椭圆标准方程及几何性质课件.ppt

5.2 椭圆,第一节 椭圆的 标准方程,2008年9月25日晚21时10分04秒， “神舟 七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空 ，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。,生活中的椭圆,数学实验：,新课讲解,结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？,思考：,平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。,1、椭圆的定义,如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：,P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）,平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。,（1）平面曲线,（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a,（3）定长|F1F2|(2a2c),理解：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？,动点M的轨迹：,线段F1F2 .,F1,F2,动点M的轨迹：,不存在.,O,X,Y,F1,F2,M,步骤一：建立直角坐标系,步骤二：设动点坐标,步骤三：列方程,步骤四：化简方程,求曲线方程的步骤:,2、椭圆的标准方程,步骤五：完备性检验,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（想一想：下面怎样化简？）,由椭圆的定义，,代入坐标,则方程可化为,观察左图， 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗？,即,a2-c2 有什么几何意义？,（ ）,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,F1（-c，0）、F2（c，0）,F1（0，-c ）、F2（0，c）,注意理解以下几点： 在椭圆的两种标准方程中，都有,的要求；, 在椭圆的两种标准方程中，由于 ，,所以可以根据分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上；, 椭圆的三个参数,之间的关系是 ，,其中,大小不确定,思考： （1）将一个底面圆半径为5的圆柱沿与底面成600角作一个截面，截面为椭圆，求其标准方程。 （2）椭圆的中心在点（m,n），标准方程式什么？,分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。,注意：,1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？,跟踪练习,变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？,变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程,当焦点在X轴时，方程为：,当焦点在Y轴时，方程为：,例1. 椭圆两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且 经过点P ，求标准方程。,解：法1： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点P, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,例题讲解,法2： 设它的标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的步骤： （1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位） （2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b. （后定量),1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4,b=3,焦点在x 轴； （2）a=5,c=2,焦点在y 轴上,2椭圆,的焦距是 ，焦点坐标为 ；,的弦，则,的周长为 ,若CD为过左焦点,跟踪练习,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,a2-c2=b2,(ab0),P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）,知识总结,例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0),一、求椭圆的标准方程,例题讲解,跟踪练习,例2. 已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程,二、利用椭圆的定义求轨迹方程,例3. 已知圆B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C为圆上任意 一点，AC中垂线与CB交于点P，求点P的轨迹方程。,例4. 有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行，卫星近地点约200公里，远地点约500公里，地球半径R约6400公里，求运行轨道方程。,x,o,F,F1,A,B,y,规律：近地点和远地点 一定是长轴的两个端点。,1. 已知动圆M和定圆C1：x2(y3)264内切，而和定圆C2：x2(y3)24外切求动圆圆心M的轨迹方程,跟踪练习,解：,设动圆,M,的半径为,r,，圆心,M,(,x,，,y,),，两定圆,圆心,C,1,(0,3),，,C,2,(0， 3）,，半径,r,1,8,，,r,2,2.,则,|,MC,1,|,8,r,，,|,MC,2,|,r,2.,|,MC,1,|,|,MC,2,|,(8,r,),(,r,2),10.,又,|,C,1,C,2,|,6,，,动圆圆心,M,的轨迹是椭圆，且焦,点为,C,1,(0,3),，,C,2,(0，,3),，且,2,a,10,，,a,5,，,c,3,，,b,2,a,2,c,2,25,9,16.,动圆圆心,M,的轨迹方程是,y,2,25,x,2,16,1.,2. 设点A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之 积为 ，求点M的轨迹方程。,思考：斜率之积为m(m0)?。,三、椭圆的应用,例5. 方程 表示椭圆，求k的范围。,1.本例中其他条件不变，F1PF260改为F1PF290，求F1PF2的面积,跟踪练习,思考：当F1PF2,时，焦点三角形面积S=?,第二节 椭圆的 几何性质,平面内与两个定点F1,F2的距离之和为常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距(2c)。,1、椭圆的定义,注意“常数2a”的条件：2a=2c 等于线段 2a2c 小于无轨迹,知识回顾,2019/11/17,41,可编辑,按照坐标法的基本步骤推导，注意带根号的式子的化简。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为： 焦点坐标为：F1(c,0)，F2(-c,0) 其中,2、椭圆的标准方程,当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为： 依然成立。 焦点坐标为： F1(0,c)，F2(0,-c),、范围,对于椭圆：,（ab0),为例,由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式,1 ,即 x2a2 , y2b2，,xa , yb.,1 ,椭圆的几何性质,新课讲解,x,这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成 的矩形里。,o,y,a,-a,b,-b,在椭圆上，任取一点(x,y),其关于x轴、 y 轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于x轴、 y 轴和坐标原点都是对称的。,x,o,(x, y),(x, y),(x, y),(x, y),y,、对称性,其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.,、顶点,椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫 做椭圆的顶点 线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴， a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,x,o,(a,0),(0,b),(-a,0),(0,-b),y,A1,A2,B1,B2,4、离心率,【定义】,焦距与长轴长的比,【范围】,0e1.,【几何意义】,e1,椭圆越扁,e0,椭圆越趋近于圆.,.,【变形公式】,5、准线方程,右准线的方程是,左准线的方程是,如图所示:,x,y,o,x,y,o,6、椭圆第二定义 平面内到定点F(C,0)距离与到定直线L: 的距离之比为 的点的轨迹是椭圆。,F,d,M,M,(2) 任何椭圆上的点到其焦点和对应准线距离之比一定是其离心率。,注：(1)平面内动点到定点与定直线距离之比为定值 的轨迹一定是椭圆。但不一定是标准方程形式，要化简求得。,图象,方程,性 质,范围,顶点,离心率,对称性,xa,yb,关于x轴、y轴、,都对称,a,0,0, b,ya,xb,坐标原点,关于x轴、y轴、,都对称,坐标原点,0, a,b,0, ab0 , ab0 ,e=,e=,准线,知识总结,例1. 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.,例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(3,0)、Q(0, 2); (2)长轴的长等于20，离心率等于0.6,例题讲解,例3. 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直 线l: 的距离之比是常数 ，求点M的 轨迹方程。,第三节 直线与椭圆 的位置关系,一、椭圆中常见的量：,1、离心率：,2、焦半径：,设,左焦半径：,右焦半径：,3、通径：,4、焦点三角形MF1F2面积：,1. 椭圆 上有一点M,（1）若MF1与MF2垂直，求三角形MF1F2面积及对应的两条焦半径长。,（2）若角F1MF2为600，求三角形MF1F2面积及点M坐标。,（3）若点P(2,-1),求|MP|+|MF2|的最小值及此时点M坐标。,x,o,F2,M(x0,y0),F1,y,2. 正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个 焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上， 求椭圆离心率。,x,o,F,B,A,y,D,E,C,3. 椭圆中心在原点，F是左焦点，直线AC与BF交于D， 且BDC=900，求椭圆的离心率。,x,o,F,C,A,B,y,D,4.椭圆 上有一点P，PF1与x 轴垂直,x,o,F2,F1,P,Q,A,B,(1)若PF2/AB,求e；,(2)若PO/AB,求e。,y,x,o,F2,F1,P,Q,A,B,y,5.以椭圆 的右焦点F为圆 心,FO为半径作圆与椭圆的一个交点为M,且 |MF|=|MO|，求e.,x,o,F,F1,A,M,y,6.椭圆 的焦点三角形 MF1F2中，两底角分别为150和750，求e.,x,o,F2,F1,M,y,规律：焦点三角形两底角为 ，则,7.椭圆 上一点M，F1，F2为 两焦点,(1)求证：M为短轴顶点B时， 最大；,(2)若存在一点M，使 ，求离心率e的范围。,x,o,F2,F1,M,y,规律：存在一点M使 则,8.椭圆 F1（-c,0)，F2(c,0) 为两焦点，若椭圆上存在一个点P，使 成立，求e范围。,x,o,F2,F1,P,y,9.椭圆 F1（-c,0)，F2(c,0) 为两焦点，在直线 存在一个点P，使线段 PF1中垂线经过点F2，求e范围。,x,o,F2,F1,P,y,二、直线与椭圆的位置关系：,（一）直线与椭圆相切,1. 若点P(x0,y0)与圆 （1）若点P在圆内，满足什么条件？圆外？ （2）若点P在圆上，过P的切线方程是什么？ （3）若点P在圆外，直线l: 与圆的位置关系？点P在圆内呢？,2.若点P(x0,y0)与椭圆 （1）若点P在椭圆内，满足什么条件？椭圆外？ （2）若点P在圆上，过P的切线方程是什么？,3.直线l:y=kx+1与椭圆C: 总有交点，求m范围。,4.P为椭圆C: 上一点，求点P到直线3x-2y-16=0的最值。,5.求以(-2,0),(2,0)为焦点，且与直线x+y-4=0相切 的椭圆方程。,（二）直线与椭圆相交,1. 过椭圆 的左焦点作倾斜 角为60的弦AB，求AB弦长。,2. 已知椭圆 被直线l截的弦的 中点为( )，求直线l的方程。,4. 已知椭圆4x2y21及直线yxm. （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求弦长的最值。,5.椭圆中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1与 椭圆交于两点P,Q,且 求椭圆方程。,x,o,P,Q,y,6.直线l:y=x-1与椭圆C: 交于A，B,以AB为直径的圆过椭圆左焦点F,求m。,1.椭圆一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上，其右焦点 到直线 距离为3,(1)求椭圆方程；,(2)若椭圆与直线y=kx+m(k不为0）交于不同两点M,N 且|AM|=|AN|,求m范围。,（三）综合应用,2.椭圆C:,(1)若椭圆与斜率为2的直线交于A,B，求AB中点M 的轨迹方程；,(2)若椭圆与过定点P(0,2)的直线交于A,B，求AB中点M 的轨迹方程；,(4)若椭圆存在两点关于直线l:y=2x+b对称，求b范围；,(5)若椭圆存在两点关于直线l:y=kx+1对称，求k范围.,(3)若椭圆与过定点P(0,2)的直线交于A,B， 求t=|PA|:|PB|的范围；,x,o,A,B,y,P(1,1/2),解(1)（法一）：显然l斜率存在， 设l：y-1/2=k(x-1)即y=kx-k+1/2 代入椭圆方程x2+4y2=4得 (4k2+1)x2+4k(1-2k)x+4(1/2-k)2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2即-4k(1-2k)/(4k2+1)=2,Delta0即3k2+k+3/40恒成立,（事实上，点P在椭圆内,直线与椭圆恒相交）,K=-1/2,所以l:y=(-1/2)x+1,（法二）：,设A(x1,y1),B(x2,y2),x12+4y12=4,x22+4y22=4,点差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 即2+4k=0,K=-1/2,所以l:y=(-1/2)x+1,代入方程由弦长公式得到弦长。,3.椭圆C中心在原点，交点在x轴上, 过点P(1,0)的直线L与椭圆交于A，B，直线y=x/2,过AB中点，同时，椭圆上存在一点N与右焦点F关于L,对称，求L及椭圆C.,x,o,A,B,y,F,N,4.长轴为4的椭圆上有A,B,C三点，A为长轴一端点， BC过椭圆中心O，且AC.BC=