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電子計算機概論作業 This is my pet班級:數一甲姓名:蔡明寰學號:49731124目錄第一章 編碼21.1 資料儲存單位21.2 ASCII(把ASCII Table貼上)21.3 BIG-521.4 UNICODE2第二章 整數系統22.1 二、八、十、十六進位表示法22.2 不同進位的互換22.3 4位元二補數的整數系統32.4 四則運算與溢位3第三章 浮點數33.1 二、十進位對於小數的表示法及其互換33.2 浮點數的表示法5第四章 數學定理與公式5第五章 數學家的故事9第一章 編碼1.1 資料儲存單位為了更明確儲存資料時用了多少的記憶空間，因此人們也為電腦命名了儲存單位，就如同長度的單位有公分、公尺，重量的單位有公克、公斤、公噸，接著我們一起來了解用於電腦上的單位名稱。位元(Bit)：資料儲存的最小單位，資料內容為0與1。位元組(Byte)：電腦用來表示資料與儲存資料的基本單位。1 Byte=8 Bits 以8條電路為一組，因每一條電路上所傳送的位元不同，所以整組共有28=256不同的位元組合，但不論那一種組合都稱為Byte。當資料量龐大時，可以使用更大的單位來表示。KB (Kilo Bytes)仟、MB (Mega Bytes)百萬、GB (Giga Bytes)十億、TB (Tera Bytes)兆。KB (Kilo Bytes)=1024 Bytes=210 BytesMB (Mega Bytes) =1024*1024 Bytes =220 Bytes=1024 KBGB (Giga Bytes) =1024*1024*1024Bytes =230 Bytes=1024 MBTB (Tera Bytes) =1024*1024*1024*1024 Bytes =240 Bytes=1024GB1.2 ASCII(把ASCII Table貼上)1.3 BIG-5Big 5 為目前在台灣普遍所使用的業界標準， Big 5碼包括第一字面5401個漢字，第二字面7652個漢字及440個符號。 目前支援Big 5的軟硬體包含Windows 95/NT、Apple OS、 倚天中文系統、點陣印表機、噴墨印表機、雷射印表機. 等等軟硬體設備都支持此內碼。 但由於台灣的特殊環境， 所以並非只使用Big 5碼為唯一的內碼，其他尚包括如金資碼， 財稅碼、電信碼、海關碼、IBM 5550碼、 戶政碼、 IBM主機碼、 公會碼(TCA)、 王安碼.等等，都分別使用於各種應用領域。1.4 UNICODE Unicode是一種通行全球的編碼方式。Unicode 因為必須將中、韓、日、英、法、阿拉伯等許多國家所使用的文字都納入，目前已經包含了六萬多個字元，所以 Unicode 使用了 16 個位元來為字元編碼。因為 Unicode 使用了 16 位元編碼，所以每個字元都用 16 位元來儲存或傳輸是很自然的事，這種儲存或傳輸的格式稱為 UTF-16。Unicode System是將目前所有出現過的各國文字盡量地蒐集，將之統一編碼，制定統一標準，供系統使用。第二章 整數系統2.1 二、八、十、十六進位表示法二進位制：0,1八進位制：0,1,2,3,4,5,6,7十進位制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十六進位制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F2.2 不同進位的互換8=2*2*216=2*2*2*2所以2換8會換出一個數8換2會必須將一個數換成三個16換2會必須將一個數換成四個2.3 4位元二補數的整數系統二補數（2s complement）是一種用二進位表示有號數的方法，也是一種將數字的正負號變號的方式，常在計算機科學中使用。一個數字的二補數就是將該數字作位元反相運算（即一補數），再將結果加 1，即為該數字的二補數。在二補數系統中，一個負數就是用其對應正數的二補數來表示。二補數系統的最大優點是可以在加法或減法處理中，不需因為數字的正負而使用不同的計算方式。只要一種加法電路就可以處理各種有號數加法，而且減法可以用一個數加上另一個數的二補數來表示，因此只要有加法電路及二補數電路即可完成各種有號數加法及減法，在電路設計上相當方便。另外，二補數系統的 0 只有一個表示方式，這點和一補數系統不同（在一補數系統中，0 有二種表示方式），因此在判斷數字是否為 0 時，只較比對一個不同的條件即可。以下用 4 位元的二補數數字來說明二補數系統的數字表示方式:在表示正數和零時，二補數數字和一般二進位一樣，唯一的不同是在二補數系統中，正數的最高位元恆為 0，因此4 位元的二補數正數，最大數字為 0111 (7)。 二補數數字的負數，最高位元恆為 1，4 位元二補數的數字中，最接近 0 的負數為 1111 (-1)，以此類推，因此絕對值最大的負數是 1000 (-8)。 (加上一句話8位元、16位元、32位元都是一樣的整數系統)2.4 四則運算與溢位四則運算(二進位):加法：000，011，101，1110 減法：000，101，110，1011 乘法：000，01100，111 除法：010，111 演算溢位或簡稱為溢位指的是：在電腦領域裡所發生的溢位條件是，執行單項數值計算時，當計算產生出來的結果是非常大的，大於暫存器或記憶體所能儲存或表示的能力限制。 第三章 浮點數 3.1 二、十進位對於小數的表示法及其互換十進位的小數表示法如1234.56=1*10的3次方 + 2*10的2次方 + 3*10的1次方 + 4*10的0次方 +5*10的-1次方 +6*10的-2次方 二進位的小數表示法如101.11=1*2的2次方 + 0*2的1次方 + 1*2的0次方 + 1*2的-1次方 +1*2的-2次方十進位轉換成二進位的方法例：0.875 21.750 取小數前的 1 (1)0.750 前一計算的乘積只取小數部份 21.500 取小數前的 1 (2)0.500 前一計算的乘積只取小數部份 21.000 取小數前的 1 (3)由(1)(2)(3)十進位 0.875 為二進位 0.1110.300 20.600 取小數前的 0 (1)0.600 21.200 取小數前的 1 (2)0.200 20.400 取小數前的 0 (3)0.400 20.800 取小數前的 0 (4)0.800 21.600 取小數前的 1 (5) 從這裡可以發現又回到(1)的情況因此 十進位的 0.3 是乘不進二進位的，會變成 0.010011001循環浮點數3.2 浮點數的表示法電腦對於實採用浮點表示法，目前一般採用IEEE754 (32或64位元)表示法。 一般將實表示成(-1)S(1+F)2(E-b) S：正負號，1為負，0為正。 F：小部份 E：指部份 b：32位元為127，64位元為1023。 浮點分成S、E、F三部份由左至右緊緻地儲存於32或64位元中。 浮點表示法在比較大小時，可以視同整進大小比較，加快處速。IEEE-754的基本定義好了1.S(B0)：0代表正；1代表負2.Exponent(B1B8)：偏移值是1273.Mantissa(B9B31)：表示1.M，其中整數部分的1為隱含位元，因此(-0.00001101)(Bin)= 1.101 x 2(-5)1.因為是負值，所以S=12.Exp=-5+127=122(Dec)= 01111010 (Bin)3.(1.101)，其中整數1隱含，所以Mantissa=1010.0 (20個0)第四章 數學定理與公式 4.1 勾股弦定理勾股弦定理或勾股定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱百牛定理。在中國，周髀算經記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對周髀算經內的勾股定理作出了詳細註釋，作為一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。勾股弦定理指出：直角三角形兩直角邊（即勾、股）邊長平方和等於斜邊（即弦）邊長的平方。 也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。勾股弦定理同時是餘弦定理中的一個特例。勾股弦定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。4.2 尤拉線與九點圓在平面幾何中，歐拉線是指過三角形的垂心、外心、重心和九點圓圓心的一條直線。萊昂哈德歐拉證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。 4.3 微積分的一些重要定義與定理(極限定義)、導數的定義(附圖說明)、 均值定理(附圖說明)1.極限定義:， , calles 2.導數的定義:如下圖(下頁)所示，設P0為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當P沿曲線逐漸趨向點P0時，並且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。若曲線為一函數y = f(x)的圖像，那麼割線PP0的斜率為：當P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時，此時，則P0T的斜率tan為：上式與一般定義中的導數定義是完全相同，則f(x0) = tan，故導數的幾何意義即曲線y = f(x)在點P0(x0,f(x0)處切線的斜率。 均值定理:4.4 線性代數的一些基本性質、線性聯立方程式與矩陣表示式、矩陣相乘1.線性代數基本性質:令 F 是一個 field. 我們說 V 是一個 vector space over F, 如果 V 本身元素間有加法 + 運算, 而且對任意 c F, v V 皆有 c . v V, 且滿足: (VS1) V 在加法之下是一個 abelian group. (VS2) 對所有的 c F 以及 v1, v2 V 皆有 c . (v1 + v2) = c . v1 + c . v2. (VS3) 對所有 c1, c2 F 以及 v V 皆有 (c1 + c2) . v = c1 . v + c2 . v 且 c1 . (c2 . v) = (c1 . c2) . v. (VS4) 對任意 v V 皆有 1 . v = v, 其中 1 F 是 F 乘法的 identity. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F, 如果 v1,., vn V 滿足對任意 v F 皆存在 c1,., cn F 使得 v = c1 . v1 + . + cn . vn, 則稱 v1,., vn span V over F. 2.矩陣表示法與相乘:(a)表示法: (b)乘積:矩陣相乘最重要的方法當然是一般矩陣乘積了，它只有在第一個矩陣的列數和第二個矩陣的行數相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若A為mn矩陣，B為np矩陣，則他們的乘積AB(有時記做A B)會是一個mp矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出： 第五章 數學家的故事 1.歐拉歐拉於 1707 年 4 月 15 日誕生於瑞士的巴塞爾(Basel)，歐拉的父親希望他學習神學但他最感興趣的是數學 。1720年，在雅各伯努利(Jacob, Bernoulli)的提議和推薦下，進入巴塞爾大學聽課，在大學時，受到約翰伯努利(Jahann, Bernoulli)的特別指導，專心研究數學，1726年，發表了第一篇科學論文，討論船桅最佳位置的選擇，1727年因而獲得巴黎科學院的表揚。1727年，在丹尼爾伯努利和尼古拉 伯 努 利兩兄弟的推薦下，應邀到俄國的彼得堡科學院從事研究工作。在 1733 年接替丹尼爾伯努利，成為數學教授。1735年，著手於解決一個彗星軌道的計算問題，僅三天就獲得成功，因過度勞累使他的右眼失明。1736年，解決了哥尼斯堡七座橋問題。得出現在變分法中所謂的基本微分方程。1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請到德國科學院。歐拉一生最好的作品都在柏林科學院十五年的歲月中完成的，如 無 窮 小 分 析 引 論 （ 1748 ） ， 微 分 學 原 理 （ 1755 ）。1766年，他應俄國沙皇敦聘重回彼得堡，不久，他的左眼得病慢慢完全失明。但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續從事科學創作。他通過與助手們 的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學著作，直至生命 的最後一刻。 該年，他出版了 關於曲面上曲線的研究 ，這是對微分幾何最重要的貢獻，更是微分幾何發展史上一個里程碑。 積 分 學 原 理 （ 1768 - 1770 ）。1783年9月18日逝世於俄 國 的 聖彼得堡。歐拉是數學史上最多產的數學家，我們現在習以為常的數學符號很多都是歐拉所發明介紹的，例如：函數符號 f(x)、圓週率、自然對數的底 e、求和符號 、log x、sin x、cos x以及虛數單位 i 等。喬治西蒙曾稱他為數學界的莎士比亞。歐拉常數的值，其值近似為 0.57721566490153286060651209.歐拉線：三角形垂心和外心的連線(重心必在歐拉線上)歐拉點：三角形各頂點與重心的連接線段之中點(有三點)歐拉圓：三角形三邊中點、三垂線的垂足和三個歐拉點共圓，此圓即歐拉圓歐拉在分析學上引入了G函數和B函數，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分。在代數學方面，他發現了每個實系數多項式必分解為一次或二次因子之積，即 a+bi 的形式。歐拉還給出了費馬小定理的三個證明，並引入了數論中重要的歐拉函數 (n) 。歐 拉對數學的產生興趣，主要是看到這樣一個奇怪的現象：我們將展開，我們得到的至到無窮。如果現在令x=2，我們就得到，而是一個正數而且是無窮大，這樣說來就等於無窮大!若我們將展開，我們得到的至到無窮。令x = 2，左邊 = ，右邊是一個正的整數，這也是非常奇怪的事。歐拉就由此研究級數理論，建立了可以說是近代數學分析的基礎理論。2.牛頓:牛頓於西元 1642 年聖誕節，誕生於英國林肯郡的 沃爾斯索普(Woolsthorpe) 村， 是個早產兒。從小體弱多病，他的父親是一位農夫， 在牛頓出生之前二個月便去逝了，遺留下一個農場。 母親在其三歲之時 ， 又改嫁他人， 因此牛頓由其外祖母所撫養成人。 牛頓小時候, 便愛親自動手做小機械之類的玩藝兒，曾設計了水鐘與玩具磨坊等不同於其他兒童的創造。 1661年6月，他以減費生身份考入劍橋大學三一學院。但當時牛頓的興趣是在化學的領域。他入學考試的歐氏幾何成績並不理想，甚至在大學期間，差點放棄科學而改念宗教學。在他大學中讀了笛卡兒(Descartes)著La Geometrie(幾何學)使他對數學產生興趣。 1664 年底, 牛頓似乎精通了所有數學的知識， 並開始將數學應用在各方面 的領域。 大學畢業1665這年，倫敦流行瘟疫，他回老家。有一天，晚餐過後，牛頓在自己的房間裏看伽利略的對話，不一會兒撲通一下，像有甚麼東西落在院裏，接著又是一下。牛頓合上對話，到庭院樹下踱著步子，想著剛才那聲音。忽然又是撲通一聲，一個熟透的蘋果擦著他的肩膀，跌落在自己的腳邊。牛頓蹲下拾蘋果時，抬頭看見了那輪明月，不免尋思：蘋果熟了就會落到地上，那月亮為甚麼不會落下來呢？再者，這蘋果為甚麼不會與月亮一樣，飄上天卻非要往地上落不可呢？為甚麼月亮繞著地球轉，也不會飛走？ 牛頓想那月亮繞地球飛行的速度v月應該是它的繞地軌道長除以繞地球周期(v月2r/T)，月亮的向心加速度a月v2月/r42r/T20.0027米/秒2(T=27.3天2.36106秒，v3.8108米)。這是天上的規律。那麼地球吸引蘋果呢？它的加速度就是自由落體加速度g9.8米/秒2。根據開普勒三定律可推出兩行星間的吸力與它們間的距離平方成反比。天上地下的規律一個樣，那麼這個比例是成立的a月/gR2/v2(R是地球半徑，即蘋果到地心距離；r是地月間距離)。g=9.8，r=60R，所謂a月9.8(1/60)20.0027米/秒2。妙極了，從不同的途徑推出了一樣的結果，這就證明天上地下，蘋果月亮原來一個樣啊。物體間都是一種同樣的吸力，其所以大小不同只是由於它們的質量和相互間的距離不同。F=GMm/r2。這種力是不分天南海北，春夏秋冬，天上地下，到處都有的萬有引力啊。 1667年，瘟疫剛消失，牛頓便重返校園，翌年獲碩士學位，有個假日，牛頓在房中，推演著那引力的公式，一抬頭只見門縫裏露進一縷細細的陽光，自語道：從來沒有見過這樣細的光絲，不知可否將它再分成幾縷？這麼想著，他便伸手從抽屜裏摸出一塊三稜鏡，迎上去截住那絲細光，然後回頭去看這光落在牆上的影子。那牆上竟出現一段紅、橙、黃、綠、青、藍、紫的彩色光帶。他反覆玩三稜鏡的遊戲。領悟到一個秘密：我們平時看到的白光，其實不是一色白，它是由許多光混合成的。1668年製成第一架反射式望遠鏡。1669年，在他老師巴羅(Barrow)辭職後，繼任為三一學院的數學教授；同年用級數展開法計算雙曲線下的面積，同時發明了二項式定理及在著書無限項方程式分析中談到微積分基本定理；1672年2月，牛頓在皇家學會上宣讀了光和顏色的新理論的論文，歸納了十三個命題。他指出：我們平常看見的白光不過是發光體發出的各種顏色光的混合。白光可以分解成從紅到紫的七色光譜。一切自然物體的顏色是因為它們對光的反射性能不同。按這個理論，虹的問題解決了，它不過是白光讓空中的水滴(相當於三稜鏡)分成七色而已。物體的顏色不同不過是因為各自的反射性能不同。牛頓並因此而創立了光譜理論。1679 年， 牛頓用新的測度計算地球的半徑，並同時利用自己發明的微分法來理解行星在橢圓軌道上的運動， 而導出他的萬有引力公式。1686年，公佈有萬有引力的巨著自然哲學的數學原理。1687年夏天，這部科學史上劃時代的巨著自然哲學的數學原理終於由哈雷(Edmund Halley,16561742，哈雷慧星的名字由來) 的主持和資助出版了。這是從哥白尼到牛頓時期動力學和天文學上所有發現的系統總結和發展。它以嚴密的數學推理和天文觀測相結合，對物質的組成、相互作用和運動規律做了全面的論證，從而建立起一個完整的普遍的力學理論體系，被譽為所有科學著作中最偉大的一本。牛頓在萬有引力問題上的具體貢獻，歸納起來有三點：第一，運用積分法證明球體的引力場可以看作質量集中在球心上的質量來處理；第二，得到了正確的萬有引力定律數學表達式；第三，把引力理論應用到一切物體之間，使之具有普遍性，確定了天體之間的引力和地球上的引力的同一性。 1696年3月29日，他搬家到倫敦。1699年正式升任為造幣廠廠長，同年被選為巴黎科學院院士。 1703年11月30日，他被選為皇家學會會長。1704年發表光學和曲線求積法。1705年，他被封為貴族。1707年算術通論出版。1711年用無窮多項方程的分析出版。1727年2月28日，牛頓以85歲高齡在倫敦剛剛主持了皇家學會的一次會議，突然膽結石症發作，一陣酸痛昏迷過去。1727年3月，牛頓病逝，死後葬於威斯敏斯特大教堂，享年85歲。3.笛卡兒笛卡兒1596年3月31日生於法國圖爾（Touraine）附近的拉海鎮（La Haye，現名拉海笛卡兒鎮）。八歲時，笛卡兒被送到Anjou的耶穌會學校La Fleche。由於他纖弱的體質，使得習慣於沈溺床上直到正午，他常利用這段時刻作思考，這種晚起的習慣一直持續到他的晚年。 1612年，他到巴黎普瓦捷大學供讀法律，四年後獲頒博士學位，並成為律師。 1617年，笛卡兒到荷蘭加入Orange公爵的軍隊。一日因緣際會，他閒步荷蘭Bred的街頭，順利解決廣告上的一道數學挑戰難題，使他相信自己具有數學天份，而開始在這個領域認真地鑽研。 1619年11月10日在軍中的一個夢，使他悟得眾多科目中能建立真理的方法那就是數學方法。他說：數學是人類知識活動留下來，最具威力的知識工具，是一些現象的根源。 1621年，笛卡兒脫離軍隊返法，但適逢內亂，於是遊歷於丹麥、德國、意大利等地。直至1625年才返回法國，與梅森等人一起研討數學。 1628年，他覺得巴黎塵囂過甚，移居荷蘭，在那裡住了二十多年，他所有著作幾乎全是在荷蘭完成的。 1637年以法文寫成的方法論，附設三短論及一篇序言分別為：折光學、氣象學、幾何學及科學中正確運用理性和追求真理的方法論。當中以La Geometrie幾何學為代表作，是他唯一的數學論著，也是解析幾何的精華所在，後世數學史家把它當作解析幾何的起點。全書共分三卷，內容分析了幾何學與代數學的優劣，表示要尋求另一種包含兩者好處而沒有兩者劣處的方法。 在卷一中，他把幾何問題化作代