一类带投资风险模型的破产概率研究.doc

南京航空航天大学硕士学位论文摘要随着社会金融市场的发展，经典风险模型在很大程度上已无法模拟现实的风险状况，在实际运营中保险公司的利润主要由其投资利润来决定，因此，保险投资成为保险经营的重要环节，考虑带投资的风险模型也就成为现代精算界与数学界研究的热门问题随机过程理论的系统化和成熟化为带投资风险理论的研究提供了强有力的方法和工具本文先引入保险公司将固定比例资产投资于风险市场的风险模型，在该模型中投资于风险市场的资金用几何布朗运动来描述，而剩余资金投资于无风险市场，利用伊藤公式求出该模型下生存概率所满足的积分微分方程，并进一步得到该方程解的存在性及该方程的拉普拉斯形式，它有利于通过计算机得到破产概率的数值解文章的另一主要内容是针对投资于风险市场的比例为时间变量的函数的风险模型，其它描述同前一个模型，在该模型下破产概率与公司的剩余资金有关，也与每时每刻的投资比例有关，利用伊藤公式得到关于该模型盈余过程和时间的一个二元函数所满足的积分微分方程，并在广义函数空间 空间上讨论了该方程的初边值问题的弱解存在惟一性问题关键词破产概率，积分微分方程，伊藤公式， 空间，拉普拉斯变换，弱解i一类带投资风险模型的破产概率研究，？， t ，：，？，ii承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文第一章绪论背景介绍 年，瑞典精算师 在他的博士论文中引入齐次 过程的风险模型，从而开创了风险理论研究的先河，在数学界和精算界都引起广泛关注保险风险理论的研究对象是来自商业保险的各种随机模型，初期的风险理论主要同寿险发生联系，研究的是个体风险模型（），此时的风险论通常被称为个体风险论（），关于这一时期风险理论的回顾可参见 集体风险理论（）较为系统的理论形成应该说始于 了集体风险模型（）把全体投保者看成一个整体，索赔的产生为一个随机过程，而不是去考虑单个的保单不过， 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是由 为首的瑞典学派完成的，与此同时，他们发展了随机过程的基本理论，建立了它们之间的联系如今在风险领域里研究的各种风险模型都是在此基础上逐步发展起来的随机过程理论的逐渐系统化和成熟化为风险理论的研究提供了强有力的方法和工具继 之后， 成为当代研究破产论的领先学者， 在 年发表的数学风险论导引一书已成为当今研究这一领域的经典著作，他以严谨的概率论基础，简练清晰地深化了经典破产论的研究内容，并取得了重大的突破，获得了众多优美的结果近几十年来，风险理论的发展十分迅速，其研究基本上是对经典模型的改造与推广，以使模型更贴近于实际，结果更具可操作性这些改造与推广丰富了风险理论的研究内容与结果，其最简单的古典风险模型具有以下特点：不涉及投资过程，只描述保险公司保费收入和理赔过程；保费收入过程与理赔额的随机变量是相互独立的；每单位时间收到的保险费是一个常数；只考虑单一的险种考虑特点 有学者就提出了保费与理赔具有相依性的风险模型，考虑特点 一些专家就提出了双复合 模型、保费率为随机变量的风险模型等，考虑特点 前人已经提出了对两险种风险模型甚至于多险种风险模型，本文作者-1-一类带投资风险模型的破产概率研究将重点针对特点 考虑保险公司增加了对外投资后的风险模型随着金融市场的发展，保险公司对外投资有了很大的可能性：其一，保费收入的快速增长，导致可运用的保险资金规模急剧扩大；其二是投资的必要性，保险竞争大大降低了传统承保业务带来的利润，保险产品的高回报要求保险资金需要更高的回报率从国际保险业经营的趋势来看，目前保险公司利润主要就是由投资利润决定的因此，保险投资成为保险经营的重要环节，是现代保险公司生存与发展的重要支柱 年 月，中国国务院发布国务院关于推进资本市场改革开放和稳定发展的若干意见，指出“支持保险公司以多种方式直接投资资本市场”多数保险公司也对保险资金直接入市持乐观态度，认为随着资本市场的日益完善和保险公司对资本市场的经验积累，股票投资力度会逐步扩大因而带投资的风险模型成为经典复合 风险模型的一个重要的推广，对它的研究引起了众多学者的重视对于带投资的风险模型的研究也经历着一个长期的、由简到繁的过程首先考虑的是带常利率的风险模型，它是将保险公司的风险盈余全部投入到无风险的资本市场，比如存入银行生息给出带常利率风险过程在有限时间内的破产概率的上下界；给出当索赔积分尾分布为亚指数分布时，无风险投资模型的破产赤字分布的上下界有关常利率风险模型的许多结论可参见文献随着社会大量资金投入到金融风险市场，纯粹的无风险投资模型不能适应实际需要，从而使得具有风险投资的风险模型成为当前研究的热点之一在经典的 模型下加入有风险的投资项目，将风险盈余的一个固定比例投入到有风险资本市场（如股票），剩余部分仍投入于无风险市场（如债券） 和 得到该模型下，当索赔大小为指数分布情况下，生存概率的显式解；认为在该模型下，当索赔额分布 F 为亚指数分布时，索赔额尾分布 F 是正则变化尾分布等价于 ( x) : const F ( x) 对于投资而言，保险公司总希望在保证一定预留金的前提下，使得公司总资产得到最大的收益但是，由于不同时间季节保费收入多寡不同，索赔的时间周期不同，从而保费、索赔、投资利润等均随着时间变化；这样，任意时刻都是以一固定常数比例的资产投入到风险财富的模型无法满足上述需求为了解决这个问题有必要进一步改进风险模型：将 t 时刻风险盈余投资于风险财富的比例由常数 k 变为时间 t 的一个连续函数 K (t)(0 K (t ) 0 ）为保险公司的初始准备金，常数 c （ c 0 ）为单位时间内收取的保费；（）索赔到达的计数过程N (t), t R+ ， N (t ) 表示在 (0, t内发生的索赔总次数，为一齐次 过程，具有参数 ；（）索赔额序列 X i , i N， X i 表示第 i 个索赔的索赔额，是独立同分布的随机变量序列，有共同分布函数 F ，且 E X i = ，并与计数过程 N (t), t R+ 相互独立经典复合 风险模型建立的基础是保险资金不涉及投资，保险公司收取保费作为资金主要来源，加之自有资金构成了全部保险在风险理论中一个重要问题是研究破产概率（），也就是盈余过程U ( t) , t 0在某时刻小于零的概率，写成数学表达式即为 (x ) = P (t 0, U (t) 0 | U (0) = x ) = P( | U (0) = x) inft :U (t ) 0 称为相对安全负-3-U (t) = x + ct X i （）其中 = 个假定是保险公司为运作上的安全考虑，要求： ct E Xi = (c )t 0 ，一类带投资风险模型的破产概率研究载（）；第三个假定是调节系数存在惟一性假定，即0cr 具有惟一正解 R ，称其为调节系数（）在上述三个假定条件下，经典复合 风险模型研究得出的主要结果有：（） (0) =c=11+ ；（） 不等式： (x) e Rx ；（）（） 近似：存在正常数 C ，使得 ( x) : Ce Rx ， x （）即 lim= 1；（）当 X i 服从指数分布时， (x) =11 + xe (1+ ) 以上结论表明：当初始盈余为 0 时，破产概率 (0) 的确切解仅仅依赖于相对安全负载 ，而和个体索赔分布的具体形式无关，此外（）、（）式解释了：若初始盈余很大，保险公司在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产不易发生这些结论为破产理论的发展奠定了基础，也为我们现在进一步研究带投资风险模型的相关性质起到了很好的启发作用经典离散风险模型复合二项模型复合 风险模型是关于连续时间的，一些作者现已对完全离散的风险模型做了大量的研究，得到很多好的结论离散的风险模型定义如下：U (n ) = x + cn N ( n)i=1X i n 0 （）其中初始盈余 x 为非负整数，保险公司在每单位时间区间的始端征收 c 个货币单位的保费，个体索赔额 X i 是仅取正整数值的随机变量，假定X i : i 1是相互独立同分布的随机变量序列， N (n) 表示前 n 个时段所发生的索赔次数，假定N( n) : n 1 是以 p （ 0 p 1 ）为参数的二项序列，且独立于X i : i 1，另外，-4-要求 M X (r) = E (erX ) = erxdF ( x) = 1+ ( x)x Ce Rx南京航空航天大学硕士学位论文假定 p c ( = E X i ) ，这一假定相应于连续时间模型中的相对安全负载假定定义该模型下的破时刻 = infn 1:U ( n) 0，t 0 即表示单位时间内保费收入大于索赔额由此定义安全负荷系数 =c 1 0令 表示破产时刻，则inft :U (t ) 0,U (t ) 0 | U (0) = x ) = P( 0蔡高玉在其毕业论文中对保费率为随机变量的模型运用概率方法和风险理论的方法推导出破产概率、末离前最大盈余分布、破产前瞬时盈余与破产赤-5- XS (t ) = X i =一类带投资风险模型的破产概率研究字的联合分布等精算量分布的一般公式两险种风险模型经典风险模型一般只考虑一类同质风险，但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，单个险种的风险模型对于研究保险公司的生存概率就无能为力了，蒋志明28等人在这方面做了相应的研究下面仅给出两险种风险模型的定义，可逐步推广到 n 险种的情形设在完备的概率空间 ( , ,P)上， N1( ) : t 0 和N2 ( ) : t 0 分别是两险种在 (0,t 内发生的各自索赔次数，是参数分别为 1和 2 的齐次 Poisson 过程；Z i(1) : i = 1,2,L 和Z i(2) : i = 1,2, L 分别表示两个险种的索赔量，是两列独立同分布的非负随机变量序列，其分布函数分别为 F1( x) 和 F2 (x) ；c = c1 + c2 ，常数c1 ,c2 0 分别是两险种的保费率； x( x 0) 表示保险公司的初始准备金；N1(t) : t 0、N2 (t) : t 0、 Zi(1) ,i = 1,2,L、 Zi(2) ,i =1,2,L两两相互独立模型如下：N1 ( t )i =1(1)i+N 2 (t )i=1(2)i)（）郭灵波在其毕业论文中给出了该模型下索赔服从指数分布时，生存概率的明确表达式，一般情形下生存概率的估计式，破产概率的上下界估计式等重要结果投资比例为常数的风险模型由于市场的发展、竞争的需要，保险公司考虑将自己的盈余用于投资，投资比例为常数的风险模型就是在给定的完备概率空间 ( ,P)上定义的剩余过N ( t)i=1时每刻资本盈余的固定常数比例 k （ 0 k 0 ，投资的风险财富（如股票）为 S ( t) ，则其描述如下：dS ( t ) = S (t )(adt + bdWt )， t 0，其中 a , b 0 为固定常数，a 表示无风险收益率，b 表示风险波动收益率，Wt 为标准 运动，并独立于 U (t )，而U ( t), t 0 为无任何对外投资下的经典复合 过程现假定保险公司-6-t tU (t ) = x + ct ( Z Z程U (t) = x + ct X i （其定义与 节中定义完全相同）的基础上，考虑将每南京航空航天大学硕士学位论文对外投资后在 t 时刻总资产为 Y (t ) ，将 kY (t )投资于股票市场（ 0 k 0）， (1 k ) Y ( t ) 投资于无风险市场，则模型如下：dY (t ) = dU (t ) + kY ( t )( adt + bdWt ) + (1 k ) Y (t ) rdt （）t 0，Y (0) = x 其中 x （ x 0 ）为保险公司的初始准备金； r （ r 0 ）是保险公司投资于无风险项目的投资收益率；k 为投资于有风险项目的投资比例；定义该模型下破产概率： (x ) = P (t 0, Y (t ) 0 | Y (0) = x ) = P( | Y (0) = x ) inft : Y (t) 0， 若上集空称为破产时相应的生存概率 (x) = 1 ( x) = P( = Y (0) = x) 和 得到结论是在该模型下生存概率满足如下的方程122x0且方程的解存在，并进一步得到当索赔大小为指数分布时生存概率的显式解； 和 则得到，当索赔尾分布为亚指数分布满足正则变化，且正则变化的指标满足确定的不等式，则有 ( x) : C F (x ) ，其中 C 为常数投资比例为函数的风险模型面对风云变幻的资本市场，保险公司在每时每刻将自己剩余资金的一个固定比例投资于风险市场显然是不合实际的，公司会根据不同的项目收益率、回收周期等问题来考虑投资的大小和投资的组合因而在我们的风险模型研究中为了进一步贴近实际，对投资比例为常数的风险模型进行进一步的改进工作，提出了：在完备的概率空间 ( , ,P)上，假定保险公司在 t 时刻总资产为Y (t ) ，将其资产中的 K (t ) Y (t ) 投资于股票市场（其中 0 K (t ) 0是 t 的连续函数），剩余部分 (1 K (t )Y (t )投资于无风险市场，则：dY (t ) = dU (t ) + K (t ) Y (t )(adt + bdWt ) + (1 K (t ) )Y (t ) rdt （）Y (0) = x ， t 0其中U (t) 即是模型（）中定义的复合 过程，参数 x, a, b, r 等含义均-7-其中 = ( x)( kbx) + ( x )( (a r ) k + r ) x = c ( x) + (0) F ( x ) + ( x z ) F ( z ) dz （）一类带投资风险模型的破产概率研究等同于模型（）中的定义，该模型是本文要研究的一个重点内容，将在本文第三章中给出详细的定义本文主要内容古典破产模型过于简单且有太多不符合实际的假设首先，单位时间收到的保费是变化的，尤其是各个保险公司不断推出新的保险产品，导致保险公司客户非固定化，从而大大降低了保费收入的固定性其次，保险公司拥有规模庞大的自有资金以及大量的保费收入，这些都是可用于投资的资金因而不考虑单位时间保费变化及投资过程的风险模型严重背离了现今保险公司的风险模式但基于本人时间能力原因及模型的可操作性，本文仍将假定保险公司只针对一个险种，考虑保费的单位时间收入仍然是无变化的常数 c ，在这样的情况下讨论带风险投资的风险模型本论文一共分四个章节。第一章给出本论文的一些相关背景知识，对风险理论的发展作了简短回顾，介绍了两种经典风险模型及其相关结论，并对一些推广后的风险模型作了简单介绍第二章给出投资比例为常数的风险模型的定义，利用 ？ 公式给出该模型下生存概率的积分微分方程并得到该方程解的存在性，最后利用 变换表达式得到相应的 形式方程，有利于当索赔额分布给定时求生存概率的数值解第三章给出常比例投资风险模型的进一步推广，介绍了投资比例为时间函数情况下的风险模型，利用 ？ 公式得到在该模型下定义的关于时间和盈余过程的函数 h (Y( t ), t) 在 时刻所满足的积分微分方程，并进一步借助 空间讨论了该方程一定初边值条件下弱解的存在惟一性问题第四章是对论文的一个总结及对今后在这方面工作的展望-8-南京航空航天大学硕士学位论文第二章常比例投资于风险市场的风险模型在第一章中我们介绍了几种经典的风险模型及现今研究较为热门的几类风险模型方向下面将在经典复合 模型的基础上，考虑保险公司对外投资的情形，其投资于风险市场的财富比例为常数 k ，剩余财富投资于无风险市场，本章研究这类带投资风险模型的破产概率本章第一节引入以常数比例投资于有风险项目的风险模型的相关概念；第二节给出相关的一些预备知识；第三节利用 ？ 公式给出该风险模型生存概率所满足的积分微分方程；第四节证明该积分微分方程解的存在性；第五节利用 变换得到关于生存概率的 形式方程模型的引入在完备概率空间 ( ,N (t )i=1x ( x 0) 为保险公司的初始准备金在考虑了对外投资的风险模型中，我们不再0立在剩余过程 U (t) 的基础上我们考虑保险公司的对外投资，设投资于无风险项目的收益率为 r (r 0) ，投资于风险财富 (如股票 ) S ( t) 的情形描述如下：dS ( t ) = S (t )(adt + bdWt )，t 0，其中 a , b 0 为固定常数，a 表示风险期望收益率， b 表示风险波动收益率，Wt 为标准 Brown 运动，并独立于 U (t) 假定考虑保险公司进行对外投资后在 t 时刻总资产为 Y (t ) ，并且将 kY (t )投资于股票市场( 0 k 0 )，剩余的资本 (1 k ) Y ( t ) 投资于无风险市场，则模型如下：dY (t ) = dU (t ) + kY ( t )( adt + bdWt ) + (1 k ) Y (t ) rdt（）-9-,P)上，剩余过程U (t) 描述为：U (t ) = x +ct X i ，其中 N (t ) 是以 为参数的 Poisson 过程； X i i=1是非负独立同分布随机变量，用X 表示，其分布函数为 F ( z) ，且 X i i=1与 N (t ) 独立；常数 c (c 0) 为保费率；需要假定对应于经典复合 Poisson 模型中的安全负荷 c zdF ( z) 这个条件成一类带投资风险模型的破产概率研究Y (0) = x ， x 0 ， t 0定义该模型的破产概率为 ( x) = Pr ( Y (0) = x) ，其中破产时刻定义为 = inf t 0; Y (t ) 0 满足以下条件：（） g ( t, ) 关于0, T 可测；（）对 t 0 ， g ( t, ) 关于t 可测，即对 x ， ( : g (t, ) x) t；T0则满足以上条件的函数的全体记作 l 2T 定义 设随机过程 X = X ( t), t 0 满足如下的伊藤积分：对 0 t0 t T 有t tt 0 t 0或等价地写作伊藤微分形式： dX (t ) = b( t, X (t)dt + (t, X (t )dB(t) （）12称 X 为伊藤随机过程，称（）式为伊藤随机积分方程，（）式为伊藤随机微- 10 -（） E( g (t ,)2 dt ， E (g( t, ) 2 ， t 0 X (t ) X (t0 ) = (s, X ( s)dB (s) （）b( s, X (s)ds +其中 b( t, x) 、 (t, x) 是二元连续函数，且对 x ， b(t ) , (t) l 2T ，则南京航空航天大学硕士学位论文分方程引理 （伊藤公式）设 X = X ( t), t 0 满足等式（），y = f (t , x) 是二元函数，且具有连续偏导数ft、x、x 2，令 Q(t ) = f (t , X (t) ) ，则过程Q = Q(t ), t 0是随机过程，且对 0 t0 t 满足如下的伊藤积分方程：tt 0ft+ bfx+ 2 2 f2tt 0fx(s, X ( s)dB (s) （）或等价的伊藤微分形式dQ(t) = (ft+bfx+ 2 2 f2)(t, X ( t) )dt + fx(t , X ( t)dB(t) （）（）证明参见文献定义 （压缩映象）设G 是 空间 X 上的子集， T 是 G 到 X 上的映象，我们称T 是一个压缩映象，如果存在一常数 使得 0 1且 Tx Ty x y ，对 x, y G 洛必达法则：设函数 f (x) ， g (x ) 满足以下条件：在 x0 的某领域内， f , g 都可导（ x0 点可除外），且 g (x ) 0；（） lim f ( x) = lim g (x) = 0或 lim f ( x) = lim g (x) = ；x x0 x x0 x x0 x x0（） limx x0f ( x)g( x)= l ( l +) 则 limx x0f (x)g( x)f ( x)x x0 g(x)=