中考数学复习：一元二次方程与二次函数

1 / 16 中考数学复习：一元二次方程与二次函数 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 中考数学专题 4 一元二次方程与二次函数 第一部分真题精讲 【例 1】已知：关于的方程 求证：取任何实数时，方程总有实数根； 若二次函数的图象关于轴对称 求二次函数的解析式； 已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立； 在 条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立， 求二次函数的解析式 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论m=0和 m0 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为 0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2 / 16 恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（ 1， 0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过 代点，将用只含 a 的表达式表示出来 ,再利用 ,构建两个不等式 ,最终分析出 a为何值时不等式取等号 ,于是可以得出结果 . 【解析】 解：（ 1）分两种情况： 当时，原方程化为，解得，（不要遗漏） 当，原方程有实数根 . 当时，原方程为关于的一元二次方程， . 原方程有两个实数根 .（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，取任何实数时，方程总有实数根 . （ 2） 关于 的二次函数的图象关于轴对称， . （关于 y 轴对称的二次函数一次项系数一定为 0） . 抛物线的解析式为 . ，（判断大小直接做差） （当且仅当时，等号成立） . 3 / 16 （ 3）由 知，当时， . 、的图象都经过 .（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） 对于的同一个值， 的图象必经过 . 又 经过， . （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算） 设 . 对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立， ， . 又根据、的图象可得， . （ a0时 ,顶点纵 坐标就是函数的最小值） . . 而 . 只有，解得 . 抛物线的解析式为 . 【例 2】关于的一元二次方程 . （ 1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根； （ 2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式； 4 / 16 （ 3）在（ 2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由 . 【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只 有一个交点，则需要设直线 y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为 y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于 x 轴的直线 ,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点 ,所以需要分情况讨论 ,不要遗漏任何一种可能 . 【解析】： （ 1）由题意得 解得 解得 当且时，方程有两个不相等的实数根 . （ 2）由题意得 解得（舍） (始终牢记二次项系数不为 0) （ 3）抛物线的对称轴是 由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握 ) 5 / 16 与抛物线有且只有一个交点 (这种 情况考试中容易遗漏 ) 另设过点的直线（） 把代入，得， 整理得 有且只有一个交点， 解得 综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有， 【例 3】 已知 P（ )和 Q（ 1，）是抛物线上的两点 （ 1）求的值； （ 2）判断关于的一元二次方程 =0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （ 3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值 【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现 P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴6 / 16 求出 b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减 (单独的 x),上加下减 (表达式整体 )然后求出结果。 【解析】 (1)因为点 P、 Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以 P、 Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等 所以，抛物 线对称轴，所以， （ 2）由（ 1）可知，关于的一元二次方程为 =0 因为， =16-8=80 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ， （ 3）由（ 1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为 若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可 由 =0，得 又是正整数，所以得最小值为 2 【例 4】已知抛物线，其中是常数 （ 1）求抛物线的顶点坐标； （ 2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式 7 / 16 【思路分析】本题第一问较为简单 ，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将 a 提出来 ,里面就是一个关于 X的完全平方式 ,从而得到抛物线的顶点式 ,节省了时间 .第二问则需要把握抛物线与 X 轴交于整数点的判别式性质 .这和一元二次方程有整数根是一样的 .尤其注意利用题中所给 ,合理变换以后代入判别式 ,求得整点的可能取值 . （ 1）依题意，得， 抛物线的顶点坐标为 （ 2） 抛物线与轴交于整数点， 的根是整数 是整数 ， 是整数 是整数的完全平方数 ， (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ) 取 1， 4， 当时，；当时， 的值为 2 或 抛物线的解析式为或 8 / 16 【例 5】已知：关于的一元二次方程（为实数） （ 1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （ 2）在（ 1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点； （ 3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式 【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式 0 就可以了，依然不能遗漏的是 m-10 。第二问则是比较常见的题型 .一般来说求固定点既是求一个和 未知系数无关的 X,y的取值 .对于本题来说 ,直接将抛物线中的 m 提出 ,对其进行因式分解得到 y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当 x=-1 时 ,y=0，而这一点恰是抛物线横过的 X 轴上固定点 .如果想不到因式分解 ,由于本题固定点的特殊性 (在 X轴上 ),也可以直接用求根公式求出两个根 ,标准答案既是如此 ,但是有些麻烦 ,不如直接因式分解来得快 .至于第三问 ,又是整数根问题 +平移问题 ,因为第二问中已求出另一根 ,所以直接令其为整数即可 ,比较简单 . 解：（ 1） 方程有两个不相等的实数根 , , 的取值范围是且 . 9 / 16 （ 2）证明：令得 . . ( 这样做是因为已经知道判别式是 ,计算量比较小 ,如果根号内不是完全平方就需要注意了 ) 抛物线与轴的交点坐标为 , 无论取何值，抛物线总过定点 （ 3） 是整数 只需是整数 . 是整数，且 , 当时，抛物线为 把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为 【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要 计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于 0，不要忘记二次项系数为 0 或者不为 0 的情况。第 2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量10 / 16 掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。 第二部分发散思考 【思考 1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数 . （ 1）求的值； （ 2）当此方程有两 个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式； （ 3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 .请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时，的取值范围 . 【思路分析】去年中考原题 ,相信有些同学已经做过了 .第一问自不必说，判别式大于 0 加上 k 为正整数的条件求 k很简单 .第二问要分情况讨论当 k取何值时方程有整数根 ,一个个代进去看就是了 ,平移倒是不难 ,向下平移就是整个表达式减去 8.但是注意 第三问 ,函数关于对称轴的翻折 ,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题 ,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化 ,哪些地方没有变 .然后利用画图解决问题 . 【思考 2】已知：关于的一元二次方程 （ 1）若求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）若 12 m 40的整数，且方程有两个整数根，求的值 11 / 16 【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间 ,所以就需要直接用求根公式来计算 .利用已知区间去求根的判别式的区间 ,也对解 不等式做出了考察 . 【思考 3】已知 :关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc （ c0 ）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1. （ 1）若方程 的根为正整数，求整数 k 的值； （ 2）求代数式的值； （ 3）求证 :关于 x 的一元二次方程 ax2-bx+c=0 必有两个不相等的实数根 . 【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论 k 的取值即可。第二问则需要将 k 用 a,b表示出来 ,然后代入代数式进行转化 .第三问则比较繁琐 ,需要利用题中一次方程 的根为正实数这一条件所带来的不等式 ,去证明二次方程根的判别式大于 0.但是实际的考试过程中 ,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件 ,从而无从下手导致失分 . 【思考 4】已知：关于的一元二次方程 （ 1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 12 / 16 （ 2）若方程的两个实数根满足，求的值 【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值 ,然后用韦达定理进行求解 ,但是这样的话计算量就会非常大 ,所以此题绕过韦达定理 ,直接用根的判别式写出 , 发现都是关于 m 的一次表达式 ,做差 之后会得到一个定值 .于是问题轻松求解 .这个题目告诉我们高级方法不一定简单 ,有的时候最笨的办法也是最好的办法 . 第三部分思考题解析 【思考 1 解析】 解：（ 1）由题意得， 为正整数， （ 2）当时，方程有一个根为零； 当时，方程无整数根； 当时，方程有两个非零的整数根 综上所述，和不合题意，舍去；符合题意 当时，二次函数为，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为 （ 3）设二次函数的图象与轴交于 13 / 16 两点，则， 依题意翻折后的图象如图所示 当直 线经过点时，可得； 当直线经过点时，可得 由图象可知，符合题意的的取值范围为 【思考 2 解析】 证明： 方程有两个不相等的实数根。 （ 2） 方程有两个整数根，必须使且 m 为整数 又 12 m 40， 5 9 m=24 【思考 3 解析】 解：由 kx=x+2，得 (k-1)x=2. 依题意 k-10. . 方程的根为正整数， k 为整数 , k -1=1或 k-1=2. 14 / 16 k1=2,k2=3. （ 2）解：依题意，二次函数 y=ax2-bx+kc 的图象经过点（ 1，0）， 0=a -b+kc,kc=b-a. = （ 3）证明：方程 的判别式为 =( -b)2-4ac=b2-4ac. 由 a0,c0, 得 ac0. (i)若 ac0.故 =b2 -4ac0.此时方程 有两个不相等的实数 根 . (ii)证法一 :若 ac0,由 (2)知 a-b+kc=0,故 b=a+kc. =b2 -4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1). 方程 kx=x+2的根为正实数， 方程 (k-1)x=2的根为正实数 . 由 x0,20,得 k-10. 4ac(k -1)0. (a -kc)20, =(a -kc)2+4a