2019年高考数学一轮总复习专题31等比数列检测文.docx

专题31等比数列【学习目标】1.等比数列的定义，通项公式，递推公式，性质及求和公式.2.方程思想.【知识要点】1如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个 ，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示2如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G 3等比数列的通项公式为 4等比数列前n项和的公式Sn5对于正整数m，n，p，q，若mnpq，则等比数列中am，an，ap，aq的关系为aman .6等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an是递减数列7有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方8若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S(m1)kSmk，成等比数列(k1且kN*)9.等比数列的一些结论(1)在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.(2)若an是等比数列，则an、|an|皆为等比数列，公比分别为q和|q|(为非零常数).(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂.(4)an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列.(5)若数列an与bn均为等比数列，则manbn与仍为等比数列，其中m是不为零的常数.10.当q0，q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，这时k.【方法总结】1.判定等比数列，用定义q或等比中项法：aanan20.2.在a1、q、n、an、Sn中，已知其中三个量，可求其余两个量.利用公式列方程再解方程求之.3.等比数列有关知识，类比等差数列记忆.4.不要混淆ana1qn1与Sn(q1)的指数.【高考模拟】：一、单选题1等比数列中，若是方程的两根，则的值为A 6 B C D 1【答案】B【解析】【分析】由韦达定理可得，由等比数列的性质可得.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于简单题. 等比数列最主要的性质是下标性质：解答比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.2等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】由成等比数列可得，利用等差数列的通项公式可得（ ，解出 即可【详解】由成等比数列可得， 可得（，即，公差不等于零， 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题3已知为等比数列,则（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先由题得，再根据已知得到的值，再求，再求的值.【详解】由题得,因为，所以=.故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.4等比数列的前项和，成等差数列，则（ ）A 15 B -15 C 4 D -4【答案】A【解析】【分析】利用成等差数列求出公比即可得到结论故选：A【点睛】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键5设为等比数列的前项和，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果【详解】设等比数列的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题6定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：将函数的零点问题转化为函数和函数图象交点的问题处理，利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中画出两函数的图象结合图象得到两函数交点的横坐标，最后转化为等比数列求和的问题解决详解：由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为故选D点睛：（1）本题考查函数图象的应用及函数的零点，考查数形结合在解题中的应用及学生的应用知识解决问题的能力（2）应用函数的图象解题的策略研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标7已知数列的首项，满足，则A B C D 【答案】C【解析】【分析】由 ,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.【详解】,两式相加有；且， ，故答案为C.【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.8已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（ ）A 若，则 B 若，则C 若，则 D 若，则【答案】C【解析】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.详解：当时，又当时，当时，即；当时，即；当时，即；当时，综上可得当时，故选C.点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.9已知等比数列满足，则（ ）A 243 B 128 C 81 D 64【答案】B【解析】分析：利用条件确定等比数列的首项与公比，从而得到结果.详解：设等比数列的公比为，即128故选：B点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：化基本量求通项求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解化基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解化基本量求和直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解10已知数列的前项和，若，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】详解：由，得，数列是从第二项起的等比数列，公比为4，利用即可得解.详解，由，可得.两式相减可得：.即.数列是从第二项起的等比数列，公比为4，又所以.所以.故选B.点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.11在中，分别是角，的对边，若，成等比数列，则的值为（ ）A B C D 【答案】A点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.12设的三内角成等差数列, 成等比数列,则这个三角形的形状是（ ）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形【答案】D【解析】【分析】由成等差数列得到，由成等比数列得到，然后根据余弦定理可得，于是可得三角形为等边三角形【详解】的三内角成等差数列，成等比数列，由正弦定理得在中，由余弦定理得，为等边三角形故选D【点睛】利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，首先对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，然后根据边或角再进行判断13正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ）A 6 B 16 C 32 D 64【答案】D【解析】因为，即，又，所以.本题选择D选项.14已知等比数列满足，且，则当时A B . C D 【答案】C 点睛：本题考查等比数列的性质，考查对数的运算性质，属基础题.15数列中，（），则（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由，可得是公比为的等比数列，由等比数列的性质可得为公比是等比数列，利用等比数列求和公式可得结果.详解： ，是公比为的等比数列，为公比是等比数列，首项，故选D.点睛：本题考查主要考查等比数列的定义、性质以及等比数列的通项公式与求和公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.二、填空题16等差数列的前项和为，正数数列是等比数列，且满足，数列的前项和为，若对于一切正整数，都成立，则实数的最小值为_【答案】10【解析】【分析】由，可得关于等差数列首项，公差，等比数列首项，公比的方程组，从而可得其通项公式，利用错位相减法可得 ，进而可得结果.【详解】 ，解得，相减，恒成立，即的最小值为，故答案为.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.17等比数列的各项均为正数，且，则_.【答案】5.【解析】【分析】先由等比数列的性质求出 ，再根据性质化简 ，代入即可求出答案【点睛】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易18已知数列的前项和为，若，则_【答案】【解析】【分析】由与的关系即可得到答案.【详解】数列的前项和为，当时，解得，当时，-得：，是以为首项，为公比的等比数列，当时，也成立，故答案为：.【点睛】由anSnSn1求an时的n是从2开始的自然数，由此求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示.19如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：数列是等比赞列；数列是递增数列； 存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有.其中真命题的序号是_ (请写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】分析：求出数列是的前四项，可得到错，对；利用等比数列求和公式求出，利用不等式恒成立可判断错，对.详解：由图可知，不是等比数列，错误；是递增数列，正确； ，对于，要使恒成立，只需，无最小值，错误；对于，要使恒成立，只需，即的最大值为，正确，真命题是，故答案为.点睛：本题考查等比数列的求和公式，不等式恒成立问题以及归纳推理的应用，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20等比数列的各项均为正数，且，则_【答案】【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知 ，进而计算可得答案.详解： 为等比数列，又 .， .故答案为：10.点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.21数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列；有如下运算结论：；数列是等比数列；数列的前项和为；若存在正整数，使得，则，其中正确的结论是_（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】.【解析】分析：根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.详解：对于，前24项构成的数列是，所以，故正确；对于，数列是，可知其为等差数列，不是等比数列，故不正确；对于，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故正确；对于，由知，即，解得，且，故正确；故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的性质以及对应量的运算，解题的思想是观察数列的通项公式，理解项与和的关系，认真分析，仔细求解，从而求得结果.22下面有四个命题：在等比数列中，首项是等比数列为递增数列的必要条件.已知，则.将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到的图象.设，则函数有最小值无最大值.其中正确命题的序号为_.(填入所有正确的命题序号)【答案】【解析】如首项公比的等比数列为递增数列，所以首项不是等比数列为递增数列的必要条件，所以错误. 可知即，所以，所以错误. 将的图象向右平移个单位，得到的图象, 再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到的图象,所以正确. 得，又，可知在单调递减，在单调递增，所以正确.故答案为.23已知等比数列的前项和为，且，是的等差中项，若数列的前项和恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】分析: 根据条件求出an的通项，利用裂项相消法求和计算Tn，从而得出M的值详解：设等比数列an的公比为q，S4=a1+28，a3+2是a2，a4的等差中项，解得或，a2a1，a2=4，q=2an=2n，Sn=2n+12，Tn=，M的最小值为故答案为：点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2) 用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：，特别地当时，特别地当时 24下列命题中，正确命题的序号是_。 数列an的前n项和，则数列 an 是等差数列。若等差数列 an 中，已知 ,则 函数的最小值为2。等差数列的前n项和为，若，则最大时13 若数列an是等比数列，其前n项和为则常数k的值为1【答案】.【解析】分析：根据和项与通项关系求通项，再根据等差数列定义进行判断，根据等差数列基本量的计算求；根据函数单调性求最小值，根据等差数列性质确定项的符号变化的情况，根据所有正项的和最大确定结果. 根据等比数列和项特点得常数k的值.详解：因为，所以,数列是等差数列; 正确；因为 ，所以，正确；因为,t=，所以在上单调递增，当时取最小值为，错；因为，所以，因此最大时13，对.若数列an是等比数列，其前n项和为,因为，所以k=3, 错.点睛：等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口25设为数列的前项和,已知,对任意 ,都有,则 的最小值为_【答案】30【解析】分析：当时，数列是首项为，公比为的等比数列，由此得到，由可得，利用基本不等式可求的最小值.点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用基本不等式求函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题26定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，若数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为an=_.【答案】4n3.【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n项和公式， 然后求解数列的通项公式即可.详解：设数列的前n项和为，由题中的新定义可知：，则：，当时，当时，且时，则数列的通项公式为：.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.27已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为_【答案】【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可详解：由题意得直线的斜率为，即，解得当时，直线的斜率为，即， 又满足上式，数列的前项和为 点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解28（2018届浙江省宁波市5月模拟）已知数列与均为等差数列（），且，则_【答案】【解析】分析：先设，再通过分析为等差数列得到d=2,最后求出找到答案.详解：设，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以所以所以 故答案为.点睛：本题的关键是对数列与均为等差数列的转化，这里利用到了等差数列的一个性质，等差数列的通项是一个关于n的一次函数，根据这个性质得到d的值，后面就迎刃而解了.29在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；.设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为_【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系三、解答题30已知数列是等比数列，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据已知求出q的值，即得数列的通项公式.(2)先求得，再利用错位相减求数列的前项和.【详解】（2）因为，所以所以 则， . 得，所以【点睛】（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.31等差数列中， ，其前项和为，等比数列的各项均为正数， ，公比为（），且， .（1）求与；（2）求数列的前项和.【答案】（1）， ;（2）.【解析】【分析】（1）等差数列的公差为， ，求出公比和公差，然后求解通项公式（2）求出数列前项和为，化简通项公式，利用裂项相消法求和即可【详解】（1）等差数列的公差为， ，.整理得： ，解得： 或（舍去）， ，（2）数列前项和为， ，数列的前项和数列的前项和【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力32的内角所对的边分别为，若成等差数列，且（1）求角的大小；（2）设数列满足，前项和为，若，求的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)先由题得到B=,再利用余弦定理对c=2a化简即得角A的大小.(2)先化简已知得=再利用等比数列的求和公式求出n的值.【详解】（1）由已知又，所以又由，所以，所以ABC为直角三角形，所以（2）=所以，所以所以n=4或n=5.【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查等比数列的求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问，也可以对n分奇数和偶数两种情况讨论，也可以利用本题的解法，避免了分类讨论.33数列的前项和为，已知，.（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知， ， . -得，.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.34设数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式； （）若，设，求数列的前项和【答案】(1);(2).【解析】【分析】（）直接利用项和公式求数列的通项公式.( )先求出，再利用裂项相消求数列的前项和.【详解】（1）由得， 两式相减得：， 即 ， 即 所以数列是公比为的等比数列， 又由得， 所以； （2）因为， 所以， 所以【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.35设数列的首项，前项和满足关系式.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求数列的通项公式；（3）数列满足条件（2），求和：.【答案】（1）见解析.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用，求得数列的递推式，整理得，进而可推断出时，数列成等比数列，然后分别求得和，验证亦符合，进而可推断出是一个首项为1，公比为的等比数列；（2）把 的解析式代入，进而可知，判断出是一个首项为1，公差为1的等差数列进而根据等差数列的通项公式求得答案；（3）由是等差数列进而可推断出和也是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，进而用分组法可求得结果（2）由，得.所以是一个首项为1，公差为1的等差数列.于是.（3）由，可知和是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是，所以 .【点睛】本题主要考查了等比关系的确定，考查了学生综合分析问题的能力