（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形单元过关检测 文.doc

第三章 三角函数、解三角形单元过关检测（三） (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,角的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cos +sin =()A.B.-C.D.-【解析】选B.由任意角三角函数的定义知sin =,又是第二象限角,所以cos =-=-,因此cos +sin =-.2.记cos(-80)=k,那么tan 100等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.因为cos(-80)=cos 80=k,所以sin 80=.所以tan 100=-tan 80=-=-.3.(2018嘉兴模拟)将函数f(x)=cos x(其中0)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则f不可能等于()A.0B.1C.D.【解析】选D.由题意=k(kN*),所以=6k(kN*),因此f(x)=cos 6kx,从而f=cos,可知f不可能等于.4.(2018广州模拟)为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin xcos x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为y=sin=sin2,因此只需将y=sin x cos x=sin 2x向右平移个单位即可.【变式备选】将函数f(x)=2sin(x+)+1的图象向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得函数y=g(x)的图象,则g(x)图象的一个对称中心为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意y=g(x)=2sin+1,令2x-=k,kZ,得x=+,令k=0可得g(x)图象的一个对称中心为.5.(2018北京模拟)将函数f(x)=cos 2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间0,a上单调递增,则实数a的最大值为 ()A.B.C.D.【解析】选B.将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=cos2=sin 2x的图象,令2k-2x2k+,kZ,解得k-xk+,kZ,故当k=0时,g(x)在区间上单调递增,由于g(x)在区间0,a上单调递增,可得0a,即实数a的最大值为.6.已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,3),则tan=()A.-B.C.D.-【解析】选D.依题意,角的终边经过点P(2,3),则tan =,tan 2=-,于是tan=-.7.已知sin +cos =,(0,),则sin(+)的值为()A.B.C.D.【解析】选A.因为sin +cos =,所以sin cos 0,又因为(0,),所以,所以+,因为sin +cos =sin=,所以sin=,所以cos=-,sin=sin=sincos-cossin=-=.8.(2018杭州模拟)已知函数f(x)=2sin(x+),x的图象如图所示,若f(x1)=f(x2),且x1x2,则f(x1+x2)= ()A.1B.C.D.2【解析】选A.由题图知=-=,故T=,所以=2,又f=0,所以2+=0,=,故f(x)=2sin,又f(x1)=f(x2)且x1x2,不妨设x1=0,则x2=,所以x1+x2=,因此f(x1+x2)=2sin=1.9.(2018淄博模拟)使函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)是奇函数,且在上是减函数的的一个值是()A.B.C.D.【解题指南】利用辅助角公式化简得f(x)=2sin(2x+),由于它是奇函数,故+=k,kZ,再讨论k是奇数和偶数,使f(x)满足在上是减函数得到值.【解析】选B.因为函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=2sin是奇函数,故+=k,kZ,=k-,kZ.当k为奇数时,令k=2n-1,nZ,f(x)=-2sin 2x,满足在上是减函数,此时,=2n-,nZ,选项B满足条件.当k为偶数时,令k=2n,f(x)=2sin 2x,不满足在上是减函数.综上,只有选项B满足条件.10.(2018长沙模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,c=2,cos C=,则ABC的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.因为a=1,c=2,cos C=,则sin C=,所以由余弦定理得:=,整理得2b2-b-6=0,解得b=2或b=-(舍),所以SABC=absin C =12=.11.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【解析】选B.如图,由题意可得:AOB=,OA=4,在RtAOD中,可得:AOD=,DAO=,OD=AO=4=2,可得:矢=4-2=2,由AD=AOsin=4=2,可得:弦=2AD=22=4,所以弧田面积=(弦矢+矢2)=(42+22)=4+29(平方米).12.(2018九江模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(2sin B+sin A)+(2a+b)sin A=2csin C,则C=()A.B.C.D.【解析】选C.因为b(2sin B+sin A)+(2a+b)sin A=2csin C.所以由正弦定理可得:b(2b+a)+(2a+b)a=2c2,整理可得:b2+a2-c2=-ab,所以由余弦定理可得:cos C=-.因为C(0,),所以C=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=sin 2x+cos2x的最小正周期为_.【解析】y=sin 2x+=sin 2x+cos 2x+=sin+,故T=.答案:14.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30,乙山山顶B的仰角为45,APB的大小为45,山脚P到山顶A的直线距离为2 km,在A处测得山顶B的仰角为30,则乙山的高度为_ km.【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AEBD于点E.由题意可知APC=30,BPD=45,AP=2,所以AC=APsin 30=1,DE=AC=1,设BD=h,则DP=BD=h,BE=h-1,所以BP=h.因为BAE=30,所以AB=2BE=2h-2.在ABP中,由余弦定理得:cos 45=.解得h=2.所以乙山的高度为2 km.答案:215.(2017浙江高考)已知ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是_,cosBDC=_.【解析】因为在ABC中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cosABC= =,则sinDBC=sinABC=,所以SBDC=BDBCsinDBC=,因为BD=BC=2,所以BDC=ABC,则cosBDC=.答案:16.(2018长春模拟)非零实数a,b满足tan x=x,且a2b2,则(a-b)sin(a+b)- (a+b)sin(a-b)=_.【解析】因为非零实数a,b满足tan x=x,且a2b2,所以可得:b=tan b,a=tan a,所以原式=(a-b)(sin acos b+cos asin b)-(a+b)(sin acos b-cos asin b)=2acos asin b-2bsin acos b=2tan acos asin b-2tan bsin acos b=2sin asin b-2sin asin b=0.答案:0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.【解析】因为=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A0,00,0)为奇函数,所以-=k,kZ,所以=.因为相邻两对称轴间的距离为=,所以=2,f(x)=2sin 2x.令2k+2x2k+(kZ),求得k+xk+(kZ),故函数的减区间为,kZ .结合x,可得f(x)的单调递减区间为.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象;再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)=2sin的图象,当x时,4x-,此时,sin,故函数g(x)-2,.20.(12分)(2018九江模拟)已知函数f(x)=Asin(x+),xR且f=. (1)求A的值.(2)若f()+f(-)=,求f.【解析】(1)因为函数f(x)=Asin,xR且f=,所以Asin=Asin =A=,故A=.(2)由(1)得f(x)=sin,所以f()+f(-)=sin+sin=2sin cos =cos =,故cos =,又因为,所以sin =.所以f=sin=sin(-)=sin =.21.(12分)(2017天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2). (1)求cos A的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asin A=4bsin B,及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A=-.(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B=.由(1)知,A为钝角,所以cos B=,于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=-=-.22.(12分)(2018石家庄模拟)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin =, 090)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时).(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.【解题指南】(1)先根据题意画出简图确定AB,AC,BAC的值,求出的余弦值,再由余弦定理求出BC的值,从而可得到船的行驶速度.(2)先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q,根据余弦定理求出cosABC的值,进而可得到sinABC的值,再由正弦定理可得AQ的长度,从而可确定Q在点A和点E之间,根据QE=AE-AQ,求出QE的长度,然后过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离,进而在RtQPE中求出PE的值,再与7进行比较即可得到答案.【解析】(1)如图,AB=40,AC=10,BAC=,sin =,由于040=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-ABC)=15=37.所以船会进入警戒水域.【变式备选】如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.(1)求线段MN的长度.(2)若MPN=60,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解题指南】(1)在AMN中,利用余弦定理得到MN.(2)设PMN=,得到PNM=120-,利用正弦定理将PM+PN用表示,结合三角函数的有界性求最值.【解析】(