九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径课件 新人教版 (2).ppt

24.1.2垂直于弦的直径,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.,问题情境,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,一、实践探究,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB于E点（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,O,A,B,C,D,E,二、,（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合,因此AE=BE,即直径CD平分弦，并且平分AB及ACB,AC=BC,AD=BD,O,B,C,D,A,E,O,A,B,C,D,E,垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧,归纳,条件,结论,换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧,也可以说：直径垂直于弦,垂径定理三种语言,1.定理垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧,老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CDAB吗？为什么？（2）,O,A,B,C,D,E,AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？,三、,几何语言表达,推论：,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,辨别是非,小试牛刀：如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,解：连结OA，作OEAB于点E，则OE3厘米，AEBE.AB8厘米AE4厘米在RtAOE中，据勾股定理有OA5厘米O的半径为5厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距,解决求赵州桥拱半径的问题,如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高AB=48米，CD=16米,实践应用：,O,A,B,C,D,E,若直径平分弦（弦不是直径），则这条直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.,归纳：,或者说：若直径平分一条不是直径的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.,几何语言表述：,AC=BC,定理及推论，总结：一条直线只需满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧中的任意两个条件，就能推出其它三个.简称“知二推三”.,如图，AB是O的一条弦，CD是直径，且AE=BEOE=5，AB=24，求O的半径,O,A,B,C,D,E,练一练：,驶向胜利的彼岸,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）.(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,2.已知：如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,1.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,提高练习,2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE即ACBD,注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法,3：如图，圆O的弦AB8，DC2，直径CEAB于D，求半径OC的长。,垂径,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.,练习5:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,总结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,船能过拱桥吗,2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,相信自己能独立完成解答.,船能过拱桥吗,解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,垂径定理的逆应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,D,C,课后小结,1、要把实际问