实变函数复习题.pdf

1.若 E 有界,则 m*E0,则对任意小于 m*E 的正数 c,恒有 E 的子集 E1,使 m*E=c 4.设 S1,S2,，Sn 是一些互不相交的可测集合，Ei 包含于 Si，i=1，2，3.n，求证 m*（E1 并 E2 并 E3.并 En）=m*E1+ m*E2+ +m*En 5.若 m*E=0，则 E 可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为 0 7.设 A，B 包含于 Rp，且 m*B 0(n无穷)，则 E 可测。 10.设 是一列可测集，证明 和 都是可测集 且 11.设En是一列可测集，若求和 m（En）0 存在常数 c 与可测集 E0 包含于 E，m（EE0）e,使在 E0 上对一切 n 有|fn（x） |=c.这里 mE无穷。 6.设 f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为a，b上的可测函数，则 f（g（x） ） 是可测函数。 7.设函数列 fn（x） （n=1，2，.）在有界集 E 上“基本上”一致收敛于 f（x） ，证明fna.e. 收敛于 f。 ，叶果洛夫逆定理 8.试证明鲁津定理的逆定理成立。 鲁津定理 9.设函数列fn在 E 上依测度收敛于 f，且 fn（x）=g（x）a.e.于 E，n=1，2，.。试证 f（x） =g（x）在 E 上几乎处处成立。 10.设在 E 上 fn（x）推出 f（x） ，且 fn（x）=fn+1（x）几乎处处成立，n=1，2，.，则几乎 处处有 fn（x）收敛于 f(x)。 11.设在 E 上 fn（x）推出 f（x） ，而 fn（x）=fn（x）a.e.成立，n=1，2，.，则有 gn（x）推 出 f（x） 12.设 mE正无穷，证明：在 E 上 fn（x）推出 f（x）的充要条件是，对于fn的任何子函数 列fnk，存在fnk的子函数列fnkj，使得 a.e.于 E 13.设 mE=n）则 n*men 在 n 的极限=0 6.设fn为 E 上非负可积函数列，若 则 f(x)依测度收敛与 0. 7.设 mE无穷，fn为 a.e.有限可测函数列。证明：的充要条件是 fn（x）依测度收敛与 0 9.设由0,1中取出 n 个可测子集 E1,E2,.,En，假定0，1中任一点至少属于这 n 个集中的 q 个，试证必有一集，它的测度大于或等于 q/n。 10.设 mE 不等于 0，f（x）在 E 上可积，如果对于任何有界可测函数，都有 则 f（x）=0a.e. 于 E。 11.证明： 12.试从 1/1+x=(1-x)+(x2+x3)+.,0x0,存在 g 属于 Ca，b，使得 列维定理 levi 设 为可测集，为 E 上的一列非负可测函数， 当 x 属于 E 时对于任一自然数 n， 有 fn（x）=fn+1（x） ，令 则 法图引理 fatou 一般可测函数的勒贝格积分（做题用） 积分的绝对连续性 设 为可测集 则对于任意的 存在 使得对于任意的可测集，只要 mA 就有 勒贝格控制收敛定理：设 为可测集 为 E 上的一列可测函数。F 是 E 上的非负 L 可积函数， 如果对于任意的自然数 n 设 为可测集，f 和 fn 都是 E 上的可测函数，F 是 E 上的非负 L 可积