2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数习题 新人教A版选修2-2.doc

第一章1.31.3.2 函数的极值与导数 A级基础巩固一、选择题1已知函数yf(x)在定义域内可导，则函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析根据导数的性质可知，若函数yf(x)在这点处取得极值，则f (x)0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)x3在R上是增函数，f (x)3x2，则f (0)0，但在x0处函数不是极值，即充分性不成立故函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B2函数y2x36x218x7(A)A在x1处取得极大值17，在x3处取得极小值47B在x1处取得极小值17，在x3处取得极大值47C在x1处取得极小值17，在x3处取得极大值47D以上都不对解析y6x212x18，令y0，解得x11，x23当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况见下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f (x)00f(x)极大值极小值当x1时，f(x)取得极大值，f(1)17，当x3时，f(x)取得极小值，f(3)473函数yx4x3的极值点的个数为(B)A0B1C2D3解析yx3x2x2(x1)，由y0得x10，x21当x变化时，y、y的变化情况如下表x(，0)0(0,1)1(1，)y00y无极值极小值故选B4已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)A2B1C1 D2解析a、b、c、d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或ad25已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是(C)A1a2B3a6Ca6 Da2解析f (x)3x22axa6，f(x)有极大值与极小值，f (x)0有两不等实根，4a212(a6)0，a66(2018全国卷理，7)函数yx4x22的图象大致为(D)ABCD解析f(x)4x32x，则f(x)0的解集为，0，f(x)单调递增；f(x)1，则当x，1时，f(x)0所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0,1)时，ax1x10所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)B级素养提升一、选择题1(2018杭州二模)已知a0且a1，则函数f(x)(xa)2lnx(C)A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值解析a0 且 a1，函数 f (x)(xa)2lnx，f(x)2(xa)lnx(xa)(2lnx1)，由f(x)0，得xa或2lnx10，由方程2lnx10，作出g(x)2lnx1和h(x)的图象，结合图象得g(x)2lnx1和h(x)的图象有交点，方程2lnx10有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数f (x)(xa)2lnx既有极大值，又有极小值故选C2对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f (x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f (x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)x3x23x，则g()g()g()(B)A2015 B2016C2017 D2018解析函数的导数g(x)x2x3，g(x)2x1，由g(x0)0得2x010，解得x0，而g()1，故函数g(x)关于点(，1)对称，g(x)g(1x)2，故设g()g()g()m，则g()g()g()m，两式相加得220162m，则m2016故选B二、填空题3(2018广西二模)若函数f(x)x33x2a(a0)只有2个零点，则a0或4解析f(x)f(x)x33x2a则f(x)3x26x，令3x26x0，可得x0或x2，即函数有两个极值点，函数f(x)x33x2a(a0)只有2个零点，由f(0)a0得a0，由f(2)812a0得a4，综上a0或4时，f(x)有且只有2个零点故答案为0或44(2018全国一模)已知函数f(x)xlnxx2，x0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：0x0；f(x0)x00；f(x0)x00；其中正确的命题是(填出所有正确命题的序号)解析函数f(x)xlnxx2，(x0)f(x)lnx1x，易得f(x)lnx1x在(0，)递增，f()0，x0，f(x)，0x0，即正确，不正确；lnx01x00f(x0)x0x0lnx0xx0x0(lnx0x01)x0，即正确，不正确故答案为三、解答题5(2018保定二模)已知函数f(x)(a，bR且a0，e为自然对数的底数)若曲线f(x)在点(e，f(e)处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围解析f(x)，(x0)，求导f(x)，由f(e)0，则b0，则f(x)，当a0时，f(x)在(0，e)内大于0，在(e，)内小于0，f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，)为减函数，f(x)有极大值无极小值；当a0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，)为增函数，f(x)有极小值无极大值；实数a的取值范围(，0)6(2018全国卷理，21)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a解析(1)证明：当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x)设函数g(x)f(x)ln(1x)，则g(x)当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0，故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0所以f(x)在(1，)单调递增又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0(2)解：()若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾()若a0，设函数h(x)ln(1x)由于当|x|min时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点，当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x)若6a10，则当0x，且|x|min时，h(x)0，故x0不是h(x)的极大值点若6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min时，h(x)0，所以x0不是h(x)的极大值点若6a10，则h(x)，则当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，h(x)0所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点综上，aC级能力拔高设函数f(x)x3x26xa(1)对于任意实数x, f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解析(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，由题意可知