2020版高考数学一轮复习 第三章 第三节 导数与函数的极值、最值课件 文.ppt

第三节导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数,2.函数的最值与导数,教材研读,考点一利用导数研究函数的极值,考点二利用导数求函数的最值,考点三利用导数求解函数的极值和最值的综合问题,考点突破,教材研读,1.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值.提醒f(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点.,2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(ii)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.()(2)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.()(3)函数的极大值一定是函数的最大值.()(4)开区间上的单调连续函数无最值.(),答案(1)(2)(3)(4),2.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点,C,答案C设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0,f(x)为增函数,当x1x0;当x0;当-22时,1-x0,函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.,答案D,命题方向二求函数的极值典例2已知函数f(x)=x-1+(aR,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值.,解析(1)由f(x)=x-1+,得f(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,所以f(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f(x)=1-,当a0时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=lna,当x(-,lna)时,f(x)0,所以f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在lna处得极小值lna,无极大值.,命题方向三已知函数的极值求参数典例3(1)(2018山东泰安检测)已知函数g(x)=lnx-mx+有两个极值点,则m的取值范围为.(2)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aR.(i)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(ii)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.,答案(1),解析(1)g(x)=-m-=-,令h(x)=mx2-x+m,要使g(x)存在两个极值点x1,x2,则方程mx2-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x2.故只需满足解得00时,若x,则g(x)0,函数g(x)单调递增,若x,则g(x)0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.(ii)由(i)知,当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当01,由(i)知f(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.,所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=时,=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a时,00,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x).,规律总结函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤:确定函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)=0,求出函数定义域内的所有根;列表检验f(x)在f(x)=0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领:列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.验证:求解后验证根的合理性.,1-1函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是()A.x=1B.x=-1C.x=1,x=-1,x=0D.x=0,答案Cf(x)=x4-2x2+3,由f(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得x=0或x=1或x=-1.又当x0,当01时,f(x)0,x=0,1,-1都是f(x)的极值点.,C,1-2(2019东北四校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-,-3)(6,+)C.(-3,6)D.(-,-1)(2,+),答案Bf(x)=3x2+2ax+a+6,由已知可得f(x)=0有两个不相等的实数根,=4a2-43(a+6)0,即a2-3a-180,a6或a-3.,B,利用导数求函数的最值,典例4(2018山东济南质检)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,解析(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)随x的变化而变化的情况如下表:,所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0),f(0)=-k;当0k-11,即1,f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.当a0时,f(x)在(0,+)上没有极值点,当a0时,f(x)在(0,+)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x=1处取得极值,a=1,f(x)bx-21+-b,令g(x)=1+-,则g(x)=,令g(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+)上递增,g(x)min=g(e2)=1-,即b1-,即实数b的取值范围是.,易错警示(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论.(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.,3-1已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.,解析(1)f(x)=ax3+bx+c,故f(x)=3ax2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有即化简得解得,(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x(-,-2)时,f(x)0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,