广义m 端口网络。注意到第m 广义端口的电压v ( m ) 等于e l i ( m ) ，于是m 个方程可写成矩阵形式即 v _ z 。】 刀( 2 1 1 ) 式中： v 】为施加电压矢量：【i 】为未知电流矢量；【z m n 为一个m m 方阵；称之 为广义阻抗矩阵( 以下简称为原矩阵1 ，其元素为 z 。：_ ，啦。o l 尹未+ _ l f 尹：+ 一妒：一妒! + + 9 1 1 ( 2 1 2 ) j r o c o 、l l l t l m nm n 1 1 1 t 1 ， 其中，电荷势函数虼( p = m ，m ；q = n ，2 ) 为 电子科技大学硕士学位论文 妒二= c 七2 一，) 主t = 0 掣+m i 而电流势函数妒二等于妒二( p = m ，q = n , k = 0 ，i = 0 。式( 2 一1 3 ) 中的，分别为点p 至点q 及第1 个象电荷间的距离；a 。为导带段，的面积；c r 是一个取决于导 带段电流或电荷横向分布的常数。一旦原矩阵建立完毕，通过求逆等运算，便可 得到在一定激励下各电流段上的电流，进而获得电路有关特性。 2 1 2基于矩量法的i e 3 d 软件原理b 5 。 电磁场模拟可以进行高度准确的分析和设计复杂的微波和射频印制电路，高 速电子电路和其它电子元件。i e 3 d 可以用来分析和设计微带天线和毫米波集成 电路，以及高速印制板设计。由于在1 9 9 3 年m t t 年会的正式引入，i e 3 d 已经 被采用作为平面和三维电磁场模拟的工业标准，i 而成为最灵活易使用，以及准 确的电磁场模拟工具。 1 基本理论和实现 i e 3 d 的主要公式是一个通过使用格林函数得到的积分方程，在i e 3 d 中， 我们即能建模金属条结构的电流，又可以建模代表金属开口处场分布的磁流。基 于篇幅的原因，下面的讨论仅仅局限于电流公式的讨论，磁流公式也能通过相似 的方法得到。 图2 2 金属条结构的入射场 对于一般的电磁场散射问题，我们假设一个导体结构是在一个分层的介质 掣釉篙话 电子科技大学硕士学位论文 环境中，如图2 2 所示，当往结构体加入一个入射场场e i 的时候，金属上会感应 出电流分布。感应出的电流会产生第二个场去满足金属体结构上的边界条件。对 于一个典型的导体结构来说，感应电流是分布在导体表面上，并且边界条件如下， 顾，) 2 z s ( ，) 以，) ，s( 2 1 4 ) 在上面的公式中，s 是导电体的表面；以，) 是表面的总切向电场；以，) 是表面的电流分布，z s ( ，) 是导体的表面阻抗。 当结构处于分层的介质环境中时，我们能写出总场公式如下： 耳，) 2 e i ( ，) + j sg ( ，i ，f ) ，( ，) d s ( 2 - 1 5 ) 在( 2 1 5 ) 中，g ( ，i ，1 ) 是介质环境中的并矢格林函数；g i ( ，) 是导体表面的入射场， 并矢格林函数g ( ，h ) 除了不满足导体s 的边界条件以外，满足分层介质边界条 件。 把( 2 1 5 ) 代入( 2 1 4 ) 中产生如下的积分方程 z s ( ，) 以，) = 目( ，) + j sg ( ，h ) ，( ，) d s 在这里，入射场和表面阻抗都是已知的，格林函数能够被推导出来， 电流分布川，) 通过假设电流分布能够被一套完全的基函数所表示。 以，) 2 n i nb n ( ，) ，n 21 ，2 我们得到 ( 2 1 6 ) 未知的是 ( 2 1 7 ) z s ( ，) n i n召n ( ，) = 蜀( ，) + n i nj sg ( ，i ，) n n ( ，f ) d s ( 2 1 8 ) 通过采用迦略金的推导，我们把( 5 ) 转化为矩阵方程， j sd s 目( ，) ( ，) 2s n i n j sd s z s ( ，) b m ( ，) ( ，) - j sd sj sd s 占m ( ，) g ( ，l ，) 。四n ( ，f ) ) ( 2 1 9 ) 上面的推导是使方程( 2 1 8 ) 使用一套完全的测试函数，并且测试函数和基函数使 一样的。整套基函数是有无限项组成的，因此，方程( 2 1 9 ) 是一个无限维的问题， 我们仅仅能得到数值的近似解，近似是把无限项截断为有限项。数学上，截断是 一个投影过程，我们把在无限维中的实际解投影为有限维中的实际解。如果我们 选择有限维以至于实际解中的主要分量都在有限维中，我们应该能得到非常好的 近似，在投影以后，方程( 2 1 9 ) 变为一个n * n 的矩阵方程， z m n l i m 2i v m 】 ( 2 - 2 0 ) 在方程( 2 2 0 ) 中 6 电子科技大学硕士学位论文 z m n = 坛d s z s ( ，) ( ，) 丑n ( r ) j sd s i sd s b m ( r ) - g ( ，i ，f ) - b n ( ，i ) ( 2 2 1 ) v m = sd s 臣( ，) 聪，) ( 2 2 2 ) 方程( 2 - - 2 0 ) 和方程( 2 - - 2 2 ) 的解就是电流分布系数，在电流分布求到以后，我们 能计算出s 参数，辐射参数，r l c 的结构等效电路，和其它一些所感兴趣的参 数。 i e 3 d 软件的一般流程如下： 匝 垣田一 亘 1 1 一匝圃一 图2 3 e 3 d 软件流程图 2 2广义传输线方程的存在性和唯一性理论 1 ： 对于细线结构的积分方程来说，q g 在- - 个唯一的微分方程与之对应，在积 分方程的边界条件同样应用到微分方程时，而该微分方程的解与积分方程的解等 同。 下面就是证明过程： 1 积分方程和差分方程的电流 线天线中心电流满足海伦积分方程。 州) = b o o s 艘一尝s i n 川l 在( 2 2 3 ) 式中，l 是积分算符， 州驴丘g ( 研刎 c z 删 g ( 名产格林函数m 2 4 ，式的精确形式依赖于线的形状和介质以及地面。常 电子科技大学硕士学位论文 数b 是一个可调节的参数，其目的是增强边界条件。 我们的目的就是得到一个差分算符d ，满足( 2 - 2 5 ) 式 d i ( 耻碧坝d 爱州叫= 。 ( 2 - 2 5 ) 在( 2 2 5 ) q a ，我们将得到u ( 1 ) 和t ( o 。实际上，对于每个的函数，存在着 无限多个差分算符d 导致( 2 2 5 ) 式为零。我们想要得到一个算符d ，而该算符在 不考虑边界条件的情况下都能满足( 2 2 3 ) 的解。只有这样，当边界条件相同时， ( 2 2 5 ) 式的解才能与( 2 2 3 ) 式的解相同。下面，我们将证明这样一个算符的存在性 和唯一性，并且它将不随边界条件而变。需要指出的是， 一般情况下，存在性和唯一性理论是应用在积分算符的解，而不是算符本身。因 此，下面的推倒没有采用 - 3 惯的数学公式。 2 差分算符d 的存在性： 假设，和l 是积分方程( 2 2 3 ) 的在l = l 处不同负载条件下的两个解，例如 ( 上) = 0 ，( 三) = o ( l ) ，或者其它一些负载条件下的解。把两个解j ，和代入( 2 - 2 5 ) 中，我们得到两个方程，而从这两个方程，我们能求出系数u 和t ，u 和t 的 解应该存在，当( 2 2 6 ) 式的条件满足时。 d l j i l l 刎 l 码 l 础， ( 2 2 6 ) 式的解存在意味着， g n l ，一g n l s = c o n s t a n t = o ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 电子科技大学硕士学位论文 换句话说，1 , 必须是一个常数，如果和l 是在两个边界条件下得到的，则 ( 2 - 2 7 ) 式不会成立，因此，式( 2 2 3 ) 中至少两个解存在差分算符得到了证明。 3 差分算符d 的唯一性： 个算符总体来说唯一还是不唯一，关键在于一个算符与其它任一个算符的 积应该和最初的算符有一样的特性。因此，我们的证明仅仅局限于最低维的差分 算符，在这样的特殊条件下，更容易消除一维差分算符成为其它等效算符的可能 性。下一个可能的算符就是( 2 2 5 ) 式中的二维差分算符。我们要证明差分算符d 是不随，。和l 的边界条件而变的，也就是说，算符d 与边界条件无关。仍然假 设和i ，一l ：l ( 2 2 3 ) 的两个解，从中我们求得一个算符岛，并且上1 是积 分算符f 1 的逆算符，这样， 岛锄喝玳气) c 。s 刎一等s i n 沪。( 2 - 2 8 ) 对于两个不同的b 的值而言，( 2 2 8 ) 是的右边必须等于零，因为( 2 - 2 8 ) 式左 边对于j ，和l 应该等于零，这才满足不同的边界条件。对于满足( 2 2 8 ) 式中的两 个不同的b 值来说，( 2 - 2 8 ) 式右边两项在被算符d f l 7 1 作用后必须分别等于零。 即 b d , s e lc o s k d = o ( 2 2 9 ) 因为b 和边界条件有关系，而它又不为零，所以算符d 。满足不随边界条件 而变。一旦我们通过( 2 2 3 ) 中的一对电流解得到算符岛，唯一的求得l 的另 一个算符的方法就是找到，在( 2 2 3 ) 中应用不同于l 的边界条件得到。因为边界 条件不能影响算符，我们应该能得到同一个算符d ，所以证明了算符d 式唯一的， 9 电子科技大学硕士学位论文 并且在不考虑边界条件的情况下，对y - ( 2 2 3 ) 中的所有解都成立。 4 从数值解中找出算符d ( 2 - 2 3 ) 式中的积分方程类型是很容易用数字方法求解的。为了得到算符 d ，我们假设线结构被分成了相同的小段，电流值能在每一段的中点值中求得。一 个二维差分算符可用以下的线性方程在点j ，( j = 1 2 n ) 处代表： l + 1 + 口。l + 吮l l = 0 ( 2 - 3 0 ) 把i 的两个数值解代入( 2 3 0 ) e p ，我们能解得a 。和b 。而u 。和l 的值能通过 ( 2 - 3 0 ) 是和( 2 2 5 ) 式对比所得，如下 u 观；舞乩瓦= 揣 弘s ， 5 电路参数提取应用。 如果我们能把电流的二维差分方程转化为两个含有电压和电流的一维差分 方程，那从积分方程的解中提取电流参数将非常容易。为了找到差分方程的电流， 我们至少需要积分方程的两个解。而在普通传输线方程中，求得参数l 和c 只 需要一个电流电压解。所以普通的传输线电压和电流方程是不完整的。 下面我们将使用广义传输线方程( g t l n ) 署一一j e o l ( 1 ) i 圳 罢一i c o c ( 缈+ ( 2 - 3 2 ) 相比于普通传输线方程，( 2 - 3 2 ) 涮j 1 1 t 受控源参数，一般情况下，受控源 是被使用在有源电路中的，在实际中，受控源可能代表发射或接受源。在差分方 o 电子科技大学硕士学位论文 程中，受控源a v ，脚的角色就是克服基尔霍夫定理的局限，因此，差分方程的 解能模拟出从麦克思韦方程推导出的积分方程的解。当然，受控源也能被解释为 通过场耦合的能量传递，线结构通过耦合或者吸收能量，或者辐射能量，当然， 这也就是无源器件不能实现的。a v ，脚的存在使得从积分方程中的两个解中确 定等效差分方程变得非常的容易。受控源a v ，历成为连接基尔霍夫定理和麦克 思韦方程之间的桥梁。 2 3 二端口网络及广义传输线方程的电路矩阵推导 2 3 1 二端口网络【7 】 微波系统是由微波元件、不连续性及传输线段组成，是一个封闭的媒质空间， 其内部和边界面上都必须满足麦克斯韦方程组。场的唯一性定理指出，当在由封 闭物面所围成的体积内，存在着确定的场源( 或无源) 时，只要知道边界面上各点 的切向场，或部分边界面上各点切向场，区域内各点的场有唯一的解。微波元件、 不连续性及传输线段都是由金属导体( 认为是理想导体) 和若干个端口参考面围 成的封闭媒质空间，统称微波网络。根据理想导体表面切向电场为零的边界条件， 网络边界的切问场只是存在端口参考面上的横向场，因此，网络空间内各点的场 可由端口参考面上的横向场确定。网络的个端口参考面上有横向电场和横向磁 场四个场变量，根据场的唯一性定理，只要知道其中一个场变量，另一个场变量 就唯一的确定了，即端口参考面上的横向电场与横向磁场之间存在着确定的函数 关系。对于线性媒质空间来说，麦克斯韦方程组为线性方程组，故各场强之间的 关系也是线性关系，可用线性代数方程组来表示，利用等效性原理，参考曲面上 的横向电、磁场可用模式电压、模式电流表示，它们之间的关系，同样也可用线 性代数方程组来表示。线件代数方程组的系数称为网络参量。 尽管网络内部各点的场结构，可由参考面上的横向电磁场确定，但网络理论 并不研究它们，而主要研究的是网络的外部特性，即网络参量。网络参量有多种 形式，按端口参考面上信号量的情况可分为两类。一类是以横向电场规一化场强 复振幅( a ，b ) 作为端口信号量所形成的网络参量，称为波参量，其中有散射参量f s 电子科技大学硕士学位论文 参量) 和传输参量( t 参量) ，最重要的，最有用的是散射参量；另一类是以等效电 压、等效电流作为端1 2 参考面的信号量所形成的网络参量，称为电路参量，其中 有阻抗参量( z 参量) 、导纳参量( y 参量) 和转移参量( a 参量) ，以及混合参量( h 参 量) 等。各种网络参量之间有确定的关系，可以互换。为了清楚和方便起见，我 们以二端口网络为例，只讨论各种混合h 网络参量的形式和定义。 在电网络中，如果任何时刻流入 l 网络一个端子的电流等于流出另一个 端子的电流，那么这样的两个端子就 构成一个端口。如图2 _ _ 4 所示的网 1 络，若满足 i 2 = i ： 则端子1 与1 。，2 与2 。分别构成一个端1 2 i图2 - 4 端口概念说明 2 3 2h 参数 h 参数方程有一个特点就是两个自变量( 激励) 位于不同的端口，且一个是电 压，一个是电流。图2 - 5 中，以l j ( s ) ，( s ) 为激励，u ( s ) ，1 2 ( s ) 为响应，有 u l ( j ) = h l l ( s ) i a ( j ) + h 1 2 ( s ) u 2 ( j ) 1 2 ( j ) = h 2 l ( s ) i d s ) + h 2 2 ( s ) u 2 ( j ) ( 2 - 3 3 ) 或者写为矩阵形式： 乏g = 。h h 。 h ：n ：且 f u l l ：( s 。) ， = 日 0 ：芸， c z - ，。， 式( 2 3 3 ) 或式( 2 - 3 4 ) 称为二端口网络的h 参数方程，啊。，h 1 2 ，h 2 1 和h 2 2 称 为h 参数，h 称为h 参数矩阵。 由式( 2 3 3 ) 不难得出各参数的物理含义如下： 2 篇l 瑚h 2 1 = 1 2 ( 乳s ) z 。器l 。嘧蚓州咖。 h 。i 为2 - 2 。端口短路时1 - 1 端口的入端阻抗，等于1 k i h 2 2 为1 1 端口开路时2 2 。端口的入端导纳，等t i z 2 2 h ：为2 2 端口短路时的正向电流传输系数比 h 。为1 1 端口开路时的反向电压传输系数比 电子科技大学硕士学位论文 图2 - 5 二端口网络的h 参数等效电路 2 3 3有载二端口网络 二端口网络常常工作在输入端口接电源、输出端i ：1 接负载阻抗的情况下，称 之为有载二端口网络。 e ( i ，2 ( 5 ) z 千j 擘 二端口 吣s ) 网络 一 z i 图2 - 6 有载二端口网络 图2 - 6 所示为输入端口接内阻抗为z s 的实际电源e ( s ) 、输出端口接负载互的 有载二端口网络。若已知二端口网络的h 参数，则有： u 1 ( s ) = h 1 1 ( s ) ( j ) + h i 2 ( s ) u 2 ( j ) ( 2 - 3 5 ) ，2 ( s ) = h 2 l ( s ) ，l ( j ) 十 2 2 ( s ) u 2 ( 5 ) ( 2 3 6 ) 要想求得端口的电压和电流，还差两个方程，可以根据欧姆定律从二个端口所接 的支路得出，对于图2 - 6 ，又有 u ( j ) = e ( s ) 一( s ) 五 ( 2 - 3 7 ) u 2 ( j ) = 一厶( s ) 乙( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 8 ) 以上所列四个方程是彼此独立的，因此，在已知网络的h 参数，加上激励条 件( e ( s ) ，z s ，z z ) 后就可以求出四个端口变i u 。( s ) ，u 2 ( s ) ，( s ) ，j 2 ( s ) 2 3 4 双口网络级联的s 参数 由于采用h 参数矩阵级联建模微带电路结构，而有许多微波元器件例 孓o酒i p 一一 电子科技大学硕士学位论文 如晶体管或不均匀传输线是用实验方法测量的s 参数来表示的，若用矩阵级 联法，就必须将h 参数变换为s 参数，h 参数和s 参数之间的转化方程如下： 啊，=正(1+瓦sn面)(1+五$2赢2)-si：s2j “ ( 1 一s 。) ( 1 + & z ) + s ：一 ，= 再瓦汀- 五2 s 2 两j 耻篙等咎蓑 ”雨杀岳两 忙糕告苦蔑 “ ( 1 一墨，) ( 1 + 是：) + s ：最。 耻雨丽 ： 二! 丝! $ ：( ! 垒! ! ! ! 二垒2 2 堕生堕2 2 屯12 面瓦而瓦丽 2(1+hh)(1+=)-ha2h2, 广一一一一一一一_ 1 图2 7 散射矩阵网络级联 有两个网络相级联，如图2 7 所示。两个网络分别用j 和k 表示，其散射矩 阵参数方程是 岛j = s 2 a i ，+ s 1 2 j a 2 j ( 2 3 9 1 ) b 2 j = l q j + $ 2 2 j a 2 ( 2 3 9 2 ) b l i = s 1 2 确i + s 1 2 a 2 i ( 2 3 9 3 ) b 2 i = s 2 1 i a l t + s 2 2 i a 2 女( 2 - - 3 9 4 ) 若级联网络的散射矩阵参数用s l l - s ：，s 。：，s ：表示，则级联网络的方程是 由图2 7 可以看出各参数之间有下列关系 1 4 、【rj以鹏 墨s 卜 + 吼一晶是 l i = 玩如 电子型垫奎兰堡主堂堡鲨兰一 一 a 铲i = a l j a l kld2=i 扫- = 岛，l 羞ak b 2 j b a2：l =l 址= jj 把式( 2 3 9 6 ) 代入式( 2 3 9 2 ) 和式( 2 3 9 3 ) ，得 幽 = & i q + s 2 2 j a 2 j 【 a 2 ，= s m a l + s 1 2 k a 2j =诹$21j611+s22js12ka2一1 = s 1 2 k 五a 2 + 丽s n l s 2 l , a l1 把( 2 - - 3 9 8 ) 代入式( 2 3 9 一d a 口( 2 3 9 4 ) ，得 a。：(s，十而snks21jsl2j)a。+鬣s12ksl2j)d：l 驴c 畿h 4 - 隅一鬻k j 对比式( 2 3 9 - - 5 ) 和( 2 3 9 9 ) 可得级联网络的s 参数为： s 1 l = s l i + s 2 l = s , ：k s 2 1 j s l 2 j 1 一s n k s 2 2 s 2 1 j s 2 1 i 1 一s 1 2 s 2 2 j s 2 2 = s 2 2 + 鱼坠坠 1 一s n , s 2 ( 2 3 9 6 ) ( 2 3 9 7 ) f 2 3 9 8 ) ( 2 - - 3 9 - - 9 ) 2 3 4 广义传输线方程的电路矩阵推导 与经典传输线方程不同的是，广义非均匀传输线方程( g t l n g e n 。a l i z c d n o n 1 1 n i 向mt r a n s “s s i 。nl i n ee q u a t i o n s ) 不再是从基尔霍夫定律推导的 而是从 一玎堕a萎 墨 j 卜 一一s 电子科技大学硕士学位论文 二端i z 电路网络的h - 参数矩阵推导而来的，首先我们考虑沿着非均匀传输线波传 播方向无限小的一段z ，它能被看作一个二端口网络，根据广义二端口网络定理， 这- d , 段在频域里能被表达为以下h 参数矩阵形式： 酗也班 在( 2 4 0 ) 中，k ，。，：，分别是频域里的复电压和复电流，下标表示的是等效 网络的2 个端i z ，在图( 2 5 ) 中能很明显的看出上述关系，展开方程( 2 4 0 ) ，我们能 得到 一k = 一啊l 1 1 + ( 1 一h 1 2 ) k ( 2 _ 4 l 1 ) ，2 一，i = - h 2 2 k + ( 一1 一h 2 1 ) ( 2 - 4 1 _ 2 ) 方程( 2 4 1 ) 两边同除a i ，则能得到下式： 警= ( 鲁) 小( 訾 k ( 2 - 4 2 - 1 ) 等_ ( 寺卜+ ( 学) 厶( 2 - 4 2 - 2 ) 当l i m 三斗0 时，定义下面的等效电路参数， z ( j ) = l 。i l m - - 0 ( 寺u 邮) = 嘞( 訾)叫_ 0 u y ( f ) = 胁( 寺)叫呻0 凸 刖) = 咖( 警)脚_ + 0 凸 ( 2 - 4 3 - 1 ) ( 2 - 4 3 - 2 1 ( 2 4 3 3 ) ( 2 - 4 3 _ 4 ) 这样，方程( 2 4 2 ) 能近似的表达为以下的差分形式的方程，以下的两个差分方 程被称为广义非均匀传输线差分方程。 面d v = 一z ( f ) 州) + 口( f ) 嘲( 2 - 4 4 - 1 ) 等一y ( f ) 州f ) + 刚) 州) ( 2 - 4 4 - 2 ) 】6 电子科技大学硕士学位论文 其等效电路为： + l1 4 0 图2 - 8 广义传输线方程的等效电路图 2 4 利用广义传输线方程从微带电路结构中提取电路参数过程 1 首先利用矩量法我们可以求出在一个频率点下，任意两种不同边界条件， 微带结构上的两组电流和电压分布。