随机变量及其分布.ppt

第二章随机变量及其分布,管理统计学,1随机变量,在概率的研究中为什么需要引入随机变量？,引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。,如何引入随机变量的概念？,为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系，例如在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时刻正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某段时间中的话务量，它与呼叫的次数及各次呼叫占用交换设备的时间长短有关。此外如测量时的误差，气体分子运动的速度，信号接收机所收到的信号(用电压表示或数字表示)的大小，也都与数值有关。,例1：将一枚硬币抛掷3次，我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H,T出现的次序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次数，那么对于样本空间S=e中的每一个样本点e，X都有一个值与之对应，即有,我们注意到，随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率。如，当且仅当事件A=HHT,HTH,THH发生时有x=2,而且P(A)=3/8,则Px=2=3/8。,如何引入随机变量的概念？,有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述，例如在掷硬币问题中，每次出现的结果为正面或反面，与数值没有关系，但是我们能用下面方法使它与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，而出现反面时对应数“0”，为了计算n次投掷中出现的正面数就只须计算其中“1”出现的次数了。,如何引入随机变量的概念？,一般地，如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：如果A发生如果A不发生这些例子中，试验的结果能用一个数x来表示，这个数x是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。下面我们就来考虑应当如何给这种量以严格的数学定义。,如何引入随机变量的概念？,正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是试验会出现的结果，更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现，也即对随机变量我们不但要知道它取什么数值，而且要知道它取这些数值的概率。,本书约定:,大写字母,如:X,Y,Z,W等,表示随机变量;小写字母,如x,y,z,w等,表示实数;,2离散型随机变量及其分布律,设随机试验的样本空间为S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实函数，称X=X(e)为随机变量。,随机变量,X取其各个可能值xk(k1，2，)的概率PXxkpk，称为离散型随机变量X的概率函数(概率分布或分布律)。分布率也可以用表格的形式来表示：称为随机变量X的分布律。,如果随机变量X的取值是有限个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量。,离散型随机变量的概念,离散型随机变量的概率分布,由概率的定义,pk满足如下条件:(1)pk0;(2),例2：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X的分布律。解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为,或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3,PX=4=(1-p)4以p=1/2代入得,(0-1)分布的分布律也可写成,（01）分布,设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是PXkpk(1-p)1-k，k0，1(0p1)，则称X服从(0-1)分布或两点分布。,关于（01）分布,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S=e1，e2，我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(01)分布的随机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。,伯努利试验,设试验E只有两个可能结果：A及，则称E为伯努利(Bernoulli)试验。,设P(A)p(0p(n+1)p时，b(k;n,p)0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X丌()。,易知，PX=k)0，k=0，1，2，且有,关于泊松分布,历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从泊松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。,例9对上海某公共汽车站的客流进行调查，统计了某天上午10：30至11：47左右每隔20秒钟来到的乘客批数(每批可能有数人同时来到)，共得230个记录，我们分别计算了来到0批，1批，2批，3批，4批及4批以上乘客的时间区间的频数，结果列于下表中，其相应的频率与=0.87的泊松分布符合得很好。公共汽车客流统计,二项分布的泊松(poisson)逼近（选读）,在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验，其中，相对地说，n大，p小，而乘积=np大小适中。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。定理在贝努利试验中，以pn代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数n有关，如果npn，则当n时，在应用中，当p相当小（一般当p0.1)时，我们用下面近似公式,证记n=npn，则,二项分布的泊松(poisson)逼近,例10假如生三胞胎的概率为10-4，求在100000次生育中，有0，1，2次生三胞胎的概率。解这可以看作贝努利试验；N=100000,P=0.0001,所求的概率直接计算为b(0;100000,0.0001)=0.000045378b(1;100000,0.0001)=0.00045382b(2;100000,0.0001)=0.0022693这时也可用泊松逼近，=np=10,而p(0,10)=0.00004540p(1,10)=0.0004540p(2,10)=0.002270,2随机变量的分布函数,离散型随机变量的可能取值可以一个个列出来.但非离散型随机变量却不行,因此,描述非离散型随机变量不能用“随机变量的分布律”来表示.另一方面,在实际应用中,我们对某些随机变量(如:误差)在某个区间(范围)内的概率更感兴趣.因此,我们需要研究随机变量所取的值在某一区间的概率.,由于Px1Xx2=PXx2-PXx1,因此,只需求出PXx2及PXx1即可.如:,由于P1X3=PX3-PX1=1/2-1/6=1/3,定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=PXx称为X的分布函数.,引入分布函数后,则有:Px1Xx2=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1)(*),分布函数的基本性质,分布函数F(x)具有下列性质:F(x)是一个不减函数。即对于任意实数x1,x2(x1x2),有F(x1)F(x2);F(x)是右连续的。即F(x+0)=F(x),为什么分布函数定义为右连续？,定义左连续或者右连续只是一种习惯。目前，俄罗斯和东欧国家一般定义左连续；西欧和美国一般定义右连续；我国的大多数书籍也采用右连续。左连续和右连续的区别在于计算F(x)时，X=x点的概率是否计算在内。对于连续型随机变量而言，因为一点上的概率等于零，定义左连续和右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，如果PX=x0，则左连续和右连续时的F(x)值就不相同了。因此，在阅读关于概率论的参考书时，要注意作者是定义左连续还是右连续的，以免出错。,离散型随机变量分布函数的计算,有了分布律，可以通过下式求得分布函数显然这时F(x)是一个跳跃函数，我们可以用分布律或分布函数来描述离散型随机变量。,例1设随机变量X的分布律为求X的分布函数，并求PX1/2,P3/2X5/2,P2X3.解,F(X)的图形如下,例2：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任意同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能击中靶，以X表示弹着点于圆心的距离。试求随机变量X的分布函数。解若X2，由题意，有F(x)=PXx=1.综合上述，即得X的分布函数为,4连续型随机变量及其概率密度,考虑连续型随机变量X落在区间(x,x+Dx)内的概率P(x0是区间长度,比值,叫做随机变量X在该区间上的平均概率密度.如果当Dx0时,上述比值的极限存在,则这个极限叫做随机变量X在点x处的概率分布密度(或概率密度),记作f(x):,由于P(xXx+Dx)=F(x+Dx)-F(x),并根据导数的定义可知,因此,随机变量的概率密度f(x)是分布函数F(x)的导数;也就是说,分布函数F(x)是密度函数f(x)的一个原函数.,由分布函数的定义,并根据牛顿莱布尼兹公式得:,所以,连续型随机变量的分布函数F(x)等于概率密度f(x)在区间(-,x)上的广义积分.,概率密度函数的性质,由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：(1)f(x)0，函数曲线位于x轴上方；,反之，对于定义在（-,)上的可积函数f(x),若它满足性质1和性质2，则由它定义的F(x)是一个分布函数，即它满足分布函数所必须具备的三个性质。,由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1.,由性质3知,随机变量X落在区间(x1,x2的概率P(x1x0，则由Xaa-DxXa得0PXaPa-DxXaF(a)一F(a-Dx)。在上述不等式中令Dx0，并注意到X为连续型随机变量，其分布函数F(x)是连续的。即得PXa=0,注意在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有PaXbPaXb=PaXb。在这里，事件X=a并非不可能事件，但有PX=a=0也就是说，若A是不可能事件，则有P(A)=0；反之,若P(A)0，并不一定意味着A是不可能事件。以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型时指的是它的分布律。,连续型随机变量的f(x)Dx在概率中的含义,由概率密度f(x)的性质4，有若不计高阶无穷小，有Px0)为常数，则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(,2)。,相应的分布函数为：,分布函数,性质：1.曲线关于x=对称。2.当x=时取到最大值。3.固定,改变，曲线沿Ox轴平移；固定,改变(越小)，曲线变得越尖，因而X落在附近的概率越大。,正态分布密度函数图示,正态分布分布函数图示,如前所述,对于概率密度有,对于正态分布来说,标准正态分布,当=0,=1时称X服从标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度和分布函数分别用(x),(x)表示，即有,显然(-x)=1-(x)另外，有(x)的函数表可查。,设XN(,2)，由(x)的函数表得到：P-X+=(1)-(-1)=2(1)-1=68.26P-2X+2=(2)-(-2)=2(2)-1=95.44P-3X+3=(3)-(-3)=2(3)-1=99.74可见，服从正态分布的随机变量虽然取值在(-，+)，但其值落在(-3，+3)内几乎是可以肯定的。,例3将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器定在d，液体的温度X（以计）是一个随机变量，且XN(d,0.52)。(1)若d=90，求X89的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？,(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？,解：按题意需求d满足,设随机变量XN(m,s2),则随s增大,概率P|x-m|s应()(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定,设XN(m,s2),F(x)为其分布函数,则对任意实数a,有F(m+a)+F(m-a)=?解:因为XN(m,s2),由正态分布的性质知:,从而有:,为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？,正态分布表现为其取值具有对称性，极大部分取值集中在以对称点为中心的一个小区间内，只有少量取值落在区间外。在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。如人的身体特征指标(身高、体重)，学习成绩，产品的数量指标等等都服从正态分布。许多较复杂的指标，只要在受到的大量因素作用下每个因素的影响都不显著，且因素相互独立，也可认为近似服从正态分布。又如二项分布、泊松分布在n很大时，也以正态分布为极限分布。因此，可以说正态分布是最重要的分布。,5随机变量的函数的分布,为什么要讨论随机变量函数的分布？,在实际中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。比如我们能测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面面积Ad2/4。这里，随机变量A是随机变量d的函数。我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=