自主招生和保送生部分数学试题.doc

自主招生数学试题(1)文科做题，理科做题，每题20分，满分100分。1. 已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。2. 求过抛物线与的交点的直线方程。3. 在等差数列中，为其前项和。问数列中哪一项最小？并求出最小项值。4. 在中，若，证明：。5. 是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？证明你的结论。6. 设和是平面上两个不重合的固定圆周，是该平面上的一个动圆，它与和均相切。问：的圆心轨迹是何种曲线？说明你的理由。7. 求函数的最小值。自主招生数学试题(2)1. 设复数满足且，则。2. 在正四棱锥中，分别为的中点，且侧面与底面所称的二面角的正切为，则异面直线与所成角的余弦为。3. 曲线的切线过点，但点不是切点，则该切线的斜率是。4. 若，则的最小值和最大值分别为。5. 如图，与外切于点， 、都内切于，设，则( )。6. 已知异面直线成角，为空间一点，则过与都成角的平面( )。有且只有一个 有且只有两个 有且只有三个 有且只有四个7. 已知向量则 的最小值为。8. 为过抛物线的焦点的弦，为坐标原点，且，为抛物线的准线与轴的交点，则的正切值为。9. 如图，已知的面积为，分别为边、边上的点，为线段上一点，设，且，则面积的最大值为。10. 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）。存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形11. 已知不是直角三角形。证明：；若，且的倒数成等差数列，求的值。12. 已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。若，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13. 已知函数。令。求数列的通项公式；证明：。14. 已知双曲线分别为的左右焦点。为右支上一点，且使，又的面积为。求的离心率 ；设为的左顶点，为第一象限内上的任意一点，问是否存在常数,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示未出现连续次正面的概率。求，；探究数列的递推公式，并给出证明；讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。自主招生数学试题(3)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为 (A) (B) (C) (D) (2) 设向量，满足，则的最小值为 (A) 2 (B) (C) 1 (D)(3)如果平面，直线，点，满足：，且与所成的角为，与所成的角为，那么与所成角的大小为 (A) (B) (C) (D) (4)在四棱锥中，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为 (A) (B) (C) (D) (5)在中，三边长，满足，则的值为 (A) (B) (C) (D) (6)如图，的两条高线，交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为 (A) (B) (C) (D) (7)设。过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是 (A) (B) (C) (D) (8)设双曲线，椭圆。若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为 (A) (B) (C) (D) (9)欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为 (A) 6 (B) (C) (D) (10)设定点、是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的旋转。设表示变换的复合，先作，再作，则可以表示为 (A) (B) (C) (D)二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(11)(本题满分14分)在中，已知，外接圆半径。（）求角的大小；（）求面积的最大值。(12) (本题满分14分) 设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线。设到直线，直线的距离分别为，已知。（）判断是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（）若的面积为240，求点的坐标及直线的方程。(13) (本题满分14分) （）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；（）一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值。(14) (本题满分14分) 假定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个。（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由。(15) (本题满分14分) 设函数，且存在函数，满足。（）证明：存在函数满足；（）设证明：。自主招生数学试题(4)解答题(每小题25分，共100分)1（仅文科做），求证：（25分）2、为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3设、为上位于轴两侧的点，求过点、的切线与轴围成的图形面积的最小值（25分）4已知，在时取得最小值。问当时，求与夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）自主招生数学试题(5)1. 求证：时，。2. 有小于1的正数：，且。求证：。3. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点。用表示整数集，则在下列集合：；整数集中，以为聚点的集合有。4. 求的值。5. 求证：。6. 设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相距为，的点都不同色，要求使用颜色最少。自主招生数学试题(6)理科1. 设的整数部分为，小数部分为。求，；求；求。2. ，为实数，且，求证：对于任意正整数，；，为正实数，求证：，其中，为，的一种排列。3. 请写出所有三个正整数均为质数且公差为的等差数列，并证明你的结论。4. 已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于。求证：，成等比数列。5. 已知，设，求。6. 随机挑选一个三位数。求含有因子的概率；求中恰有两个数码相等的概率。7. 四面体中，。求证：四面体的每个面都是锐角三角形；四面体的三个面与底面所成的角分别为，。求的值。8. 证明当,均为奇数时，曲线与轴的交点的横坐标均为无理数。9. 设，均为整数，对，中任意个数，存在一种分法可将其分成两组，每组个数，使得两组中所有元素的和相等。求证：，全部相等。文科1. 已知数列，且。求证：是等差数列；求所在的直线方程。2. 一元三次函数的三次项系数为，的解集为。若有两个相等实根，求的解析式；在上单调递减，求的取值范围；3. 已知，求点的轨迹；(2)直线与交于点、，求(为原点)。4. 12名职员(其中3名为男性)被平均分配到个部门。求此名男性被分别分到不同部门的概率；求此名男性被分到同一部门部门的概率。若有一男性被分到指定部门，求其他名男性被分到其它不同部门的概率。5. 设，。求证：；求的最值，并给出此时，满足的条件；若，求出，不满足时的条件自主招生数学试题(7)1. 圆内接四边形中，。求该圆的半径。2. 已知一无穷等差数列中有项：，。求证：也为该数列中一项。3. 是否存在实数，使得与同时为有理数？证明你的结论。4. 已知对任意均有恒成立，求的最大值。5. 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？自主招生数学试题(8)1. 若，都是有理数，也是有理数，求证：，都是有理数。2. 证明：对于任意一个四面体，至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；四面体一个顶点处的三个角分别是，求的面和的面所成的二面角。3. 求正整数区间中，不能被整除的整数之和。4. 已知，求的取值范围。5. 若求。6. 求证：以原点为中心且面积大于的矩形中，除原点外至少还有两个格点(横、纵坐标都是整数)。自主招生数学试题(9)1. 求证：边长为的正五边形对角线长为。2. 六边形中。求证：的面积是六边形面积的一半。3. 已知。求证：。4. 排球单循环赛，南方球队比北方球队多支，南方球队总得分是北方球队的倍。求证：冠军是一支南方球队。(胜得分，负得分)5. 坐标系内平面内绕轴旋转一周构成一个不透光立体，在点设置一点光源，平面内有一以原点为圆心的圆被光照到的长度为，求圆未被光照到的长度。自主招生数学试题(10)1. 求的单调区间和极值。2. 设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和。求。3. 已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件正常工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当与中至少有一正常工作，正常工作，与中至少有一正常工作；且若与同时正常工作则有立体声效果。求能听到立体声效果的概率；听不到声音的概率。4. 求三直线所围成的三角形上的整点(横、纵坐标都是整数)个数；求不等式组的整数解个数。5. 已知，是正三角形，且在双曲线一支上。求证关于直线对称；求的周长。6. 对于集合，称为开集，当且仅当，使得。判断集合与是否为开集，并证明你的结论。自主招生数学试题(11)1. 求最小正整数，使得为纯虚数，并求出。2. 已知为非负数，且。，求的最值。3. 已知成等差数列，成等比数列，求的值。4. 求由正整数组成的集合，使中元素之和等于元素之积。5. 随机取多少个整数，才能有以上的概率使得这些数中至少有一个偶数。6. 上一点(非原点)，在处引切线交轴于，求。7. 已知满足：对实数有，且，求证：恒为零。(可用以下结论：若为一常数，那么)自主招生数学试题(12)一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数的最大值为2. 已知是实数，且当时，。则(注：表示复数的虚部)3. 甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中间，乙丙相邻，且丁不在两端，则不同的排法共有种 种 种 种4. 为抛物线的焦点，过点的直线与该抛物线交于两点，分别是该抛物线在两点处的切线，相交于点，设，则5. 设是三次多项式的一个根